三年级上册数学知识点梳理
第1单元 测量
1、在生活中，量比较短的物品，可以用（毫米、厘米、分米 ）做单位；量比较长的物体，常用（ 米 ）做单位；测量比较长的路程一般用（ 千米 ）做单位，千米也叫（ 公里 ） 2、1厘米的长度里有（ 10 ）小格，每个小格的长度（ 相等 ），都是（ 1 ）毫米。 3、1枚1分的硬币、尺子、磁卡、小纽扣、钥匙的厚度大约是1毫米。
4、在计算长度时，只有相同的长度单位才能相加减。
小技巧：换算长度单位时，把大单位换成小单位就在数字的末尾添加0（关系式中有几个0，就添几个0）；把小单位换成大单位就在数字的末尾去掉0（关系式中有几个0，就去掉几个0）。
5、长度单位的关系式有：
① 进率是10
1 米 = 10 分米 1 分米 = 10 厘米 1 厘米 = 10 毫米
10 分米=1 米 10 厘米= 1 分米 10 毫米= 1 厘米
② 进率是100
1 米 = 100 厘米 1分米=100毫米 100 厘米=1 米 100毫米=1分米
③ 进率是1000
1千米=1000米 1公里= =1000米 1000米=1千米 1000米 = 1公里
6、当我们表示物体有多重时，通常要用到（质量单位 ）。在生活中，称比较轻的物品的质量，可以用（ 克 ）做单位；称一般物品的质量，常用（千克 ）做单位；计量较重的或大宗物品的质量，通常用（ 吨 ）做单位。
小技巧：在“吨”与“千克”的换算中，把吨换算成千克，是在数字的末尾加上3个0；把千克换算成吨，是在数字的末尾去掉3个0。
7、质量单位进率是1000 。（相邻）
1 吨 = 1000千克 1千克＝1000克
1000千克 = 1 吨 1000克＝1千克
[第二单元：认数]
一、知识点：认识整千数 （记忆： 10个一千是一万）
二、知识点：读数和写数 （读数时写汉字 写数时写阿拉伯数字）
记忆：（1）一个数的末尾不管有一个0或几个0，这个0都不读。
（2）一个数的中间有一个0或连续的两个0，都只读一个0。
（3）从右边起第5位是万位。
三、知识点：数的大小比较
掌握：（1）位数不同的数比较大小，位数多的数大。
（2）位数相同的数比较大小，先比较这两个数的最高位上的数，如果最高位上的数相同，就比较下一位，以此类推。
四、知识点：求一个数的近似数
记忆：看最位的后面一位，如果是0-4则用四舍法，如果是5-9就用五入法。
最大的三位数是位999，最小的三位数是100，最大的四位数是9999，最小的四位数是1000。最大的三位数比最小的四位数小1。
第3单元 四边形
1、有4条直的边和4个角封闭图形我们叫它四边形。
2、四边形的特点：1）有四条直的边；2）有四个角。
3、长方形的特点：长方形有两条长,两条宽，四个直角，对边相等。
4、正方形的特点：有4个直角，4条边相等。
5、长方形和正方形是特殊的平行四边形。
6、平行四边形的特点：对边相等、对角相等。平行四边形容易变形。（三角形不容易变形）
7、封闭图形一周的长度，就是它的周长。
8、公式。
长方形的周长 = （长+宽）³2 长方形的长 = 周长÷2－宽
长方形的宽 = 周长÷2－长 正方形的周长 = 边长³4
正方形的边长 = 周长÷4
第4单元 有余数的除法
1、余数和除数之间的关系：进行有余数的除法计算时，结果中的余数一定要比除数小。
2、公式。
被除数 = 除数³商＋余数 除数 = （被除数－余数）÷商
商 = （被除数－余数）÷除数
第5单元 时分秒
1、钟面上有3根针，它们是（时针）、（分针）、（秒针），其中走得最快的是（秒针），走得最慢的是（时针）。
2、钟面上有（ 12 ）个数字，（ 12 ）个大格，（ 60 ）个小格；每两个数间是（ 1 ）个大格，也就是（ 5 ）个小格。
3、时针走1大格是（ 1 ）小时；分针走1大格是（ 5 ）分钟，走1小格是（ 1 ）分钟；秒针走1大格是（ 5 ）秒钟，走1小格是（ 1 ）秒钟。
4、时针走1大格，分针正好走（ 1 ）圈，分针走1圈是（ 60 ）分，也就是（ 1 ）小时。时针走1圈，分针要走（ 12 ）圈。
5、分针走1小格，秒针正好走（ 1 ）圈，秒针走1圈是（ 60 ）秒，也就是（ 1 ）分钟。
6、时针从一个数走到下一个数是（ 1小时 ）。分针从一个数走到下一个数是（ 5分钟）。秒针从一个数走到下一个数是（ 5秒钟 ）。
7、公式。
1时= 60分 1分= 60秒 半时= 30 分 60分=1时 60秒=1分 30 分=半时 第6单元 多位数乘一位数
一、三位数乘一位数的计算和估算
记忆：速度³时间=路程 每节车厢的人数³车厢的数量=全车的人数
二、两步连乘的应用题
第7单元 分数的初步认识
1、分子相同的两个分数，分母小的分数反而大，分母大的分数反而小。
2、分母相同的两个分数，分子大的分数比较大，分子小的分数比较小。
3、相同分母的分数相加：分母不变，分子相加。相同分母的分数相减：分母不变，分子相减。1与分数相减：1可以看作是分子分母相同的分数。
[第九单元 统计和可能性 ]
一、 统计 （一）画“正”字统计 （二） 画条形统计图统计
二、 可能性 谁的数量多谁摸到的可能性就大 （经常 、偶尔 、差不多）
三年级下册知识点总结
一、除数是一位数的除法
1、 一位数除整十、整百、整千数的口算方法：（1）用表内除法计算：用被除数0前面的数
除一位数，算出结果后，看被除数的末尾有几个0，就在算出的结果后填几个0.（2）想乘法算除法：看一位数乘多少的被除数，乘的数就是所求的商。
2、 一位数除几百几十数或几千几百数的口算方法：用被除数的前两位除以一位数，在得数
末尾添上与被除数末尾同样多的0。
3、 三位数除以一位数的估算方法：除数不变，把三位数看成几百几十数或整百数，再用口
算除法的基本方法计算。
4、 一位数除两、三位数的笔算方法：从被除数的高位除起，如果最高位不够商1，就看前
两位；除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面，如果不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数必须比除数小。
5、 除法的验算方法：（1）验算没有余数的除法：商³除数=被除数；（2）验算有余数的除
法：商³除数＋余数=被除数。
二、两位数乘两位数
1、 整十、整百数乘整十数的口算方法：先用表内乘法把两个因数“0”前面的数相乘，再
看两个因数末尾一共几个0，就在乘得的数的末尾填上几个“0”。
2、 两位数乘两位数的估算方法：（1）把两个因数看做与他们接近的整十数，再用口算的方
法估算出结果；（2）把其中一个因数看作与它接近的整十数，再用口算的方法估算出结果。
3、 两位数乘两位数的笔算方法：先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，得数的末位
和因数的个位对齐；再用第二个因数十位上的数去乘第一个因数，得数的末位和因数的十位对齐；最后把两次乘得的积加起来。
三、小数的初步认识
1、 小数的认识：像5.9、0.85和2.60这样的数叫做小数；“.”叫做小数点。
2、 小数的含义：小数是是十进分数的另一种表现形式。分母是10的分数可以用一位小数
来表示，分母是100的分数可以用两位小数来表示。
3、 小数的读法：先读整数部分，按照整数的读法去读；再读小数点，小数点读作“点”，
最后读小数部分，按顺序依次读出每一位上的数字。
4、 小数的写法：先写整数部分，按照整数写法来写，整数部分是零就写0；再写小数点，
小数点点在个位的右下角；小数部分按顺序依次写出每一位上的数字，不管有几个零，都要一一写出来。
5、 比较小数大小的方法：先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，
就比较小数部分，小数部分第一位上的数大的那个数就大；如果第一位上的数相同，就比较第二位上的数，依次类推。
6、 小数加、减法的计算方法：小数相加、减，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位
上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里点上小数点，使他与横线上的小数点对齐。
年、月、日重点知识归纳
1、认识年、月、日：一年有12个月，包括7个大月（1、3、5、7、8、10、12月），4个小
月（2、4、6、9月），一个特殊的2月（平年28天，闰年29天）。平年全年共有365天，闰年全年共有366天。
2、平年、闰年的判定方法：（1）根据这一年二月份的天数或全年的天数直接判断；（2）根
据公历年份判断：公历年份是4的倍数通常是闰年，但公历年份是整百年时，必须是400的倍数才是闰年。
3、两种计时法：一种是把24小时分为两段，每段12小时，从夜里0时到中午12时是第一
段，从中午12时到夜里12时是第二段。这种计时法叫做普通计时法。一种采用从0时到24时的计时法，通常叫做24时计时法。
4、24时计时法与普通计时法的转化：从夜里0时到中午12时，24时计时法与普通计时法相
同；中午12时以后，普通计时法与24时计时法的整点时刻相差12小时，普通计时法 转化成24时计时法要加上12,24时计时法转化成普通计时法要减去12；24时计时法转换成普通计时法一定要在时刻前加上时间限制词。
5、求简单的经过时间的方法：（1）根据钟表推算；（2）用终止时刻减去起始时刻。
面积的重点知识归纳
1、 面积的意义：物体的表面或封闭图形的大小，就是他们的面积。
2、 面积单位间的进率：1平方分米=100平方厘米 1平方米=100平方分米 1公顷=10000
平方米 1平方千米=100公顷
3、 常用的面积单位：平方米、平方分米、平方厘米；测量土地面积常用公顷和平方千米。
4、 面积单位间的转化：高级单位转化成低级单位要用高级单位的数³进率；低级单位转化
成高级单位要用低级单位的数÷进率。
5、 正方形、长方形的面积公式：长方形的面积=长³宽，正方形的面积=边长³边长。
统计重点知识归纳
1、 横向条形统计图：为了版面安排的需要，可以让纵轴表示统计事物的名称，横轴表示统计
事物的数量，这样所画的条形呈水平方向排列，这样的统计图就称为横向条形统计图。
2、 起始格与其他格表示的单位量不同的统计图：在制作统计图时，有时各样本的统计数据的
值都比较大，但不同的样本统计之间的差异值又相对较小，这时可以用起始格表示一个较大的单位量，从第二格起，每格表示较小的单位量，这样更能直观的反映这种差异性。
3、 平均数的含义：一组数据的和除以这组数据的个数所得的商叫做平均数。他既可以描述一
组数据本身的总体情况，也可以作为不同数据比较的一个指标。
4、 求平均数的方法：（1）移多补少法（2）总数量÷总分数=平均数
四年级上册知识点总结
一、数与计算
整数数位顺序表
1、每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。
2、看表说一说：如10个一千万是一亿，一千万是10个一百万。
3、308 4000 0860是由3个百一、8个亿、4个千万、8个百、6个十组成；
也可以说是由308个亿、4000个万、860个一组成。
4、“四舍五入”法：4、3、2、1、0舍去；5、6、7、8、9舍去后向前一位进1。
5、用“＝”和“≈”的区别：7580000＝758万 7508000≈751万
9000000000＝90亿 9420000000≈94亿
