【摘 要】本文利用分布函数与概率密度函数之间的关系，讨论了二维连续型随机变量的加、减、乘、除等的函数分布，在已学过的分布函数法的基础上又运用换元法、变量变换法及增补变量法，研究了常见的二维连续型随机变量函数分布的求解方法. 【关键词】二维连续型随机变量；分布函数；密度函数；变量变换法 一、引言 在实际问题中，有时需要研究二维连续型随机变量的函数分布.例如打靶问题中，如何计算弹落点与靶心的距离的分布.又例如已知飞机飞行时在横坐标上的飞行速度，以及飞行时在纵坐标的的飞行速度，那么如何确定此时该飞机在空中飞行的合速度呢？这些都是已知二维连续型随机变量中的联合分布或其概率密度函数，如何去求它们相互作用下的函数分布，本文将针对所给出函数的不同形式，运用不同的方法来解决上述问题. 二、预备知识 定义1：设是二维随机变量，对于任意实数二元函数 称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量的联合分布函数. 性质：是变量和的不减函数，即对于任意固定的，当时，；对于任意固定的，当时，. ，对于任意固定的，对于任意固定的 对于变元和均右连续：即； 对于任意下述不等式成立 定义2：对于二维随机变量的分布函数，存在非负函数使得对于任意有则称是二维连续型随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度或称为随机变量的联合概率密度，具有以下性质： 非负性： 规范性： 设是平面上的区域，点落在内的概率为： 若在点连续，则 定义3：设二维连续型随机变量的联合分布函数为，概率密度为则有： 关于的边际密度为： 关于的边际密度为： 三、解题方法 下面将分别用分布函数法、换元法、变量变换法和增补变量法来依次解决相关的问题，对不同形式的函数采用不同的方法可以使解题更加简明、容易. 1.分布函数法 已知二维连续型随机变量的概率密度函数为则二维随机变量函数：的概率密度函数，可先求出的分布函数： 通过对分布函数求导，即可得出概率密度 例1：设随机变量相互独立，其分布函数分别为 求随机变量的分布函数. 解：由于相互独立，则的联合概率密度为： 则 由于 所以 当时 当时 当时 因此分布函数，密度函数分别为： 当二维连续型随机变量的函数为线性函数时，均可采用分布函数法，借助图形，利用公式计算出结果.但一般要根据函数曲线与所规定的线性区域的相关位置来分多种情况讨论积分的上下限，具有一定的难度.下面将利用另一种方法，简便积分限，求出二维连续型随机变量的和，差，积，商的函数分布. 2.换元法 以下假设：二元函数在任意点处可微且对和的偏导数均不为零. 引理1：设二维连续型随机变量的概率密度为，若对任意实数，函数满足下述条件： 关于存在唯一解；关于连续 则随机变量，的函数的概率密度为 引理2：设二维随机变量的概率密度为，若对任意实数，函数满足下述条件： 关于存在唯一解；关于连续 则随机变量，的函数的概率密度由引理1可以得出 由引理1和引理2可以看出当随机变量的函数是对或单调时，可用一个变量来替换另一个变量，把二重积分化成只对或积分，因此整个积分过程变的简单，下面用此方法来求二维随机变量的和、差、积、商的函数分布： 和的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为 . 差的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为 . 商的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为. 积的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为： . 上面是当随机变量的函数是严格单调时的情况，当函数不严格单调时，如何去求函数的分布密度函数，我们有以下定理： 定理1：设二维连续型随机变量的密度函数为，若对任意实数，， 若二元函数在不相叠的区域上关于或逐段单调可微，相对应反函数为且偏导数不为零，则为连续型随机变量，其分布密度为： 例2：打靶问题中，弹落点是一个二维标准正态分布，所以有～，～，且相互独立，现求弹落点与靶心的距离的分布函数. 解：当时 可知不符合题意。所以； 当时 对或都不严格单调，但却可以把它划分为不相重合的区间，使得对和是分段单调的.