自然数，
一般指非负整数 自然数，可以是指正整数（1, 2, 3, 4），亦可以是非负整数（0, 1, 2, 3, 4）。在数论通常用前者，而集合论和计算机科学则多数使用后者。认为自然数不包含零的其中一个理由是因为人们（尤其是小孩）在开始学习数字的时候是由“一、二、三... ”开始，而不是由“零、一、二、三... ”开始, 因为这样是非常不自然的。自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有七个苹果”），参阅基数；也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅序数。自然数组成的集合是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N 来表示它。自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。
有理数,
是一个整数a 和一个非零整数b 的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数亦可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数。有理数集可用大写黑正体符号Q 代表。但Q 并不表示有理数，Q 表示有理数集。有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、有限小数或无限循环小数，比如4=4.0， 4/5=0.8， 1/3=0.33333„„。而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562„„„„。另外，无理数不能写成两整数之比。
无理数
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e （其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。
实数，
是有理数和无理数的总称，数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴“填满”。但仅仅以枚举（列举）的方式不能描述实数的全体。实数和虚数共同构成复数。
复数
是指能写成如下形式的数a+bi,这里a 和b 是实数，i 是虚数单位。在复数a+bi中，a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部，i 称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，复数的实部如果等于零，则称为纯虚数。[1] 由上可知，复数集包含了实数集，并且是实数集的扩张。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
四元数是最简单的超复数。 复数是由实数加上元素 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i 、j 、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 , 每个四元数都是 1、i 、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk，其中a 、b 、c 、d 是实数。
四元数（Quaternions ）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。四元数的乘法不符合交换律（commutative law），故威廉·卢云·哈密顿它似乎破坏了科学知识中一个最基本的原则。明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。四元数是除环(
除法环）的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是
相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。
基本性质 四元数就是形如 ai+bj+ck+d 的数，a 、b 、c 、d 是实数。
i^2=j^2=k^2=-1
ij=k、ji=-k、jk=i、kj=-i、ki=j、ik=-j
（a^2+b^2+c^2+d^2）的平方根，称为四元数的模。
例子
假设：
x = 3 + i
y = 5i + j - 2k
那么：
x + y = 3 + 6i + j - 2k
xy =( {3 + i} )( {5i + j - 2k} ) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik
= 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k
群旋转
像在四元数和空间转动条目中详细解释的那样，非零四元数的乘法群在R3的取实部为零的拷贝上以共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）的共轭作用，若实部为cos(t），是一个角度为2t 的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：非奇异表达（和例如欧拉角之类的表示相比）比矩阵更紧凑（更快速）单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。所有单位四元数的集合组成一个三维球S3和在乘法下的一个群（一个李群）。S3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO （3,R ）的双面覆盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S3和SU （2）同构，SU （2）是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A 为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合，其中a,b,c 和d 或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A 是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。
矩阵表示
有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。 第一种是以二阶复数矩阵表示。若 h = a + bi + cj + dk 则它的复数形式为：
这种表示法有如下优点：
所有复数 (c = d = 0) 就相应于一个实矩阵。
四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。
四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。
对于单位四元数 (|h| = 1）而言，这种表示方式给了四维球体和SU （2）之间的一个同型，而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。（请另见泡利矩阵）
第二种则是以四阶实数矩阵表示：
其中四元数的共轭等于矩阵的转置。
即使到目前为止四元数的用途仍在争辩之中。一些哈密顿的支持者非常反对奥利弗·亥维赛
（Oliver Heaviside）的向量代数学和约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）的向量微积分的发展，以维持四元数的超然地位。对于三维空间这可以讨论，但对于更高维四元数就失效了（但可用延伸如八元数和柯利弗德代数学）。而事实上，在二十世纪中叶的科学和工程界中，向量几乎已完全取代四元数的位置。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell ）曾经在他的《电磁场动力理论》（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20条有20个变量的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述，但与后来亥维赛使用四条以向量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来。
超限数
是大于所有有限数、仍不必定绝对无限的基数或序数。简单来说就是代表实无穷的数。术语“超限”(transfinite)是康托尔提出的，他希望避免词语无限(infinite)和那些只不过不是有限(finite)的那些对象有关的某些暗含。对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不象有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。
最小超限序数是ω。 第一个超限基数，也是最小的超限数，我们称之为「אi0」（读Aleph-Null 即阿列夫零），其中「א是希伯莱文的第一个字母。整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是 aleph-1 。如果不成立，则有很多不可比较于 aleph-1 并大于 aleph-0 的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于 aleph-0 并小于 aleph-1。 自然数集的元素数目（可数无穷，Countable Infinity），从集合论中可知道，任何集合的幂集（Power Set ）的基数都必比原本的集合的基数大，所以自然数集的幂集的基数必定是一个超限数，而且比אi0更大。连续统假设声称在 aleph-0 和连续统(实数的集合) 的势之间没有中间基数: 就是说，aleph-1 是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于不完备性的影响。某些作者，比如 Suppes 、Rubin 使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势，在可以不等于无限基数的上下文中；就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义，下列是等价的:是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合 A 使得 A 的势是 。 。 。 有一个基数 使得 。
理想数
在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出环的理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。根据主理想化定理，一个代数数域中的整环中的所有非主理想的理想在数域扩张成为一个希尔伯特类域时都会成为一个主理想。这表示存在一个类域中的整环中的元素 a ，其为一个理想数，即使得 a 与类域中的整环中元素相乘得到的倍数与原来数域的交集就是原来的非主理想
