马柯维茨投资决策模型
【论文摘要】证券投资者从事证券投资的目的，主要在于获取适当的预期收益。他们可以把资金全部投资一种或少数几种收益较高的证券上，以争取获得最大限度的收益。但是，投资的收益和风险是相辅相成的，高收益必然包含着高风险。所以，精明的投资者选择若干种证券加以组合，以分散其投资风险，避免过高风险和过低收益这两种极端情况的出现。这种投资方法是根据多样化的原则，建立一个投资组合（Portfolio ），即包括多种证券在内的资产组合，目的是在一定的风险水平下获得最大的预期收益，或者获得一定的预期收益而使风险最小。
在寻求最佳的资产组合时，投资者要考虑三个变量：风险、利润和相关性。投资者最终的目标决定了他必须承受的风险，也就是说他要在效率界限中找到最佳的投资组合。
本文主要介绍马柯维茨理论，建立马柯维茨模型进行投资组合决策分析，并利用拉格朗日（Lagrange ）乘数法对模型进行求解，且对实例进行分析求解。
本文显得过于简单，忽略了很多实际问题，所以对于精确度要求较高的投资者并不适用。本文立足知识要求低，相比于其他复杂的模型而言，本文不需要太多的专业知识，在实际应用中有一定的价值。
美国经济学家马柯维茨（Harry M.Markowitz）是现代投资组合理论的创始人。他于1952年3月在《金融杂志》上发表了一篇题为《证券组合选择》的论文，并于1959年出版了同名专著，详细论述了证券收益和风险的主要原理和分析方法，建立了均值－方差证券组合模型的基本框架。马柯维茨的投资组合理论认为，投资者是风险回避的，他们的投资愿望是追求高的预期收益，他们不愿承担没有相应的预期收益加以补偿的额外风险。马柯维茨根据风险分散原理，应用二维规划的数学方法，揭示了如何建立投资组合的有效边界，使边界上的每一个组合在给定的风险水平下获得最大的收益，或者在收益一定的情况下风险最小。同时马柯维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响。
一、马柯维茨投资组合理论基础
（一）马柯维茨理论是建立在下面五个前提假设上的：
1、呈现在投资者面前的每一项投资是在一段时期上的预期收益的概率分布，即投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资；
2、投资者为理性的个体，服从不满足和风险厌恶假设，投资者的目标是单期效用最大化，而且他们的效用函数呈现边际效用递减的特点；
3、投资者以投资的预期收益的波动性来估计投资的风险；
4、投资者仅依靠预期的投资风险和收益来做出投资决定，所以他们的效用函数只是预期风险和收益的函数；
5、在给定预期风险后，投资者偏好更高的预期收益，另一方面，在给定预期收益后，投资者偏好更低的风险。
6、市场是完全的，即市场不存在交易费用和税收，不存在进入或者退出市场
的限制，所有的市场参与者都是价格的接受者，市场信息是有效的，资产是完全可以分割的。
（二）投资组合的预期收益和预期风险 根据马柯维茨理论的前提假设：投资者仅依靠投资的预期收益和预期风险来做出决定。下面介绍预期收益和风险的计算方法。
1、预期收益
预期收益率是指未来可能收益率的期望值，也称期望收益率。 （1）单一证券的预期收益 单一证券i 的预期收益，这种证券在未来有s 种状态，那么证券i 的预期收益为：
E (r i ) =∑r is p s
s =1N
式中，E (r i ) 为期望收益率；
p s 为状态s 出现的概率；
r is 为针对状况s 出现时证券i 的收益率；
N 为各种可能状况的总数。
E (r i ) =∑r is p s
s =1N
= (-2.5%)*0.10+2.0%*0.15+3.2%*0.05+4.5%*0.60+6.7%*0.10 =3.58%
（2）证券组合的预期收益
在了解了单一证券的预期收益率后，就可以计算证券组合的预期收益率了。r p
表示包含在组合中各种资产的预期收益的加权平均数，其表达式为：
E (r p ) =∑x i E (r i )
i =1N
式中，E (r p ) 为证券组合的期望收益率；
E (r i ) 为组合中证券i 的预期收益； x i 为组合中证券i 所占的比例，即权数；
N 为组合中证券的种类。
[例2]某投资者投资于三种股票A 、B 和C ，它们的期望收益率分别为10%、15%和12%，投资比例分别为20%、50%和30%。
于是，证券组合的期望收益率为：
E (r p ) =∑x i E (r i )
i =1N
=20%*10%+50%*15%+30%*12% =13.1%
由于每种证券在一定时期后的实际收益率与期望收益率可能不一致，因此证券组合的实际收益率与期望收益率也会不同，从而要对证券组合的风险加以考虑。
2、预期风险
风险本身有多种含义，并随着时间的推移，风险的含义也在不断地发展变化。在马柯维茨理论中，把风险定义为投资收益率的波动性。收益率的波动性越大，投资的风险就越高。收益率的波动性，通常用标准差或方差表示。
标准差是各种可能的收益率偏离期望收益率的综合差异，是用来衡量证券收益的风险程度的重要指标，标准差越大，证券的风险也就越大。