6、表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，„都是自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
0不能作除数。比如：5÷0不能得到商，因为找不到一个数同0相乘得到5；
又如：0÷0不可能得到一个确定的商，因为任何数同0相乘都得0。
7、在乘法里，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几，积也随着乘几或除以几。 在除法里，被除数和除数都乘或除以同一个数（0除外），商不变。
在除法里，除数不变，被除数变大，商也变大。
在除法里，被除数不变，除数变大，商反而变小。
二、空间与图形
1、线段有两个端点，可以量出长度。
射线只有一个端点，可以向一端无限延伸。从一点出发可以画无数条射线。
直线没有端点，可以向两端无限延伸。经过任意一点可以画无数条直线，经过任意两点只能画一条直线。
2、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
量角的大小，要用量角器。 角的大小与角的两边画出的长短没有关系，角的大小要看两条边叉开的大小
锐角：小于90
直角＝90
钝角：大于90而小于180
平角＝180 周角＝360
3、在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
4、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短， 它的长度叫做这点到直线的距离。
5、平行线之间的距离处处相等。
6、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形容易变形。
长方形和正方形可以看成是特殊的平行四边形。
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
7、四边形之间的关系图。
8、平行四边形：两组对边分别平行；两组对边分别相等。
长方形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；有4个直角。
正方形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；四边相等，4个直角。
长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形只有1条对称轴。
三、熟记数量关系
速度 ³ 时间 ＝ 路程 单价 ³ 数量 ＝ 总价
如： 80千米/时 3时 240千米 每本5元 8本 40元
225米/分 8分 1800米 每件28元 6件 168元
0 00000
四年级下册知识点总结
第一单元 四则运算
1．在没有括号的算式里，如果只有加、减法，那么从左往右按顺序计算。
2．在没有括号的算式里，如果只有乘、除法，那么从左往右按顺序计算。
3．在没有括号的算式里，既有加、减法，又有乘、除法，那么先算乘、除法再算加、减法。
4．在有括号的算式里，先算括号里的算式，再算括号外面的算式。
5．有关0的计算：
（1）零加上任何数得任何数。[0+5=5，8+0=8]
（2）被减数等于减数，差为0。[5-5=0，7-7=0]
（3）0与任何数相乘得0。[0³5=0，0³24=0]
（4）0除于任何数得0。[0÷18=0，0÷29=0]
（5）0不能做除数。
第二单 元位置与方向
1．地图的三要素：图例、方向、比例尺。
2．确定方向时：A、先确定观测点
（1）从那里出发，那里就是观测点。例如：从老渡口完小出发，到钟山。（老渡口完小就是观测点）
（2）“在”字后面的为观测点。例如：老渡口完小在钟山的 方向上。（钟山就是观测点）
B站在观测点来看方向。（ A 偏 B ，A就是（“偏”字前面的）标角度的角靠近的方向{东、南、西、北}。
例如：①东偏南25°（标25°的那个角就靠近东）
②西偏北35°（标35°的那个角就靠近西）
3．描述路线和绘路线图时：只有一条线，所作的线是首尾相连的。
4．常用的八个方位：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。
观测点与被观测点对调，那么方向是原方向的相对方向，如：东与西相对，南与北相对。
5．小红家在学校的东偏南20°120米处
学校在小红家的西偏北20°120米处
第三单元 运算定律与简便计算
一、运算定律
1． 加法交换律：交换加数的位置和不变。[a+b=b+a]（如：23+34=57与34+23=57）
2．加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
3．乘法交换律：a³b=b³a 交换因数的位置积不变。
4．乘法结合律：（a³b）³c=a³（b³c）先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
5．乘法分配律：（a＋b）³c=a³c＋b³c 两个数的和与一个数相乘，可以把他们与这个数相乘，再相加。
二、简便计算
1．连加的简便计算：①使用加法结合律（把和是整十、整百、整千、的结合在一起） ②个位：1与9，2与8，3与7，4与6，5与5，结合。
③十位：0与9，1与8，2与7，3与6，4与5，结合。
2． 连减的简便计算：
①连续减去几个数就等于减去这几个数的和。如：106-26-74=106-（26+74）
②减去几个数的和就等于连续减去这几个数。如： 106-（26+74）=106-26-74
3．加减混合的简便计算：
第一个数的位置不变，其余的加数、减数可以交换位置（可以先加，也可以先减） 例如：123+38-23=123-23+38 146-78+54=146+54-78
4．连乘的简便计算：
使用乘法结合律：把常见的数结合在一起 25与4； 125与8 ；125与80 等 看见25就去找4，看见125就去找8；
5．连除的简便计算：
①连续除以几个数就等于除以这几个数的积。
②除以几个数的积就等于连续除以这几个数。
6.乘、除混合的简便计算：
第一个数的位置不变，其余的因数、除数可以交换位置。（可以先乘，也可以先除）
例如：27³13÷9=27÷9³13
7．乘法分配律的应用：
①类型一：（a+b）³c (a－b)³c
= a³c＋b³c = a³c－b³c
②类型二：a³c＋b³c a³c－b³c
=（a+b）³c =(a－b)³c
③类型三：a³99＋a a³b－a
= a³（99+1） = a³（b－1）
④类型四：a³99 a³102
= a³（100－1） = a³（100+2）
= a³100－a³1 = a³100+a³2
例如：1。34³11＋34³89 2。21³35－35 3。102³45
4．99³99＋99 5。（20+4）³25 6。17³23－23³7
8。88³125
第四单元 小数的意义和性质
1．小数的产生：在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。
2．分母是10、100、1000„„的分数可以用（小数）表示。
3．小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一„„分别写作0．1、0．01、0．001„„
4．每相邻两个计数单位间的进率是（十）。
5．数位顺序表
数单位） （1）6．378的计数单位是0．001。
（2）6．378中有6个一，3个十分之一（0．1），7个百分之一（0．01），
8个千分之一（0．001）。
（3）6．378中有（6378）个千分之一（0．001）。
（4）9．426中的4表示4个十分之一（0．1）[4在十分位]
6．小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
7．小数的大小比较：
（1）统一单位。（统一成一样的单位）
（2）把要比较的数写成一列（小数点必须对齐）
（3）先比较整数部分 整数部分相同，就比较十分位 十分位相同，比较百分位 百分位相同，就比较千分位 „„„
8．小数点的移动：
小数点向右移动 扩大 乘
一位 10倍 ³10
两位 100倍 ³100
三位 1000倍 ³1000
小数点向左移动 缩 小 除
一位 为原数的 ÷10
两位 为原数的 ÷100
三位 为原数的 ÷1000
9.单位换算：
（1）高级单位转化成低级单位=======乘以进率，小数点向右移动。
（2）低级单位转化成高级单位=======除以进率，小数点向左移动。
10．求小数的近似数
方法：“四舍五入”法
（1）①保留整数，表示精确到个位，看十分位；
②保留一位小数，表示精确到十分位，看百分位；
③保留两位小数，表示精确到百分位，看千分位；
„„„
（2）改写成“万”作为单位的数：在万位的右边，点上小数点，在数的后面加上“万”字。
（3）改写成“亿”作为单位的数：在亿位的右边，点上小数点，在数的后面加上“亿”字。
（4）在表示近似数时，小数末尾的“0”不能去掉。
11．1米=10分米=100厘米=1000毫米 1分米=10厘米
1千克=1000克 1吨=1000千克 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方分米=100平方厘米 1平方千米=100公顷
第五单元 三角形
1．由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
2．三角形有三个角、三条边、三个顶点。
3．从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这 条边叫做三角形的底。
4．为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
5．三角形具有稳定性。
6．三角形的任意两边的和大于第三边。
7．三角形按角分成：（1）锐角三角形（三个内角都是锐角的三角形）
（2）直角三角形（有一个角是直角的三角形）
（3）钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）
8．三角形按边分成：（1）等腰三角形（有两条边相等，相等的两条边叫做三角形的腰；有两个角相等，相等的两个角叫做底角。）
（2）等边三角形（三边相等，三个内角相等都是60°）
（3）任意三角形
9．三角形中只能有一个直角；三角形中只能有一个钝角；三角形中至少有两个锐角，最多有三个锐角。
10．三角形的内角和是180°。
11．最少用2个相同直角三角形可以拼一个平行四边形。
最少用3个相同等边三角形可以拼一个梯形。
最少用2个相同等边三角形可以拼一个平行四边形。
最少用2个相同等腰直角三角形可以拼一个正方形。
最少用2个相同直角三角形可以拼一个长方形。
12．无论是什么形状的图形，没有重叠，没有空隙地铺在平面上，就是密铺。
第六单元 小数的加法和减法
1．小数加法、减法：（1）把数位(小数点)对齐。（2）加减和整数的加减一样。
2．小数加法、减法的简便计算：
（1）可使用加法交换律，加法结合律进行简便计算。
（2）连续减去两个数等于减去这两个数的和。
（3）加法、减法混合在一起时,可以先加,也可以先减,看先干什么更简单.