我们发现对于，当上严格单调降的，在严格单调升的 当， 当， 所以 当随机变量有两个函数时，分布函数法虽适用但相当的复杂，因此我们用以下方法，它是解决其随机变量为两个函数最常见的方法. 3.变量变换法 定理2：设是二维连续型随机变量，其概率密度函数为，随机变量是的函数，并有其中是某些函数，现要计算的联合概率密度，如果有唯一的以表示的解即有唯一的单值反函数且有连续的一阶偏导数且， 则二维随机变量的联合概率密度为： 上述方法能简单积分限的取法，为了能更广泛的运用这种方法当二维随机变量为一个函数时，恰当的增补一个新的函数，一般令或，然后用变量变换法求出它们的联合密度函数，再对其联合密度关于变量求边际密度. 4.增补变量法 四、和函数密度例析 例3：设和是二维连续型随机变量，且和相互独立，分别在区间和上是均匀分布的（为正常数），试求和函数的密度，并讨论其特点. 解：为正常数，设，由换元法得 因为被积函数只与和有关.故画出坐标系，再画出的非零区域： 对积分，即平行轴穿线把分成三部分，有关点的坐标为： 即 当时， 当时， 当时， 所以 五、小结 二元连续型随机变量函数的分布求法，可以从不同的函数形式和不同的角度出发，有的函数形式有多种解法，我们要根据具体情况，恰当的运用分布函数法、换元法等，在计算过程中要注意上下积分限的确定，做到不遗不漏. 参考文献 [1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2005.5. [2]田铮，肖华勇等.随机数学基础[M].北京：高等教育出版社，2005.7. [3]李贤平，沈崇圣，陈子毅.概率论与数理统计[M].北京：复旦大学出版社，2003. [4]郭绍建.二维连续型随机变量变量函数的概率密度[J].北京航空航天大学学报，1990（2）：45. [5]刘平兵.二维连续型随机变量函数的密度公式及计算[J].数学理论与应用，2005.12（4）：36. [6]张洪川，盛克敏，马丽琼.一维与二维连续型随机变量的函数的分布[J].西南民族大学学报，2005.6：56-60. [7]李贤平.概率论基础[M].北京：高等教育出版社，2006.5. [8]葛余博.概率论与数理统计[M].北京：清华大学出版社，2005.12.
【摘 要】本文利用分布函数与概率密度函数之间的关系，讨论了二维连续型随机变量的加、减、乘、除等的函数分布，在已学过的分布函数法的基础上又运用换元法、变量变换法及增补变量法，研究了常见的二维连续型随机变量函数分布的求解方法. 【关键词】二维连续型随机变量；分布函数；密度函数；变量变换法 一、引言 在实际问题中，有时需要研究二维连续型随机变量的函数分布.例如打靶问题中，如何计算弹落点与靶心的距离的分布.又例如已知飞机飞行时在横坐标上的飞行速度，以及飞行时在纵坐标的的飞行速度，那么如何确定此时该飞机在空中飞行的合速度呢？这些都是已知二维连续型随机变量中的联合分布或其概率密度函数，如何去求它们相互作用下的函数分布，本文将针对所给出函数的不同形式，运用不同的方法来解决上述问题. 二、预备知识 定义1：设是二维随机变量，对于任意实数二元函数 称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量的联合分布函数. 性质：是变量和的不减函数，即对于任意固定的，当时，；对于任意固定的，当时，. ，对于任意固定的，对于任意固定的 对于变元和均右连续：即； 对于任意下述不等式成立 定义2：对于二维随机变量的分布函数，存在非负函数使得对于任意有则称是二维连续型随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度或称为随机变量的联合概率密度，具有以下性质： 非负性： 规范性： 设是平面上的区域，点落在内的概率为： 若在点连续，则 定义3：设二维连续型随机变量的联合分布函数为，概率密度为则有： 关于的边际密度为： 关于的边际密度为： 三、解题方法 下面将分别用分布函数法、换元法、变量变换法和增补变量法来依次解决相关的问题，对不同形式的函数采用不同的方法可以使解题更加简明、容易. 1.分布函数法 已知二维连续型随机变量的概率密度函数为则二维随机变量函数：的概率密度函数，可先求出的分布函数： 通过对分布函数求导，即可得出概率密度 例1：设随机变量相互独立，其分布函数分别为 求随机变量的分布函数. 