分式的基本性质(徐渊楫)

课题：分式的基本性质

教材：浙江版七年级下册

授课教师：徐渊楫

教学目标：

知识技能目标：

1. 让学生理解分式的基本性质及其内涵要点；

2. 让学生灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形；

3. 让学生了解类比、归纳、分类等思维方法;

过程性目标：

4. 让学生体会学习分式基本性质的必要性及其意义；

5. 让学生经历观察、实验、推理等活动，类比、归纳得到分式基本性质及运用其进行恒等变

形时的注意要点，并且在这一过程中获得一些探索数学性质的初步经验。

教学重点：组织学生探索发现并掌握（运用）分式的基本性质。

教学难点：从“形”的角度解释分式的变形；分式的负号变化特征和分子、分母是多项式的分式的约分。

教学方法和手段：发现探究 小组合作 主体性讲解

教学过程：

一、 创设情景，引入主题（让学生了解学习分式基本性质的必要性）

由欣赏“世界休闲博览会（杭州）的宣传短片的“自然

秀色美”过渡到数学的美；齐声朗读“数学因简约、对称、

和谐而美”。 R2

由右图的大圆盘（来自于校园）引入分式，由学13R20

生根据“简约、对称、和谐”这一“审美”标准来审视以上

分式的和谐性，从而引出用来“美化”这些分式的必需的知识——分式的基本性质。

（设计说明：“追求分式的简约、和谐美”是整节课的主线，情境引入是这条主线的开端；具有亲切感的校园场景，让学生体会到数学来源于生活，是为解决实际问题和追求简约、和谐美而学习分式的基本性质，而不是为学习分式的基本性质而学习。）

二、 探究发现分式的基本性质

1．复习分数的基本性质（为通过“类比”得到分式的基本性质及其运用作铺垫）

第1页 共7页

通过以上圆盘，“数形结合”引出三个等分数124、、，通过以下问题组来复习分4816

数的基本性质及其运用：

（1） 根据我们的“审美标准”，哪个分数最具“简约美”？

421（2） 从、到，我们是通过怎样的变形实现的？ 1684

（3） 请问约分的依据是什么？（分数的基本性质的内容是什么？） （设计说明：从圆盘分割来引出三个等分数为后面用图形面积来解释

上的铺垫，从中开始体会“数形结合”中的“形”到“数”。）

2．探究分式的变形（为通过“归纳”得到分式的基本性质及其运用作铺垫）

问题探究：以下分式的变形是否成立？请简要说明理由。

1221 m2m2mm

提示可以从大圆盘面积来解释变形。（预计学生会利用前面铺垫的“扇形模型”来解释）

然后让学生从“欣赏”的角度来看“矩形模型”：

12（1） m2m

（在原来的矩形上拼上（宽重合）相同的矩形，所得面积为2的矩形与原矩形的宽相等） 注：在大圆盘上分割进行

21 （1）2mm

（面积为

2的矩形沿长的中间部位分开，所得面积为1的小矩形与原矩形宽相等）

注：抽象出矩形，在矩形上分割进行

（设计说明：a.在浙江版的教材中多处（例如：合并同类项、多项式的乘法、乘法公式等）出现了用几何图形的面积来解释代数恒等式，因此这里用图形的面积来解释分式的变形，这是一种学生易于接受的方式，也是对“数形结合”思想的进一步渗透。事实上，图形的面积和代数恒等式之间的关系也是“面积法”解题方法的本质。b.设计中给出了“扇形模型”和“矩形模型”两种方法来解释分式等式，“扇形模型”中默认了m是整数，而“矩形模型”中允许m不是整数。）

第2页 共7页 12做好方法m2m

3．类比、归纳得到分式的基本性质

把以上式子中的2变成3，4，5，„，a，a1，当然也成立。

观察下列分式变形 类比分数的基本性质

1221441  m2m2mm1644

1aa1144(a0)   mamamm4416

1a1a11(a1)  尝试归纳得到分式的基本性质 ma1m(a1)mm

通过学生探究观察这组分式的变形，类比分数的基本性质，归纳得到分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 ．．．．．．．．