（1）单一证券i 的预期风险，即方差和标准差的计算公式如下：
方差：σ=∑[r is -E (r i )]2p s
2i
s =1N
标准差：σi =
式中，σi 2、σi 分别表示证券i 的方差和标准差；其余符号的含义同前述预期收益的计算公式。
用[例1]的数据，可以计算出该股票的标准差为：
σi =2.36%
一般来讲，在相同的期望收益率下，证券i 的标准差越大，说明其风险也就越大。
（2）证券组合的预期风险 1）协方差
证券组合的风险不仅于每种证券的风险有关，而且证券之间的相互关系也会对组合的风险产生影响。证券之间相互影响产生的收益的不确定性可以用协方差来
表示。协方差是衡量两个随机变量例如证券i 的收益率和证券j 的收益率之间的互动性的统计量。如果用σij 表示证券i 和j 之间的协方差，那么：
σij =σji =E [(r is -E (r i ))(r js -E (r j ))]
如果两种证券之间的协方差为正值，表明两种证券的收益率倾向于同一方向变动，即一种证券的实际收益率高于期望收益率的情形可能伴随着另一种证券相同的情形发生。如果两种证券之间的协方差为负值，则表明两种证券之间存在着一种反向的变动关系，一种证券的收益率上升可能伴随着另一种证券收益率的下降。一个相对较小或者为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关系或者没有人和互动关系即相互独立。证券之间的协方差越大，那么由它们构成的证券组合的风险也就越大。
2）相关系数
两种证券之间的收益互动性还可以用另外一个统计量来表示，即两者之间的相关系数。假设σi 和σj 分别为证券i 和j 的收益标准差，σij 是两种证券之间的协方差，则其相关系数ρij 的计算公式为：
ρij =
σij
σi σj
相关系数ρij 的范围是-1≤ρij ≤1，ρij =-1表示两种证券收益结果的变化方向完全不相同，称为完全负相关；ρij =1表示两种证券收益结果的变化方向完全相同，称为完全正相关；ρij =0表示两种证券收益结果的变动之间不存在任何关系；相关系数ρij 在(-1,0) 区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相反，但不是百分之百地完全相反，只存在一般性的负相关关系；相关系数ρij 在(0,1)区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相同，但不是百分之百地完全相同，只存在一般性的正相关关系。必须注意，相关系数ρij ＝0时，即证券i 和证券j 不相关只表明证券i 和证券j 不存在线性相关关系，但并不排除证券i 和证券j 有其它形式（非线性的）相依关系。
一般来讲，如果两种证券之间的相关系数ρij 0，则可能会加大组合后的投资风险。
3）证券组合的方差和标准差
2
投资组合的预期风险σp 为：
σ=∑∑x i x j σij
2
p
i =1j =1
N N
标准差σp 就为：
σp =
其中，当i ≠j 时，σij 表示证券i 和证券j 收益的协方差，反映了两种证券的收益在一个共同周期中变动的相关程度，x i 、x j 表示组合中证券i ，j 所占的比例。
[例3]某投资者投资于A 、B 和C 三种股票，投资比例分别为20%、50%和30%，收益标准差分别为0.2、0.10和0.15，A 、B 、C 之间的协方差分别为σAB =0.016，
σAC =0.018，σBC =0.015。
该证券组合的方差计算如下：
N
N
σ=∑∑x i x j σij
2p
i =1j =1
=20%*20%*0.2*0.2+20%*50%*0.016+20%*30%*0.018+50%*20%*0.016+50%*50%*0.1*0.1+50%*30%*0.015+30%*20%*0.018+30%*50%*0.015+30%*30%*
0.15*0.15=0.015985
因此，证券组合的标准差为σp =
==0.1264。
二、证券投资的有效组合
从上面可知，有了证券组合的收益和风险以及它们的衡量方法，那么什么样的证券组合才是最有效的组合呢？换句话说，投资者面临众多可以选择的证券时，如何进行组合，改变不同证券的投资比例，才能实现既定期望收益率下风险最小或者既定风险下期望收益最大的目标？马柯维茨采用“期望收益率－方差投资组合模型”来解决证券的确定和选择问题。
（一）无差异曲线
投资者在进行投资决策之前都会衡量自己对
E (r )
风险收益的偏好程度，这就需要利用无差异曲线U 1
U 2
了。一条无差异曲线代表能提供给投资者相同效U 3用量的一系列风险和预期收益的组合。在同一条无差异曲线上的组合对于投资者来说是无差异的。无差异曲线可以在预期收益率－标准差平面上表示出来，其中横轴表示用标准差所测度的风险，纵轴表示用预期收益率测度的收益（见图1）。
无差异曲线表现出以下几个特点：
