直线方程
1 直线
1.1 直线的倾斜角和斜率
1.1.1 倾斜角：直线向上的方向与X 轴正方向所成的最小的正角叫做直线的倾斜角，其中倾斜角的取值范围为[0, π]； 1.1.2 斜率：倾斜角不是
π
2
的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，
记作k =tan α；其中直线与X 轴垂直，斜率不存在，解题中须重视。
1.2 直线方程的几种形式：
1.2.1 点斜式：y -y ︒=k (x -x ︒)，但是过点(x ︒, y ︒)且垂直于X 轴的直线不能用点斜式表示，可以写成x =x ︒；
1.2.2斜截式：y =kx +b , 上式中k 即为该直线的斜率 1.2.3 两点式：示。
1.2.4 截距式：
x a +y b
=1，对于平行于坐标轴或过原点的直线不能用截距式，其y -y 1y 2-y 1
=x -x 1x 2-x 1
，对于平行于X 轴和Y 轴的直线不能用两点式表
中结局表示的是坐标而不是长度，需注意。
上述4种形式各有局限性，解直线方程时需倍加注意，以防丢解。 1.2.5 直线方程的一般形式 Ax +By +C =0（A 、B 不同时为0），任何一条直线都可以用一般式表示，同时任何一个二元一次方程都表示一条直线。
1.3 两条直线的位置关系
1.3.1 两条直线的平行与垂直
两条直线有斜率且没有交点，则l 1//l 2⇔k 1=k 2；两条直线都有斜率，
l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1，证明如下：假设第一条直线的倾斜角为α
，则第二条直线的
倾斜角为 α+
⎝
⎛
π⎫
2⎭
⎪，k 1k 2=tan αtan α+
⎝
⎛
π⎫
⎪=tan α(-cot α
2⎭
)=-1得证。
若直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0 直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0
则两条直线平行时有：A 1B 2-A 2B 1=0; 两直线垂直时则有：A 1A 2+B 1B 2=0 1.3.2 两条直线l 1和l 2，将直线l 1逆时针旋转到与l 2重合时所转过的角，称作l 1到l 2的角。到角公式可以表示为tan θ=
tan α2-tan α11+tan α1tan α2
=k 2-k 11+k 1k 2
1.3.3
点到直线的距离d =
，(x ︒, y ︒)为直线Ax +By +C =0外一点；
两条平行直线之间的距离，若直线l 1:Ax +By +C 1=0与直线
l 2:Ax +By +C 2=0
平行，则d =
1.3.4 两点之间的距离
d = 1.4 对称直线的求解
如图所示，逆时针方向直线分别为1、2、3，已知直线1、2的表达式，如何求解直线1关于直线2对称的直线？即求解直线3.
假设三条直线的倾斜角分别为α, β, γ，则存在如下关系tan (α-β)=tan (β-γ)或
者tan (γ-β)=tan (β-α)，通过三角函数的等价转化可求得直线3的斜率，可解直线3
方程。
直线系方程
过直线l 1, l 2交点的直线系：设l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2Y +C 2=0，则A 1x +B 1y +C 1+λ(A x +B Y +C )=0（λ∈R ）表示一束过l 1, l 2交点的直线系。 222
1.5基础练习
1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ）
A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(-1, 3) 且平行于直线x -2y +3=0的直线方程为（ ）
x -2y +7=0 B．2x +y -1=0 C ．x -2y -5=0 D ．2x +y -5=0 A ．
3. 在同一直角坐标系中，表示直线y =ax 与y =x +a 正确的是（ ）
O x O x O x x
A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ） A ．-
23
B．
23
C．-
32
D．
32
5. 过(x 1，y 1) 和(x 2，y 2) 两点的直线的方程是( )
A . B .
y -y 1y 2-y 1y -y 1y 2-y 1
==x -x 1x 2-x 1x -x 1x 1-x 2
C .(y 2-y 1)(x -x 1) -(x 2-x 1)(y -y 1) =0D .(x 2-x 1)(x -x 1) -(y 2-y 1)(y -y 1) =0
6、若图中的直线L 1、L 2、L 3
）
A 、K 1﹤K 2﹤K 3
B 、K 2﹤K 1﹤K 3 C 、K 3﹤K 2﹤K 1
x D 、K 1﹤K 3﹤K 2
7、直线2x+3y-5=0关于直线y=x） A 、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0 C 、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=0
8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
9、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a, 在y 轴上的截距为b, 则（ ） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2,b=5; D.a=-2,b=-5.
10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)
11两直线2x+3y－k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是
12两平行直线x +3y -4=0与2x +6y -9=0的距离是 。
13、直线x +m 2y +6=0与直线(m -2) x +3my +2m =0没有公共点，求实数m 的值。
14、求经过两条直线l 1:x +y -4=0和l 2:x -y +2=0的交点，且分别与直线
2x -y -1=0
（1）平行，（2）垂直的直线方程。
15、求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。
1.6能力提升
1、下列命题中正确的是： （ ） A 、经过点P 0（x 0, y0）的直线都可以用方程y －y 0=k(x－x 0) 表示 B 、经过定点A （0, b）的直线都可以用方程y=kx+b表示 C 、经过任意两个不同点P 1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直线都可用方程（x 2－x 1）(y－y 1)=(y2－y 1)(x
－x 1) 表示 D 、不经过原点的直线都可以用方程
x a +y b
=1表示
2、设点P （a, b），Q(c, d)是直线y=mx+k上两点，则|PQ|等于 （ ）
2222 A 、|a -c |+m B 、|a +c |+m C 、|b -d |+m D 、|b +d |1+m
3、直线x+y=2, x－y=2, x+ay=3围成一个三角形，则：
A 、a ≠±1 B 、a ≠1且a ≠2 C 、a ≠－1且a ≠2 D 、a ≠±1且a ≠2 4、经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距
离的直线的方程是 。 5、一直线过点A （－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是。 6、平面上有相异两点A(cosθ,sin 2θ) 和B （0，1），求经过A 、B 两点直线的斜率及倾斜角
的范围。
7、已知直线L ：y=ax+2和A （1，4），B （3，1）两点，当直线L 与线段AB 相交时，求实
数a 的取值范围。
8、已知P （2，1），过P 作一直线，使它夹在已知直线x+2y－3=0,2x+5y－10=0间的线段被
点P 平分，求直线方程。
9、求证：不论a, b为何实数，直线(2a+b)x+(a+b)y+a－b=0均通过一定点，并求此定点坐标。
10、已知点F （6，4）和直线L 1：y=4x，求过P 的直线L ，使它和L 1以及x 轴在第一象限
内围成的三角形的面积最小。
11、△ABC 中，a, b, c是内角A 、B 、C 的对边，且lgsinA 、lgsinB 、lgsinC 成等差数列，则下列两条直线L 1：sin 2A ·x+sinA·y －a=0与L 2：sin 2B ·x+sinC·y －C=0的位置关系是：（ ）
A 、重合 B 、相交（不垂直） C 、垂直 D 、平行
12已知直线l 和直线m 的方程分别为2x －y+1=0，3x －y=0，则直线m 关于直线l 的对称直线m ′的方程为 。