（板书）用符号语言表示为

AAMAAM,(M0) BBMBBM

（设计说明：为让学生亲历整个得到分式基本性质的过程，先复习分数的基本性质，然后探究一组分式的变形，通过观察这组分式的变形，类比分数的基本性质，让学生尝试归纳出分．．．．．．式的基本性质。学生在这个过程中会体验到探索数学知识的方法。）

4．小组探讨运用分式基本性质的注意点

组织学生进行有效的小组学习，认识分式基本性质在分式恒等变形中的运用及其注意点，活动主要过程见附表。（上课前发给每个小组一个信封，里面装有小组活动表格）

使用分式基本性质注意点的关键字：“都”，“同”，“乘以或除以”，“不等于零”

（设计说明：为了真正做到有效的合作学习，在活动中考虑了以下问题：a.把活动的主线设计成表格，让学生有目的地带着问题去讨论；b.让学生在进行讨论之前先进行独立思考，有了自己的想法，然后再与别人交换意见，产生思维的碰撞，以真正达到讨论的目的；c.不同层次的学生，允许他们有不同的发展，对问题进行分层设计。）

三、 分式基本性质的运用

1．“美化”分式方法之“化整”

投影仪显示以下两个分式（不给出题目的解答要求）

第3页 共7页

2y 0.03a0.5b 0.7abx2y2x

由学生（回答）根据“审美标准”，审视出以上分式欠美之处：分子、分母一些系数出现了分数和小数，缺乏简约、对称的和谐美，从而得到问题的解答要求是“不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中的系数都化为整数”：

第一题：由学生提出思路，老师详细讲解，强调分子、分母同乘以6时的注意点：把最小公倍数与分子、分母中的每一项都相乘；

第二题：由学生练习，使用实物投影反馈；

由老师和学生一起总结解决“化整”问题的方法规律：当系数是分数时：分子、分母同乘系数分母的最小公倍数；当系数是小数时：一般情况下，分子、分母同乘10的倍数。

（设计说明：“化整”、“化正”、约分是分式的基本性质的运用，是这堂课主线的几个节点。在这三个环节中先出现式子再呈现题目的要求，让学生根据“审美标准”自然地得到题目的标题（解答要求），然后使用分式的基本性质来使这些分式符合“审美标准”。）

2．“美化”分式方法之“化正”

投影仪显示以下分式（不给出题目的解答要求）

aa bb

由学生根据“审美标准”，审视出以上分式欠美之处：分子、分母中含有负号；从而得到问题的要求是“不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的负号去掉”。 222aaa（根据是有理数的除法法则）类比，得到，以及三通过与333bbb

aa。 种不同位置的负号的名称：分子的符号，分母的符号，分式本身的符号；思考：bb

投影仪显示以下分式（不给出题目的解答要求）

3xx2

x2

由老师根据“审美标准”，审视出以上分式欠美之处：分子的多项式没有按x的次数递减排列，分子、分母的最高次项的系数为负；从而得到问题的要求是“不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中最高次项的系数都化为正数”。

由老师详细讲解，特别指出：这里分子、分母最高次项系数的负号不是分子和分母的负号。最后由学生归纳出解决这类“化正”问题的方法规律：当分子或分母是多项式时：先按同一字母次数递减排列，然后，若第一项的系数为负数，则把多项式添带负号的括号，最后

第4页 共7页

把分子或分母的符号化去。

（设计说明：根据课本的精神，在设计中没有提出“符号法则”这个名称，让学生类比分数，根据有理数法则，对分式中的一些符号的变化规律有所感悟）

3．“美化”分式方法之约分

投影仪显示分式

6a2b3c 314ab

由学生根据“审美标准”，审视出以上分式欠美之处：分子、分母含有“重复”的因式，显得有些臃肿。

提示学生与分数进行类比，得到“美化”的结果，由学生回答得到的结果和依据；然后由老师整理得到找出公因式的方法，提出分式约分的概念、步骤及其依据。

举例分子或分母是多项式的约分

a24a4 a24

师生通过问题组一起探究

问题一：观察分式，与前一分式比较两者主要区别在哪里？你能找出分子、分母的公因式吗？ 问题二：如果不能找出公因式，你可以通过什么变形，把分子、分母变成几个因式积的形式？ 问题三：这时候你是否能找出分子、分母的公因式，公因式是什么？

