中国科教创新导刊
2013 NO.11
China Education Innovation Herald
科 教 研 究
数学分析中求极限的几种重要方法
杨淑荣
(内蒙古大学艺术学院附属中等艺术学校 内蒙古呼和浩特 010010)
摘 要:极限是数学分析的重要内容, 是高等数学的理论基础和研究工具, 学习极限相关理论对学习数学分析和掌握高等数学众多理论有着极其关键的作用。由于极限的计算题目类型多变, 而极限的求取方法也种类繁多, 因此, 针对不同问题找到正确且最简洁的方法意义重大。本文通过总结归纳数学分析中求极限的几种重要方法, 并且通过例子进行具体的说明, 为高等数学初学者提供了一定的指导和帮助。关键词:数学分析 极限 高等数学中图分类号:G 4文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)04(b)-0022-02
极限是高等数学中数学分析部分的重2利用法则求极限
洛必达法则:求自变量x 趋近某一值或
要基础, 数学分析中的许多重要概念如连2.1四则运算法则法
续、导数、微分、积分和级数收敛等均要通四则运算法则利用极限的四则运算对无穷大时的极限lim f (x ) g (x ) 时, 若为“0
”过极限概念来描述。在数学分析与微积分一些函数进行分解变换后, 再求其各自的学中, 极限的概念占有主要的地位并以各极限, 有:
“∞
或∞
”型未定式, 且满足:种形式出现而贯穿于数学分析的全部内若函数f(x)与g (x)在相同变化过程中都(1)f(x)和g(x)均可导, 且有g ’(x)≠0;
容, 因此, 掌握好极限的求解方法是学习数存在极限, 则存在:
学分析和微积分的关键环节。数学分析中(1)lim[f (x ) ±g (x )]=lim f (x ) ±lim g (x ) 。(2)lim f ' (x )
g ' (x ) 存在或无穷大。
求极限的方法繁多, 不拘一格, 但并不集(2)lim[f (x ) g (x )]=lim f (x ) ⋅lim g (x ) 。
中。本文在综合了大量文献和资料的基础则有:lim f (x ) f ' (x )
上, 以数学分析中的理论为基础, 参考已有(3)lim f (x )
lim f (x )
g (x ) =lim g ' (x ) g (x ) =lim g (x ) , 其中lim g (x ) ≠0。的方法和概念, 通过典型例题进行归纳和例:求极限lim sin2x
x →πtan 2x
总结, 进行了简单的归类, 从利用定义求极例:求极限lim x 2−3x −4
x →4
限、利用法则求极限、利用公式求极限、利x 3−3x 2−10x +24
0解:函数分子分母的极限为0, 通过因式解:本题为“0
”型未定式, 可直接运用用性质求极限以及其他方法几个方面着分解约去共同的0因子再通过四则运算法洛必则法则。
手, 具体介绍了包括四则运算法、洛必则法求解:
则法等几种重要的求极限方法。希望在求lim
sin2x x →π
tan 2x =lim (sin2x )' 2cos2x 2
x →π(tan 2x )' =lim x →π2tanxsec 2x =2
=1。极限方法的正确和灵活运用上, 对读者有lim
x 2−3x −4
(x −4)(x +1) (x +1) x →4
x 3−3x 2−10x +24
=lim x →4(x −4)(x −2)(x +3) =lim x →4(x −2)(x +3) 所助益。
=lim x →4
(x +1) 553利用公式求极限
lim ==x →4
(x −2) ⋅lim x →4
(x +3) 2⋅714
3. 1两个重要极限公式法
1利用定义求极限