（1）每一个投资者都有无数条无差异曲线，位于上方的无差异曲线所代表的效用水平比下方的无差异曲线所代表的效用水平高，这是因为在同一风险水平下，上方的无差异曲线提供更高的预期收益，从另一个角度来看，在同一预期收益率水平下，上方的无差异曲线能提供更小的风险；
（2）每一条无差异曲线都是上升的，因为投资者是风险厌恶的，所以如果要让他承担更大的风险就必须支付更高的收益；
（3）无差异曲线上升的速度是递增的，也就是说无差异曲线是下凸的，这说明随着风险的增加投资者对它的厌恶程度是上升的，为弥补增加的一单位风险必须支付更多的收益；
（4）无差异曲线是不相交的，因为如果两条无差异曲线相交，而又由于不同的两条无差异曲线代表不同效用水平，显然，这就会出现矛盾；
每一投资者都拥有一组无差异曲线图形来表示他对预期收益率和标准差的偏好。这意味着投资者将对每一可能的组合确定预期收益率和标准差。从无差异曲线我们还可以看出一个投资者的风险厌恶程度，高度风险厌恶者的无差异曲线更陡峭一些，轻微风险厌恶者的无差异曲线就比较平缓一些（见图2）。这是因为要让高度风险厌恶者再多承担一单位的风险时，他要求收益的增加要大于轻微风险厌恶者的要求。
高度风险厌恶 E (r )
中等风险厌恶
E (r )
轻微风险厌恶 E (r )
σ σ σ
图2 风险规避程度不同的投资者的无差异曲线
（二）有效市场边界
无差异曲线可以算是投资者对自己风险收益的主观偏好，用来评价各种资产组合的收益和风险，而有效市场边界就是投资者评价的客体。
图3中的阴影部分就是所有可能的证券组合，就是可行集。这无穷多的组合我
们是不是都要考虑呢？答案是否定的，投资者仅仅只需要考虑可行集中的一个子集即可。一E (r 个投资者选择他的最优组合时将从下列组合中
进行： （1）对每一水平的风险，该组合提供最大的预期收益；
（2）对每一水平的预期收益，该组合能提
供最小的风险。
满足这两个条件的组合被称为有效集，也叫
有效市场边界。从图中可以看出A 点具有最小的标准差，也就是在可行集中A 点的风险最小，B 点的预期收益最高，夹在A 、B 两点中间的边界部分就是有效市场边界，也就是说投资者仅仅考虑这个子集就可以了，而不必考虑其它组合，因为只有在有效市场边界上才满足以上两个条件。
（三）最优投资组合的选择
我们已经知道，投资者将在有效市场
E (r p 边界中选择他的最优投资组合，至于选择哪一个点进行投资，则是由他对预期收益和风险的偏好决定的。投资者可以借助有效市场边界和无差异曲线来进行最优投资组合的选择。如图4，在同一坐标系上画
出投资者的无差异曲线和有效市场边界，最优投资组合就是无差异曲线与有效市场边界的切点。 根据无差异曲线与有效市场边界的切
点P ，我们找到了最佳组合点。虽然投资p
者更希望能达到U 3的水平，但是这条无差
图4 最优投资组合的确定
异曲线上的组合已经落在可行集外，是不可能实现的。无差异曲线U 1虽然也与有效市场边界有交点P 1、P 2，但是，因为U 1
们知道无差异曲线是下凸的，而有效市场边界是下凹的，所以这也保证了切点的唯一性。
三、马柯维茨问题的提出及其求解
（一）马柯维茨模型的数学表述 按照马柯维茨的想法，投资者需要找到一个最佳的证券组合。这个最佳组合最能满足投资者在收益和风险之间的平衡。
在一系列严格的假设条件下，马柯维茨提出了均值－方差模型。
设某个投资组合具有N 种不同的风险证券，其中，第i 种证券的收益序列为r it ，其预期收益率为E i ，方差为σi 2，i =1,2, ⋅⋅⋅, N ，它在投资组合中的权重为x i 。则该投资组合中的所有权重必须满足约束条件：
∑x
i =1
N
i
=1 （1）
2投资组合的期望收益E p 和方差σp 分别为：
E p =x 1E 1+x 2E 2+⋅⋅⋅+x N E N =∑x i E i （2）
i =1
N
σ=∑∑x i x j σij （3）
2p
i =1j =1
N N
在（3）式中，当i ≠j 时，σij 表示证券i 和j 的协方差，当i =j 时，σij =σi 2为证券i 的方差。故可把（3）式改为：
N
N
N
σ=∑x σ+∑∑x i x j σij （3′）
2p
2i
2i
i =1
i =1j =1
j ≠i
根据投资者均为理性经济人的假设，马柯维茨理论认为投资者在证券投资过程中总是力求在收益一定的条件下，将风险降到最小；或者在风险一定的条件下，获得最大的收益。为此，他提出了以下两种单目标的投资组合模型：
（Ⅰ）给定组合收益E p =E 0：
min σ=∑x σ+∑∑x i x j σij
2p
2i
2i
i =1
i =1j =1
j ≠i
N N N
∑x E
i i =1N
N
i
=E p =E 0
s .. t
∑x
i =1
i
=1
x i ≥0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
22
=σ0（Ⅱ）给定组合风险σp ：
max E p =∑x i E i
i =1
N
σ=∑x σ+∑∑x i x j σij =σ02
2
p
2i
2i
i =1
i =1j =1
j ≠i
N N N