由学生总结约分的方法规律：若分子、分母是单项式：先找出公因式，后约去；若分子、分母是多项式时，先“准备”，然后因式分解，再约分

约分练习：

a26a9yx2x3y 2222a3xy4xy

四、课堂小结

R2R2201．“美化”课堂一开始引出的分式，得到。 1313RRR2020

（设计说明：“数学来源于生活，又服务于生活”，用学到的知识解决引入中提出的问题，首尾呼应）

第5页 共7页

2．通过以下问题组来总结，要求学生按照板书静心反思总结。（根据学生的反应细化以下问题来引导学生）

问题一：这堂课我们主要学了哪些知识？

问题二：这堂课我们体会到了哪些数学思维方法？

问题三：在这堂课里，你最大的收获是什么？最愉悦的事情是什么？

五、课后作业

必答题组：课本第158页作业题A组；

选做题组一：（基础型）课本第158作业题B组；

选做题组二：（提高型）同步练习第112页，第1、2题。

附小组活动表

运用分式的基本性质的时候要注意什么呢？

 打（*）的为选做问题，当然老师相信你会积极探索；

 小组讨论时，若有疑问请举手示意老师；

 填写的时候尽可能快，我们来比一比哪一组最快；

 当你们与展示的小组有不同意见时，要积极提出你们的看法；鼓励辩论。

第6页 共7页

教学设计总体说明：

1．教学过程流程图，如下：

2．教学设计的主线：其一，本节课的教学设计以“追求分式的简约、和谐美”为教学主线。引入课题阶段，通过观察校园场景，让学生体会到数学来源于生活，是为解决实际问题和追求分式的简约、和谐美而学习分式的基本性质；分式基本性质的运用阶段，

“美化”分式方法

之“化整”，“化正”，约分等过程，其目的和方法都来源于追求分式的简约、和谐美。“追求分式的简约、和谐美”是本课题教学活动的“原动力”。其二，本节课的教学设计以“类比分数的基本性质”为方法（思维）上的主线。从教材的内容看，分式的基本性质无论是形式上还是内容上都与小学时学过的分数的基本性质很类似。因此从探索发现分式的基本性质及其运用的注意点到分式基本性质的运用，都与分数的基本性质进行对比。

第7页 共7页

课题：分式的基本性质

教材：浙江版七年级下册

授课教师：徐渊楫

教学目标：

知识技能目标：

1. 让学生理解分式的基本性质及其内涵要点；

2. 让学生灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形；

3. 让学生了解类比、归纳、分类等思维方法;

过程性目标：

4. 让学生体会学习分式基本性质的必要性及其意义；

5. 让学生经历观察、实验、推理等活动，类比、归纳得到分式基本性质及运用其进行恒等变

形时的注意要点，并且在这一过程中获得一些探索数学性质的初步经验。

教学重点：组织学生探索发现并掌握（运用）分式的基本性质。

教学难点：从“形”的角度解释分式的变形；分式的负号变化特征和分子、分母是多项式的分式的约分。

教学方法和手段：发现探究 小组合作 主体性讲解

教学过程：

一、 创设情景，引入主题（让学生了解学习分式基本性质的必要性）

由欣赏“世界休闲博览会（杭州）的宣传短片的“自然

秀色美”过渡到数学的美；齐声朗读“数学因简约、对称、

和谐而美”。 R2

由右图的大圆盘（来自于校园）引入分式，由学13R20

生根据“简约、对称、和谐”这一“审美”标准来审视以上

分式的和谐性，从而引出用来“美化”这些分式的必需的知识——分式的基本性质。

（设计说明：“追求分式的简约、和谐美”是整节课的主线，情境引入是这条主线的开端；具有亲切感的校园场景，让学生体会到数学来源于生活，是为解决实际问题和追求简约、和谐美而学习分式的基本性质，而不是为学习分式的基本性质而学习。）