例如：（1）5.6＋2.7＋4.4 (2)9.14＋1.43＋4.57
=(5.6+4.4)+2.7 =9.14+(1.43+4.57)
(3)51.27－8.66－1.34 (4)4.02－3.5＋0.98
=51.27－(8.66+1.34) =4.02＋0.98－3.5
第七单元 折线统计图
1.折线统计图的特点: (1)可以看出数量的多少.
(2)可以看出变化趋势.
2.常用增加(上升)与减少(降低)来描述变化趋势.
第八单元 数学广角(植树问题)
一、1.两头(两端)要栽: 棵数=间隔数＋1
2.一头(一端)要栽: 棵数=间隔数
3.两头(两端)不栽: 棵数=间隔数－1
二、棋盘棋子数目：
1．棋盘最外层棋子数：每边棋子数³边数－边数
2．棋盘总的棋子数：每行棋子数³每列棋子数
3．方阵最外层人数：每边人数³4－4
4．多边形上摆花盆：每边摆的花盆数³边数－边数
五年级上册知识点总结
第一单元小数乘法
1、 小数乘整数（P2、3）：意义——求几个相同加数的和的简便运算。
如：1.5³3表示1.5的3倍是多少或3个1.5的和的简便运算。
计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
2、小数乘小数（P4、5）：意义——就是求这个数的几分之几是多少。
如：1.5³0.8就是求1.5的十分之八是多少。
1.5³1.8就是求1.5的1.8倍是多少。
计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。
3、规律（1）（P9）：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；
一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
4、求近似数的方法一般有三种：（P10）
⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法
5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。保留一位小数，表示计算到角
6、（P11）小数四则运算顺序跟整数是一样的。
7、运算定律和性质：
加法：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法：减法性质：a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c
乘法：乘法交换律：a³b=b³a乘法结合律：(a³b)³c=a³(b³c)
乘法分配律：(a+b)³c=a³c+b³c【(a-b)³c=a³c-b³c】
除法：除法性质：a÷b÷c=a÷(b³c)
第二单元小数除法
8、小数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。
如：0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3，求另一个因数的运算。
9、小数除以整数的计算方法（P16）：小数除以整数，按整数除法的方法去除。，商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商0，点上小数点。如果有余数，要添0再除。
10、（P21）除数是小数的除法的计算方法：先将除数和被除数扩大相同的倍数，使除数变成整数，再按“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。
注意：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。
11、(P23)在实际应用中，小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。
12、(P24、25)除法中的变化规律：①商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。③被除数不变，除数缩小，商扩大。
13、(P28)循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232„„的循环节是32.
14、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
第三单元观察物体
15、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的；观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。
第四单元简易方程
16、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“²”，也可以省略不写。
加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。
17、a³a可以写作a²a或a ，a 读作a的平方。 2a表示a+a
18、方程：含有未知数的等式称为方程。
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程的解的过程叫做解方程。
19、解方程原理：天平平衡。
等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。
20、10个数量关系式：加法：和=加数+加数 一个加数=和-两一个加数
减法：差=被减数-减数 被减数=差+减数 减数=被减数-差
乘法：积=因数³因数 一个因数=积÷另一个因数
除法：商=被除数÷除数 被除数=商³除数 除数=被除数÷商
21、所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。
22、方程的检验过程：方程左边=右边
23、方程的解是一个数；
第五单元多边形的面积 22
23、公式：长方形：周长=(长+宽)³2 面积=长³宽
字母公式：C=(a+b)³2 S=ab a=S÷b
正方形：周长=边长³4 面积=边长³边长
字母公式： C=4a a= C÷4 S=a³a
平行四边形：面积=底³高
字母公式： S=ah h=S÷a
三角形：面积=底³高÷2 ——【底=面积³2÷高；高=面积³2
字母公式： S=ah÷2 h=2S÷a a=2S÷h
梯形：面积=（上底+下底）³高÷2 字母公式： S=（a+b）h÷2 a=2S÷h-b b=2S÷h-a a+b=2S÷h h=2S÷（a+b）
24、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移平行四边形可以转化成一个长方形；
25、三角形面积公式推导：旋转两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，
长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；
长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；
长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，
因为长方形面积=长³宽，所以平行四边形面积=底³高。
因为平行四边形面积=底³高，所以三角形面积=底³高÷2
26、梯形面积公式推导：旋转
27、三角形、梯形的第二种推导方法老师已讲，自己看书
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，知道就行。
平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；
平行四边形的高相当于梯形的高；
平行四边形面积等于梯形面积的2倍，
因为平行四边形面积=底³高，所以梯形面积=(上底+下底)³高÷2
28、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；
等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
29、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
30、组合图形：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算。
第六单元统计与可能性
31、平均数=总数量÷总份数
32、中位数的优点是不受偏大或偏小数据的影响，用它代表全体数据的一般水平更合适。
第七单元数学广角
33、数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。
34、邮政编码：由6位组成，前2位表示省（直辖市、自治区）
0 5 4 0 0 1
前3位表示邮区 前4位表示县（市） 最后2位表示投递局
35、身份证号码：18位
1 3 0 5 2 1 1 9 7 8 0 3 0 1 0 0 1 9
河北省 邢台市 邢台县 出生日期 顺序码 校验码
倒数第二位的数字用来表示性别，单数表示男，双数表示女。
五年级下册知识点总结
第一单元 图形的变换
1、如果一个图形沿某一条直线对折两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形，对折后重叠的点是对应点，这条直线叫对称轴。（画对称轴时要用铅笔画虚线）。
轴对称图形特点：对称轴两侧相对应的点到对称轴的距离相等，方向相反。
2、常见平面图形的对称轴的条数：
长方形：2条 正方形：4条 （正几边形就有几条） 等腰三角形：1条 等边三角形：3条 （正三边形就是3条）
平行四边形：0条 等腰梯形：1条 （正五边形就有是5条）
圆形：无数条
3、平移：沿直线移动
旋转：绕一个点（轴）转动
旋转特点：物体每个对应点在旋转前后，它们到旋转中心的距离是相等的，对应点与中心的连线所成的角度也是相等的
第二单元 倍数和因数
1、整数ａ除以整数ｂ（ｂ≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说ａ能被ｂ整除（也可说ｂ能整除ａ）
