数学及高考中的切比雪夫多项式
徐国辉1 舒红霞
（大冶市第一中学, 湖北 435100）
1. 切比雪夫及其贡献
切比雪夫(1821年5月16日－1894年12月8日),俄国数学家、力学家.
切比雪夫在数学的很多方面都做出了重要贡献.在概率论方面,他证明了一般形式的大数定律,并形成了俄国的概率论学派.在数论方面,他从本质上推进了素数分布问题的研究.证明了贝特郎提出的关于素数分布规律的另一个猜想:即在x和2x之间有素数存在.在函数逼近论方面,他创立了切比雪夫最佳逼近论,证明了最佳逼近多项式的一系列性质,创立了函数构造理论.他在这些领域的开创性工作从根本上改变了传统数学大国的数学家们对俄国数学的看法,使得俄国步入世界数学强国之列.
在数学中以他的姓氏命名的有:切比雪夫集、切比雪夫多项式、切比雪夫不等式等等.
2. 切比雪夫多项式的定义及其性质
本文重点介绍Tn(x)的定义及其三个性质.
Tn(x)的定义如下:T1(x)=x, T2(x)=2x2−1,
对于正整数n≥3,有Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x).
Tn(x)具有一下三条性质:
(i) Tn(x)是唯一确定的n次整系数多项式,首项为2n−1xn.
(ii) Tn(cosθ)=cosnθ,∀θ∈R.
(iii) −1≤x≤1时,|Tn(x)|≤1.
3. 数学及高考中的切比雪夫多项式
近两年来,有关切比雪夫多项式的高考题时有出现,它们极大的丰富了高考数学的内容,避免了老师和学生猜题压宝,具有良好的导向作用.然而也有不少老师认为这些题是怪题,偏题,实则是没有弄清楚它们的背景.比如以下三道高考题:
（1）(2009年高考数学湖北理科卷21题)在R上定义运算
12⊗:p⊗q=−(p−c)(q−b)+4bc(b、c为常数).记f1(x)=x−2c,f2(x)=x−2b,x∈R.3
令f(x)=f1(x)⊗f2(x).
(i) 如果函数f(x)在x=1处有极值−4,试确定b、c的值; 3
(ii) 求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
1联系作者,邮箱:,手机:[1**********]
(iii) 记g(x)=f(x)(−1≤x≤1)的最大值为M. 若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的最大值.
（2）(2010年高考数学江苏卷理科23题)已知△ABC的三边长为有理数
(i) 求证cosA是有理数.
(ii) 对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.
（3）(2010年高考数学福建卷文史类16题) 观察下列等式:
① cos2α=2 cos2 α－1；
② cos 4α=8 cos4 α－8 cos2 α+1；
③ cos 6α=32 cos6 α－48 cos4 α＋18 cos2 α－1；
④ cos 8α= 128 cos8α－256cos6 α＋160 cos4 α－32 cos2 α＋1；
⑤ cos 10α=mcos10α－1280 cos8α＋1120cos6 α＋ncos4 α＋p cos2 α－1；
可以推测,m－n+p= .
第一题以“新定义运算”为背景,考查了极值的概念、导数的几何意义以及二次函数和绝对值的复合最值问题,一二两问比较容易,第三问难度颇大,其本质是Tn(x)的第一个性质,其结果就是T2(x);第二题以“余弦定理”为背景,考查数学归纳法,其实质是Tn(x)的第二个性质;第三题以“余弦二倍角展开式”为背景,考查合情推理,其实质是Tn(x)一二两个性质的综合应用.
切比雪夫多项式是高等数学的内容,将其“镶嵌”在高考题中可谓独具匠心,而且在三个不同的省份前后出现,同一素材,不同视角,充分显示了命题者对切比雪夫多项式的青睐.很明显这些高考题的立意是高等的,解法是初等的,命题者借助此类试题来考查学生对知识的掌握程度和继续学习的潜能,而这些具有高等数学背景的高考试题,不会在解答时对考生造成思维障碍,考生在不清楚高等数学背景的情形下,只要具备灵活运用相关初等数学知识的能力、一定的阅读能力、信息整合能力和分析问题的能力就能完成解答.而这也正好契合了新课标的要求:获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法以及它们在后续学习中的作用.通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程.同时,作为学生可以不用知道高等数学背景就可完成解答,但作为一名优秀的中学教师必须掌握高等数学知识,能运用高等数学知识指导教学和研究工作.张奠宙先生曾指出“:在日常的中学数学教学中,能够用高等数学的思想、观点、方法去解释和理解中学数学问题的例子很多.重要的是,作为一名数学教师应该具有这样的思维意识”.因此,我们有必要在教学中加大初等知识和高等知识交叉点的研究性学习,优化知识结构,提高高等数学素养,认真研究高考试题,善于用高等数学的知识、观点和方法,以一种居高临下的态势驾驭初等数学的内容,使初等数学的教学达到理想境界,进而不断提高数学教学的质量.
参考文献:
[1] 吴文俊. 世界注明数学家传记[M].北京:科学出版设,1990.
[2] 蔡小雄，孙慧华。新课标高中数学竞赛通用教材高一分册[M].杭州：浙江大学出版社,2006.