二、 探究发现分式的基本性质

1．复习分数的基本性质（为通过“类比”得到分式的基本性质及其运用作铺垫）

第1页 共7页

通过以上圆盘，“数形结合”引出三个等分数124、、，通过以下问题组来复习分4816

数的基本性质及其运用：

（1） 根据我们的“审美标准”，哪个分数最具“简约美”？

421（2） 从、到，我们是通过怎样的变形实现的？ 1684

（3） 请问约分的依据是什么？（分数的基本性质的内容是什么？） （设计说明：从圆盘分割来引出三个等分数为后面用图形面积来解释

上的铺垫，从中开始体会“数形结合”中的“形”到“数”。）

2．探究分式的变形（为通过“归纳”得到分式的基本性质及其运用作铺垫）

问题探究：以下分式的变形是否成立？请简要说明理由。

1221 m2m2mm

提示可以从大圆盘面积来解释变形。（预计学生会利用前面铺垫的“扇形模型”来解释）

然后让学生从“欣赏”的角度来看“矩形模型”：

12（1） m2m

（在原来的矩形上拼上（宽重合）相同的矩形，所得面积为2的矩形与原矩形的宽相等） 注：在大圆盘上分割进行

21 （1）2mm

（面积为

2的矩形沿长的中间部位分开，所得面积为1的小矩形与原矩形宽相等）

注：抽象出矩形，在矩形上分割进行

（设计说明：a.在浙江版的教材中多处（例如：合并同类项、多项式的乘法、乘法公式等）出现了用几何图形的面积来解释代数恒等式，因此这里用图形的面积来解释分式的变形，这是一种学生易于接受的方式，也是对“数形结合”思想的进一步渗透。事实上，图形的面积和代数恒等式之间的关系也是“面积法”解题方法的本质。b.设计中给出了“扇形模型”和“矩形模型”两种方法来解释分式等式，“扇形模型”中默认了m是整数，而“矩形模型”中允许m不是整数。）

第2页 共7页 12做好方法m2m

3．类比、归纳得到分式的基本性质

把以上式子中的2变成3，4，5，„，a，a1，当然也成立。

观察下列分式变形 类比分数的基本性质

1221441  m2m2mm1644

1aa1144(a0)   mamamm4416

1a1a11(a1)  尝试归纳得到分式的基本性质 ma1m(a1)mm

通过学生探究观察这组分式的变形，类比分数的基本性质，归纳得到分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 ．．．．．．．．

（板书）用符号语言表示为

AAMAAM,(M0) BBMBBM

（设计说明：为让学生亲历整个得到分式基本性质的过程，先复习分数的基本性质，然后探究一组分式的变形，通过观察这组分式的变形，类比分数的基本性质，让学生尝试归纳出分．．．．．．式的基本性质。学生在这个过程中会体验到探索数学知识的方法。）

4．小组探讨运用分式基本性质的注意点

组织学生进行有效的小组学习，认识分式基本性质在分式恒等变形中的运用及其注意点，活动主要过程见附表。（上课前发给每个小组一个信封，里面装有小组活动表格）

使用分式基本性质注意点的关键字：“都”，“同”，“乘以或除以”，“不等于零”

（设计说明：为了真正做到有效的合作学习，在活动中考虑了以下问题：a.把活动的主线设计成表格，让学生有目的地带着问题去讨论；b.让学生在进行讨论之前先进行独立思考，有了自己的想法，然后再与别人交换意见，产生思维的碰撞，以真正达到讨论的目的；c.不同层次的学生，允许他们有不同的发展，对问题进行分层设计。）

三、 分式基本性质的运用

1．“美化”分式方法之“化整”

投影仪显示以下两个分式（不给出题目的解答要求）

第3页 共7页

2y 0.03a0.5b 0.7abx2y2x

由学生（回答）根据“审美标准”，审视出以上分式欠美之处：分子、分母一些系数出现了分数和小数，缺乏简约、对称的和谐美，从而得到问题的解答要求是“不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中的系数都化为整数”：

第一题：由学生提出思路，老师详细讲解，强调分子、分母同乘以6时的注意点：把最小公倍数与分子、分母中的每一项都相乘；

第二题：由学生练习，使用实物投影反馈；

由老师和学生一起总结解决“化整”问题的方法规律：当系数是分数时：分子、分母同乘系数分母的最小公倍数；当系数是小数时：一般情况下，分子、分母同乘10的倍数。

（设计说明：“化整”、“化正”、约分是分式的基本性质的运用，是这堂课主线的几个节点。在这三个环节中先出现式子再呈现题目的要求，让学生根据“审美标准”自然地得到题目的标题（解答要求），然后使用分式的基本性质来使这些分式符合“审美标准”。）

2．“美化”分式方法之“化正”