13、过L 1：3x －5y －10=0和L 2：x+y+1=0的交点，且平行于L 3：x+2y－5=0的直线方程为 。
14、光线沿直线l 1:x -2y +5=0的方向射入于直线l :3x -2y +7=0后反射回去，求反射光线的直线方程
15、光线由点P （2，3）射到直线x+y=－1上，反射后过点Q （1，1），则反射光线方程为？
1.7拓展提升
1、两直线ax+y－4=0与x －y －2=0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是： （ ） A 、－1－1 C 、a2
2、设两直线L 1，L 2的方程分别为x+y-cos α+b =0, x sin α+y +cos α-α=0, (a, b为常数，a 以第三象限角) ，则L 1与L 2 （ ） A 、平行 B 、垂直 C 、平行或重合 D 、相交但不一定垂直 3、设a, b, k, p分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有：（ ） A 、a 2k 2=p2(1+k2) B 、k =
b a
C 、
1a
+
1b
=p D 、a=－kb
4、若点（1，1）到直线xcos α+ysinα=2的距离为d ，则d 的最大值是。 5、一束光线经过点A （－2，1），由直线L ：x －3y+2=0反射后，经过点B （3，5）射出，则反射光线所在直线的方程为 。 6、m, n为何值时，两直线mx+3y+n=0, 3x+my+1=0 （ ） A 、相交 B 、平行 C 、重合 D 、垂直 7、已知△ABC 中，点A （3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0, ∠B 的平分线所在直线的议程为x －4y+10=0，求BC 边所在直线的方程。
8、已知定点A （0，a ），B （0, b）, (a>b>0)，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。
9、已知点A （2，0），B （0，6），O 为坐标原点，（1）若点C 在线段OB 上，且∠ABC=
π
4
，
求△ABC 的面积。（2）若原点O 关于直线AB 的对称点为D ，延长BD 到P ，且|PD|=2|BD|，已知直线L ：ax+10y+84－1083=0经过点P ，求直线l 的倾斜角。
10、直线l ：3x －y －1=0，在l 上求一点P ，使得（1）P 到A （4，1）和B （0，4）的距离之差的绝对值最大；（2）P 到A （4，1），C （3，4）的距离之和最小。
11、已知点A （-3，5），B （2，15），试在直线L :3x -4y +4=0上找一点P, 使得
PA +PB 最小，并求出最小值。
12，已知点A （4，1），B （0，4），试在直线l :3x -y -1=0上找一点P ，使得PA -PB 的绝对值最大，并求出最大值。
13 求函数f (
x )=
14已知直线ax +by +c =0中的a,b,c 取自集合{-3, -2, -1, 0,1, 2, 3}中3各不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线有多少条？
15过点P （1，1）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线的条数。
的最小值。
1.8简单的线性规划
例1：已知线性约束条件
⎧x -y +3≥0, ⎪
x +y -5≤0⎪⎪
⎨2x -y -4≤0, 求目标函数z =x +2y 的最大值
⎪x ≥0⎪⎪⎩y ≥0
例2：点(x, y)是在区域|x|+|y|≤1内的动点，求ax －y(a>0)的最大值及最小值。
例3：用解析法证明：等边三角形内一点到三边距离之和为定值。
例4：某运输公司有7辆载重6t 的A 型卡车，4辆载重 10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，在建造某段高速公 路中，公司承包了每天至少运输沥青360t 的任务。已 知每辆卡车每天往返次数为A 型8次，B 型6次，每 次运输成本为A 型160元，B 型252元。每天应派出
A 型、B 型车各多少辆，能使公司总成本最低？
【备用题】
要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小
今需要A 、B 、C 三种规格的成品各15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 【基础训练】
1、在直角坐标系中，满足不等式x 2－y 2≥0的点（x, y）的集合的阴影部分是： （ ）
2、若x ≥0，y ≥0m, 且x+y≤1，则z=x－y 的最大值是： （ ） A 、－1 B 、1 C 、2 D 、－2 3、直线y=kx－3与曲线x 2+y2=4无交点，则k 的取值范围是： （ ） A 、|k|
5
2
B 、|k|≤
52
C 、k>
52
D 、k>－
52
4、用三条直线x+2y=2,2x+y=2，x －y=3围成一个三角形，则三角形内部区域（不包括边界）用不等式组 表示。
⎧y ≤x ⎪
5、已知⎨x +y ≤1，则z=2x+y的最大值是 。
⎪y ≥-1⎩
6、已知x ∈R ，f(x)的最大值是 【拓展练习】
1、在约束条件：x+2y≤5，2x+y≤4，x ≥0，y ≥0下，x=3x+4y的最大值是 （ ） A 、9 B 、10 C 、11 D 、12 2、设R 为平面上以A （4，1），B （－1，－6），C （－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x－3y 的最大值与最小值分别为： （ ） A 、最大值14，最小值－18 B 、最大值－14，最小值－18 C 、最大值18，最小值14 D 、最大值18，最小值－14 3、曲线x=y2与y=x2的交点个数是： （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、若0≤x ≤1, －1≤y ≤2，则z=x+4y的最小值是。
5、若x ≥0, y≥0,2x+3y≤100，2x+y≤60，则z=6x+4y的最大值是 6、已知函数f(x)=ax2－c 满足－4≤f(1)≤－1, －1≤f(2)≤5，求f(3) 的取值范围。
7、某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2，准备加工成书桌和书橱出售。已知生产每张书桌需方木料0.1m 3，五合板2m 2；生产每个书橱需方木料0.2m 3，五合板1m 2，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利120元，怎样安排生产，可使获利最大？
8、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g ，咖啡4g ，糖3g ；乙种饮料每杯含仍粉4g ，咖啡5g ，糖10g 。已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g ，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，若每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，应配制两种饮料各多少杯获利最大？
9、某厂有一批长为2.5m 的条钢，要截成60cm 长和42cm 长的两种零件毛坯，怎样下料能使损耗最小？
10、有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯数
量比大于
13
配套，问怎样截最合理？
⎧x +y -2≤0⎪
11. 在平面直角坐标系中，不等式组⎨x -y +2≥0表示的平面区域的面积是 （ ）
⎪y ≥0⎩
(A) (B)4
(C) (D)2
⎧x -y +1≥0⎪
12. 如果实数x 、y 满足条件⎨y +1≥0 ，那么2x -y 的最大值为 （ ）
⎪x +y +1≤0⎩
(A)2 (B)1 (C) -2 (D)-3
⎧5x -11y ≥-22, ⎪
13. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎨2x +3y ≥9, 则z =10x +10y
⎪2x ≤11. ⎩
的最大值是 （ ）
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
⎧x +y ≤10, ⎪
14. 已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎨x -y ≤2, 则z=2x+3y的最小值是 （ ）
⎪2x ≥7. ⎩
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5