应用此法的前提是每个因子的极限存
极限的概念可细分为函数的极限和数在, 或变形后极限存在, 且分母极限不能为0。(1)极限lim sin x
x =1及其变换lim 1x →0
x →0x ⋅sin x
=1,
列的极限。
2.2两个准则法
0数列的极限可定义为:如果任意给定本文简单介绍两个准则, 分别为夹逼常用于包含三角函数的“0
”型未定式。
一正数ε, 总存在正整数N 使得对于所有n 准则和单调有界准则, 常用于数列极限的例:求极限lim sinx 3
>N的X n , 均有不等式∣X n －a ∣
x →0
2x
数a 为数列{Xn }在n 趋于无穷时的极限, 记
(1)夹逼准则:如果在x 0的某个领域(x0, 解:将x 3
视为一项, 有:
作:lim δ) 内有f (x ) ≤h (x ) ≤g (x ) , 且有
lim
sinx 3x 3x →0x →∞
X n =a 。2x =lim sinx 3x →02x 3=lim x 3x →02⋅lim sinx 3
x →0x 3
=0⋅1=0
函数的极限可定义为:
x lim →x f (x ) =lim 0
x →x g (x ) =A 0
。
1
(1)如果函数f(x)在x0某一去心领域内有则有:lim h (x ) =A (2)极限lim (1+x ) x
x →0
=e
及其变换lim x →0
(1+1定义, 对任意给定正数ε, 总存在正数δ, x →x x
) x =e ,
。
利用夹逼准则的关键是要通过h(x ) 找
常用于“使满足0
到两极限相同的一大一小函数f(x)和g (x ), 1∞”型未定式。
f (x ) −A
例:求极限lim x 0时的极限, 记作:lim (2)单调有界准则:单调有界数列必有x →0
(1+3x ) 解:
x →x
f (x ) =A 0
; 极限, 且极限唯一。
1
(2)如果函数f(x)在∣x ∣大于某一正数⋅3
1
利用单调有界准则求极限过程中, 首先lim x 时有定义, 对任意给定正数ε, 总存在正数
x →0
(1+3x ) =lim x →0
(1+3x ) 3x =[lim x →0
(1+3x ) 3x ]3=13=1
需要证明数列的单调性和有界性, 然后要利用这两个重要极限公式来求极限时
δ, 使满足x >δ的所有x 对应的f(x)满足
证明数列极限的存在, 最后根据数列的通要仔细观察函数形式是否符合。f (x ) −A
项递推公式以及极限的唯一性来求极限。3.2泰勒公式法
极限, 记作:lim 2. 3洛比达法则法
泰勒公式法是指在求极限时, 利用泰x →x f (x ) =A 0
。上述定义可求极限, 也常用于证明极我们将两个无穷小量或者两个无穷大勒公式将函数进行展开后再通过一般求极限的存在性。
量的比的极限称为未定式极限, 分别记作
限的方法进行计算的方法。
例:求极限lim “0”
或“∞”型未定式, 洛必达法则采用以泰勒公式有:如果f(x)在x =0处存在n+1x →4
(x 2+1) 解:根据定义, 有任意给定正数ε, 总导0数为工∞
具来研究这一类未定式。可直接
阶连续导数, 则可展开为:
(n )
存在正数δ, 使满足f (x ) =f (0) +f ' (x ) x +
f ' ' (x ) x 2…+f (x ) x n
+…+R n (x ,
的f(x)满足f (x ) −17
0所有x 对应
用于于“00”或“∞
∞”型未定式, 而0-∞, 0,
2! n !
)
∞
0, ∞−∞等类型未定式, 一般可先转换成且有
(n +1)
R x ) 则
lim 2
“=f (ξ) n +1
n (0”或“x ∞”型。泰勒公式法对一些比较复杂的求极限
(n +1)!