s .. t
∑x
i =1
N
i
=1
x i ≥0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
模型（Ⅰ）的意义是：在既定期望收益E 0的情况下，使投资风险最小。模型（Ⅱ）的意义是：在愿意承担风险σ02的条件下，使期望收益最大。事实上，模型（Ⅰ）与模型（Ⅱ）是等价的，即无论是使用模型（Ⅰ）还是使用模型（Ⅱ）确
定的最优证券组合投资策略的期望收益和风险一定满足期望收益率（E (r p ) ）－风
2
险（σp ）平面上的同一条曲线方程。获得了足够的数据，投资者就可以根据自己
的投资风格和对风险的偏好程度，来选择模型（Ⅰ）或（Ⅱ）建立自己的投资组合，以达到满意的投资效果。
（二）用Lagrange 方法解马柯维茨模型
模型（Ⅰ）和（Ⅱ）求解时，可以采用Lagrange 乘数法，通过构造Lagrange 函数求解。现以模型（Ⅰ）为例：
利用Lagrange 乘数法，作Lagrange 函数： L (x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x N , λ1, λ2)
=∑x σ+∑∑x i x j σij +λ1[∑x i E i -E 0]+λ2(∑x i -1)
2i
2i
i =1
i =1j =1
j ≠i
i =1
i =1
N N N N N
式中，λ1，λ2为Lagrange 乘数。函数L 对x 1，x 2，⋅⋅⋅，x N ，λ1，λ2的偏导数，并令其为零，可得：
L x 1=2x 1σ12+2x 2σ12+⋅⋅⋅+2x N σ1N +λ1E 1+λ2=0
2
L x 2=2x 1σ21+2x 2σ2+⋅⋅⋅+2x N σ2N +λ1E 2+λ2=0
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2L x N =2x 1σN 1+2x 2σN 2+⋅⋅⋅+2x N σN +λ1E N +λ2=0
L λ1=x 1E 1+x 2E 2+⋅⋅⋅+x N E N -E 0=0L λ2=x 1+x 2+⋅⋅⋅+x N -1=0
上述方程组共有(N +2) 个未知数(x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x N , λ1, λ2) 和(N +2) 个方程，因此可以求出x 1，x 2，⋅⋅⋅，x N 的解，用通式表示如下：
x i =a i +b i E 0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
其中，a i 和b i 为解方程组所求得的常数。
利用Lagrange 乘数法，可以求出函数L 的稳定点。在许多情况下，由问题的
实际意义，而稳定点又唯一，因此，唯一的稳定点就是极值点。
对于给定的期望收益率E 0，可以计算出x i 的值，从而得到该期望收益率水平
2
下方差σp 最小的证券组合。改变E 0的值，能够得到相应的期望收益率水平下方差
最小的证券组合。这样，由根据不同的E 0确定的证券组合形成的集合即为有效市场边界。
五、马柯维茨投资组合模型应用中的局限性
尽管马柯维茨的均值－方差模型简单易懂，理论成熟，可是由于在建立该模型时所依赖的一些假设条件以及模型本身的特点使得该模型在应用过程中存在一些问题。
首先，该模型认为预期收益和风险的估计是对一组证券实际收益和风险的正确度量。相关系数也是对未来关系的正确反映，这是有悖于实际情况的。因为历史的数字资料并不能准确反映未来的收益和风险的状况，一种证券的各种变量也会随时间的推移不停地变化，这些因素都可能从不同的方面造成理论假定与现实的脱节。
其次，该模型用证券未来预期收益率变动的方差或标准差来度量风险的大小。这样尽管风险的大小明确且易于度量，但是由于方差和标准差在计算中的双向性，就会将预期收益率有益于投资者的变动划入风险的范畴。这并不能真正反映投资者对其真正面临风险进行回避的需要。
再次，马柯维茨的投资组合模型还假设所有投资者有一个共同的单一投资期，所有的证券组合有一个特有的持有期，而这在现实条件下是不易达到的，这就使得不同期间的资产的收益和风险的比较缺乏一个共同的衡量尺度。造成投资组合求解有效边界的困难。
最后，该模型运用的条件要求非常高，为了在投资组合构建中利用马柯维茨的均值－方差模型，投资者必须得到关于感兴趣的证券的收益率、方差及两两间协方差的估计。这样，对于有N 只股票组成的投资组合，则不仅要有N 个收益率估计和N 个方差估计，还要有N (N -1) /2个协方差估计，总共2N +N (N -1) /2个估计。这样，对于包含证券总数较大的投资组合的最优化分析，如果运用马柯维茨的均值－方差模型，估计的任务是相当大的。这样，不仅需要精通理论的专业人员和现代化的计算设备，还要对瞬息万变的证券市场的各种变化做出及时而准确的反映，这在现有条件下几乎是无法办到的，即使能够勉强做到，其效果也会大打折扣。因此，对于包含证券数目很多的投资组合，该模型是不可行的。