15. 某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元。月初一次性购进本月用原料A 、B 各c 1、c 2千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能
使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，
月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润z =d 1x +d 2y 最大的数学模型中，约束条件为 （ ）
⎧a 1x +a 2y ≤c 1, ⎧a 1x +a 2y ≥c 1, ⎧a 1x +b 1y ≤c 1, ⎧a 1x +a 2y =c 1, ⎪⎪⎪⎪b 1x +b 2y ≤c 2, b 1x +b 2y ≥c 2, a 2x +b 2y ≤c 2, b 1x +b 2y =c 2, ⎪⎪⎪（A ）⎨（B ）⎨ （C ）⎨ （D ）⎪ ⎨⎪x ≥0, ⎪x ≥0, ⎪x ≥0, ⎪x ≥0, ⎪y ≥0⎪y ≥0⎪y ≥0⎪y ≥0⎩⎩⎩⎩⎧x
⎪⎪y
16. 在约束条件⎨
⎪y ⎪y ⎩
≥0≥0+x ≤s +2x ≤4
y +下，当3≤s ≤5时，目
x +标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是
（ ）
（A ）[6,15] （B ）[7,15] （C ）[6,8] （D ）[7,8]
⎧2x -y ≤2⎪
x 、y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，则z =2x +3y
⎪x +y ≥1⎩
17. 设变量的最大值为
⎧x ≥1, ⎪
18. 已知⎨x -y +1≤0, 则x 2+y 2的最小值是
⎪2x -y -2≤0⎩
⎧x +2y -3≤0⎪
19. 已知变量x ，y 满足约束条件⎨x +3y -3≥0。若目标函数z =ax +y （其中a >0）仅
⎪y -1≤0⎩
在点(3,0) 处取得最大值，则a 的取值范围为 .
20. 某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.
21. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
圆的方程
2.1 圆的标准方程
2.1.1、圆的标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2
圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2.1.2、点M (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的关系的判断方法：
（1）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2，点在圆外 （2）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2，点在圆上 （3）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2
2.2. 1、圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 2.2.2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 2.3 圆与圆的位置关系
2.3.1用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：ax 心(-点：
（1）当d （2）当d （3）当d
>r =r
+by +c =0
，圆C ：x 2
+y
2
+Dx +Ey +F =0，圆的半径为r ，圆
D 2
, -
E 2
)
到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几
时，直线l 与圆C 相离； 时，直线l 与圆C 相切； 时，直线l 与圆C 相交；
2.3.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当l >r 1（2）当l =r 1
+r 2时，圆C 1+r 2时，圆C 1
与圆C 2相离； 与圆C 2外切；
（3）当|r 1-r 2|
-r 2|
与圆C 2相交；
（4）当l =|r 1（5）当l
时，圆C 1与圆C 2内切；
与圆C 2内含；
-r 2|时，圆C 1
2.3.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 1空间直角坐标系
1、点M 对应着唯一确定的有序实数组(x , y , z ) ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、
y
、z 轴上的坐标
2、有序实数组(x , y , z ) ，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组(x , y , z ) 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M (x , y , z ) ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
2.4直线与圆相交要解决的问题
2.4.1 弦长的求法：当直线与二次曲线相交有两个交点时，直线被两个交点所截得的线段成为二次曲线的弦。求法略。
2.4.2弦的中点的求法。
2.5 关于切线
2.5.1点P (x 0, y 0)在圆x 2+y 2=r 2，过点P 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2
2.5.2点P (x 0, y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0上，过点P 的切线为
x 0x +y 0y +D
x +x 0
2
+E
y +y 0
2
+F =0
2.5.3点P (x 0, y 0)为圆外一点时可以设切线方程为点斜式与圆的方程联立，由
∆=0或d =r 求解。
2.6圆系
经过直线A x +B y +C =0和圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0交点的圆系方程为
x +y +Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0；
2
2
经
x +
2
过
y 1+
2
两
D
个
1
圆
+λx (
1
的
+E
2
交
y +
点
2
的圆系方程
E =
F
)
2
+0，当λx =+y 2+D +x 时，是两圆的公共2-1
y
弦所在直线的方程。
2.7基础练习 典型例题
例1
过点的直线l 将圆(x -2) 2+y 2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =____.
解：当直线和圆心与定点的连线垂直时劣弧所对的圆心角最小，圆心(2,0) 与定
点
的连线的斜率k '=
，故k =
2
例2 设直线ax -y +3=0与圆(x -1) 2+(y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦A B 的
长为a =____________．
解：由勾股定理知圆心到直线的距离是1
，∴
=1解得a =0
例3 若实数x , y 满足x 2+y 2-2x +4y =0，则x -2y 的最大值为（ ）
（A
） （B ）10 （C ）9 （D
）5+
⎧⎪x =1+θ
解：将圆配方得(x -1) +(y +2) =
5，令⎨
⎪⎩y =-2+θ
2
2
，
则x -2y =5+5sin(θ+ϕ) ，故选 B．
例4 圆x 2+y 2=9内有一点P 0(-1, 2)，过P 0的直线交圆于A 、B 两点．
（1）若∠AOB =90︒，求AB 所在的直线方程； （2）当弦AB 被点P 0平分时，写出直线AB 的方程． 解：（1） ∠AOB =90︒
，故圆心到直线的距离为
y -2=k (x +
1) ，设所求直线方程为
=
，解得k =1或k =
17
，故AB 所在的直线方程为：
x -y +3=0或x -7y +15=0
⊥O P 0
（2）当弦AB 被点P 0平分时，A B 直线AB 的方程为：x -2y +5=0
，
k O P =-2，∴k A B =
12
例5 已知圆满足：① 截y 轴所的弦长为2； ② 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1， ③ 圆心到直线l ：x -2y = 0的距离为
55
，求该圆的方程．
⎧
⎪a 2+1=r 2⎪⎪
⎨r ==5
解：设所求圆的方程为：(x -a ) 2
+(y -b ) =r
22
,
由条件可得解得
a =b =-1, r
