二项分布题库(2)

一、考点分析

统计与概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的决策．随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法也越来越重要．因此，统计与概率知识是各地高考重点考查内容之一．

1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．

4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归.

二、命题趋势

1、随机抽样

（1）以基本题（中、低档题为主），多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础的知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；（2）热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法.2、用样本估计总体及线性相关关系（1）以基本题目（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；（2）热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。

3、随机事件的概率与古典概型（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主.4、排列、组合、二项式定理本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：

（1）两个原理；

（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；

（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大.5、统计案例本部分内容主要包括回归分析的基本思想及其初步应用和独立性检验的基本思想和初步应用，是教材新增内容，估计高考中比重不会过大.（1）知识点将会考察回归分析的基本思想方法，用独立性检验判断A与B间的关系，及2×2列联表；（2）考查的形式主要以选择、填空题为主，但不会涉及很多；6、随机变量的分布列本部分内容主要包括随机变量的概念及其分布列，离散性随机变量的均值和方差，正态分布，从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势.（1）考查的重点将以随机变量及其分布列的概念和基本计算为主，题型以选择、填空为主，有时也以解答题形式

出现；（2）预计明年高考还是实际情景为主，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题；三、知识网络

四、考点对接

几种特殊的分布列

（1）两点分布

两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量

1 甲结果发生,

，来描述这个随机试验的结果。如果甲结果发生的概率为P，则乙结果发生的概率必

0 乙结果发生.

定为1－P，所以两点分布的分布列为：

均值为E=p，方差为D=p（1－p）。

（2）超几何分布

重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n次试验成功且前n－1次试验均失败”。所以Pnp1p

n1

，其分布列为：

如果我们设在每次试验中成功的概率都为P，则在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，

k则ξ服从二项分布．则在n次试验中恰好成功k次的概率为：PkCkp1pn

nk

.

二项分布的分布列为：

记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；其概率Pn(k)Cnkpkqnk(q1p,k0,1,2,„

,n)。期望Eε=np，方差Dε=npq。

五、典型例题

题组一 耗用子弹数的分布列

例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列．

分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．

解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1，2，3，4，5．当即P(1)0.9；当2时，要求第一次没射中，第二次射中，故P(2)0.1

0.90.09；同理，1时，3时，要求前两次没有射中，第三次射中，P(3)0.10.90.009；类似地，P(4)0.10.90.0009；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以P(5)0.1，所以耗用子弹数的分布列为：

4

2

3

说明：搞清5的含义，防止这步出错．5时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，P(5)0.10.90.1．当然，5还有一种算法：即P(5)1(0.90.090.0090.0009)0.0001．

4

5

题组二 独立重复试验某事件发生偶数次的概率

例 如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这件事A发生偶数次的概率为________．

分析：发生事件A的次数~Bn,p，所以，p(k)Cnkpkqnk,(q1p,k0,1,2,,n)其中的k取偶数0，2，4，„时，为二项式(pq)n 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．

解

：

由

题

，

因

为

~Bn,p

n

2

2

n2

4

且

4

n4





取

12

不

n

同值

n

时事件

n

互斥，所以，

PP(0)P(2)P(4)CnpqCnpqCnpq

(qp)

(qp)

（因为pq1，所以11(12p)．

2

qp12p）

说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住(qp)n与(qp)n展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p奇次，留下p偶次的目的．

题组三 根据分布列求随机变量组合的分布列

例 已知随机变量的分布列为

分别求出随机变量1 解

y 1

12

12

2

,2的分布列． 1

112

： 由

12

于

1对于不

1同

x 4

的

1

1有不同

1

的

x 6

3

2

取值y 

12

x ，即

x 1,y 21x 2,y 3x 30,y 4,y 5

x 51,y 6，所以1的分布列为

2

2对于的不同取值－2，2及－1，1，2分别取相同的值4与1，即2取4这个值的概率应是取－2与2

值的概率为

112

与

212

合并的结果，2取1这个值的概率就是取－1与1值的概率

312

与

112

合并的结果，故2的分布列

说明：在得到的1或2的分布列中，1或2的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．

题组四 成功咨询人数的分布列

例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为

34

，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且

每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列．

分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数，故符合二项分布．

331

解：由题：~B3,，所以P(k)C3k

444

k

3k

,k0,1,2,3，分布列为

说明：关键是理解二项分布的特点：即某同一事件，在n次独立重复实验中，以事件发生的次数为随机变量．

题组五 盒中球上标数于5关系的概率分布列

例 盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，„，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．