x (0
→4(x +1) =17
0∞
作者简介:杨淑荣(1963,8—), 女, 本科, 讲师, 研究方向:数学。
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过程可以起到简化作用。
例:求极限lim x →0
a +a −2
(a >0) x 22
ln a +……+R 2
x
−x
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1x
u =e 解:u =(1+) , lim
x x →∞
11
lim ln(1+x =ln[lim (1+x ]=ln[lim u ]=ln e =1x →∞x →∞x →∞x x
解:由泰勒公式有:
a x =e x ln a =1+x ln a +
(2)然后将所求和式极限表示成为f(x)在
某区间[a,b]上的等分的积分和式的极限。
(3)最后利用求f(x)在区间[a,b]上的定积分就可得到和式的极限。
5其他方法
5.1中值定理法
中值定理法包括利用微分或积分中值定理求极限, 通过微分或积分中值定理将函数进行变换, 再求极限。
(1) 微分中值定理有:如果函数f(x)在闭区间[a , b ]内连续且在开区间(a , b ) 内可导, 则至少存在一点ξ∈(a , b ) 使得
f ' (x ) =
f (b ) −f (a ) b −a
6结语
数学分析中求极限的方法众多, 但每种方法都局限性, 在使用时一定要注意其使用前提, 只有满足要求, 各种方法才能被正确应用。本文主要归纳了数学分析中求极限的几种重要的方法, 只是众多方法的一小部分, 不全面之处还望感兴趣的读者继续探索和研究。在求极限的过程最重要的就是在综合运用各种方法的过程, 真正理解其本质及需满足的条件, 掌握各方法间的内在联系, 才能灵活运用。
a −x =e −x ln a =1−x ln a +lim
x 2
ln a +……+R 2
2
a x +a −x −2x ln 2a +R
=lim =ln 2a
x →0x →0x 2x 2
4利用性质求极限
4.1无穷小量性质法
利用下列几点无穷小量的性质可解决相关的极限问题。
性质1:有限无穷小量的代数和为无穷小。性质2:无穷小量与有界函数的乘积为无穷小。
性质3:有限无穷小量的乘积为无穷小。
例:求极限lim x →∞
。
tanx
x
解:因1/∞无穷小, tanx 有界有lim x →∞
(2)积分中值定理有:如果函数f(x)在闭
区间[a,b]内连续, 函数g(x)在区间[a,b]内不变号且可积, 则至少存在一点ξ∈(a,b)使得
1c
例:求极限lim ∫2c →00cx +1
解:由积分中值定理有:
参考文献
[1]陈传璋, 金福临. 数学分析[M].2版. 高
等教育出版社.
[2]李成章, 茂玉民. 数学分析[M].北京科
学出版社, 2002:21-56.
[3]程鹏. 求函数极限的方法[J].河南科技
学院学报,2008, 9(36):133-134.
[4]魏少华, 蒋晨宏, 李敏. 求极限的各种方
法总结及推广[M].现代交际,2010(6):42-43.
[5]杨琴. 高等数学中常见函数的求极限的
方法[J].科学时代,2010(5).
∫0
1
c
c
=(ξ∈[0, 1])+1c ξ+1
1
tanx 1
=lim tanx =0x →∞x x
4. 2函数连续性法
函数的连续性:
(1)如果函数f(x)在x =x 0处连续, 则有
x →x 0
=lim 2=0则lim 0cx 2+1c →0∫c →0c ξ+1
c c
5.2 定积分法
定积分法求极限的实质是是利用定积分的定义来求和式的极限。定积分定义有:
lim f (x ) =f (x 0) ;
g (x ) =a 且f(u)(2)若复合函数f[g(x)]有x lim →x
∫
b
a
f (x ) dx =lim
n →∆x i 0i =1
∑f (ξ) ∆x
i
n
i
f [g (x )]=f [lim g (x )]=f (a ) 。在u=a处连续, 则x lim →x x →x
1ln(1+) x 例:求极限lim x →∞则可知定积分可化为和式极限的形
式, 同样, 在求和式极限时, 可转为定积分的形式来求解。具体步骤:
(1)首先选择恰当的可积函数f(x)。
(上接21页)
境, 挖掘他们自身的学习资源, 从生活实际出发, 根据教学环节设计了不同的学习活动, 激发全体学生参与热情。充分利用教学资源, 如视频、图片等, 使课堂教学“活”起来。
第二, 其他两位教师也就根据自己的观察记录交流了自己的观察结果。