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数学及高考中的切比雪夫多项式
徐国辉1 舒红霞
（大冶市第一中学, 湖北 435100）
1. 切比雪夫及其贡献
切比雪夫(1821年5月16日－1894年12月8日),俄国数学家、力学家.
切比雪夫在数学的很多方面都做出了重要贡献.在概率论方面,他证明了一般形式的大数定律,并形成了俄国的概率论学派.在数论方面,他从本质上推进了素数分布问题的研究.证明了贝特郎提出的关于素数分布规律的另一个猜想:即在x和2x之间有素数存在.在函数逼近论方面,他创立了切比雪夫最佳逼近论,证明了最佳逼近多项式的一系列性质,创立了函数构造理论.他在这些领域的开创性工作从根本上改变了传统数学大国的数学家们对俄国数学的看法,使得俄国步入世界数学强国之列.
在数学中以他的姓氏命名的有:切比雪夫集、切比雪夫多项式、切比雪夫不等式等等.
2. 切比雪夫多项式的定义及其性质
本文重点介绍Tn(x)的定义及其三个性质.
Tn(x)的定义如下:T1(x)=x, T2(x)=2x2−1,
对于正整数n≥3,有Tn(x)=2xTn−1(x)−Tn−2(x).
Tn(x)具有一下三条性质:
(i) Tn(x)是唯一确定的n次整系数多项式,首项为2n−1xn.
(ii) Tn(cosθ)=cosnθ,∀θ∈R.
(iii) −1≤x≤1时,|Tn(x)|≤1.
3. 数学及高考中的切比雪夫多项式
近两年来,有关切比雪夫多项式的高考题时有出现,它们极大的丰富了高考数学的内容,避免了老师和学生猜题压宝,具有良好的导向作用.然而也有不少老师认为这些题是怪题,偏题,实则是没有弄清楚它们的背景.比如以下三道高考题:
（1）(2009年高考数学湖北理科卷21题)在R上定义运算
12⊗:p⊗q=−(p−c)(q−b)+4bc(b、c为常数).记f1(x)=x−2c,f2(x)=x−2b,x∈R.3
令f(x)=f1(x)⊗f2(x).
(i) 如果函数f(x)在x=1处有极值−4,试确定b、c的值; 3
(ii) 求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
1联系作者,邮箱:,手机:[1**********]
(iii) 记g(x)=f(x)(−1≤x≤1)的最大值为M. 若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的最大值.
（2）(2010年高考数学江苏卷理科23题)已知△ABC的三边长为有理数
(i) 求证cosA是有理数.
(ii) 对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.
（3）(2010年高考数学福建卷文史类16题) 观察下列等式:
① cos2α=2 cos2 α－1；
② cos 4α=8 cos4 α－8 cos2 α+1；
③ cos 6α=32 cos6 α－48 cos4 α＋18 cos2 α－1；
④ cos 8α= 128 cos8α－256cos6 α＋160 cos4 α－32 cos2 α＋1；
⑤ cos 10α=mcos10α－1280 cos8α＋1120cos6 α＋ncos4 α＋p cos2 α－1；
可以推测,m－n+p= .
第一题以“新定义运算”为背景,考查了极值的概念、导数的几何意义以及二次函数和绝对值的复合最值问题,一二两问比较容易,第三问难度颇大,其本质是Tn(x)的第一个性质,其结果就是T2(x);第二题以“余弦定理”为背景,考查数学归纳法,其实质是Tn(x)的第二个性质;第三题以“余弦二倍角展开式”为背景,考查合情推理,其实质是Tn(x)一二两个性质的综合应用.
切比雪夫多项式是高等数学的内容,将其“镶嵌”在高考题中可谓独具匠心,而且在三个不同的省份前后出现,同一素材,不同视角,充分显示了命题者对切比雪夫多项式的青睐.很明显这些高考题的立意是高等的,解法是初等的,命题者借助此类试题来考查学生对知识的掌握程度和继续学习的潜能,而这些具有高等数学背景的高考试题,不会在解答时对考生造成思维障碍,考生在不清楚高等数学背景的情形下,只要具备灵活运用相关初等数学知识的能力、一定的阅读能力、信息整合能力和分析问题的能力就能完成解答.而这也正好契合了新课标的要求:获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法以及它们在后续学习中的作用.通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程.同时,作为学生可以不用知道高等数学背景就可完成解答,但作为一名优秀的中学教师必须掌握高等数学知识,能运用高等数学知识指导教学和研究工作.张奠宙先生曾指出“:在日常的中学数学教学中,能够用高等数学的思想、观点、方法去解释和理解中学数学问题的例子很多.重要的是,作为一名数学教师应该具有这样的思维意识”.因此,我们有必要在教学中加大初等知识和高等知识交叉点的研究性学习,优化知识结构,提高高等数学素养,认真研究高考试题,善于用高等数学的知识、观点和方法,以一种居高临下的态势驾驭初等数学的内容,使初等数学的教学达到理想境界,进而不断提高数学教学的质量.
参考文献:
[1] 吴文俊. 世界注明数学家传记[M].北京:科学出版设,1990.
[2] 蔡小雄，孙慧华。新课标高中数学竞赛通用教材高一分册[M].杭州：浙江大学出版社,2006.
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