2
2
或
a =b =1, r =, 该圆的方程为(x +1)2+(y +1)2=2
或
(x -1) +(y -1) =2
1、A=C≠0，B=0是方程Ax 2+Bx+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的
（ ）
A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、不充分不必要条件
2、圆x 2+y2－2x=0和x 2+y2+4y=0的位置关系是： （ ）
A 、相离 B 、外切 C 、相交 D 、内切
3、以点A(－5,4) 为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为： （ ） A 、(x+5)2+(y－4) 2=16 B 、(x－5) 2+(y+4)2=16 C 、(x+5)2+(y－4) 2=25 D 、(x－5) 2+(y+4)2=16 4、方程x 2+y2+Dx+Ey+F=0，（D 2+E2－4F>0）关于直线x －y=0对称的充分条件是： A 、D=E B 、E=F C 、E=F D 、D=E且F ≠0
5、若两直线y=x+2a, 和y=2x+a+1的交点为P ，P 在圆x 2+y2=4的内部，则a 的取值范围是 。
6、方程x 2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是。
7、圆x 2+y2+2x+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离2的点有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
8、方程|x|－1=-(y -1) 2所表示的曲线是 （ ） A 、一个圆 B 、两个圆 C 、半个圆 D 、两个半圆 9、设直线2x －y －3=0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x+1)2+y2=25的直径分为两段，则其长度之比为： （ ） A 、或
37
37
B 、或
4
747
C 、或
5
757
D 、或
6
767
10、一束光线从点A （－1，1）出发经x 轴反射到圆C ：(x－2) 2+(y－3) 2=1的最短路程是 。
11、已知三角形三边所在直线的方程为y=0, x=2, x+y－4－2=0，则这个三角形内切圆的方程为 。 12、（1）圆C ：x 2+y2+Dx+Ey+F=0的外部有一点P （x 0, y0），求由点P 向圆引切线的长度。
（2）在直线2x+y+3=0上求一点P ，使由P 向圆x 2+y2－4x=0引得的切线长度为最小。
13、已知三角形三边所在直线的方程为x －y+2=0, x －3y+4=0, x+y－4=0，求三角形外接圆的方程。
14、已知圆C 与圆x 2+y2－2x=0相外切，并和直线L ：x+3y =0相切于点（3，－3），求圆方程。
15、关于x 的方程1 x 2=mx+1(m∈R) 。 （1）有一个实根时，求m 的取值范围。 （2）有两个实根时，求m 的取值范围。
16、曲线x 2+y2+x－6y+3=0上两点P 、Q 满足，（1）关于直线kx －y+4=0对称，（2）OP ⊥OQ ，求直线PQ 的方程。
2.8能力提升
1、圆x 2+y2=1上的点到直线3x+4y－25=0的距离的最小值是： （ ） A 、6 B 、4 C 、5 D 、1
2、已知圆(x－2) 2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x －2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为： （ ）
A 、2x+y－5=0 B 、x －2y=0 C 、2x+y－3=0 D 、x －2y+4=0
3、曲线y=1+4-x 2(|x |≤2) 与直线y=k(x－2)+4有两个交点时，实数k 的取范围是：（ ） A 、(
512, 34
] B 、(
512
, +∞) C 、(
513
) , ) D 、(0, 1234
4、设圆C 的方程x 2+y2－2x －2y －2=0，直线L 的方程(m+1)x－my －1=0，对任意实数m ，
圆C 与直线L 的位置关系是： （ ）
A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、由m 值确定 5、过圆x 2+y2=12上的点M （3，3）作圆的切线，这切线方程是。 6、如果M （2, m）, N(4, 1), P(5, 3+3), Q(6,3)四个共圆，则m 的值是： （ ） A 、1 B 、3 C 、5 D 、7
7、若圆(x－3) 2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是： （ ） A 、（4，6） B 、[4, 6) C 、(4, 6] D 、[4，6] 8、那么
y x
的最大值是：
（ ） A 、
12
B 、
33
C 、
32
D 、3
9、已知圆x 2+y2=R2，则被此圆内一点A(a, b)(a, b 不同时为0) 平分的弦所在的直线方程为 。
10、已知直线x+2y－3=0交圆x 2+y2+x－6y+F=0于点P 、Q ，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ，
则F 的值为 。
11、由点A （－3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被轴反射光线所在直线与圆x 2+y2－4y －
4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程。
12、已知圆心在x 轴上，半径是5，且以A （5，4）为中点的弦长是25，求这个圆的方
程。
13、已在圆C 1的方程是x 2+(y－1) 2=4，圆C 的圆心坐标为（2，－1），若圆C 与圆C 1交于
A 、B 两点，且|AB|=22，求圆C 的方程。
14、求过圆x 2+y2+2x－4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程。
15、设圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2，（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长比为3：1，在
满足条件（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线L ：x －2的距离最小的圆的方程。
2.9拓展练习
1．直线xtan （ ） A 、
2π5
7π5
-y =0的倾斜角是
B 、－
2π5
C 、
7π5
D 、
3π5
⎧x -y +1≥0, ⎧0≤x ≤4,
⎪⎪
2．可行域D ：⎨x +y -4≤0, 与可行域 E ：⎨ 5的关系是： （ ）
0≤y ≤⎪⎪x ≥0, y ≥0
2⎩⎩
A 、D=E B 、D ⊂E C 、E ⊂D D 、E ⊆D
3．方程(1+4k)x－(2－3k)y+(2－14k)=0所确定的直线必经过点： （ ） A 、（2，2） B 、（－2，2） C 、（－6，2） D 、（
345, 225
）
4、过点P （1，2）作一直线，使此直线与点M （2，3）和点N （4，－5）的距离相等，则
此直线方程为 （ ）
A 、4x+y－6=0 B 、x+4y－6=0
C 、3x+2y－7=0或4x+y－6=0 D 、2x+3y－7=0或x+4y－6=0
5、直线mx+ny－1=0同时过第一、三、四象限的条件是： （ ） A 、mn>0 B 、mn0, n0 B 、E=0, F>0 C 、E ≠0，D=0 D 、F
8655
） B 、（, -) C 、（－,
5
5
2
2
868655
） D 、(-
85
, -
65
)
10、已知圆(3－x) +y=4和直线y=mx的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点，则|OP|·|OQ|的值为： （ ） A 、1+m2 B 、
51+m
2
C 、5 D 、10
二、填空题：
11、自点M （3，1）向圆x 2+y2=1引切线，则切线方程是，切线长是 。
12、圆x 2+y2－4x+4y+4=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 。
13、若直线y=x+b与曲线x=-y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是。 三、解答题：
⎧x +2y ≤9
⎪
14、已知x, y满足⎨x -4y ≤-3, 则z=3x+y的最大值。
⎪x ≥1⎩
15、与圆x 2+y2=25内切于点（5，0），且与直线3x －4y+5=0也相切的圆方程是。
16、已知点P （0，5）及圆C: x2+y2+4x－12y+24=0.