2、如果数ａ能被数ｂ（ｂ≠0）整除，ａ叫做ｂ的倍数，ｂ就叫做ａ的因数。倍数和因数是相互依存的。（不能单独说哪一个数是因数、倍数）
如果A³B＝C （A、B≠0且为整数）
那么：C是A与B的倍数
A是C的因数，B是C的因数
倍数→相当于乘法中的积，或者除法中的被除数
因数→相当于乘法中的被乘数（乘数），或者除法中的除数（商）
3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
所以一个数既是它的因数又是它的倍数，任何非0自然数最小的因数都是1，任何自然数都是1的倍数。
4、被一些数整除的数的特征：
①、2的倍数的特点：个位上是0，2，4，6，8的数 （偶数）
②、5的倍数的特点：个位上是5和0的数。
③、3的倍数的特点：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 为了更简便，可以把数中0，3，6，9这些数字不参与求和，只把其他数字相加。 ④、个位上是0、各个数位上的和又能被3整除的数，同时是2、3、5的倍数。
（能同时被2、3、5整除的最小的数是30）
5、 自然数有两种分类的方法：
①按照能否被2整除可分为偶数和奇数，（0也是偶数）
②按每个数因数的个数可分为质数、合数和1。（0除外）
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数(或素数)。 （只有2个因数） 一个数，如果只有1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。 （2个以个因数） 1 既不是质数，也不是合数。
6、（1）2是最小质数，且是唯一的偶质数，
（2）除了2以外，其它的质数都是奇数，
（3）除了2和5之外，其它的质数个位数字一定是1、3、7、9这四个数字之一。但个位
上是1、3、7、9的数，不一定是质数。
（4）除0和2外，所有的偶数都是合数。
（5）既是奇数又是合数的有9、15、21、25„„
(自然数中，最小的自然数是0，最小的偶数是0，最小的奇数是1，最小质数是2，最小的合数是4。最小的一位数是1。 2和3是质数中唯一连续的两个质数；20以内连续的合数是8、9、10、和 14、15、16)
7、巧记100以内的质数，(共有25个)
口诀：1、3、7、9在个位 两位相加非3倍
还有三数要除外 77、49和91
100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、
59、61、67、71、73、79、83、89、97
8、意思相同，但表叙方式不同的情况（审题时尤其注意）
如：求能被2整除的数，求2能整除哪些数，求2的倍数 ，求2是哪些数的因数，。。。这些意思是一样的，都是求相同的问题。
8、奇数±奇数=偶数
奇数±偶数=奇数
偶数³偶数=偶数
9、能同时被2、3整除的最小两位数是12，最小三位数是102，最小四位数是1002„„„
【能同时被2、3整除的最大两位数是96，最大三位数是996，最小四位数是9996„„„ 能同时被2、5整除的最小两位数是10，最小三位数是100，最小四位数是1000„„„ 能同时被2、5整除的最大两位数是90，最大三位数是990，最大四位数是9990„„„】 能同时被2、3、5整除的最小两位数是30，最小三位数是120，最小四位数是1020„„„
【能同时被2、3、5整除的最大两位数是90，最大三位数是990，最大四位数是9990„„„】
第三单元 长方体和正方体
1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。
3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。
4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
5、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
6、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
7、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。
8、a读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a² a ²a）
9、长方体公式：
棱长和＝（长＋宽＋高）³4 【长方形的周长=（长+宽）³2】 底面积（占地面积、上面积）＝长³宽
侧面积（左面、右面）＝宽³高
前（后）面积＝长³高
表面积＝（长³宽＋长³高＋宽³高）³2 没盖的表面积＝长³宽＋（长³高＋宽³高）³2 或＝（长³宽＋长³高＋宽³高）³2－长³宽
体积（容积）＝长³宽³高＝底面积³高 10、正方体公式：
棱长和＝棱长³12 棱长＝棱长和÷12 【正方形周长=边长³4】 表面积＝棱长³棱长³6 （任意一个面积³6） 没盖的表面积＝棱长³棱长³5
体积（容积）＝棱长³棱长³棱长＝底面积³棱长 不规则物体的体积＝容器的底面积³水面上升（下降）的高度 11、单位换算公式：
3
进率： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
12、在实际生产和生活中，有时要根据实际需要计算长方体或正方体中某几个面的面积之和。如：①具有六个面的长方体、正方体物品：油箱、罐头盒等
②具有五个面的长方体、正方体物品：水池、鱼缸、粉刷房子等 ③具有四个面的长方体、正方体物品：水管、烟囱、通风管。。。
熟识了这些生活中的实物的形体特征，我们在解答有关形体的表面积应用题问题时，就应认真分析面的情况，再计算，切不可书呆子气。
13、20以内平方数和立方数（记熟可加快计算速度）
第四单元 分数的意义和性质
1、 一个图形，一个实物，我们把它称为一个物体，那么8个苹果、12 个△ 是由许多单个
物体组成的，我们称作一个整体。一个物体，一些物体都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1 来表示，通常把它叫做单位“1 ”。 2、把单位“ 1 ”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。（板书） 强调：必须是平均分。
3、自然数“1”与单位“1”有什么区别？
自然数“1”与单位“1”是不同的，自然数“1”是指一个具体的数，而单位“1”既可表示一个物体、一个计量单位，也可表示一些物体。
4、把单位“1 ”平均分成若干份，表示这样一份的数就是分数的分数单位。如，的分数单位是。不同分母的分数，它们的分数单位是不同的。因为分数是由分数单位组成的，因为不同分母的分数，把单位“1 ”平均分的份数不一样，所以不同分母的分数有着不同的分数单位。 5、
123
米可表示两种意思： 4
①表示1米的
3
( 表示把1米平均分成4 份，表示这样3 份的数) 4
1
（表示把3 米平均分成4份，表示这样1份的数。） 4
②还可表示3米的
6、 分数与除法的关系：
分数是一种数，除法是一种运算，所以确切地说，分数的分子相当于除法的被除数，分数的分母相当于除法的除数，除号相当于分数中的分数线，分数表示整数除法的商。
被除数用文字表示是：被除数÷除数= 除数 用字母表示： a÷b = b(b≠0)
7、 按分子与分母的大小，我们把分数分为两类：真分数与假分数
分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1 。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数，假分数大于1或等于1 。
真分数
分子是分母的倍数的假分数（可化成 整数） 分数
假分数
分子不是分母的倍数的假分数（可化成带分数）
8、假分数化成整数或带分数的方法：
( 1 ）分子是分母的倍数时，化成整数，用分子除以分母，商是整数。
( 2 ）分子不是分母倍数时，化成带分数，用分子除以分母，数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。
8、 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。这叫做分数
的基本性质。 9、 几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
最小公因数都是1。 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。只有最小公倍数，没有最大公倍数。
10、公因数只有1的两个数，叫做互质数。以下三种情况两个数一定互质： ①两个不同的质数一定互质 ②两个连续的自然数一定互质
③1和任何一个自然数一定互质。（除0、1外） 11、求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：
如：
所以24与36的最大公因数＝2³2³3＝12
最小公倍数＝2³2³3³2³3＝72
12、甲乙两数的最小公倍数=两数的最大公因数³甲数独有的质因数³乙数独有的质因数 (
公有的质因数的积)
甲数=两数的最大因约数³甲数独有的质因数 乙数＝两数的最大公因数³乙数独有的质因数
13、求两数最小公倍数和最大因约数的特殊情况：
14、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做
约分。
在约分时，可以用分子和分母的公因数分别去除分子和分母，直到约成最简分数为止；也可以直接用分子和分母的最大公因数去除分数的分子和分母，得到最简分数。用第二种方法比较简便，但是，必须要能看出分子和分母的最大公因数。 15、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫做通分。
注意通分时，要先观察原分数的分母，选择分母的最小公倍数作公分母，运用分数的基本性质，将异分母分数化成和原分数相等的同分母分数。
