求电场强度的几种特殊思维方法
电场强度是静电学中极其重要的概念。也是高考中考点分布的重点区域之一，求电场强度的常用方法有：定义式法，点电荷场强公式法，匀强电场公式法，矢量叠加法等。本文讨论特殊静电场中求某点电场强度的几种特殊方法，供大家参考。 一、补偿法
求解电场强度，常用的方法是根据问题给出的条件建立起物理模型，如果这个模型是一个完整的标准模型，则容易解决。但有时由题给条件建立的模型不是一个完整的标准模型，比如说是模型A 。这时需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一容易求解的模型B ，并且模型A 与模型B 恰好组成一个完整的标准模型。这样，求解模型A 的问题就变为求解一个完整的标准模型与模型B 的差值问题。
例1 如图1所示，用长为l 的金属丝弯成半径为r 的圆弧，但在A 、B 之间留有宽度为d 的间隙。且d
一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相对应的点电荷，它们在圆心O 处产生的电场叠加后合场强为零。根据对称性可知，带图1
电圆环在圆心O 处的总场强E =0。至于补上的带电小段，由题给
条件可视做点电荷，它在圆心O 处的场强E 1是可求的。若题中待求场强为E 2，则
E 1+E 2=0。设原缺口环所带电荷的线密度δ=
电量q =δd 。q 在O 处的场强为E 1=
Q
，则补上的那一小段金属线的带
2πr -d
kq
，由E 1+E 2=0可得 r 2
E 1=-E 2
负号表示E 1与E 2反向，背向圆心向左。
评注 解决此题的方法，由于添补圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，整体时有办法解决．再“由整体分为局部”，求出缺口带电圆环在O 处的场强． 二、微元法
微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量。
例2 如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q ，半径为r ，圆心为O ，P 为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP =l ，试求P 点的场强。
解析 设想将圆环等分n 个小段，当n 相当大时。每一小段都
Q 可以看做点电荷。其所带电荷量q =。由点电荷场强公式n
kq kQ
可求得每一点电荷在P 处的场强为E =2= 22
'r n (l +r )
r '
由对称性可知，各小段带电环在P 处的场强E 的垂直于轴向的分量E y 相互抵消，而E 的轴向分量E x 之和即为带电环在P 处的场强E P 。
Q
cos θ22
n (l +r )
nkQ klQ
=22=3n (l +r ) 222
(l +r )
E P =nE x =nk
评注 本题是通过“微元法”将非点电荷电场问题转化为点电荷电场问题求解。 三、等效替代法
“等效替代”方法，是指在效果一致的前提 ，从A 事实出发，用另外的B 事实来代替，必要时再由B 而C „„直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应的联系，得以用有关规律解之，如以模型替代实物，以合力 (合运动) 替代数个分力(分运动) ：等效电阻、等效电源等。
例3 如图3所示，一带+q 电量的点电苘A ，与一块接地的长金属板MN 组成一系统。点电荷A 与板间的垂直距离为d ，试求A 与板MN 的连线中点C 处
的电场强度。
解析 此题初看十分棘手，如果再画出金属板MN 被点电荷A 所感应而产生的负电荷(于板的右表面) ，则更是走进死胡同无法
解决，那么此题能否用中学所学的知识灵活地迁移而分析解决
呢? 当然可以，由金属长板MN 接地的零电势条件，等效联想
图4所示的由两个等量异种电荷组成的系统的静电场的分布状况，这样的点电荷系统所形成
N ' ，恰是一电势为零的合电场的分布状况并不陌生，A 、B 两点电荷连线的垂直平分面M '