（1）若直线l 过P 且与⊙O 的圆心相距为2，求l 的方程。 （2）求过P 点的⊙C 的弦的中点轨迹方程。
17、已知圆C ：x 2+y2－2x+4y－4=0，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB
为直径的圆过原点。若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。
直线方程
1 直线
1.1 直线的倾斜角和斜率
1.1.1 倾斜角：直线向上的方向与X 轴正方向所成的最小的正角叫做直线的倾斜角，其中倾斜角的取值范围为[0, π]； 1.1.2 斜率：倾斜角不是
π
2
的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，
记作k =tan α；其中直线与X 轴垂直，斜率不存在，解题中须重视。
1.2 直线方程的几种形式：
1.2.1 点斜式：y -y ︒=k (x -x ︒)，但是过点(x ︒, y ︒)且垂直于X 轴的直线不能用点斜式表示，可以写成x =x ︒；
1.2.2斜截式：y =kx +b , 上式中k 即为该直线的斜率 1.2.3 两点式：示。
1.2.4 截距式：
x a +y b
=1，对于平行于坐标轴或过原点的直线不能用截距式，其y -y 1y 2-y 1
=x -x 1x 2-x 1
，对于平行于X 轴和Y 轴的直线不能用两点式表
中结局表示的是坐标而不是长度，需注意。
上述4种形式各有局限性，解直线方程时需倍加注意，以防丢解。 1.2.5 直线方程的一般形式 Ax +By +C =0（A 、B 不同时为0），任何一条直线都可以用一般式表示，同时任何一个二元一次方程都表示一条直线。
1.3 两条直线的位置关系
1.3.1 两条直线的平行与垂直
两条直线有斜率且没有交点，则l 1//l 2⇔k 1=k 2；两条直线都有斜率，
l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1，证明如下：假设第一条直线的倾斜角为α
，则第二条直线的
倾斜角为 α+
⎝
⎛
π⎫
2⎭
⎪，k 1k 2=tan αtan α+
⎝
⎛
π⎫
⎪=tan α(-cot α
2⎭
)=-1得证。
若直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0 直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0
则两条直线平行时有：A 1B 2-A 2B 1=0; 两直线垂直时则有：A 1A 2+B 1B 2=0 1.3.2 两条直线l 1和l 2，将直线l 1逆时针旋转到与l 2重合时所转过的角，称作l 1到l 2的角。到角公式可以表示为tan θ=
tan α2-tan α11+tan α1tan α2
=k 2-k 11+k 1k 2
1.3.3
点到直线的距离d =
，(x ︒, y ︒)为直线Ax +By +C =0外一点；
两条平行直线之间的距离，若直线l 1:Ax +By +C 1=0与直线
l 2:Ax +By +C 2=0
平行，则d =
1.3.4 两点之间的距离
d = 1.4 对称直线的求解
如图所示，逆时针方向直线分别为1、2、3，已知直线1、2的表达式，如何求解直线1关于直线2对称的直线？即求解直线3.
假设三条直线的倾斜角分别为α, β, γ，则存在如下关系tan (α-β)=tan (β-γ)或
者tan (γ-β)=tan (β-α)，通过三角函数的等价转化可求得直线3的斜率，可解直线3
方程。
直线系方程
过直线l 1, l 2交点的直线系：设l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2Y +C 2=0，则A 1x +B 1y +C 1+λ(A x +B Y +C )=0（λ∈R ）表示一束过l 1, l 2交点的直线系。 222
1.5基础练习
1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ）
A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(-1, 3) 且平行于直线x -2y +3=0的直线方程为（ ）
x -2y +7=0 B．2x +y -1=0 C ．x -2y -5=0 D ．2x +y -5=0 A ．
3. 在同一直角坐标系中，表示直线y =ax 与y =x +a 正确的是（ ）
O x O x O x x
A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ） A ．-
23
B．
23
C．-
32
D．
32
5. 过(x 1，y 1) 和(x 2，y 2) 两点的直线的方程是( )
A . B .
y -y 1y 2-y 1y -y 1y 2-y 1
==x -x 1x 2-x 1x -x 1x 1-x 2
C .(y 2-y 1)(x -x 1) -(x 2-x 1)(y -y 1) =0D .(x 2-x 1)(x -x 1) -(y 2-y 1)(y -y 1) =0
6、若图中的直线L 1、L 2、L 3
）
A 、K 1﹤K 2﹤K 3
B 、K 2﹤K 1﹤K 3 C 、K 3﹤K 2﹤K 1
x D 、K 1﹤K 3﹤K 2
7、直线2x+3y-5=0关于直线y=x） A 、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0 C 、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=0
8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
9、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a, 在y 轴上的截距为b, 则（ ） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2,b=5; D.a=-2,b=-5.
10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)
11两直线2x+3y－k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是
12两平行直线x +3y -4=0与2x +6y -9=0的距离是 。
13、直线x +m 2y +6=0与直线(m -2) x +3my +2m =0没有公共点，求实数m 的值。
14、求经过两条直线l 1:x +y -4=0和l 2:x -y +2=0的交点，且分别与直线
2x -y -1=0
（1）平行，（2）垂直的直线方程。
15、求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。
1.6能力提升
1、下列命题中正确的是： （ ） A 、经过点P 0（x 0, y0）的直线都可以用方程y －y 0=k(x－x 0) 表示 B 、经过定点A （0, b）的直线都可以用方程y=kx+b表示 C 、经过任意两个不同点P 1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直线都可用方程（x 2－x 1）(y－y 1)=(y2－y 1)(x
－x 1) 表示 D 、不经过原点的直线都可以用方程
x a +y b
=1表示
2、设点P （a, b），Q(c, d)是直线y=mx+k上两点，则|PQ|等于 （ ）
2222 A 、|a -c |+m B 、|a +c |+m C 、|b -d |+m D 、|b +d |1+m
3、直线x+y=2, x－y=2, x+ay=3围成一个三角形，则：
A 、a ≠±1 B 、a ≠1且a ≠2 C 、a ≠－1且a ≠2 D 、a ≠±1且a ≠2 4、经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距
离的直线的方程是 。 5、一直线过点A （－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是。 6、平面上有相异两点A(cosθ,sin 2θ) 和B （0，1），求经过A 、B 两点直线的斜率及倾斜角
的范围。
7、已知直线L ：y=ax+2和A （1，4），B （3，1）两点，当直线L 与线段AB 相交时，求实
数a 的取值范围。
8、已知P （2，1），过P 作一直线，使它夹在已知直线x+2y－3=0,2x+5y－10=0间的线段被
点P 平分，求直线方程。
9、求证：不论a, b为何实数，直线(2a+b)x+(a+b)y+a－b=0均通过一定点，并求此定点坐标。
10、已知点F （6，4）和直线L 1：y=4x，求过P 的直线L ，使它和L 1以及x 轴在第一象限
内围成的三角形的面积最小。
11、△ABC 中，a, b, c是内角A 、B 、C 的对边，且lgsinA 、lgsinB 、lgsinC 成等差数列，则下列两条直线L 1：sin 2A ·x+sinA·y －a=0与L 2：sin 2B ·x+sinC·y －C=0的位置关系是：（ ）