16、小数实际上是分母为10 、100 、1000 „的分数的另一种形式。
小数化成分数时，先把小数写成分数，原来有几位小，就在1 后面写几个0作分母，原来的小数去掉小数点作分子。注意约分的要约分。
而分数化小数时，一般情况下是用分子÷分母，除不尽的按要求取近似值；如果分数的分母是10 、100 、1000 „„ ，可以直接化成小数；如果分母是10 、100 、1000 的因数，可以转化成分母是10 、100 、1000 的分数，再改写成小数。 17、常用小数与分数的互化
1131=0.5 =0.25 =0.75=75% =0.0625 244161234=0.2 =0.4 =0.6 =0.8 55551357
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 88881111=0.05 =0.04 =0.025 =0.02 20254050
第五单元 分数的加法和减法、
1、分数加、减法意义与整数加、减法相同。在计算同分母分数加、减法时，分母不变，
只把分子相加减。注意计算结果能约分的要约成最简分数。
2、在计算同分母分数分数连加、连减时，用几个分数直接相加或相减比较简便。
另外，如果被减数是“1 ”时，将被减数化成与减数分母相同的假分数再计算，
当分子出现O 时，这个分数就等于O 。
3、异分母分数加、减法的计算方法：。一般情况下，计算异分母分数的加、减法时，先通分（分数单位不同不能相加减。），转化成同分母分数的加、减法，然后按同分母分数加、减法的计算方法进行计算。注意在通分时，为了计算简便，应选择分母的最小公倍数作公分母。
4、异分母分数加、减法中的一些特殊情况的计算规律：
当两个分数的分子为1 ，分母互质时，它们的结果是用这两个分母的和（差）作分子，用两个分母的乘积作分母。
5、分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同。也是按照从左往右的顺序计算，带有小括号的先算小括号里面的，再算小括号外面的。
在计算分数加减法时，要注意认真审题，根据题目中数的特点，灵活应用加法交换律、加法结合律进行简便运算，从而提高计算的正确率和计算的速度。
第六单元 统 计
1、描述一组数据的集中趋势，可以用平均数、中位数和众数，它们描述的角度和范围有所不同，在具体问题中，究竟采用哪种统计量来描述一组数据的集中趋势，要根据数据的特点及我们所关心的问题来确定。
平均数的大小与一组数据的每一个数据都有关系，其中任何数据的变化都会引起平均数的变化；众数着眼于对各数据重复出现次数的考察，其大小只与这组数据的部分数据有关；中位数则与数据的排列位置有关，有时某些数据的变化对中位数没有影响。一组数据的平均数和中位数是惟一的，而众数则不一定是惟一的。
2、中位数又叫中数，它在一组数据的中间位置。中位数受观察数目的影响，而不象平均数那样受每一数值大小的影响。当个数为奇数时，最中间的就是中位数；当个数为偶数时，中间的两个数的平均数为中位数。一组数据中出现次数最多的数定义为众数。
3、注意：①、当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数、中位数都要带上单位。
②、求中位数时必须先将这组数据排序。
③、中位数不是一个数值而是一个点，它不能用于进一步的计算。
4、条形统计图不较容易比较各种数量的多少，折线统计图不但可以很快比较出各种数量的多少，还能看出数量增减变化的情况。
第七单元 数学广角
1、 利用天平找次品的时候，把待测物品分成3 份，并且平均分的方法能保证找出次品而且
称的次数一定最少。 2、 只含一个次品，用天平测的次数规律：
三年级上册数学知识点梳理
第1单元 测量
1、在生活中，量比较短的物品，可以用（毫米、厘米、分米 ）做单位；量比较长的物体，常用（ 米 ）做单位；测量比较长的路程一般用（ 千米 ）做单位，千米也叫（ 公里 ） 2、1厘米的长度里有（ 10 ）小格，每个小格的长度（ 相等 ），都是（ 1 ）毫米。 3、1枚1分的硬币、尺子、磁卡、小纽扣、钥匙的厚度大约是1毫米。
4、在计算长度时，只有相同的长度单位才能相加减。
小技巧：换算长度单位时，把大单位换成小单位就在数字的末尾添加0（关系式中有几个0，就添几个0）；把小单位换成大单位就在数字的末尾去掉0（关系式中有几个0，就去掉几个0）。
5、长度单位的关系式有：
① 进率是10
1 米 = 10 分米 1 分米 = 10 厘米 1 厘米 = 10 毫米
10 分米=1 米 10 厘米= 1 分米 10 毫米= 1 厘米
② 进率是100
1 米 = 100 厘米 1分米=100毫米 100 厘米=1 米 100毫米=1分米
③ 进率是1000
1千米=1000米 1公里= =1000米 1000米=1千米 1000米 = 1公里
6、当我们表示物体有多重时，通常要用到（质量单位 ）。在生活中，称比较轻的物品的质量，可以用（ 克 ）做单位；称一般物品的质量，常用（千克 ）做单位；计量较重的或大宗物品的质量，通常用（ 吨 ）做单位。
小技巧：在“吨”与“千克”的换算中，把吨换算成千克，是在数字的末尾加上3个0；把千克换算成吨，是在数字的末尾去掉3个0。
7、质量单位进率是1000 。（相邻）
1 吨 = 1000千克 1千克＝1000克
1000千克 = 1 吨 1000克＝1千克
[第二单元：认数]
一、知识点：认识整千数 （记忆： 10个一千是一万）
二、知识点：读数和写数 （读数时写汉字 写数时写阿拉伯数字）
记忆：（1）一个数的末尾不管有一个0或几个0，这个0都不读。
（2）一个数的中间有一个0或连续的两个0，都只读一个0。
（3）从右边起第5位是万位。
三、知识点：数的大小比较
掌握：（1）位数不同的数比较大小，位数多的数大。
（2）位数相同的数比较大小，先比较这两个数的最高位上的数，如果最高位上的数相同，就比较下一位，以此类推。
四、知识点：求一个数的近似数
记忆：看最位的后面一位，如果是0-4则用四舍法，如果是5-9就用五入法。
最大的三位数是位999，最小的三位数是100，最大的四位数是9999，最小的四位数是1000。最大的三位数比最小的四位数小1。
第3单元 四边形
1、有4条直的边和4个角封闭图形我们叫它四边形。
2、四边形的特点：1）有四条直的边；2）有四个角。
3、长方形的特点：长方形有两条长,两条宽，四个直角，对边相等。
4、正方形的特点：有4个直角，4条边相等。
5、长方形和正方形是特殊的平行四边形。
6、平行四边形的特点：对边相等、对角相等。平行四边形容易变形。（三角形不容易变形）
7、封闭图形一周的长度，就是它的周长。
8、公式。
长方形的周长 = （长+宽）³2 长方形的长 = 周长÷2－宽
长方形的宽 = 周长÷2－长 正方形的周长 = 边长³4
正方形的边长 = 周长÷4
第4单元 有余数的除法
1、余数和除数之间的关系：进行有余数的除法计算时，结果中的余数一定要比除数小。
2、公式。
被除数 = 除数³商＋余数 除数 = （被除数－余数）÷商
商 = （被除数－余数）÷除数
第5单元 时分秒
1、钟面上有3根针，它们是（时针）、（分针）、（秒针），其中走得最快的是（秒针），走得最慢的是（时针）。
2、钟面上有（ 12 ）个数字，（ 12 ）个大格，（ 60 ）个小格；每两个数间是（ 1 ）个大格，也就是（ 5 ）个小格。
3、时针走1大格是（ 1 ）小时；分针走1大格是（ 5 ）分钟，走1小格是（ 1 ）分钟；秒针走1大格是（ 5 ）秒钟，走1小格是（ 1 ）秒钟。
4、时针走1大格，分针正好走（ 1 ）圈，分针走1圈是（ 60 ）分，也就是（ 1 ）小时。时针走1圈，分针要走（ 12 ）圈。
5、分针走1小格，秒针正好走（ 1 ）圈，秒针走1圈是（ 60 ）秒，也就是（ 1 ）分钟。
6、时针从一个数走到下一个数是（ 1小时 ）。分针从一个数走到下一个数是（ 5分钟）。秒针从一个数走到下一个数是（ 5秒钟 ）。
7、公式。
1时= 60分 1分= 60秒 半时= 30 分 60分=1时 60秒=1分 30 分=半时 第6单元 多位数乘一位数
一、三位数乘一位数的计算和估算
记忆：速度³时间=路程 每节车厢的人数³车厢的数量=全车的人数
二、两步连乘的应用题
第7单元 分数的初步认识
1、分子相同的两个分数，分母小的分数反而大，分母大的分数反而小。
2、分母相同的两个分数，分子大的分数比较大，分子小的分数比较小。
3、相同分母的分数相加：分母不变，分子相加。相同分母的分数相减：分母不变，分子相减。1与分数相减：1可以看作是分子分母相同的分数。
[第九单元 统计和可能性 ]
一、 统计 （一）画“正”字统计 （二） 画条形统计图统计
二、 可能性 谁的数量多谁摸到的可能性就大 （经常 、偶尔 、差不多）
三年级下册知识点总结
一、除数是一位数的除法
1、 一位数除整十、整百、整千数的口算方法：（1）用表内除法计算：用被除数0前面的数
除一位数，算出结果后，看被除数的末尾有几个0，就在算出的结果后填几个0.（2）想乘法算除法：看一位数乘多少的被除数，乘的数就是所求的商。
2、 一位数除几百几十数或几千几百数的口算方法：用被除数的前两位除以一位数，在得数
末尾添上与被除数末尾同样多的0。
3、 三位数除以一位数的估算方法：除数不变，把三位数看成几百几十数或整百数，再用口
算除法的基本方法计算。
4、 一位数除两、三位数的笔算方法：从被除数的高位除起，如果最高位不够商1，就看前
两位；除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面，如果不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数必须比除数小。
5、 除法的验算方法：（1）验算没有余数的除法：商³除数=被除数；（2）验算有余数的除
法：商³除数＋余数=被除数。
二、两位数乘两位数
1、 整十、整百数乘整十数的口算方法：先用表内乘法把两个因数“0”前面的数相乘，再
看两个因数末尾一共几个0，就在乘得的数的末尾填上几个“0”。
2、 两位数乘两位数的估算方法：（1）把两个因数看做与他们接近的整十数，再用口算的方
法估算出结果；（2）把其中一个因数看作与它接近的整十数，再用口算的方法估算出结果。