的等势面，利用这样的等效替代的方法，很容易求出C 点的电场强度。根据点电荷场强式
kq r 2
点电荷A 在C 点形成的电场
E =
E CA =
kq ⎛d ⎫ ⎪⎝2⎭
2
点电荷B 在C 点形成的电场 E CB =
kq ⎛3d ⎫ ⎪⎝2⎭
2
因E CA 与E CB 同方向，均从A 指向B ，故而 E C =E CA +E CB =
40kq
9d 2
评注 此题要求较高，需要类比等量异种电荷电场与所求电场的相似之处，才能发现可以替代。高中物理试验本(选修加必修) 第99页有此题模型的电场线分布图。这种等效替代法也叫
“镜像法”。 q
四、极值法
物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理、定律求解。数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。 例5 如图5所示，两带电量均+q 的点电荷相距l ，MN 是两点电荷连线的中垂线，求MN 上场强的最大值。
4kq cos 2θ
'=E B '=E A
l 2
根据平行四边形定则得到P 点的合场强为
'sin θ+E B 'sin θ=E P =E A
2
P
8kq
cos 2θsin θ 2l
64k 2q 232k 2q 242
E =cos θsin θ=⨯2sin 2θ⋅cos 2θ⋅cos 2θ44
l l
因为2sin θ+cos θ+cos θ=2
2
2
2
32k 2q 2⎛2sin 2θ+cos 2θ+cos 2θ⎫32k 2q 2⎛2⎫32k 2q 282
E P ≤⨯ ⨯ ⎪=⨯ ⎪=44
l 43l 3l 27⎝⎭⎝⎭
3
3
32k 2q 28sin θ2
⨯ 所以当2sin θ=
cos θ时，即时，E P 取得最大值=tan θ=4
l 27cos θ2
2
2
即当
sin θ时，P
点的场强取得最大值，且E max = =tan θ=
cos θ评注 本题属数学型极值法，对数学能力要求较高，求极值时要巧妙采用先求平方后的极值
才能解得。 五、转换法：
1．根据静电平衡状态下导体的特点，将求解感应电荷在导体内某点的场强问题，转换为求解场源电荷在该点的场强问题。
2．根据电场线与等势线垂直，求电场强度要先转化为找电场线，确定电场方向，再利用
E =
U
求解。 d
例5 长为l 的导体棒原来不带电，现将一带电电量为+q 的点电荷放在距棒的左端r 处，如图6所示，当导体棒达到静电平衡后，棒上感应电荷在棒内中点处产生的场强大小等于 ，方向
解析 导体处于静电平衡状态时，导体内部合场
q 强为零，这是点电荷q 所形成的电场E 1与棒两端
图6 出现的感应电荷所形成的附加电场E 2在棒中叠
加的结果，即E =E 1+E 2=0, 如图6所示, 因此可通过计算点电荷+q 产生的场强E 1来确定感应电荷的场强E 2的大小和方向，即
E 2=-E 1=
-kq
，负号表示E 2与E 1方向相反，即E 2的方向向左。 l 2
(r +)
2
评注 此题考查学生对导体静电平衡特点的理解，在灵活运用知识点的同时，让学生明确求解感应电荷场强的特殊思维方法。 附练习题
1．如图7所示，有一个均匀带电的硬橡胶球，其带电量为q 。半径为r ，在距球体表面r 远处有一带电量为Q 的点电荷，此时带电体与点电荷间的库仑力为F 1, 当
r
从硬橡胶球体中挖去如图中所示的一个半径为的球体时，硬橡胶球体
2
剩余部分对点电荷Q 的库仑力为F 2，求F 1与F 2的比值。 2．无限长均匀带电细导线弯成如图8所示的平面图形。其中AB 是半径为r 的半圆弧，AA '平行于BB '，试求圆心O 处的电场强度。 3．一个竖直放置的半径为r 的光滑绝缘环，置于水平方向的匀强电场中，电场强度为E 。有一质量为m ，电量为q 的带正电的空心小球套在环上，并且qE =mg ，求 (1)当小球由静止开始从环的顶端A 下滑
图8
1
圆弧长到位置B 时．小球速度为多大? 环对小球4
的压力为多大?
(2)小球从环的顶端A 滑至底端C 的过程中，小球在何处速度最大? 为多少?