分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．

,x 2,x 3表示题设中的三类情况的结果：x 解：分别用x 表示“小于5”的情况，x 2表示“等于5”的情况，x 3表11

示“大于5”的情况．

,x 2,x 3,取每个值的概率为 设随机变量为，它可能取的值为x 1

P (x )P （取出的球号码小于5）＝1P (x 2)P （取出的球号码等于5）＝

P (x 3)P （取出的球号码大于5）＝

510

110410

， ， ．

故的分布列为

小结：n

们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用pi1进行检验．

i1

题组六 求随机变量的分布列

例 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布列．

分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利

用组合的方法计算其概率．

解：随机变量的取值为3，4，5．

当＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有

C 3C

2

P (3)

35



110

;

当＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有

C 3

2

P (4)

C 5

3



310

;

当＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有

C 3

2

P (5)

C 5

3



610



35

.

因此，的分布列为

说明：对于随机变量取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．

题组七 取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列

例 一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．

分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．

解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则是一个随机变量，由题设可能取的数值是0，1，2，3． 当＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为

P (0)

312

0.750;

当＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为

P (1)

39

0.204;

1211

当＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为

P (2)

329

0.041;

121111

当＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为

P (3)

3219

0.005.

1211109

所以的分布列为

说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．

题组八 关于取球的随机变量的值和概率

例 袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．

分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成． 解： 设集合M {x 为“取到的球为红色的球”，x 2为“取到的球为白色的球”，x 3为“取到的,x 2,x 3}，其中x 11

球为黑色的球”．

我们规定：(x i )i (i 1,2,3)，即当x x i 时，(x )i ，这样，我们确定(x )就是一个随机变量，它的自变是量x 取值不是一个实数，而是集合M 中的一个元素，即x M ，而随机变量本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得分别取1，2，3三个值的概率，即

P (1)

16

,P (2)

2613

,P (3)

3612.

说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．

一、考点分析

统计与概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的决策．随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法也越来越重要．因此，统计与概率知识是各地高考重点考查内容之一．

1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．

4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归.

二、命题趋势

1、随机抽样

（1）以基本题（中、低档题为主），多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础的知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；（2）热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法.2、用样本估计总体及线性相关关系（1）以基本题目（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；（2）热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。

3、随机事件的概率与古典概型（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主.4、排列、组合、二项式定理本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：

（1）两个原理；

（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；

（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大.5、统计案例本部分内容主要包括回归分析的基本思想及其初步应用和独立性检验的基本思想和初步应用，是教材新增内容，估计高考中比重不会过大.（1）知识点将会考察回归分析的基本思想方法，用独立性检验判断A与B间的关系，及2×2列联表；（2）考查的形式主要以选择、填空题为主，但不会涉及很多；6、随机变量的分布列本部分内容主要包括随机变量的概念及其分布列，离散性随机变量的均值和方差，正态分布，从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势.（1）考查的重点将以随机变量及其分布列的概念和基本计算为主，题型以选择、填空为主，有时也以解答题形式

出现；（2）预计明年高考还是实际情景为主，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题；三、知识网络

四、考点对接

几种特殊的分布列

（1）两点分布

两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量

1 甲结果发生,

，来描述这个随机试验的结果。如果甲结果发生的概率为P，则乙结果发生的概率必

0 乙结果发生.

定为1－P，所以两点分布的分布列为：

均值为E=p，方差为D=p（1－p）。

（2）超几何分布

重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n次试验成功且前n－1次试验均失败”。所以Pnp1p

n1

，其分布列为：

如果我们设在每次试验中成功的概率都为P，则在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，

k则ξ服从二项分布．则在n次试验中恰好成功k次的概率为：PkCkp1pn

nk

.