教师B 认为:(1)教师A 课堂提问形式多样, 有Yes-No 问题, 也有Wh-问题, 大致分为事实性问题、选择性问题、思考性问题以及生成性问题。但是从记录量表中可以看到,74%的问题都属于事实性或选择性问题。问题的层次较多集中在认知、理解、应用方面, 对于思考性的问题, 如分析、综合、评价等方面较少, 所以导致封闭型问题比开放性问题多;(2)教师在提出问题时没有给学生足够的思考空间, 教师提问后3～4秒学生就回答问题了, 有的甚至不超过3秒。从中反映出要么教师的提问没有很大的思考价值, 要么就是教师以个别学生的思考代替了其余学生的思考, 大部分学生在被动接受着他人的答案;(3)从学生的回答记录来分析, 学生回答的表达性错误较多, 主要在于平时的积累和练习不足, 如主谓一致、常用句型、时态语态的问题等, 对于本节课知识性的回答错误次之, 总体感觉多数学生基本掌握了定语从句的构成。
教师C 认为:(1)通过观察记录, 学生整堂课中参与度较高, 这与教师的教学设计分不开, 尤其是教师A 善于设置情境, 如用定语从句对名人进行描述, 对熟悉的人和环境进行描述等活动, 让学生觉得语法学习和语言应用和日常生活是紧密相关的; (2)教师A 通过创设不同的情境, 如“寻人启示、Guess where is it ”等, 同时通过竞赛、表演、展示等小组合作, 吸引绝大多数学生参与课堂活动。但是在全体学生参与的活动中还有部分学生比较被动, 尤其当他们脱离了教师的目光注视范围的时候, 会和同桌说话、发呆走神。
本次课堂观察, 所有参与教师就以下方面达成一致:(1)教师课堂提问是所有英语教师应该具备的一项技能。每个教师都应该注重话语质量, 根据学生的实际水平及不同的教学内容精心设计课堂提问, 关注学生学习, 才能促进学生有效学习;(2)提高学生学习活动的质量是课堂教学的重要内容和目标。要提高学生课堂学习的参与度就要求教师在进行教学活动设计的时候考虑以下方面:该活动操练或学习的内容是否与目标相一致; 在操练或学习
的过程中, 学生的时间和精力是否投入活动之中; 操练或学习活动的结果是否与目标一致。
3结语
课堂观察是收集课堂教学中教师和学生行为信息的最实用、最全面的研究活动。通过课堂观察在中职英语专业课教学中的实施, 能有效改善中职英语课教学效果, 提升英语专业课教师教学和研究能力, 促进专业教学团队的成长。
参考文献
[1]陈仕清. 教师专业发展的新路径[M]．桂
林:广西教育出版社,2012(1).
[2]李云吾, 吴绮虹. 有效:课堂观察的价值
追求[J]．现代中小学教育,2009(12):18-22.
[3]涂艳国, 主编. 教育评价[M]．北京:高等
教育出版社,2007(3).[4]王文．课堂观察——教师专业成长的必
由之路[D]．福建师范大学,2008.
中国科教创新导刊 China Education Innovation Herald ２３
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数学分析中求极限的几种重要方法
杨淑荣
(内蒙古大学艺术学院附属中等艺术学校 内蒙古呼和浩特 010010)
摘 要:极限是数学分析的重要内容, 是高等数学的理论基础和研究工具, 学习极限相关理论对学习数学分析和掌握高等数学众多理论有着极其关键的作用。由于极限的计算题目类型多变, 而极限的求取方法也种类繁多, 因此, 针对不同问题找到正确且最简洁的方法意义重大。本文通过总结归纳数学分析中求极限的几种重要方法, 并且通过例子进行具体的说明, 为高等数学初学者提供了一定的指导和帮助。关键词:数学分析 极限 高等数学中图分类号:G 4文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)04(b)-0022-02
极限是高等数学中数学分析部分的重2利用法则求极限
洛必达法则:求自变量x 趋近某一值或
要基础, 数学分析中的许多重要概念如连2.1四则运算法则法
续、导数、微分、积分和级数收敛等均要通四则运算法则利用极限的四则运算对无穷大时的极限lim f (x ) g (x ) 时, 若为“0
”过极限概念来描述。在数学分析与微积分一些函数进行分解变换后, 再求其各自的学中, 极限的概念占有主要的地位并以各极限, 有:
“∞
或∞
”型未定式, 且满足:种形式出现而贯穿于数学分析的全部内若函数f(x)与g (x)在相同变化过程中都(1)f(x)和g(x)均可导, 且有g ’(x)≠0;
容, 因此, 掌握好极限的求解方法是学习数存在极限, 则存在:
学分析和微积分的关键环节。数学分析中(1)lim[f (x ) ±g (x )]=lim f (x ) ±lim g (x ) 。(2)lim f ' (x )
g ' (x ) 存在或无穷大。
求极限的方法繁多, 不拘一格, 但并不集(2)lim[f (x ) g (x )]=lim f (x ) ⋅lim g (x ) 。
中。本文在综合了大量文献和资料的基础则有:lim f (x ) f ' (x )
上, 以数学分析中的理论为基础, 参考已有(3)lim f (x )
lim f (x )