马柯维茨投资决策模型
【论文摘要】证券投资者从事证券投资的目的，主要在于获取适当的预期收益。他们可以把资金全部投资一种或少数几种收益较高的证券上，以争取获得最大限度的收益。但是，投资的收益和风险是相辅相成的，高收益必然包含着高风险。所以，精明的投资者选择若干种证券加以组合，以分散其投资风险，避免过高风险和过低收益这两种极端情况的出现。这种投资方法是根据多样化的原则，建立一个投资组合（Portfolio ），即包括多种证券在内的资产组合，目的是在一定的风险水平下获得最大的预期收益，或者获得一定的预期收益而使风险最小。
在寻求最佳的资产组合时，投资者要考虑三个变量：风险、利润和相关性。投资者最终的目标决定了他必须承受的风险，也就是说他要在效率界限中找到最佳的投资组合。
本文主要介绍马柯维茨理论，建立马柯维茨模型进行投资组合决策分析，并利用拉格朗日（Lagrange ）乘数法对模型进行求解，且对实例进行分析求解。
本文显得过于简单，忽略了很多实际问题，所以对于精确度要求较高的投资者并不适用。本文立足知识要求低，相比于其他复杂的模型而言，本文不需要太多的专业知识，在实际应用中有一定的价值。
美国经济学家马柯维茨（Harry M.Markowitz）是现代投资组合理论的创始人。他于1952年3月在《金融杂志》上发表了一篇题为《证券组合选择》的论文，并于1959年出版了同名专著，详细论述了证券收益和风险的主要原理和分析方法，建立了均值－方差证券组合模型的基本框架。马柯维茨的投资组合理论认为，投资者是风险回避的，他们的投资愿望是追求高的预期收益，他们不愿承担没有相应的预期收益加以补偿的额外风险。马柯维茨根据风险分散原理，应用二维规划的数学方法，揭示了如何建立投资组合的有效边界，使边界上的每一个组合在给定的风险水平下获得最大的收益，或者在收益一定的情况下风险最小。同时马柯维茨认为，投资组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响。
一、马柯维茨投资组合理论基础
（一）马柯维茨理论是建立在下面五个前提假设上的：
1、呈现在投资者面前的每一项投资是在一段时期上的预期收益的概率分布，即投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资；
2、投资者为理性的个体，服从不满足和风险厌恶假设，投资者的目标是单期效用最大化，而且他们的效用函数呈现边际效用递减的特点；
3、投资者以投资的预期收益的波动性来估计投资的风险；
4、投资者仅依靠预期的投资风险和收益来做出投资决定，所以他们的效用函数只是预期风险和收益的函数；
5、在给定预期风险后，投资者偏好更高的预期收益，另一方面，在给定预期收益后，投资者偏好更低的风险。
6、市场是完全的，即市场不存在交易费用和税收，不存在进入或者退出市场
的限制，所有的市场参与者都是价格的接受者，市场信息是有效的，资产是完全可以分割的。
（二）投资组合的预期收益和预期风险 根据马柯维茨理论的前提假设：投资者仅依靠投资的预期收益和预期风险来做出决定。下面介绍预期收益和风险的计算方法。
1、预期收益
预期收益率是指未来可能收益率的期望值，也称期望收益率。 （1）单一证券的预期收益 单一证券i 的预期收益，这种证券在未来有s 种状态，那么证券i 的预期收益为：
E (r i ) =∑r is p s
s =1N
式中，E (r i ) 为期望收益率；
p s 为状态s 出现的概率；
r is 为针对状况s 出现时证券i 的收益率；
N 为各种可能状况的总数。
E (r i ) =∑r is p s
s =1N
= (-2.5%)*0.10+2.0%*0.15+3.2%*0.05+4.5%*0.60+6.7%*0.10 =3.58%
（2）证券组合的预期收益
在了解了单一证券的预期收益率后，就可以计算证券组合的预期收益率了。r p
表示包含在组合中各种资产的预期收益的加权平均数，其表达式为：
E (r p ) =∑x i E (r i )
i =1N
式中，E (r p ) 为证券组合的期望收益率；
E (r i ) 为组合中证券i 的预期收益； x i 为组合中证券i 所占的比例，即权数；
N 为组合中证券的种类。
[例2]某投资者投资于三种股票A 、B 和C ，它们的期望收益率分别为10%、15%和12%，投资比例分别为20%、50%和30%。
于是，证券组合的期望收益率为：
E (r p ) =∑x i E (r i )
i =1N
=20%*10%+50%*15%+30%*12% =13.1%
由于每种证券在一定时期后的实际收益率与期望收益率可能不一致，因此证券组合的实际收益率与期望收益率也会不同，从而要对证券组合的风险加以考虑。
2、预期风险
风险本身有多种含义，并随着时间的推移，风险的含义也在不断地发展变化。在马柯维茨理论中，把风险定义为投资收益率的波动性。收益率的波动性越大，投资的风险就越高。收益率的波动性，通常用标准差或方差表示。
标准差是各种可能的收益率偏离期望收益率的综合差异，是用来衡量证券收益的风险程度的重要指标，标准差越大，证券的风险也就越大。