A 、重合 B 、相交（不垂直） C 、垂直 D 、平行
12已知直线l 和直线m 的方程分别为2x －y+1=0，3x －y=0，则直线m 关于直线l 的对称直线m ′的方程为 。
13、过L 1：3x －5y －10=0和L 2：x+y+1=0的交点，且平行于L 3：x+2y－5=0的直线方程为 。
14、光线沿直线l 1:x -2y +5=0的方向射入于直线l :3x -2y +7=0后反射回去，求反射光线的直线方程
15、光线由点P （2，3）射到直线x+y=－1上，反射后过点Q （1，1），则反射光线方程为？
1.7拓展提升
1、两直线ax+y－4=0与x －y －2=0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是： （ ） A 、－1－1 C 、a2
2、设两直线L 1，L 2的方程分别为x+y-cos α+b =0, x sin α+y +cos α-α=0, (a, b为常数，a 以第三象限角) ，则L 1与L 2 （ ） A 、平行 B 、垂直 C 、平行或重合 D 、相交但不一定垂直 3、设a, b, k, p分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有：（ ） A 、a 2k 2=p2(1+k2) B 、k =
b a
C 、
1a
+
1b
=p D 、a=－kb
4、若点（1，1）到直线xcos α+ysinα=2的距离为d ，则d 的最大值是。 5、一束光线经过点A （－2，1），由直线L ：x －3y+2=0反射后，经过点B （3，5）射出，则反射光线所在直线的方程为 。 6、m, n为何值时，两直线mx+3y+n=0, 3x+my+1=0 （ ） A 、相交 B 、平行 C 、重合 D 、垂直 7、已知△ABC 中，点A （3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0, ∠B 的平分线所在直线的议程为x －4y+10=0，求BC 边所在直线的方程。
8、已知定点A （0，a ），B （0, b）, (a>b>0)，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。
9、已知点A （2，0），B （0，6），O 为坐标原点，（1）若点C 在线段OB 上，且∠ABC=
π
4
，
求△ABC 的面积。（2）若原点O 关于直线AB 的对称点为D ，延长BD 到P ，且|PD|=2|BD|，已知直线L ：ax+10y+84－1083=0经过点P ，求直线l 的倾斜角。
10、直线l ：3x －y －1=0，在l 上求一点P ，使得（1）P 到A （4，1）和B （0，4）的距离之差的绝对值最大；（2）P 到A （4，1），C （3，4）的距离之和最小。
11、已知点A （-3，5），B （2，15），试在直线L :3x -4y +4=0上找一点P, 使得
PA +PB 最小，并求出最小值。
12，已知点A （4，1），B （0，4），试在直线l :3x -y -1=0上找一点P ，使得PA -PB 的绝对值最大，并求出最大值。
13 求函数f (
x )=
14已知直线ax +by +c =0中的a,b,c 取自集合{-3, -2, -1, 0,1, 2, 3}中3各不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线有多少条？
15过点P （1，1）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线的条数。
的最小值。
1.8简单的线性规划
例1：已知线性约束条件
⎧x -y +3≥0, ⎪
x +y -5≤0⎪⎪
⎨2x -y -4≤0, 求目标函数z =x +2y 的最大值
⎪x ≥0⎪⎪⎩y ≥0
例2：点(x, y)是在区域|x|+|y|≤1内的动点，求ax －y(a>0)的最大值及最小值。
例3：用解析法证明：等边三角形内一点到三边距离之和为定值。
例4：某运输公司有7辆载重6t 的A 型卡车，4辆载重 10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，在建造某段高速公 路中，公司承包了每天至少运输沥青360t 的任务。已 知每辆卡车每天往返次数为A 型8次，B 型6次，每 次运输成本为A 型160元，B 型252元。每天应派出
A 型、B 型车各多少辆，能使公司总成本最低？
【备用题】
要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小
今需要A 、B 、C 三种规格的成品各15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 【基础训练】
1、在直角坐标系中，满足不等式x 2－y 2≥0的点（x, y）的集合的阴影部分是： （ ）
2、若x ≥0，y ≥0m, 且x+y≤1，则z=x－y 的最大值是： （ ） A 、－1 B 、1 C 、2 D 、－2 3、直线y=kx－3与曲线x 2+y2=4无交点，则k 的取值范围是： （ ） A 、|k|
5
2
B 、|k|≤
52
C 、k>
52
D 、k>－
52
4、用三条直线x+2y=2,2x+y=2，x －y=3围成一个三角形，则三角形内部区域（不包括边界）用不等式组 表示。
⎧y ≤x ⎪
5、已知⎨x +y ≤1，则z=2x+y的最大值是 。
⎪y ≥-1⎩
6、已知x ∈R ，f(x)的最大值是 【拓展练习】
1、在约束条件：x+2y≤5，2x+y≤4，x ≥0，y ≥0下，x=3x+4y的最大值是 （ ） A 、9 B 、10 C 、11 D 、12 2、设R 为平面上以A （4，1），B （－1，－6），C （－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x－3y 的最大值与最小值分别为： （ ） A 、最大值14，最小值－18 B 、最大值－14，最小值－18 C 、最大值18，最小值14 D 、最大值18，最小值－14 3、曲线x=y2与y=x2的交点个数是： （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、若0≤x ≤1, －1≤y ≤2，则z=x+4y的最小值是。
5、若x ≥0, y≥0,2x+3y≤100，2x+y≤60，则z=6x+4y的最大值是 6、已知函数f(x)=ax2－c 满足－4≤f(1)≤－1, －1≤f(2)≤5，求f(3) 的取值范围。
7、某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2，准备加工成书桌和书橱出售。已知生产每张书桌需方木料0.1m 3，五合板2m 2；生产每个书橱需方木料0.2m 3，五合板1m 2，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利120元，怎样安排生产，可使获利最大？
8、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g ，咖啡4g ，糖3g ；乙种饮料每杯含仍粉4g ，咖啡5g ，糖10g 。已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g ，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，若每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，应配制两种饮料各多少杯获利最大？
9、某厂有一批长为2.5m 的条钢，要截成60cm 长和42cm 长的两种零件毛坯，怎样下料能使损耗最小？
10、有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯数
量比大于
13
配套，问怎样截最合理？
⎧x +y -2≤0⎪
11. 在平面直角坐标系中，不等式组⎨x -y +2≥0表示的平面区域的面积是 （ ）
⎪y ≥0⎩
(A) (B)4
(C) (D)2
⎧x -y +1≥0⎪
12. 如果实数x 、y 满足条件⎨y +1≥0 ，那么2x -y 的最大值为 （ ）
⎪x +y +1≤0⎩
(A)2 (B)1 (C) -2 (D)-3
⎧5x -11y ≥-22, ⎪
13. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎨2x +3y ≥9, 则z =10x +10y
⎪2x ≤11. ⎩
的最大值是 （ ）
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
⎧x +y ≤10, ⎪
14. 已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎨x -y ≤2, 则z=2x+3y的最小值是 （ ）
⎪2x ≥7. ⎩
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5