g (x ) =lim g ' (x ) g (x ) =lim g (x ) , 其中lim g (x ) ≠0。的方法和概念, 通过典型例题进行归纳和例:求极限lim sin2x
x →πtan 2x
总结, 进行了简单的归类, 从利用定义求极例:求极限lim x 2−3x −4
x →4
限、利用法则求极限、利用公式求极限、利x 3−3x 2−10x +24
0解:函数分子分母的极限为0, 通过因式解:本题为“0
”型未定式, 可直接运用用性质求极限以及其他方法几个方面着分解约去共同的0因子再通过四则运算法洛必则法则。
手, 具体介绍了包括四则运算法、洛必则法求解:
则法等几种重要的求极限方法。希望在求lim
sin2x x →π
tan 2x =lim (sin2x )' 2cos2x 2
x →π(tan 2x )' =lim x →π2tanxsec 2x =2
=1。极限方法的正确和灵活运用上, 对读者有lim
x 2−3x −4
(x −4)(x +1) (x +1) x →4
x 3−3x 2−10x +24
=lim x →4(x −4)(x −2)(x +3) =lim x →4(x −2)(x +3) 所助益。
=lim x →4
(x +1) 553利用公式求极限
lim ==x →4
(x −2) ⋅lim x →4
(x +3) 2⋅714
3. 1两个重要极限公式法
1利用定义求极限
应用此法的前提是每个因子的极限存
极限的概念可细分为函数的极限和数在, 或变形后极限存在, 且分母极限不能为0。(1)极限lim sin x
x =1及其变换lim 1x →0
x →0x ⋅sin x
=1,
列的极限。
2.2两个准则法
0数列的极限可定义为:如果任意给定本文简单介绍两个准则, 分别为夹逼常用于包含三角函数的“0
”型未定式。
一正数ε, 总存在正整数N 使得对于所有n 准则和单调有界准则, 常用于数列极限的例:求极限lim sinx 3
>N的X n , 均有不等式∣X n －a ∣
x →0
2x
数a 为数列{Xn }在n 趋于无穷时的极限, 记
(1)夹逼准则:如果在x 0的某个领域(x0, 解:将x 3
视为一项, 有:
作:lim δ) 内有f (x ) ≤h (x ) ≤g (x ) , 且有
lim
sinx 3x 3x →0x →∞
X n =a 。2x =lim sinx 3x →02x 3=lim x 3x →02⋅lim sinx 3
x →0x 3
=0⋅1=0
函数的极限可定义为:
x lim →x f (x ) =lim 0
x →x g (x ) =A 0
。
1
(1)如果函数f(x)在x0某一去心领域内有则有:lim h (x ) =A (2)极限lim (1+x ) x
x →0
=e
及其变换lim x →0
(1+1定义, 对任意给定正数ε, 总存在正数δ, x →x x
) x =e ,
。
利用夹逼准则的关键是要通过h(x ) 找
常用于“使满足0
到两极限相同的一大一小函数f(x)和g (x ), 1∞”型未定式。
f (x ) −A
例:求极限lim x 0时的极限, 记作:lim (2)单调有界准则:单调有界数列必有x →0
(1+3x ) 解:
x →x
f (x ) =A 0
; 极限, 且极限唯一。
1
(2)如果函数f(x)在∣x ∣大于某一正数⋅3
1
利用单调有界准则求极限过程中, 首先lim x 时有定义, 对任意给定正数ε, 总存在正数
x →0
(1+3x ) =lim x →0
(1+3x ) 3x =[lim x →0
(1+3x ) 3x ]3=13=1
需要证明数列的单调性和有界性, 然后要利用这两个重要极限公式来求极限时
δ, 使满足x >δ的所有x 对应的f(x)满足
证明数列极限的存在, 最后根据数列的通要仔细观察函数形式是否符合。f (x ) −A
项递推公式以及极限的唯一性来求极限。3.2泰勒公式法
极限, 记作:lim 2. 3洛比达法则法
泰勒公式法是指在求极限时, 利用泰x →x f (x ) =A 0
。上述定义可求极限, 也常用于证明极我们将两个无穷小量或者两个无穷大勒公式将函数进行展开后再通过一般求极限的存在性。
量的比的极限称为未定式极限, 分别记作
限的方法进行计算的方法。
例:求极限lim “0”
或“∞”型未定式, 洛必达法则采用以泰勒公式有:如果f(x)在x =0处存在n+1x →4
(x 2+1) 解:根据定义, 有任意给定正数ε, 总导0数为工∞
具来研究这一类未定式。可直接
阶连续导数, 则可展开为:
(n )
存在正数δ, 使满足f (x ) =f (0) +f ' (x ) x +
f ' ' (x ) x 2…+f (x ) x n
+…+R n (x ,
的f(x)满足f (x ) −17
0所有x 对应
用于于“00”或“∞
∞”型未定式, 而0-∞, 0,
2! n !