（1）单一证券i 的预期风险，即方差和标准差的计算公式如下：
方差：σ=∑[r is -E (r i )]2p s
2i
s =1N
标准差：σi =
式中，σi 2、σi 分别表示证券i 的方差和标准差；其余符号的含义同前述预期收益的计算公式。
用[例1]的数据，可以计算出该股票的标准差为：
σi =2.36%
一般来讲，在相同的期望收益率下，证券i 的标准差越大，说明其风险也就越大。
（2）证券组合的预期风险 1）协方差
证券组合的风险不仅于每种证券的风险有关，而且证券之间的相互关系也会对组合的风险产生影响。证券之间相互影响产生的收益的不确定性可以用协方差来
表示。协方差是衡量两个随机变量例如证券i 的收益率和证券j 的收益率之间的互动性的统计量。如果用σij 表示证券i 和j 之间的协方差，那么：
σij =σji =E [(r is -E (r i ))(r js -E (r j ))]
如果两种证券之间的协方差为正值，表明两种证券的收益率倾向于同一方向变动，即一种证券的实际收益率高于期望收益率的情形可能伴随着另一种证券相同的情形发生。如果两种证券之间的协方差为负值，则表明两种证券之间存在着一种反向的变动关系，一种证券的收益率上升可能伴随着另一种证券收益率的下降。一个相对较小或者为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关系或者没有人和互动关系即相互独立。证券之间的协方差越大，那么由它们构成的证券组合的风险也就越大。
2）相关系数
两种证券之间的收益互动性还可以用另外一个统计量来表示，即两者之间的相关系数。假设σi 和σj 分别为证券i 和j 的收益标准差，σij 是两种证券之间的协方差，则其相关系数ρij 的计算公式为：
ρij =
σij
σi σj
相关系数ρij 的范围是-1≤ρij ≤1，ρij =-1表示两种证券收益结果的变化方向完全不相同，称为完全负相关；ρij =1表示两种证券收益结果的变化方向完全相同，称为完全正相关；ρij =0表示两种证券收益结果的变动之间不存在任何关系；相关系数ρij 在(-1,0) 区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相反，但不是百分之百地完全相反，只存在一般性的负相关关系；相关系数ρij 在(0,1)区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相同，但不是百分之百地完全相同，只存在一般性的正相关关系。必须注意，相关系数ρij ＝0时，即证券i 和证券j 不相关只表明证券i 和证券j 不存在线性相关关系，但并不排除证券i 和证券j 有其它形式（非线性的）相依关系。
一般来讲，如果两种证券之间的相关系数ρij 0，则可能会加大组合后的投资风险。
3）证券组合的方差和标准差
2
投资组合的预期风险σp 为：
σ=∑∑x i x j σij
2
p
i =1j =1
N N
标准差σp 就为：
σp =
其中，当i ≠j 时，σij 表示证券i 和证券j 收益的协方差，反映了两种证券的收益在一个共同周期中变动的相关程度，x i 、x j 表示组合中证券i ，j 所占的比例。
[例3]某投资者投资于A 、B 和C 三种股票，投资比例分别为20%、50%和30%，收益标准差分别为0.2、0.10和0.15，A 、B 、C 之间的协方差分别为σAB =0.016，
σAC =0.018，σBC =0.015。
该证券组合的方差计算如下：
N
N
σ=∑∑x i x j σij
2p
i =1j =1
=20%*20%*0.2*0.2+20%*50%*0.016+20%*30%*0.018+50%*20%*0.016+50%*50%*0.1*0.1+50%*30%*0.015+30%*20%*0.018+30%*50%*0.015+30%*30%*
0.15*0.15=0.015985
因此，证券组合的标准差为σp =
==0.1264。
二、证券投资的有效组合
从上面可知，有了证券组合的收益和风险以及它们的衡量方法，那么什么样的证券组合才是最有效的组合呢？换句话说，投资者面临众多可以选择的证券时，如何进行组合，改变不同证券的投资比例，才能实现既定期望收益率下风险最小或者既定风险下期望收益最大的目标？马柯维茨采用“期望收益率－方差投资组合模型”来解决证券的确定和选择问题。
（一）无差异曲线
投资者在进行投资决策之前都会衡量自己对
E (r )
风险收益的偏好程度，这就需要利用无差异曲线U 1
U 2
了。一条无差异曲线代表能提供给投资者相同效U 3用量的一系列风险和预期收益的组合。在同一条无差异曲线上的组合对于投资者来说是无差异的。无差异曲线可以在预期收益率－标准差平面上表示出来，其中横轴表示用标准差所测度的风险，纵轴表示用预期收益率测度的收益（见图1）。
无差异曲线表现出以下几个特点：