自然数，
一般指非负整数 自然数，可以是指正整数（1, 2, 3, 4），亦可以是非负整数（0, 1, 2, 3, 4）。在数论通常用前者，而集合论和计算机科学则多数使用后者。认为自然数不包含零的其中一个理由是因为人们（尤其是小孩）在开始学习数字的时候是由“一、二、三... ”开始，而不是由“零、一、二、三... ”开始, 因为这样是非常不自然的。自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有七个苹果”），参阅基数；也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅序数。自然数组成的集合是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N 来表示它。自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。
有理数,
是一个整数a 和一个非零整数b 的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数亦可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数。有理数集可用大写黑正体符号Q 代表。但Q 并不表示有理数，Q 表示有理数集。有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、有限小数或无限循环小数，比如4=4.0， 4/5=0.8， 1/3=0.33333„„。而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562„„„„。另外，无理数不能写成两整数之比。
无理数
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e （其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。
实数，
是有理数和无理数的总称，数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴“填满”。但仅仅以枚举（列举）的方式不能描述实数的全体。实数和虚数共同构成复数。
复数
是指能写成如下形式的数a+bi,这里a 和b 是实数，i 是虚数单位。在复数a+bi中，a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部，i 称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，复数的实部如果等于零，则称为纯虚数。[1] 由上可知，复数集包含了实数集，并且是实数集的扩张。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
四元数是最简单的超复数。 复数是由实数加上元素 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i 、j 、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 , 每个四元数都是 1、i 、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk，其中a 、b 、c 、d 是实数。
四元数（Quaternions ）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。四元数的乘法不符合交换律（commutative law），故威廉·卢云·哈密顿它似乎破坏了科学知识中一个最基本的原则。明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。四元数是除环(
除法环）的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是
相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。
基本性质 四元数就是形如 ai+bj+ck+d 的数，a 、b 、c 、d 是实数。
i^2=j^2=k^2=-1
ij=k、ji=-k、jk=i、kj=-i、ki=j、ik=-j
（a^2+b^2+c^2+d^2）的平方根，称为四元数的模。
例子
假设：
x = 3 + i
y = 5i + j - 2k
那么：
x + y = 3 + 6i + j - 2k
xy =( {3 + i} )( {5i + j - 2k} ) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik
= 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k
群旋转
像在四元数和空间转动条目中详细解释的那样，非零四元数的乘法群在R3的取实部为零的拷贝上以共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）的共轭作用，若实部为cos(t），是一个角度为2t 的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：非奇异表达（和例如欧拉角之类的表示相比）比矩阵更紧凑（更快速）单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。所有单位四元数的集合组成一个三维球S3和在乘法下的一个群（一个李群）。S3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO （3,R ）的双面覆盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S3和SU （2）同构，SU （2）是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A 为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合，其中a,b,c 和d 或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A 是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。
矩阵表示
有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。 第一种是以二阶复数矩阵表示。若 h = a + bi + cj + dk 则它的复数形式为：
这种表示法有如下优点：
所有复数 (c = d = 0) 就相应于一个实矩阵。
四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。
四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。
对于单位四元数 (|h| = 1）而言，这种表示方式给了四维球体和SU （2）之间的一个同型，而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。（请另见泡利矩阵）
第二种则是以四阶实数矩阵表示：
其中四元数的共轭等于矩阵的转置。
即使到目前为止四元数的用途仍在争辩之中。一些哈密顿的支持者非常反对奥利弗·亥维赛
（Oliver Heaviside）的向量代数学和约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）的向量微积分的发展，以维持四元数的超然地位。对于三维空间这可以讨论，但对于更高维四元数就失效了（但可用延伸如八元数和柯利弗德代数学）。而事实上，在二十世纪中叶的科学和工程界中，向量几乎已完全取代四元数的位置。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell ）曾经在他的《电磁场动力理论》（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20条有20个变量的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述，但与后来亥维赛使用四条以向量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来。
超限数
是大于所有有限数、仍不必定绝对无限的基数或序数。简单来说就是代表实无穷的数。术语“超限”(transfinite)是康托尔提出的，他希望避免词语无限(infinite)和那些只不过不是有限(finite)的那些对象有关的某些暗含。对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不象有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。
最小超限序数是ω。 第一个超限基数，也是最小的超限数，我们称之为「אi0」（读Aleph-Null 即阿列夫零），其中「א是希伯莱文的第一个字母。整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是 aleph-1 。如果不成立，则有很多不可比较于 aleph-1 并大于 aleph-0 的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于 aleph-0 并小于 aleph-1。 自然数集的元素数目（可数无穷，Countable Infinity），从集合论中可知道，任何集合的幂集（Power Set ）的基数都必比原本的集合的基数大，所以自然数集的幂集的基数必定是一个超限数，而且比אi0更大。连续统假设声称在 aleph-0 和连续统(实数的集合) 的势之间没有中间基数: 就是说，aleph-1 是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于不完备性的影响。某些作者，比如 Suppes 、Rubin 使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势，在可以不等于无限基数的上下文中；就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义，下列是等价的:是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合 A 使得 A 的势是 。 。 。 有一个基数 使得 。
理想数
在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出环的理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。根据主理想化定理，一个代数数域中的整环中的所有非主理想的理想在数域扩张成为一个希尔伯特类域时都会成为一个主理想。这表示存在一个类域中的整环中的元素 a ，其为一个理想数，即使得 a 与类域中的整环中元素相乘得到的倍数与原来数域的交集就是原来的非主理想