)
∞
0, ∞−∞等类型未定式, 一般可先转换成且有
(n +1)
R x ) 则
lim 2
“=f (ξ) n +1
n (0”或“x ∞”型。泰勒公式法对一些比较复杂的求极限
(n +1)!
x (0
→4(x +1) =17
0∞
作者简介:杨淑荣(1963,8—), 女, 本科, 讲师, 研究方向:数学。
２２中国科教创新导刊 China Education Innovation Herald
2013 NO.11
科 教 研 究
过程可以起到简化作用。
例:求极限lim x →0
a +a −2
(a >0) x 22
ln a +……+R 2
x
−x
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1x
u =e 解:u =(1+) , lim
x x →∞
11
lim ln(1+x =ln[lim (1+x ]=ln[lim u ]=ln e =1x →∞x →∞x →∞x x
解:由泰勒公式有:
a x =e x ln a =1+x ln a +
(2)然后将所求和式极限表示成为f(x)在
某区间[a,b]上的等分的积分和式的极限。
(3)最后利用求f(x)在区间[a,b]上的定积分就可得到和式的极限。
5其他方法
5.1中值定理法
中值定理法包括利用微分或积分中值定理求极限, 通过微分或积分中值定理将函数进行变换, 再求极限。
(1) 微分中值定理有:如果函数f(x)在闭区间[a , b ]内连续且在开区间(a , b ) 内可导, 则至少存在一点ξ∈(a , b ) 使得
f ' (x ) =
f (b ) −f (a ) b −a
6结语
数学分析中求极限的方法众多, 但每种方法都局限性, 在使用时一定要注意其使用前提, 只有满足要求, 各种方法才能被正确应用。本文主要归纳了数学分析中求极限的几种重要的方法, 只是众多方法的一小部分, 不全面之处还望感兴趣的读者继续探索和研究。在求极限的过程最重要的就是在综合运用各种方法的过程, 真正理解其本质及需满足的条件, 掌握各方法间的内在联系, 才能灵活运用。
a −x =e −x ln a =1−x ln a +lim
x 2
ln a +……+R 2
2
a x +a −x −2x ln 2a +R
=lim =ln 2a
x →0x →0x 2x 2
4利用性质求极限
4.1无穷小量性质法
利用下列几点无穷小量的性质可解决相关的极限问题。
性质1:有限无穷小量的代数和为无穷小。性质2:无穷小量与有界函数的乘积为无穷小。
性质3:有限无穷小量的乘积为无穷小。
例:求极限lim x →∞
。
tanx
x
解:因1/∞无穷小, tanx 有界有lim x →∞
(2)积分中值定理有:如果函数f(x)在闭
区间[a,b]内连续, 函数g(x)在区间[a,b]内不变号且可积, 则至少存在一点ξ∈(a,b)使得
1c
例:求极限lim ∫2c →00cx +1
解:由积分中值定理有:
参考文献
[1]陈传璋, 金福临. 数学分析[M].2版. 高
等教育出版社.
[2]李成章, 茂玉民. 数学分析[M].北京科
学出版社, 2002:21-56.
[3]程鹏. 求函数极限的方法[J].河南科技
学院学报,2008, 9(36):133-134.
