1. 第二十一章 二次根式。
1. 二次根式。
1. 一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。
2. √a（a≥0）是一个非负数。
3. 一般地，根据算术平方根的意义，(√a)2=a（a≥0）。
4. 一般的，根据算术平方根的意义，√a2=a（a≥0）。
5. 如5，a ，a+b，ab ，s/t，x 3，√3，√a（a≥0），它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式（algebraic expression）。
2. 二次根式相除。
1. 一般地，对二次根式的乘法规定：√a²√b=√ab（a≥0，b≥0）。
2. 一般地，对二次根式的除法规定：√a/√b=√(a/b)（a≥0，b≥0）。
3. 最简二次根式满足以下两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
3. 二次根式的加减。
1. 二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2. 海伦——秦九昭公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，设p=(a+b+c)/2，则三角形的面积为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))。
2. 第二十二章 一元二次方程。
1. 一元二次方程。
1. 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程（quadratic equation in one unknown）。
2. 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax 2是二次项，a 是二次项的系数；bx 是一次项，b 是一次项的系数；c 是常数项。
3. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root ）。
4. 由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解。
2. 降次——解一元二次方程。
1. 配方法。
1. 由方程(2x-1)2=5得到2x-1=√5，2x-1=-√5，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一
元一次方程，这样问题就容易解决了。
2. 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2. 公式法。
1. 任何一元二次方程都可以写成一般形式ax 2+bx+c=0（a≠0），可以通过配方得到它的解，即当b 2-
4ac≥0时，x=(-b±√(b2-4ac))/2a。这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
2. （1）当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根。
（2）当b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0
（a≠0）有一个实数根。
（3）当b 2-4ac
（a≠0）没有实数根。
3. 因式分解法。
1. 因式分解使二元一次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。
2. 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以退出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程。总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。
3. 黄金分割数。在线段AB 上找一点C ，使
AC:CB=CB:AB，即CB 2=AC²AB。
3. 实际问题与一元一次方程。
1. 发现一元二次方程根与系数的关系。对任意一元二次方程x 2+mx+n=0（m ，n 是系数），方程的两个根x 1，x 2和系数
m ，n 有如下关系：x 1+x2=-m，x 1x 2=n。
3. 第二十三章 旋转。
1. 图形的旋转。
1. 在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点叫做旋转中心。旋转所形成的角叫做旋转角。
2. 旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
2. 中心对称。
1. 中心对称。
1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
3. 关于中心对称的两个图形是全等形。
2. 中心对称图形。
1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形（central symmetry figure），这个点就是它的对称中心。
3. 关于原点对称的点的坐标。
1. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y) 。
3. 课题学习 图案设计。
4. 第二十四章 圆。
1. 圆。
1. 圆。
1. 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆
（circle ）。固定的端点O 叫做圆心（center of a circle ），线段OA 叫做半径（radius ）。
2. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
3. 圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。因此，圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形。
4. 连接圆上任意两点的线段，叫做弦（chord ），简称弧（arc ）。以A 、B 为端点的弧记作“⌒AB”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
（semi-circle ）。
2. 垂直于弦的直径。
1. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
2. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 弧、弦、圆心角。
1. 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角（central angle ）。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3. 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
4. 圆周角。
1. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（angle in a circular segment）。
2. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（三种情况，可用等腰三角形分别证明）
3. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弧是直径。
2. 与圆有关的位置关系。
1. 点和圆的位置关系。
1. 设⊙O的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d，则有：点P 在圆外d>r；点P 在圆上d=r；点P 在圆内d
2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
3. 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（circumcircle ），外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心（circumcenter ）。
4. 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。
2. 直线和圆的位置关系。
1. 直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
2. 直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线（tangent line），这个点叫做切点。
3. 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
4. 设⊙O的半径是r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，根据直线和圆相交、相切、相离的定义，容易得到：直线l 和⊙O相交d
d=r；直线l 和⊙O相离d>r。
5. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
6. 圆的切线垂直于过切点的半径。
7. 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
8. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
9. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（inscribed circle），内切圆的圆心是三角形三条平分线的交点，叫做三角形的内心
（incenter ）。
10. 利用“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的定理，可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点。
3. 圆和圆的位置关系。
1. 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离又分外离和内含，两圆同心是两圆内含的一种特殊情况。
2. 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切又分外切和和内切两种。
3. 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
4. 两圆圆心的距离，叫做圆心距。
3. 正多边形和圆。
1. 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
2. 圆周率π。
4. 弧长和扇形面积。
1. 弧长和扇形面积。
1. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR ，所以n°的圆心角所对的弧长为l=nπR/180°。
2. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
3. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR 2，所以圆心角为n°的扇形面积是S 扇形=nπR 2/360°。
2. 圆锥的侧面积和全面积。
1. 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
2. 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
5. 第二十五章 概率初步。
1. 概率。
1. 随机事件。
1. 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件（random event）。
2. 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
2. 概率的意义。
1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率m/n会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率（probability ）。记作
P(A)=p。因为在n 次试验中，事件A 发生的频数m 满足0≤m≤n，所以0≤m/n≤1，进而可知频数m/n所稳定到的常数p 满足0≤p≤1，因此，
0≤P(A)≤1。
2. 事件一般用大写英文字母A ，B ，C²²²表示。
3. 概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。
2. 用列举法求概率。
1. 一般地，如果在一次实验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P(A)=m/n。
2. 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
3. 当一次实验要涉及3个或更多的因素（例如从三个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图（tree diagram）。
4. 用树形图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多次步骤（三部以上）完成时，用这种“树形图”的方法求事件的概率很有效。
5. 买一张彩票就能中最高奖的概率近似为0，我们通常把这种几乎不可能的事件称为小概率事件。
3. 利用频率估计概率。
1. 当试验的可能结果有很多并且各种结果发生的可能相等时，我们可以用P(A)=m/n的方式得出概率。
2. 当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率。
3. 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。
4. 在由频率估计概率的模拟试验中，计算机具有更大的优越性。
5. 布丰投针实验。像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量（如π），这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。
4. 课题学习 键盘上字母的排列规律。
1. 第二十一章 二次根式。
1. 二次根式。
1. 一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。
2. √a（a≥0）是一个非负数。
3. 一般地，根据算术平方根的意义，(√a)2=a（a≥0）。
4. 一般的，根据算术平方根的意义，√a2=a（a≥0）。
5. 如5，a ，a+b，ab ，s/t，x 3，√3，√a（a≥0），它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式（algebraic expression）。
2. 二次根式相除。
1. 一般地，对二次根式的乘法规定：√a²√b=√ab（a≥0，b≥0）。
2. 一般地，对二次根式的除法规定：√a/√b=√(a/b)（a≥0，b≥0）。
3. 最简二次根式满足以下两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
3. 二次根式的加减。
1. 二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2. 海伦——秦九昭公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，设p=(a+b+c)/2，则三角形的面积为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))。
2. 第二十二章 一元二次方程。
1. 一元二次方程。
1. 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程（quadratic equation in one unknown）。
2. 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax 2是二次项，a 是二次项的系数；bx 是一次项，b 是一次项的系数；c 是常数项。
3. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root ）。
4. 由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解。
2. 降次——解一元二次方程。
1. 配方法。
1. 由方程(2x-1)2=5得到2x-1=√5，2x-1=-√5，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一
元一次方程，这样问题就容易解决了。
2. 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2. 公式法。
1. 任何一元二次方程都可以写成一般形式ax 2+bx+c=0（a≠0），可以通过配方得到它的解，即当b 2-
4ac≥0时，x=(-b±√(b2-4ac))/2a。这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
2. （1）当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根。
（2）当b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0
（a≠0）有一个实数根。
（3）当b 2-4ac
（a≠0）没有实数根。
3. 因式分解法。
1. 因式分解使二元一次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。
2. 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以退出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程。总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。
3. 黄金分割数。在线段AB 上找一点C ，使
AC:CB=CB:AB，即CB 2=AC²AB。
3. 实际问题与一元一次方程。
1. 发现一元二次方程根与系数的关系。对任意一元二次方程x 2+mx+n=0（m ，n 是系数），方程的两个根x 1，x 2和系数
m ，n 有如下关系：x 1+x2=-m，x 1x 2=n。
3. 第二十三章 旋转。
1. 图形的旋转。
1. 在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点叫做旋转中心。旋转所形成的角叫做旋转角。
2. 旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
2. 中心对称。
1. 中心对称。
1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