15. 某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元。月初一次性购进本月用原料A 、B 各c 1、c 2千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能
使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，
月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润z =d 1x +d 2y 最大的数学模型中，约束条件为 （ ）
⎧a 1x +a 2y ≤c 1, ⎧a 1x +a 2y ≥c 1, ⎧a 1x +b 1y ≤c 1, ⎧a 1x +a 2y =c 1, ⎪⎪⎪⎪b 1x +b 2y ≤c 2, b 1x +b 2y ≥c 2, a 2x +b 2y ≤c 2, b 1x +b 2y =c 2, ⎪⎪⎪（A ）⎨（B ）⎨ （C ）⎨ （D ）⎪ ⎨⎪x ≥0, ⎪x ≥0, ⎪x ≥0, ⎪x ≥0, ⎪y ≥0⎪y ≥0⎪y ≥0⎪y ≥0⎩⎩⎩⎩⎧x
⎪⎪y
16. 在约束条件⎨
⎪y ⎪y ⎩
≥0≥0+x ≤s +2x ≤4
y +下，当3≤s ≤5时，目
x +标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是
（ ）
（A ）[6,15] （B ）[7,15] （C ）[6,8] （D ）[7,8]
⎧2x -y ≤2⎪
x 、y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，则z =2x +3y
⎪x +y ≥1⎩
17. 设变量的最大值为
⎧x ≥1, ⎪
18. 已知⎨x -y +1≤0, 则x 2+y 2的最小值是
⎪2x -y -2≤0⎩
⎧x +2y -3≤0⎪
19. 已知变量x ，y 满足约束条件⎨x +3y -3≥0。若目标函数z =ax +y （其中a >0）仅
⎪y -1≤0⎩
在点(3,0) 处取得最大值，则a 的取值范围为 .
20. 某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.
21. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
圆的方程
2.1 圆的标准方程
2.1.1、圆的标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2
圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2.1.2、点M (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的关系的判断方法：
（1）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2，点在圆外 （2）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2，点在圆上 （3）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2
2.2. 1、圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 2.2.2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 2.3 圆与圆的位置关系
2.3.1用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：ax 心(-点：
（1）当d （2）当d （3）当d
>r =r
+by +c =0
，圆C ：x 2
+y
2
+Dx +Ey +F =0，圆的半径为r ，圆
D 2
, -
E 2
)
到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几
时，直线l 与圆C 相离； 时，直线l 与圆C 相切； 时，直线l 与圆C 相交；
2.3.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当l >r 1（2）当l =r 1
+r 2时，圆C 1+r 2时，圆C 1
与圆C 2相离； 与圆C 2外切；
（3）当|r 1-r 2|
-r 2|
与圆C 2相交；
（4）当l =|r 1（5）当l
时，圆C 1与圆C 2内切；
与圆C 2内含；
-r 2|时，圆C 1
2.3.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 1空间直角坐标系
1、点M 对应着唯一确定的有序实数组(x , y , z ) ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、
y
、z 轴上的坐标
2、有序实数组(x , y , z ) ，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组(x , y , z ) 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M (x , y , z ) ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
2.4直线与圆相交要解决的问题
2.4.1 弦长的求法：当直线与二次曲线相交有两个交点时，直线被两个交点所截得的线段成为二次曲线的弦。求法略。
2.4.2弦的中点的求法。
2.5 关于切线
2.5.1点P (x 0, y 0)在圆x 2+y 2=r 2，过点P 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2
2.5.2点P (x 0, y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0上，过点P 的切线为
x 0x +y 0y +D
x +x 0
2
+E
y +y 0
2
+F =0
2.5.3点P (x 0, y 0)为圆外一点时可以设切线方程为点斜式与圆的方程联立，由
∆=0或d =r 求解。
2.6圆系
经过直线A x +B y +C =0和圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0交点的圆系方程为
x +y +Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0；
2
2
经
x +
2
过
y 1+
2
两
D
个
1
圆
+λx (
1
的
+E
2
交
y +
点
2
的圆系方程
E =
F
)
2
+0，当λx =+y 2+D +x 时，是两圆的公共2-1
y
弦所在直线的方程。
2.7基础练习 典型例题
例1
过点的直线l 将圆(x -2) 2+y 2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =____.
解：当直线和圆心与定点的连线垂直时劣弧所对的圆心角最小，圆心(2,0) 与定
点
的连线的斜率k '=
，故k =
2
例2 设直线ax -y +3=0与圆(x -1) 2+(y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦A B 的
长为a =____________．
解：由勾股定理知圆心到直线的距离是1
，∴
=1解得a =0
例3 若实数x , y 满足x 2+y 2-2x +4y =0，则x -2y 的最大值为（ ）
（A
） （B ）10 （C ）9 （D
）5+
⎧⎪x =1+θ
解：将圆配方得(x -1) +(y +2) =
5，令⎨
⎪⎩y =-2+θ
2
2
，
则x -2y =5+5sin(θ+ϕ) ，故选 B．
例4 圆x 2+y 2=9内有一点P 0(-1, 2)，过P 0的直线交圆于A 、B 两点．
（1）若∠AOB =90︒，求AB 所在的直线方程； （2）当弦AB 被点P 0平分时，写出直线AB 的方程． 解：（1） ∠AOB =90︒
，故圆心到直线的距离为
y -2=k (x +
1) ，设所求直线方程为
=
，解得k =1或k =
17
，故AB 所在的直线方程为：
x -y +3=0或x -7y +15=0
⊥O P 0
（2）当弦AB 被点P 0平分时，A B 直线AB 的方程为：x -2y +5=0
，
k O P =-2，∴k A B =
12
例5 已知圆满足：① 截y 轴所的弦长为2； ② 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1， ③ 圆心到直线l ：x -2y = 0的距离为
55
，求该圆的方程．
⎧
⎪a 2+1=r 2⎪⎪
⎨r ==5
解：设所求圆的方程为：(x -a ) 2
+(y -b ) =r
22
,
由条件可得解得
a =b =-1, r
2
2
或
a =b =1, r =, 该圆的方程为(x +1)2+(y +1)2=2
或
(x -1) +(y -1) =2