二项分布的分布列为：

记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；其概率Pn(k)Cnkpkqnk(q1p,k0,1,2,„

,n)。期望Eε=np，方差Dε=npq。

五、典型例题

题组一 耗用子弹数的分布列

例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列．

分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．

解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1，2，3，4，5．当即P(1)0.9；当2时，要求第一次没射中，第二次射中，故P(2)0.1

0.90.09；同理，1时，3时，要求前两次没有射中，第三次射中，P(3)0.10.90.009；类似地，P(4)0.10.90.0009；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以P(5)0.1，所以耗用子弹数的分布列为：

4

2

3

说明：搞清5的含义，防止这步出错．5时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，P(5)0.10.90.1．当然，5还有一种算法：即P(5)1(0.90.090.0090.0009)0.0001．

4

5

题组二 独立重复试验某事件发生偶数次的概率

例 如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这件事A发生偶数次的概率为________．

分析：发生事件A的次数~Bn,p，所以，p(k)Cnkpkqnk,(q1p,k0,1,2,,n)其中的k取偶数0，2，4，„时，为二项式(pq)n 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．

解

：

由

题

，

因

为

~Bn,p

n

2

2

n2

4

且

4

n4





取

12

不

n

同值

n

时事件

n

互斥，所以，

PP(0)P(2)P(4)CnpqCnpqCnpq

(qp)

(qp)

（因为pq1，所以11(12p)．

2

qp12p）

说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住(qp)n与(qp)n展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p奇次，留下p偶次的目的．

题组三 根据分布列求随机变量组合的分布列

例 已知随机变量的分布列为

分别求出随机变量1 解

y 1

12

12

2

,2的分布列． 1

112

： 由

12

于

1对于不

1同

x 4

的

1

1有不同

1

的

x 6

3

2

取值y 

12

x ，即

x 1,y 21x 2,y 3x 30,y 4,y 5

x 51,y 6，所以1的分布列为

2

2对于的不同取值－2，2及－1，1，2分别取相同的值4与1，即2取4这个值的概率应是取－2与2

值的概率为

112

与

212

合并的结果，2取1这个值的概率就是取－1与1值的概率

312

与

112

合并的结果，故2的分布列

说明：在得到的1或2的分布列中，1或2的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．

题组四 成功咨询人数的分布列

例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为

34

，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且

每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列．

分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数，故符合二项分布．

331

解：由题：~B3,，所以P(k)C3k

444

k

3k

,k0,1,2,3，分布列为

说明：关键是理解二项分布的特点：即某同一事件，在n次独立重复实验中，以事件发生的次数为随机变量．

题组五 盒中球上标数于5关系的概率分布列

例 盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，„，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．

分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．

,x 2,x 3表示题设中的三类情况的结果：x 解：分别用x 表示“小于5”的情况，x 2表示“等于5”的情况，x 3表11

示“大于5”的情况．

,x 2,x 3,取每个值的概率为 设随机变量为，它可能取的值为x 1

P (x )P （取出的球号码小于5）＝1P (x 2)P （取出的球号码等于5）＝

P (x 3)P （取出的球号码大于5）＝

510

110410

， ， ．

故的分布列为

小结：n

们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用pi1进行检验．

i1

题组六 求随机变量的分布列

例 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布列．

分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利

用组合的方法计算其概率．

解：随机变量的取值为3，4，5．

当＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有

C 3C

2

P (3)

35



110

;

当＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有

C 3

2

P (4)

C 5

3



310

;

当＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有

C 3

2

P (5)

C 5

3



610



35

.

因此，的分布列为

说明：对于随机变量取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．

题组七 取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列

例 一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．

分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．

解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则是一个随机变量，由题设可能取的数值是0，1，2，3． 当＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为

P (0)

312

0.750;

当＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为

P (1)

39

0.204;

1211

当＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为

P (2)

329

0.041;

121111

当＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为

P (3)

3219

0.005.

1211109

所以的分布列为

说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．

题组八 关于取球的随机变量的值和概率

例 袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．

分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成． 解： 设集合M {x 为“取到的球为红色的球”，x 2为“取到的球为白色的球”，x 3为“取到的,x 2,x 3}，其中x 11

球为黑色的球”．

我们规定：(x i )i (i 1,2,3)，即当x x i 时，(x )i ，这样，我们确定(x )就是一个随机变量，它的自变是量x 取值不是一个实数，而是集合M 中的一个元素，即x M ，而随机变量本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得分别取1，2，3三个值的概率，即

P (1)

16

,P (2)

2613

,P (3)

3612.

说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．