3、 两位数乘两位数的笔算方法：先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，得数的末位
和因数的个位对齐；再用第二个因数十位上的数去乘第一个因数，得数的末位和因数的十位对齐；最后把两次乘得的积加起来。
三、小数的初步认识
1、 小数的认识：像5.9、0.85和2.60这样的数叫做小数；“.”叫做小数点。
2、 小数的含义：小数是是十进分数的另一种表现形式。分母是10的分数可以用一位小数
来表示，分母是100的分数可以用两位小数来表示。
3、 小数的读法：先读整数部分，按照整数的读法去读；再读小数点，小数点读作“点”，
最后读小数部分，按顺序依次读出每一位上的数字。
4、 小数的写法：先写整数部分，按照整数写法来写，整数部分是零就写0；再写小数点，
小数点点在个位的右下角；小数部分按顺序依次写出每一位上的数字，不管有几个零，都要一一写出来。
5、 比较小数大小的方法：先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，
就比较小数部分，小数部分第一位上的数大的那个数就大；如果第一位上的数相同，就比较第二位上的数，依次类推。
6、 小数加、减法的计算方法：小数相加、减，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位
上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里点上小数点，使他与横线上的小数点对齐。
年、月、日重点知识归纳
1、认识年、月、日：一年有12个月，包括7个大月（1、3、5、7、8、10、12月），4个小
月（2、4、6、9月），一个特殊的2月（平年28天，闰年29天）。平年全年共有365天，闰年全年共有366天。
2、平年、闰年的判定方法：（1）根据这一年二月份的天数或全年的天数直接判断；（2）根
据公历年份判断：公历年份是4的倍数通常是闰年，但公历年份是整百年时，必须是400的倍数才是闰年。
3、两种计时法：一种是把24小时分为两段，每段12小时，从夜里0时到中午12时是第一
段，从中午12时到夜里12时是第二段。这种计时法叫做普通计时法。一种采用从0时到24时的计时法，通常叫做24时计时法。
4、24时计时法与普通计时法的转化：从夜里0时到中午12时，24时计时法与普通计时法相
同；中午12时以后，普通计时法与24时计时法的整点时刻相差12小时，普通计时法 转化成24时计时法要加上12,24时计时法转化成普通计时法要减去12；24时计时法转换成普通计时法一定要在时刻前加上时间限制词。
5、求简单的经过时间的方法：（1）根据钟表推算；（2）用终止时刻减去起始时刻。
面积的重点知识归纳
1、 面积的意义：物体的表面或封闭图形的大小，就是他们的面积。
2、 面积单位间的进率：1平方分米=100平方厘米 1平方米=100平方分米 1公顷=10000
平方米 1平方千米=100公顷
3、 常用的面积单位：平方米、平方分米、平方厘米；测量土地面积常用公顷和平方千米。
4、 面积单位间的转化：高级单位转化成低级单位要用高级单位的数³进率；低级单位转化
成高级单位要用低级单位的数÷进率。
5、 正方形、长方形的面积公式：长方形的面积=长³宽，正方形的面积=边长³边长。
统计重点知识归纳
1、 横向条形统计图：为了版面安排的需要，可以让纵轴表示统计事物的名称，横轴表示统计
事物的数量，这样所画的条形呈水平方向排列，这样的统计图就称为横向条形统计图。
2、 起始格与其他格表示的单位量不同的统计图：在制作统计图时，有时各样本的统计数据的
值都比较大，但不同的样本统计之间的差异值又相对较小，这时可以用起始格表示一个较大的单位量，从第二格起，每格表示较小的单位量，这样更能直观的反映这种差异性。
3、 平均数的含义：一组数据的和除以这组数据的个数所得的商叫做平均数。他既可以描述一
组数据本身的总体情况，也可以作为不同数据比较的一个指标。
4、 求平均数的方法：（1）移多补少法（2）总数量÷总分数=平均数
四年级上册知识点总结
一、数与计算
整数数位顺序表
1、每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。
2、看表说一说：如10个一千万是一亿，一千万是10个一百万。
3、308 4000 0860是由3个百一、8个亿、4个千万、8个百、6个十组成；
也可以说是由308个亿、4000个万、860个一组成。
4、“四舍五入”法：4、3、2、1、0舍去；5、6、7、8、9舍去后向前一位进1。
5、用“＝”和“≈”的区别：7580000＝758万 7508000≈751万
9000000000＝90亿 9420000000≈94亿
6、表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，„都是自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
0不能作除数。比如：5÷0不能得到商，因为找不到一个数同0相乘得到5；
又如：0÷0不可能得到一个确定的商，因为任何数同0相乘都得0。
7、在乘法里，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几，积也随着乘几或除以几。 在除法里，被除数和除数都乘或除以同一个数（0除外），商不变。
在除法里，除数不变，被除数变大，商也变大。
在除法里，被除数不变，除数变大，商反而变小。
二、空间与图形
1、线段有两个端点，可以量出长度。
射线只有一个端点，可以向一端无限延伸。从一点出发可以画无数条射线。
直线没有端点，可以向两端无限延伸。经过任意一点可以画无数条直线，经过任意两点只能画一条直线。
2、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
量角的大小，要用量角器。 角的大小与角的两边画出的长短没有关系，角的大小要看两条边叉开的大小
锐角：小于90
直角＝90
钝角：大于90而小于180
平角＝180 周角＝360
3、在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
4、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短， 它的长度叫做这点到直线的距离。
5、平行线之间的距离处处相等。
6、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形容易变形。
长方形和正方形可以看成是特殊的平行四边形。
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
7、四边形之间的关系图。
8、平行四边形：两组对边分别平行；两组对边分别相等。
长方形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；有4个直角。
正方形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；四边相等，4个直角。
长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形只有1条对称轴。
三、熟记数量关系
速度 ³ 时间 ＝ 路程 单价 ³ 数量 ＝ 总价
如： 80千米/时 3时 240千米 每本5元 8本 40元
225米/分 8分 1800米 每件28元 6件 168元
0 00000
四年级下册知识点总结
第一单元 四则运算
1．在没有括号的算式里，如果只有加、减法，那么从左往右按顺序计算。
2．在没有括号的算式里，如果只有乘、除法，那么从左往右按顺序计算。
3．在没有括号的算式里，既有加、减法，又有乘、除法，那么先算乘、除法再算加、减法。
4．在有括号的算式里，先算括号里的算式，再算括号外面的算式。
5．有关0的计算：
（1）零加上任何数得任何数。[0+5=5，8+0=8]
（2）被减数等于减数，差为0。[5-5=0，7-7=0]
（3）0与任何数相乘得0。[0³5=0，0³24=0]
（4）0除于任何数得0。[0÷18=0，0÷29=0]
（5）0不能做除数。
第二单 元位置与方向
1．地图的三要素：图例、方向、比例尺。
2．确定方向时：A、先确定观测点
（1）从那里出发，那里就是观测点。例如：从老渡口完小出发，到钟山。（老渡口完小就是观测点）
（2）“在”字后面的为观测点。例如：老渡口完小在钟山的 方向上。（钟山就是观测点）
B站在观测点来看方向。（ A 偏 B ，A就是（“偏”字前面的）标角度的角靠近的方向{东、南、西、北}。
例如：①东偏南25°（标25°的那个角就靠近东）
②西偏北35°（标35°的那个角就靠近西）
3．描述路线和绘路线图时：只有一条线，所作的线是首尾相连的。
4．常用的八个方位：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。
观测点与被观测点对调，那么方向是原方向的相对方向，如：东与西相对，南与北相对。
5．小红家在学校的东偏南20°120米处
学校在小红家的西偏北20°120米处
第三单元 运算定律与简便计算
一、运算定律
1． 加法交换律：交换加数的位置和不变。[a+b=b+a]（如：23+34=57与34+23=57）
2．加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
3．乘法交换律：a³b=b³a 交换因数的位置积不变。
4．乘法结合律：（a³b）³c=a³（b³c）先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
5．乘法分配律：（a＋b）³c=a³c＋b³c 两个数的和与一个数相乘，可以把他们与这个数相乘，再相加。
二、简便计算
1．连加的简便计算：①使用加法结合律（把和是整十、整百、整千、的结合在一起） ②个位：1与9，2与8，3与7，4与6，5与5，结合。
③十位：0与9，1与8，2与7，3与6，4与5，结合。
2． 连减的简便计算：