（1）每一个投资者都有无数条无差异曲线，位于上方的无差异曲线所代表的效用水平比下方的无差异曲线所代表的效用水平高，这是因为在同一风险水平下，上方的无差异曲线提供更高的预期收益，从另一个角度来看，在同一预期收益率水平下，上方的无差异曲线能提供更小的风险；
（2）每一条无差异曲线都是上升的，因为投资者是风险厌恶的，所以如果要让他承担更大的风险就必须支付更高的收益；
（3）无差异曲线上升的速度是递增的，也就是说无差异曲线是下凸的，这说明随着风险的增加投资者对它的厌恶程度是上升的，为弥补增加的一单位风险必须支付更多的收益；
（4）无差异曲线是不相交的，因为如果两条无差异曲线相交，而又由于不同的两条无差异曲线代表不同效用水平，显然，这就会出现矛盾；
每一投资者都拥有一组无差异曲线图形来表示他对预期收益率和标准差的偏好。这意味着投资者将对每一可能的组合确定预期收益率和标准差。从无差异曲线我们还可以看出一个投资者的风险厌恶程度，高度风险厌恶者的无差异曲线更陡峭一些，轻微风险厌恶者的无差异曲线就比较平缓一些（见图2）。这是因为要让高度风险厌恶者再多承担一单位的风险时，他要求收益的增加要大于轻微风险厌恶者的要求。
高度风险厌恶 E (r )
中等风险厌恶
E (r )
轻微风险厌恶 E (r )
σ σ σ
图2 风险规避程度不同的投资者的无差异曲线
（二）有效市场边界
无差异曲线可以算是投资者对自己风险收益的主观偏好，用来评价各种资产组合的收益和风险，而有效市场边界就是投资者评价的客体。
图3中的阴影部分就是所有可能的证券组合，就是可行集。这无穷多的组合我
们是不是都要考虑呢？答案是否定的，投资者仅仅只需要考虑可行集中的一个子集即可。一E (r 个投资者选择他的最优组合时将从下列组合中
进行： （1）对每一水平的风险，该组合提供最大的预期收益；
（2）对每一水平的预期收益，该组合能提
供最小的风险。
满足这两个条件的组合被称为有效集，也叫
有效市场边界。从图中可以看出A 点具有最小的标准差，也就是在可行集中A 点的风险最小，B 点的预期收益最高，夹在A 、B 两点中间的边界部分就是有效市场边界，也就是说投资者仅仅考虑这个子集就可以了，而不必考虑其它组合，因为只有在有效市场边界上才满足以上两个条件。
（三）最优投资组合的选择
我们已经知道，投资者将在有效市场
E (r p 边界中选择他的最优投资组合，至于选择哪一个点进行投资，则是由他对预期收益和风险的偏好决定的。投资者可以借助有效市场边界和无差异曲线来进行最优投资组合的选择。如图4，在同一坐标系上画
出投资者的无差异曲线和有效市场边界，最优投资组合就是无差异曲线与有效市场边界的切点。 根据无差异曲线与有效市场边界的切
点P ，我们找到了最佳组合点。虽然投资p
者更希望能达到U 3的水平，但是这条无差
图4 最优投资组合的确定
异曲线上的组合已经落在可行集外，是不可能实现的。无差异曲线U 1虽然也与有效市场边界有交点P 1、P 2，但是，因为U 1
们知道无差异曲线是下凸的，而有效市场边界是下凹的，所以这也保证了切点的唯一性。
三、马柯维茨问题的提出及其求解
（一）马柯维茨模型的数学表述 按照马柯维茨的想法，投资者需要找到一个最佳的证券组合。这个最佳组合最能满足投资者在收益和风险之间的平衡。
在一系列严格的假设条件下，马柯维茨提出了均值－方差模型。
设某个投资组合具有N 种不同的风险证券，其中，第i 种证券的收益序列为r it ，其预期收益率为E i ，方差为σi 2，i =1,2, ⋅⋅⋅, N ，它在投资组合中的权重为x i 。则该投资组合中的所有权重必须满足约束条件：
∑x
i =1
N
i
=1 （1）
2投资组合的期望收益E p 和方差σp 分别为：
E p =x 1E 1+x 2E 2+⋅⋅⋅+x N E N =∑x i E i （2）
i =1
N
σ=∑∑x i x j σij （3）
2p
i =1j =1
N N
在（3）式中，当i ≠j 时，σij 表示证券i 和j 的协方差，当i =j 时，σij =σi 2为证券i 的方差。故可把（3）式改为：
N
N
N
σ=∑x σ+∑∑x i x j σij （3′）
2p
2i
2i
i =1
i =1j =1
j ≠i
根据投资者均为理性经济人的假设，马柯维茨理论认为投资者在证券投资过程中总是力求在收益一定的条件下，将风险降到最小；或者在风险一定的条件下，获得最大的收益。为此，他提出了以下两种单目标的投资组合模型：
（Ⅰ）给定组合收益E p =E 0：
min σ=∑x σ+∑∑x i x j σij
2p
2i
2i
i =1
i =1j =1
j ≠i
N N N
∑x E
i i =1N
N
i
=E p =E 0
s .. t
∑x
i =1
i
=1
x i ≥0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
22
=σ0（Ⅱ）给定组合风险σp ：
max E p =∑x i E i
i =1
N
σ=∑x σ+∑∑x i x j σij =σ02
2
p
2i
2i
i =1
i =1j =1
j ≠i
N N N