3. 关于中心对称的两个图形是全等形。
2. 中心对称图形。
1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形（central symmetry figure），这个点就是它的对称中心。
3. 关于原点对称的点的坐标。
1. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y) 。
3. 课题学习 图案设计。
4. 第二十四章 圆。
1. 圆。
1. 圆。
1. 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆
（circle ）。固定的端点O 叫做圆心（center of a circle ），线段OA 叫做半径（radius ）。
2. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
3. 圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。因此，圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形。
4. 连接圆上任意两点的线段，叫做弦（chord ），简称弧（arc ）。以A 、B 为端点的弧记作“⌒AB”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
（semi-circle ）。
2. 垂直于弦的直径。
1. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
2. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 弧、弦、圆心角。
1. 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角（central angle ）。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3. 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
4. 圆周角。
1. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（angle in a circular segment）。
2. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（三种情况，可用等腰三角形分别证明）
3. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弧是直径。
2. 与圆有关的位置关系。
1. 点和圆的位置关系。
1. 设⊙O的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d，则有：点P 在圆外d>r；点P 在圆上d=r；点P 在圆内d
2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
3. 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（circumcircle ），外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心（circumcenter ）。
4. 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。
2. 直线和圆的位置关系。
1. 直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
2. 直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线（tangent line），这个点叫做切点。
3. 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
4. 设⊙O的半径是r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，根据直线和圆相交、相切、相离的定义，容易得到：直线l 和⊙O相交d
d=r；直线l 和⊙O相离d>r。
5. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
6. 圆的切线垂直于过切点的半径。
7. 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
8. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
9. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（inscribed circle），内切圆的圆心是三角形三条平分线的交点，叫做三角形的内心
（incenter ）。
10. 利用“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的定理，可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点。
3. 圆和圆的位置关系。
1. 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离又分外离和内含，两圆同心是两圆内含的一种特殊情况。
2. 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切又分外切和和内切两种。
3. 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
4. 两圆圆心的距离，叫做圆心距。
3. 正多边形和圆。
1. 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
2. 圆周率π。
4. 弧长和扇形面积。
1. 弧长和扇形面积。
1. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR ，所以n°的圆心角所对的弧长为l=nπR/180°。
2. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
3. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR 2，所以圆心角为n°的扇形面积是S 扇形=nπR 2/360°。
2. 圆锥的侧面积和全面积。
1. 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
2. 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
5. 第二十五章 概率初步。
1. 概率。
1. 随机事件。
1. 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件（random event）。
2. 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
2. 概率的意义。
1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率m/n会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率（probability ）。记作
P(A)=p。因为在n 次试验中，事件A 发生的频数m 满足0≤m≤n，所以0≤m/n≤1，进而可知频数m/n所稳定到的常数p 满足0≤p≤1，因此，
0≤P(A)≤1。
2. 事件一般用大写英文字母A ，B ，C²²²表示。
3. 概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小。
2. 用列举法求概率。
1. 一般地，如果在一次实验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P(A)=m/n。
2. 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
3. 当一次实验要涉及3个或更多的因素（例如从三个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图（tree diagram）。
4. 用树形图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多次步骤（三部以上）完成时，用这种“树形图”的方法求事件的概率很有效。
5. 买一张彩票就能中最高奖的概率近似为0，我们通常把这种几乎不可能的事件称为小概率事件。
3. 利用频率估计概率。
1. 当试验的可能结果有很多并且各种结果发生的可能相等时，我们可以用P(A)=m/n的方式得出概率。
2. 当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率。
3. 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。
4. 在由频率估计概率的模拟试验中，计算机具有更大的优越性。
5. 布丰投针实验。像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量（如π），这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。
4. 课题学习 键盘上字母的排列规律。