①连续减去几个数就等于减去这几个数的和。如：106-26-74=106-（26+74）
②减去几个数的和就等于连续减去这几个数。如： 106-（26+74）=106-26-74
3．加减混合的简便计算：
第一个数的位置不变，其余的加数、减数可以交换位置（可以先加，也可以先减） 例如：123+38-23=123-23+38 146-78+54=146+54-78
4．连乘的简便计算：
使用乘法结合律：把常见的数结合在一起 25与4； 125与8 ；125与80 等 看见25就去找4，看见125就去找8；
5．连除的简便计算：
①连续除以几个数就等于除以这几个数的积。
②除以几个数的积就等于连续除以这几个数。
6.乘、除混合的简便计算：
第一个数的位置不变，其余的因数、除数可以交换位置。（可以先乘，也可以先除）
例如：27³13÷9=27÷9³13
7．乘法分配律的应用：
①类型一：（a+b）³c (a－b)³c
= a³c＋b³c = a³c－b³c
②类型二：a³c＋b³c a³c－b³c
=（a+b）³c =(a－b)³c
③类型三：a³99＋a a³b－a
= a³（99+1） = a³（b－1）
④类型四：a³99 a³102
= a³（100－1） = a³（100+2）
= a³100－a³1 = a³100+a³2
例如：1。34³11＋34³89 2。21³35－35 3。102³45
4．99³99＋99 5。（20+4）³25 6。17³23－23³7
8。88³125
第四单元 小数的意义和性质
1．小数的产生：在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。
2．分母是10、100、1000„„的分数可以用（小数）表示。
3．小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一„„分别写作0．1、0．01、0．001„„
4．每相邻两个计数单位间的进率是（十）。
5．数位顺序表
数单位） （1）6．378的计数单位是0．001。
（2）6．378中有6个一，3个十分之一（0．1），7个百分之一（0．01），
8个千分之一（0．001）。
（3）6．378中有（6378）个千分之一（0．001）。
（4）9．426中的4表示4个十分之一（0．1）[4在十分位]
6．小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
7．小数的大小比较：
（1）统一单位。（统一成一样的单位）
（2）把要比较的数写成一列（小数点必须对齐）
（3）先比较整数部分 整数部分相同，就比较十分位 十分位相同，比较百分位 百分位相同，就比较千分位 „„„
8．小数点的移动：
小数点向右移动 扩大 乘
一位 10倍 ³10
两位 100倍 ³100
三位 1000倍 ³1000
小数点向左移动 缩 小 除
一位 为原数的 ÷10
两位 为原数的 ÷100
三位 为原数的 ÷1000
9.单位换算：
（1）高级单位转化成低级单位=======乘以进率，小数点向右移动。
（2）低级单位转化成高级单位=======除以进率，小数点向左移动。
10．求小数的近似数
方法：“四舍五入”法
（1）①保留整数，表示精确到个位，看十分位；
②保留一位小数，表示精确到十分位，看百分位；
③保留两位小数，表示精确到百分位，看千分位；
„„„
（2）改写成“万”作为单位的数：在万位的右边，点上小数点，在数的后面加上“万”字。
（3）改写成“亿”作为单位的数：在亿位的右边，点上小数点，在数的后面加上“亿”字。
（4）在表示近似数时，小数末尾的“0”不能去掉。
11．1米=10分米=100厘米=1000毫米 1分米=10厘米
1千克=1000克 1吨=1000千克 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方分米=100平方厘米 1平方千米=100公顷
第五单元 三角形
1．由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
2．三角形有三个角、三条边、三个顶点。
3．从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这 条边叫做三角形的底。
4．为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
5．三角形具有稳定性。
6．三角形的任意两边的和大于第三边。
7．三角形按角分成：（1）锐角三角形（三个内角都是锐角的三角形）
（2）直角三角形（有一个角是直角的三角形）
（3）钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）
8．三角形按边分成：（1）等腰三角形（有两条边相等，相等的两条边叫做三角形的腰；有两个角相等，相等的两个角叫做底角。）
（2）等边三角形（三边相等，三个内角相等都是60°）
（3）任意三角形
9．三角形中只能有一个直角；三角形中只能有一个钝角；三角形中至少有两个锐角，最多有三个锐角。
10．三角形的内角和是180°。
11．最少用2个相同直角三角形可以拼一个平行四边形。
最少用3个相同等边三角形可以拼一个梯形。
最少用2个相同等边三角形可以拼一个平行四边形。
最少用2个相同等腰直角三角形可以拼一个正方形。
最少用2个相同直角三角形可以拼一个长方形。
12．无论是什么形状的图形，没有重叠，没有空隙地铺在平面上，就是密铺。
第六单元 小数的加法和减法
1．小数加法、减法：（1）把数位(小数点)对齐。（2）加减和整数的加减一样。
2．小数加法、减法的简便计算：
（1）可使用加法交换律，加法结合律进行简便计算。
（2）连续减去两个数等于减去这两个数的和。
（3）加法、减法混合在一起时,可以先加,也可以先减,看先干什么更简单.
例如：（1）5.6＋2.7＋4.4 (2)9.14＋1.43＋4.57
=(5.6+4.4)+2.7 =9.14+(1.43+4.57)
(3)51.27－8.66－1.34 (4)4.02－3.5＋0.98
=51.27－(8.66+1.34) =4.02＋0.98－3.5
第七单元 折线统计图
1.折线统计图的特点: (1)可以看出数量的多少.
(2)可以看出变化趋势.
2.常用增加(上升)与减少(降低)来描述变化趋势.
第八单元 数学广角(植树问题)
一、1.两头(两端)要栽: 棵数=间隔数＋1
2.一头(一端)要栽: 棵数=间隔数
3.两头(两端)不栽: 棵数=间隔数－1
二、棋盘棋子数目：
1．棋盘最外层棋子数：每边棋子数³边数－边数
2．棋盘总的棋子数：每行棋子数³每列棋子数
3．方阵最外层人数：每边人数³4－4
4．多边形上摆花盆：每边摆的花盆数³边数－边数
五年级上册知识点总结
第一单元小数乘法
1、 小数乘整数（P2、3）：意义——求几个相同加数的和的简便运算。
如：1.5³3表示1.5的3倍是多少或3个1.5的和的简便运算。
计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
2、小数乘小数（P4、5）：意义——就是求这个数的几分之几是多少。
如：1.5³0.8就是求1.5的十分之八是多少。
1.5³1.8就是求1.5的1.8倍是多少。
计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。
3、规律（1）（P9）：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；
一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
4、求近似数的方法一般有三种：（P10）
⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法
5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。保留一位小数，表示计算到角
6、（P11）小数四则运算顺序跟整数是一样的。
7、运算定律和性质：
加法：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法：减法性质：a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c
乘法：乘法交换律：a³b=b³a乘法结合律：(a³b)³c=a³(b³c)
乘法分配律：(a+b)³c=a³c+b³c【(a-b)³c=a³c-b³c】
除法：除法性质：a÷b÷c=a÷(b³c)
第二单元小数除法
8、小数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。
如：0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3，求另一个因数的运算。
9、小数除以整数的计算方法（P16）：小数除以整数，按整数除法的方法去除。，商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商0，点上小数点。如果有余数，要添0再除。
10、（P21）除数是小数的除法的计算方法：先将除数和被除数扩大相同的倍数，使除数变成整数，再按“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。
注意：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。
11、(P23)在实际应用中，小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。
12、(P24、25)除法中的变化规律：①商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。③被除数不变，除数缩小，商扩大。
13、(P28)循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232„„的循环节是32.