投影仪显示以下分式（不给出题目的解答要求）

aa bb

由学生根据“审美标准”，审视出以上分式欠美之处：分子、分母中含有负号；从而得到问题的要求是“不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的负号去掉”。 222aaa（根据是有理数的除法法则）类比，得到，以及三通过与333bbb

aa。 种不同位置的负号的名称：分子的符号，分母的符号，分式本身的符号；思考：bb

投影仪显示以下分式（不给出题目的解答要求）

3xx2

x2

由老师根据“审美标准”，审视出以上分式欠美之处：分子的多项式没有按x的次数递减排列，分子、分母的最高次项的系数为负；从而得到问题的要求是“不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中最高次项的系数都化为正数”。

由老师详细讲解，特别指出：这里分子、分母最高次项系数的负号不是分子和分母的负号。最后由学生归纳出解决这类“化正”问题的方法规律：当分子或分母是多项式时：先按同一字母次数递减排列，然后，若第一项的系数为负数，则把多项式添带负号的括号，最后

第4页 共7页

把分子或分母的符号化去。

（设计说明：根据课本的精神，在设计中没有提出“符号法则”这个名称，让学生类比分数，根据有理数法则，对分式中的一些符号的变化规律有所感悟）

3．“美化”分式方法之约分

投影仪显示分式

6a2b3c 314ab

由学生根据“审美标准”，审视出以上分式欠美之处：分子、分母含有“重复”的因式，显得有些臃肿。

提示学生与分数进行类比，得到“美化”的结果，由学生回答得到的结果和依据；然后由老师整理得到找出公因式的方法，提出分式约分的概念、步骤及其依据。

举例分子或分母是多项式的约分

a24a4 a24

师生通过问题组一起探究

问题一：观察分式，与前一分式比较两者主要区别在哪里？你能找出分子、分母的公因式吗？ 问题二：如果不能找出公因式，你可以通过什么变形，把分子、分母变成几个因式积的形式？ 问题三：这时候你是否能找出分子、分母的公因式，公因式是什么？

由学生总结约分的方法规律：若分子、分母是单项式：先找出公因式，后约去；若分子、分母是多项式时，先“准备”，然后因式分解，再约分

约分练习：

a26a9yx2x3y 2222a3xy4xy

四、课堂小结

R2R2201．“美化”课堂一开始引出的分式，得到。 1313RRR2020

（设计说明：“数学来源于生活，又服务于生活”，用学到的知识解决引入中提出的问题，首尾呼应）

第5页 共7页

2．通过以下问题组来总结，要求学生按照板书静心反思总结。（根据学生的反应细化以下问题来引导学生）

问题一：这堂课我们主要学了哪些知识？

问题二：这堂课我们体会到了哪些数学思维方法？

问题三：在这堂课里，你最大的收获是什么？最愉悦的事情是什么？

五、课后作业

必答题组：课本第158页作业题A组；

选做题组一：（基础型）课本第158作业题B组；

选做题组二：（提高型）同步练习第112页，第1、2题。

附小组活动表

运用分式的基本性质的时候要注意什么呢？

 打（*）的为选做问题，当然老师相信你会积极探索；

 小组讨论时，若有疑问请举手示意老师；

 填写的时候尽可能快，我们来比一比哪一组最快；

 当你们与展示的小组有不同意见时，要积极提出你们的看法；鼓励辩论。

第6页 共7页

教学设计总体说明：

1．教学过程流程图，如下：

2．教学设计的主线：其一，本节课的教学设计以“追求分式的简约、和谐美”为教学主线。引入课题阶段，通过观察校园场景，让学生体会到数学来源于生活，是为解决实际问题和追求分式的简约、和谐美而学习分式的基本性质；分式基本性质的运用阶段，

“美化”分式方法

之“化整”，“化正”，约分等过程，其目的和方法都来源于追求分式的简约、和谐美。“追求分式的简约、和谐美”是本课题教学活动的“原动力”。其二，本节课的教学设计以“类比分数的基本性质”为方法（思维）上的主线。从教材的内容看，分式的基本性质无论是形式上还是内容上都与小学时学过的分数的基本性质很类似。因此从探索发现分式的基本性质及其运用的注意点到分式基本性质的运用，都与分数的基本性质进行对比。

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