M 、N 三点，4．在匀强电场中有P 、连线构成一个直角三角形, 其中∠P =90, ∠M =30,
如图9所示，已知三点电势各为ϕP =2V 、ϕM =6V 、
ϕN =-2V , MN =20cm ，求电场强度的大小与方向？
求电场强度的几种特殊思维方法
电场强度是静电学中极其重要的概念。也是高考中考点分布的重点区域之一，求电场强度的常用方法有：定义式法，点电荷场强公式法，匀强电场公式法，矢量叠加法等。本文讨论特殊静电场中求某点电场强度的几种特殊方法，供大家参考。 一、补偿法
求解电场强度，常用的方法是根据问题给出的条件建立起物理模型，如果这个模型是一个完整的标准模型，则容易解决。但有时由题给条件建立的模型不是一个完整的标准模型，比如说是模型A 。这时需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一容易求解的模型B ，并且模型A 与模型B 恰好组成一个完整的标准模型。这样，求解模型A 的问题就变为求解一个完整的标准模型与模型B 的差值问题。
例1 如图1所示，用长为l 的金属丝弯成半径为r 的圆弧，但在A 、B 之间留有宽度为d 的间隙。且d
一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相对应的点电荷，它们在圆心O 处产生的电场叠加后合场强为零。根据对称性可知，带图1
电圆环在圆心O 处的总场强E =0。至于补上的带电小段，由题给
条件可视做点电荷，它在圆心O 处的场强E 1是可求的。若题中待求场强为E 2，则
E 1+E 2=0。设原缺口环所带电荷的线密度δ=
电量q =δd 。q 在O 处的场强为E 1=
Q
，则补上的那一小段金属线的带
2πr -d
kq
，由E 1+E 2=0可得 r 2
E 1=-E 2
负号表示E 1与E 2反向，背向圆心向左。
评注 解决此题的方法，由于添补圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，整体时有办法解决．再“由整体分为局部”，求出缺口带电圆环在O 处的场强． 二、微元法
微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量。
例2 如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q ，半径为r ，圆心为O ，P 为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP =l ，试求P 点的场强。
解析 设想将圆环等分n 个小段，当n 相当大时。每一小段都
Q 可以看做点电荷。其所带电荷量q =。由点电荷场强公式n
kq kQ
可求得每一点电荷在P 处的场强为E =2= 22
'r n (l +r )
r '
由对称性可知，各小段带电环在P 处的场强E 的垂直于轴向的分量E y 相互抵消，而E 的轴向分量E x 之和即为带电环在P 处的场强E P 。
Q
cos θ22
n (l +r )
nkQ klQ
=22=3n (l +r ) 222
(l +r )
E P =nE x =nk
评注 本题是通过“微元法”将非点电荷电场问题转化为点电荷电场问题求解。 三、等效替代法
“等效替代”方法，是指在效果一致的前提 ，从A 事实出发，用另外的B 事实来代替，必要时再由B 而C „„直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应的联系，得以用有关规律解之，如以模型替代实物，以合力 (合运动) 替代数个分力(分运动) ：等效电阻、等效电源等。
例3 如图3所示，一带+q 电量的点电苘A ，与一块接地的长金属板MN 组成一系统。点电荷A 与板间的垂直距离为d ，试求A 与板MN 的连线中点C 处
的电场强度。
解析 此题初看十分棘手，如果再画出金属板MN 被点电荷A 所感应而产生的负电荷(于板的右表面) ，则更是走进死胡同无法
解决，那么此题能否用中学所学的知识灵活地迁移而分析解决
呢? 当然可以，由金属长板MN 接地的零电势条件，等效联想
图4所示的由两个等量异种电荷组成的系统的静电场的分布状况，这样的点电荷系统所形成
N ' ，恰是一电势为零的合电场的分布状况并不陌生，A 、B 两点电荷连线的垂直平分面M '