[4]魏少华, 蒋晨宏, 李敏. 求极限的各种方
法总结及推广[M].现代交际,2010(6):42-43.
[5]杨琴. 高等数学中常见函数的求极限的
方法[J].科学时代,2010(5).
∫0
1
c
c
=(ξ∈[0, 1])+1c ξ+1
1
tanx 1
=lim tanx =0x →∞x x
4. 2函数连续性法
函数的连续性:
(1)如果函数f(x)在x =x 0处连续, 则有
x →x 0
=lim 2=0则lim 0cx 2+1c →0∫c →0c ξ+1
c c
5.2 定积分法
定积分法求极限的实质是是利用定积分的定义来求和式的极限。定积分定义有:
lim f (x ) =f (x 0) ;
g (x ) =a 且f(u)(2)若复合函数f[g(x)]有x lim →x
∫
b
a
f (x ) dx =lim
n →∆x i 0i =1
∑f (ξ) ∆x
i
n
i
f [g (x )]=f [lim g (x )]=f (a ) 。在u=a处连续, 则x lim →x x →x
1ln(1+) x 例:求极限lim x →∞则可知定积分可化为和式极限的形
式, 同样, 在求和式极限时, 可转为定积分的形式来求解。具体步骤:
(1)首先选择恰当的可积函数f(x)。
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境, 挖掘他们自身的学习资源, 从生活实际出发, 根据教学环节设计了不同的学习活动, 激发全体学生参与热情。充分利用教学资源, 如视频、图片等, 使课堂教学“活”起来。
第二, 其他两位教师也就根据自己的观察记录交流了自己的观察结果。
教师B 认为:(1)教师A 课堂提问形式多样, 有Yes-No 问题, 也有Wh-问题, 大致分为事实性问题、选择性问题、思考性问题以及生成性问题。但是从记录量表中可以看到,74%的问题都属于事实性或选择性问题。问题的层次较多集中在认知、理解、应用方面, 对于思考性的问题, 如分析、综合、评价等方面较少, 所以导致封闭型问题比开放性问题多;(2)教师在提出问题时没有给学生足够的思考空间, 教师提问后3～4秒学生就回答问题了, 有的甚至不超过3秒。从中反映出要么教师的提问没有很大的思考价值, 要么就是教师以个别学生的思考代替了其余学生的思考, 大部分学生在被动接受着他人的答案;(3)从学生的回答记录来分析, 学生回答的表达性错误较多, 主要在于平时的积累和练习不足, 如主谓一致、常用句型、时态语态的问题等, 对于本节课知识性的回答错误次之, 总体感觉多数学生基本掌握了定语从句的构成。
教师C 认为:(1)通过观察记录, 学生整堂课中参与度较高, 这与教师的教学设计分不开, 尤其是教师A 善于设置情境, 如用定语从句对名人进行描述, 对熟悉的人和环境进行描述等活动, 让学生觉得语法学习和语言应用和日常生活是紧密相关的; (2)教师A 通过创设不同的情境, 如“寻人启示、Guess where is it ”等, 同时通过竞赛、表演、展示等小组合作, 吸引绝大多数学生参与课堂活动。但是在全体学生参与的活动中还有部分学生比较被动, 尤其当他们脱离了教师的目光注视范围的时候, 会和同桌说话、发呆走神。
本次课堂观察, 所有参与教师就以下方面达成一致:(1)教师课堂提问是所有英语教师应该具备的一项技能。每个教师都应该注重话语质量, 根据学生的实际水平及不同的教学内容精心设计课堂提问, 关注学生学习, 才能促进学生有效学习;(2)提高学生学习活动的质量是课堂教学的重要内容和目标。要提高学生课堂学习的参与度就要求教师在进行教学活动设计的时候考虑以下方面:该活动操练或学习的内容是否与目标相一致; 在操练或学习
的过程中, 学生的时间和精力是否投入活动之中; 操练或学习活动的结果是否与目标一致。
3结语
课堂观察是收集课堂教学中教师和学生行为信息的最实用、最全面的研究活动。通过课堂观察在中职英语专业课教学中的实施, 能有效改善中职英语课教学效果, 提升英语专业课教师教学和研究能力, 促进专业教学团队的成长。
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