1、A=C≠0，B=0是方程Ax 2+Bx+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的
（ ）
A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、不充分不必要条件
2、圆x 2+y2－2x=0和x 2+y2+4y=0的位置关系是： （ ）
A 、相离 B 、外切 C 、相交 D 、内切
3、以点A(－5,4) 为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为： （ ） A 、(x+5)2+(y－4) 2=16 B 、(x－5) 2+(y+4)2=16 C 、(x+5)2+(y－4) 2=25 D 、(x－5) 2+(y+4)2=16 4、方程x 2+y2+Dx+Ey+F=0，（D 2+E2－4F>0）关于直线x －y=0对称的充分条件是： A 、D=E B 、E=F C 、E=F D 、D=E且F ≠0
5、若两直线y=x+2a, 和y=2x+a+1的交点为P ，P 在圆x 2+y2=4的内部，则a 的取值范围是 。
6、方程x 2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是。
7、圆x 2+y2+2x+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离2的点有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
8、方程|x|－1=-(y -1) 2所表示的曲线是 （ ） A 、一个圆 B 、两个圆 C 、半个圆 D 、两个半圆 9、设直线2x －y －3=0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x+1)2+y2=25的直径分为两段，则其长度之比为： （ ） A 、或
37
37
B 、或
4
747
C 、或
5
757
D 、或
6
767
10、一束光线从点A （－1，1）出发经x 轴反射到圆C ：(x－2) 2+(y－3) 2=1的最短路程是 。
11、已知三角形三边所在直线的方程为y=0, x=2, x+y－4－2=0，则这个三角形内切圆的方程为 。 12、（1）圆C ：x 2+y2+Dx+Ey+F=0的外部有一点P （x 0, y0），求由点P 向圆引切线的长度。
（2）在直线2x+y+3=0上求一点P ，使由P 向圆x 2+y2－4x=0引得的切线长度为最小。
13、已知三角形三边所在直线的方程为x －y+2=0, x －3y+4=0, x+y－4=0，求三角形外接圆的方程。
14、已知圆C 与圆x 2+y2－2x=0相外切，并和直线L ：x+3y =0相切于点（3，－3），求圆方程。
15、关于x 的方程1 x 2=mx+1(m∈R) 。 （1）有一个实根时，求m 的取值范围。 （2）有两个实根时，求m 的取值范围。
16、曲线x 2+y2+x－6y+3=0上两点P 、Q 满足，（1）关于直线kx －y+4=0对称，（2）OP ⊥OQ ，求直线PQ 的方程。
2.8能力提升
1、圆x 2+y2=1上的点到直线3x+4y－25=0的距离的最小值是： （ ） A 、6 B 、4 C 、5 D 、1
2、已知圆(x－2) 2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x －2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为： （ ）
A 、2x+y－5=0 B 、x －2y=0 C 、2x+y－3=0 D 、x －2y+4=0
3、曲线y=1+4-x 2(|x |≤2) 与直线y=k(x－2)+4有两个交点时，实数k 的取范围是：（ ） A 、(
512, 34
] B 、(
512
, +∞) C 、(
513
) , ) D 、(0, 1234
4、设圆C 的方程x 2+y2－2x －2y －2=0，直线L 的方程(m+1)x－my －1=0，对任意实数m ，
圆C 与直线L 的位置关系是： （ ）
A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、由m 值确定 5、过圆x 2+y2=12上的点M （3，3）作圆的切线，这切线方程是。 6、如果M （2, m）, N(4, 1), P(5, 3+3), Q(6,3)四个共圆，则m 的值是： （ ） A 、1 B 、3 C 、5 D 、7
7、若圆(x－3) 2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是： （ ） A 、（4，6） B 、[4, 6) C 、(4, 6] D 、[4，6] 8、那么
y x
的最大值是：
（ ） A 、
12
B 、
33
C 、
32
D 、3
9、已知圆x 2+y2=R2，则被此圆内一点A(a, b)(a, b 不同时为0) 平分的弦所在的直线方程为 。
10、已知直线x+2y－3=0交圆x 2+y2+x－6y+F=0于点P 、Q ，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ，
则F 的值为 。
11、由点A （－3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被轴反射光线所在直线与圆x 2+y2－4y －
4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程。
12、已知圆心在x 轴上，半径是5，且以A （5，4）为中点的弦长是25，求这个圆的方
程。
13、已在圆C 1的方程是x 2+(y－1) 2=4，圆C 的圆心坐标为（2，－1），若圆C 与圆C 1交于
A 、B 两点，且|AB|=22，求圆C 的方程。
14、求过圆x 2+y2+2x－4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程。
15、设圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2，（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长比为3：1，在
满足条件（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线L ：x －2的距离最小的圆的方程。
2.9拓展练习
1．直线xtan （ ） A 、
2π5
7π5
-y =0的倾斜角是
B 、－
2π5
C 、
7π5
D 、
3π5
⎧x -y +1≥0, ⎧0≤x ≤4,
⎪⎪
2．可行域D ：⎨x +y -4≤0, 与可行域 E ：⎨ 5的关系是： （ ）
0≤y ≤⎪⎪x ≥0, y ≥0
2⎩⎩
A 、D=E B 、D ⊂E C 、E ⊂D D 、E ⊆D
3．方程(1+4k)x－(2－3k)y+(2－14k)=0所确定的直线必经过点： （ ） A 、（2，2） B 、（－2，2） C 、（－6，2） D 、（
345, 225
）
4、过点P （1，2）作一直线，使此直线与点M （2，3）和点N （4，－5）的距离相等，则
此直线方程为 （ ）
A 、4x+y－6=0 B 、x+4y－6=0
C 、3x+2y－7=0或4x+y－6=0 D 、2x+3y－7=0或x+4y－6=0
5、直线mx+ny－1=0同时过第一、三、四象限的条件是： （ ） A 、mn>0 B 、mn0, n0 B 、E=0, F>0 C 、E ≠0，D=0 D 、F
8655
） B 、（, -) C 、（－,
5
5
2
2
868655
） D 、(-
85
, -
65
)
10、已知圆(3－x) +y=4和直线y=mx的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点，则|OP|·|OQ|的值为： （ ） A 、1+m2 B 、
51+m
2
C 、5 D 、10
二、填空题：
11、自点M （3，1）向圆x 2+y2=1引切线，则切线方程是，切线长是 。
12、圆x 2+y2－4x+4y+4=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 。
13、若直线y=x+b与曲线x=-y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是。 三、解答题：
⎧x +2y ≤9
⎪
14、已知x, y满足⎨x -4y ≤-3, 则z=3x+y的最大值。
⎪x ≥1⎩
15、与圆x 2+y2=25内切于点（5，0），且与直线3x －4y+5=0也相切的圆方程是。
16、已知点P （0，5）及圆C: x2+y2+4x－12y+24=0.
（1）若直线l 过P 且与⊙O 的圆心相距为2，求l 的方程。 （2）求过P 点的⊙C 的弦的中点轨迹方程。
17、已知圆C ：x 2+y2－2x+4y－4=0，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB
为直径的圆过原点。若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。