的等势面，利用这样的等效替代的方法，很容易求出C 点的电场强度。根据点电荷场强式
kq r 2
点电荷A 在C 点形成的电场
E =
E CA =
kq ⎛d ⎫ ⎪⎝2⎭
2
点电荷B 在C 点形成的电场 E CB =
kq ⎛3d ⎫ ⎪⎝2⎭
2
因E CA 与E CB 同方向，均从A 指向B ，故而 E C =E CA +E CB =
40kq
9d 2
评注 此题要求较高，需要类比等量异种电荷电场与所求电场的相似之处，才能发现可以替代。高中物理试验本(选修加必修) 第99页有此题模型的电场线分布图。这种等效替代法也叫
“镜像法”。 q
四、极值法
物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理、定律求解。数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。 例5 如图5所示，两带电量均+q 的点电荷相距l ，MN 是两点电荷连线的中垂线，求MN 上场强的最大值。
4kq cos 2θ
'=E B '=E A
l 2
根据平行四边形定则得到P 点的合场强为
'sin θ+E B 'sin θ=E P =E A
2
P
8kq
cos 2θsin θ 2l
64k 2q 232k 2q 242
E =cos θsin θ=⨯2sin 2θ⋅cos 2θ⋅cos 2θ44
l l
因为2sin θ+cos θ+cos θ=2
2
2
2
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E P ≤⨯ ⨯ ⎪=⨯ ⎪=44
l 43l 3l 27⎝⎭⎝⎭
3
3
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⨯ 所以当2sin θ=
cos θ时，即时，E P 取得最大值=tan θ=4
l 27cos θ2
2
2
即当
sin θ时，P
点的场强取得最大值，且E max = =tan θ=
cos θ评注 本题属数学型极值法，对数学能力要求较高，求极值时要巧妙采用先求平方后的极值
才能解得。 五、转换法：
1．根据静电平衡状态下导体的特点，将求解感应电荷在导体内某点的场强问题，转换为求解场源电荷在该点的场强问题。
2．根据电场线与等势线垂直，求电场强度要先转化为找电场线，确定电场方向，再利用
E =
U
求解。 d
例5 长为l 的导体棒原来不带电，现将一带电电量为+q 的点电荷放在距棒的左端r 处，如图6所示，当导体棒达到静电平衡后，棒上感应电荷在棒内中点处产生的场强大小等于 ，方向
解析 导体处于静电平衡状态时，导体内部合场
q 强为零，这是点电荷q 所形成的电场E 1与棒两端
图6 出现的感应电荷所形成的附加电场E 2在棒中叠
加的结果，即E =E 1+E 2=0, 如图6所示, 因此可通过计算点电荷+q 产生的场强E 1来确定感应电荷的场强E 2的大小和方向，即
E 2=-E 1=
-kq
，负号表示E 2与E 1方向相反，即E 2的方向向左。 l 2
(r +)
2
评注 此题考查学生对导体静电平衡特点的理解，在灵活运用知识点的同时，让学生明确求解感应电荷场强的特殊思维方法。 附练习题
1．如图7所示，有一个均匀带电的硬橡胶球，其带电量为q 。半径为r ，在距球体表面r 远处有一带电量为Q 的点电荷，此时带电体与点电荷间的库仑力为F 1, 当
r
从硬橡胶球体中挖去如图中所示的一个半径为的球体时，硬橡胶球体
2
剩余部分对点电荷Q 的库仑力为F 2，求F 1与F 2的比值。 2．无限长均匀带电细导线弯成如图8所示的平面图形。其中AB 是半径为r 的半圆弧，AA '平行于BB '，试求圆心O 处的电场强度。 3．一个竖直放置的半径为r 的光滑绝缘环，置于水平方向的匀强电场中，电场强度为E 。有一质量为m ，电量为q 的带正电的空心小球套在环上，并且qE =mg ，求 (1)当小球由静止开始从环的顶端A 下滑
图8
1
圆弧长到位置B 时．小球速度为多大? 环对小球4
的压力为多大?
(2)小球从环的顶端A 滑至底端C 的过程中，小球在何处速度最大? 为多少?
M 、N 三点，4．在匀强电场中有P 、连线构成一个直角三角形, 其中∠P =90, ∠M =30,
如图9所示，已知三点电势各为ϕP =2V 、ϕM =6V 、
ϕN =-2V , MN =20cm ，求电场强度的大小与方向？