s .. t
∑x
i =1
N
i
=1
x i ≥0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
模型（Ⅰ）的意义是：在既定期望收益E 0的情况下，使投资风险最小。模型（Ⅱ）的意义是：在愿意承担风险σ02的条件下，使期望收益最大。事实上，模型（Ⅰ）与模型（Ⅱ）是等价的，即无论是使用模型（Ⅰ）还是使用模型（Ⅱ）确
定的最优证券组合投资策略的期望收益和风险一定满足期望收益率（E (r p ) ）－风
2
险（σp ）平面上的同一条曲线方程。获得了足够的数据，投资者就可以根据自己
的投资风格和对风险的偏好程度，来选择模型（Ⅰ）或（Ⅱ）建立自己的投资组合，以达到满意的投资效果。
（二）用Lagrange 方法解马柯维茨模型
模型（Ⅰ）和（Ⅱ）求解时，可以采用Lagrange 乘数法，通过构造Lagrange 函数求解。现以模型（Ⅰ）为例：
利用Lagrange 乘数法，作Lagrange 函数： L (x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x N , λ1, λ2)
=∑x σ+∑∑x i x j σij +λ1[∑x i E i -E 0]+λ2(∑x i -1)
2i
2i
i =1
i =1j =1
j ≠i
i =1
i =1
N N N N N
式中，λ1，λ2为Lagrange 乘数。函数L 对x 1，x 2，⋅⋅⋅，x N ，λ1，λ2的偏导数，并令其为零，可得：
L x 1=2x 1σ12+2x 2σ12+⋅⋅⋅+2x N σ1N +λ1E 1+λ2=0
2
L x 2=2x 1σ21+2x 2σ2+⋅⋅⋅+2x N σ2N +λ1E 2+λ2=0
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2L x N =2x 1σN 1+2x 2σN 2+⋅⋅⋅+2x N σN +λ1E N +λ2=0
L λ1=x 1E 1+x 2E 2+⋅⋅⋅+x N E N -E 0=0L λ2=x 1+x 2+⋅⋅⋅+x N -1=0
上述方程组共有(N +2) 个未知数(x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x N , λ1, λ2) 和(N +2) 个方程，因此可以求出x 1，x 2，⋅⋅⋅，x N 的解，用通式表示如下：
x i =a i +b i E 0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, N
其中，a i 和b i 为解方程组所求得的常数。
利用Lagrange 乘数法，可以求出函数L 的稳定点。在许多情况下，由问题的
实际意义，而稳定点又唯一，因此，唯一的稳定点就是极值点。
对于给定的期望收益率E 0，可以计算出x i 的值，从而得到该期望收益率水平
2
下方差σp 最小的证券组合。改变E 0的值，能够得到相应的期望收益率水平下方差
最小的证券组合。这样，由根据不同的E 0确定的证券组合形成的集合即为有效市场边界。
五、马柯维茨投资组合模型应用中的局限性
尽管马柯维茨的均值－方差模型简单易懂，理论成熟，可是由于在建立该模型时所依赖的一些假设条件以及模型本身的特点使得该模型在应用过程中存在一些问题。
首先，该模型认为预期收益和风险的估计是对一组证券实际收益和风险的正确度量。相关系数也是对未来关系的正确反映，这是有悖于实际情况的。因为历史的数字资料并不能准确反映未来的收益和风险的状况，一种证券的各种变量也会随时间的推移不停地变化，这些因素都可能从不同的方面造成理论假定与现实的脱节。
其次，该模型用证券未来预期收益率变动的方差或标准差来度量风险的大小。这样尽管风险的大小明确且易于度量，但是由于方差和标准差在计算中的双向性，就会将预期收益率有益于投资者的变动划入风险的范畴。这并不能真正反映投资者对其真正面临风险进行回避的需要。
再次，马柯维茨的投资组合模型还假设所有投资者有一个共同的单一投资期，所有的证券组合有一个特有的持有期，而这在现实条件下是不易达到的，这就使得不同期间的资产的收益和风险的比较缺乏一个共同的衡量尺度。造成投资组合求解有效边界的困难。
最后，该模型运用的条件要求非常高，为了在投资组合构建中利用马柯维茨的均值－方差模型，投资者必须得到关于感兴趣的证券的收益率、方差及两两间协方差的估计。这样，对于有N 只股票组成的投资组合，则不仅要有N 个收益率估计和N 个方差估计，还要有N (N -1) /2个协方差估计，总共2N +N (N -1) /2个估计。这样，对于包含证券总数较大的投资组合的最优化分析，如果运用马柯维茨的均值－方差模型，估计的任务是相当大的。这样，不仅需要精通理论的专业人员和现代化的计算设备，还要对瞬息万变的证券市场的各种变化做出及时而准确的反映，这在现有条件下几乎是无法办到的，即使能够勉强做到，其效果也会大打折扣。因此，对于包含证券数目很多的投资组合，该模型是不可行的。