解：由于相互独立，则的联合概率密度为： 则 由于 所以 当时 当时 当时 因此分布函数，密度函数分别为： 当二维连续型随机变量的函数为线性函数时，均可采用分布函数法，借助图形，利用公式计算出结果.但一般要根据函数曲线与所规定的线性区域的相关位置来分多种情况讨论积分的上下限，具有一定的难度.下面将利用另一种方法，简便积分限，求出二维连续型随机变量的和，差，积，商的函数分布. 2.换元法 以下假设：二元函数在任意点处可微且对和的偏导数均不为零. 引理1：设二维连续型随机变量的概率密度为，若对任意实数，函数满足下述条件： 关于存在唯一解；关于连续 则随机变量，的函数的概率密度为 引理2：设二维随机变量的概率密度为，若对任意实数，函数满足下述条件： 关于存在唯一解；关于连续 则随机变量，的函数的概率密度由引理1可以得出 由引理1和引理2可以看出当随机变量的函数是对或单调时，可用一个变量来替换另一个变量，把二重积分化成只对或积分，因此整个积分过程变的简单，下面用此方法来求二维随机变量的和、差、积、商的函数分布： 和的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为 . 差的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为 . 商的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为. 积的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为： . 上面是当随机变量的函数是严格单调时的情况，当函数不严格单调时，如何去求函数的分布密度函数，我们有以下定理： 定理1：设二维连续型随机变量的密度函数为，若对任意实数，， 若二元函数在不相叠的区域上关于或逐段单调可微，相对应反函数为且偏导数不为零，则为连续型随机变量，其分布密度为： 例2：打靶问题中，弹落点是一个二维标准正态分布，所以有～，～，且相互独立，现求弹落点与靶心的距离的分布函数. 解：当时 可知不符合题意。所以； 当时 对或都不严格单调，但却可以把它划分为不相重合的区间，使得对和是分段单调的.我们发现对于，当上严格单调降的，在严格单调升的 当， 当， 所以 当随机变量有两个函数时，分布函数法虽适用但相当的复杂，因此我们用以下方法，它是解决其随机变量为两个函数最常见的方法. 3.变量变换法 定理2：设是二维连续型随机变量，其概率密度函数为，随机变量是的函数，并有其中是某些函数，现要计算的联合概率密度，如果有唯一的以表示的解即有唯一的单值反函数且有连续的一阶偏导数且， 则二维随机变量的联合概率密度为： 上述方法能简单积分限的取法，为了能更广泛的运用这种方法当二维随机变量为一个函数时，恰当的增补一个新的函数，一般令或，然后用变量变换法求出它们的联合密度函数，再对其联合密度关于变量求边际密度. 4.增补变量法 四、和函数密度例析 例3：设和是二维连续型随机变量，且和相互独立，分别在区间和上是均匀分布的（为正常数），试求和函数的密度，并讨论其特点. 解：为正常数，设，由换元法得 因为被积函数只与和有关.故画出坐标系，再画出的非零区域： 对积分，即平行轴穿线把分成三部分，有关点的坐标为： 即 当时， 当时， 当时， 所以 五、小结 二元连续型随机变量函数的分布求法，可以从不同的函数形式和不同的角度出发，有的函数形式有多种解法，我们要根据具体情况，恰当的运用分布函数法、换元法等，在计算过程中要注意上下积分限的确定，做到不遗不漏. 参考文献 [1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2005.5. [2]田铮，肖华勇等.随机数学基础[M].北京：高等教育出版社，2005.7. [3]李贤平，沈崇圣，陈子毅.概率论与数理统计[M].北京：复旦大学出版社，2003. [4]郭绍建.二维连续型随机变量变量函数的概率密度[J].北京航空航天大学学报，1990（2）：45. [5]刘平兵.二维连续型随机变量函数的密度公式及计算[J].数学理论与应用，2005.12（4）：36. [6]张洪川，盛克敏，马丽琼.一维与二维连续型随机变量的函数的分布[J].西南民族大学学报，2005.6：56-60. [7]李贤平.概率论基础[M].北京：高等教育出版社，2006.5. [8]葛余博.概率论与数理统计[M].北京：清华大学出版社，2005.12.