14、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
第三单元观察物体
15、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的；观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。
第四单元简易方程
16、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“²”，也可以省略不写。
加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。
17、a³a可以写作a²a或a ，a 读作a的平方。 2a表示a+a
18、方程：含有未知数的等式称为方程。
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程的解的过程叫做解方程。
19、解方程原理：天平平衡。
等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。
20、10个数量关系式：加法：和=加数+加数 一个加数=和-两一个加数
减法：差=被减数-减数 被减数=差+减数 减数=被减数-差
乘法：积=因数³因数 一个因数=积÷另一个因数
除法：商=被除数÷除数 被除数=商³除数 除数=被除数÷商
21、所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。
22、方程的检验过程：方程左边=右边
23、方程的解是一个数；
第五单元多边形的面积 22
23、公式：长方形：周长=(长+宽)³2 面积=长³宽
字母公式：C=(a+b)³2 S=ab a=S÷b
正方形：周长=边长³4 面积=边长³边长
字母公式： C=4a a= C÷4 S=a³a
平行四边形：面积=底³高
字母公式： S=ah h=S÷a
三角形：面积=底³高÷2 ——【底=面积³2÷高；高=面积³2
字母公式： S=ah÷2 h=2S÷a a=2S÷h
梯形：面积=（上底+下底）³高÷2 字母公式： S=（a+b）h÷2 a=2S÷h-b b=2S÷h-a a+b=2S÷h h=2S÷（a+b）
24、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移平行四边形可以转化成一个长方形；
25、三角形面积公式推导：旋转两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，
长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；
长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；
长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，
因为长方形面积=长³宽，所以平行四边形面积=底³高。
因为平行四边形面积=底³高，所以三角形面积=底³高÷2
26、梯形面积公式推导：旋转
27、三角形、梯形的第二种推导方法老师已讲，自己看书
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，知道就行。
平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；
平行四边形的高相当于梯形的高；
平行四边形面积等于梯形面积的2倍，
因为平行四边形面积=底³高，所以梯形面积=(上底+下底)³高÷2
28、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；
等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
29、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
30、组合图形：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算。
第六单元统计与可能性
31、平均数=总数量÷总份数
32、中位数的优点是不受偏大或偏小数据的影响，用它代表全体数据的一般水平更合适。
第七单元数学广角
33、数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。
34、邮政编码：由6位组成，前2位表示省（直辖市、自治区）
0 5 4 0 0 1
前3位表示邮区 前4位表示县（市） 最后2位表示投递局
35、身份证号码：18位
1 3 0 5 2 1 1 9 7 8 0 3 0 1 0 0 1 9
河北省 邢台市 邢台县 出生日期 顺序码 校验码
倒数第二位的数字用来表示性别，单数表示男，双数表示女。
五年级下册知识点总结
第一单元 图形的变换
1、如果一个图形沿某一条直线对折两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形，对折后重叠的点是对应点，这条直线叫对称轴。（画对称轴时要用铅笔画虚线）。
轴对称图形特点：对称轴两侧相对应的点到对称轴的距离相等，方向相反。
2、常见平面图形的对称轴的条数：
长方形：2条 正方形：4条 （正几边形就有几条） 等腰三角形：1条 等边三角形：3条 （正三边形就是3条）
平行四边形：0条 等腰梯形：1条 （正五边形就有是5条）
圆形：无数条
3、平移：沿直线移动
旋转：绕一个点（轴）转动
旋转特点：物体每个对应点在旋转前后，它们到旋转中心的距离是相等的，对应点与中心的连线所成的角度也是相等的
第二单元 倍数和因数
1、整数ａ除以整数ｂ（ｂ≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说ａ能被ｂ整除（也可说ｂ能整除ａ）
2、如果数ａ能被数ｂ（ｂ≠0）整除，ａ叫做ｂ的倍数，ｂ就叫做ａ的因数。倍数和因数是相互依存的。（不能单独说哪一个数是因数、倍数）
如果A³B＝C （A、B≠0且为整数）
那么：C是A与B的倍数
A是C的因数，B是C的因数
倍数→相当于乘法中的积，或者除法中的被除数
因数→相当于乘法中的被乘数（乘数），或者除法中的除数（商）
3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
所以一个数既是它的因数又是它的倍数，任何非0自然数最小的因数都是1，任何自然数都是1的倍数。
4、被一些数整除的数的特征：
①、2的倍数的特点：个位上是0，2，4，6，8的数 （偶数）
②、5的倍数的特点：个位上是5和0的数。
③、3的倍数的特点：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 为了更简便，可以把数中0，3，6，9这些数字不参与求和，只把其他数字相加。 ④、个位上是0、各个数位上的和又能被3整除的数，同时是2、3、5的倍数。
（能同时被2、3、5整除的最小的数是30）
5、 自然数有两种分类的方法：
①按照能否被2整除可分为偶数和奇数，（0也是偶数）
②按每个数因数的个数可分为质数、合数和1。（0除外）
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数(或素数)。 （只有2个因数） 一个数，如果只有1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。 （2个以个因数） 1 既不是质数，也不是合数。
6、（1）2是最小质数，且是唯一的偶质数，
（2）除了2以外，其它的质数都是奇数，
（3）除了2和5之外，其它的质数个位数字一定是1、3、7、9这四个数字之一。但个位
上是1、3、7、9的数，不一定是质数。
（4）除0和2外，所有的偶数都是合数。
（5）既是奇数又是合数的有9、15、21、25„„
(自然数中，最小的自然数是0，最小的偶数是0，最小的奇数是1，最小质数是2，最小的合数是4。最小的一位数是1。 2和3是质数中唯一连续的两个质数；20以内连续的合数是8、9、10、和 14、15、16)
7、巧记100以内的质数，(共有25个)
口诀：1、3、7、9在个位 两位相加非3倍
还有三数要除外 77、49和91
100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、
59、61、67、71、73、79、83、89、97
8、意思相同，但表叙方式不同的情况（审题时尤其注意）
如：求能被2整除的数，求2能整除哪些数，求2的倍数 ，求2是哪些数的因数，。。。这些意思是一样的，都是求相同的问题。
8、奇数±奇数=偶数
奇数±偶数=奇数
偶数³偶数=偶数
9、能同时被2、3整除的最小两位数是12，最小三位数是102，最小四位数是1002„„„
【能同时被2、3整除的最大两位数是96，最大三位数是996，最小四位数是9996„„„ 能同时被2、5整除的最小两位数是10，最小三位数是100，最小四位数是1000„„„ 能同时被2、5整除的最大两位数是90，最大三位数是990，最大四位数是9990„„„】 能同时被2、3、5整除的最小两位数是30，最小三位数是120，最小四位数是1020„„„
【能同时被2、3、5整除的最大两位数是90，最大三位数是990，最大四位数是9990„„„】
第三单元 长方体和正方体
1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。
3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。
4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
5、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
6、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
7、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。
8、a读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a² a ²a）
9、长方体公式：
棱长和＝（长＋宽＋高）³4 【长方形的周长=（长+宽）³2】 底面积（占地面积、上面积）＝长³宽
侧面积（左面、右面）＝宽³高
前（后）面积＝长³高
表面积＝（长³宽＋长³高＋宽³高）³2 没盖的表面积＝长³宽＋（长³高＋宽³高）³2 或＝（长³宽＋长³高＋宽³高）³2－长³宽
体积（容积）＝长³宽³高＝底面积³高 10、正方体公式：
棱长和＝棱长³12 棱长＝棱长和÷12 【正方形周长=边长³4】 表面积＝棱长³棱长³6 （任意一个面积³6） 没盖的表面积＝棱长³棱长³5
体积（容积）＝棱长³棱长³棱长＝底面积³棱长 不规则物体的体积＝容器的底面积³水面上升（下降）的高度 11、单位换算公式：
3
进率： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
12、在实际生产和生活中，有时要根据实际需要计算长方体或正方体中某几个面的面积之和。如：①具有六个面的长方体、正方体物品：油箱、罐头盒等
②具有五个面的长方体、正方体物品：水池、鱼缸、粉刷房子等 ③具有四个面的长方体、正方体物品：水管、烟囱、通风管。。。
熟识了这些生活中的实物的形体特征，我们在解答有关形体的表面积应用题问题时，就应认真分析面的情况，再计算，切不可书呆子气。
13、20以内平方数和立方数（记熟可加快计算速度）
第四单元 分数的意义和性质
1、 一个图形，一个实物，我们把它称为一个物体，那么8个苹果、12 个△ 是由许多单个
物体组成的，我们称作一个整体。一个物体，一些物体都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1 来表示，通常把它叫做单位“1 ”。 2、把单位“ 1 ”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。（板书） 强调：必须是平均分。
3、自然数“1”与单位“1”有什么区别？
自然数“1”与单位“1”是不同的，自然数“1”是指一个具体的数，而单位“1”既可表示一个物体、一个计量单位，也可表示一些物体。
4、把单位“1 ”平均分成若干份，表示这样一份的数就是分数的分数单位。如，的分数单位是。不同分母的分数，它们的分数单位是不同的。因为分数是由分数单位组成的，因为不同分母的分数，把单位“1 ”平均分的份数不一样，所以不同分母的分数有着不同的分数单位。 5、
123
米可表示两种意思： 4
①表示1米的
3
( 表示把1米平均分成4 份，表示这样3 份的数) 4
1
（表示把3 米平均分成4份，表示这样1份的数。） 4
②还可表示3米的
6、 分数与除法的关系：
分数是一种数，除法是一种运算，所以确切地说，分数的分子相当于除法的被除数，分数的分母相当于除法的除数，除号相当于分数中的分数线，分数表示整数除法的商。
被除数用文字表示是：被除数÷除数= 除数 用字母表示： a÷b = b(b≠0)
7、 按分子与分母的大小，我们把分数分为两类：真分数与假分数
分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1 。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数，假分数大于1或等于1 。
真分数
分子是分母的倍数的假分数（可化成 整数） 分数
假分数
分子不是分母的倍数的假分数（可化成带分数）
8、假分数化成整数或带分数的方法：
( 1 ）分子是分母的倍数时，化成整数，用分子除以分母，商是整数。
( 2 ）分子不是分母倍数时，化成带分数，用分子除以分母，数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。
8、 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。这叫做分数
的基本性质。 9、 几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
最小公因数都是1。 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。只有最小公倍数，没有最大公倍数。
10、公因数只有1的两个数，叫做互质数。以下三种情况两个数一定互质： ①两个不同的质数一定互质 ②两个连续的自然数一定互质
③1和任何一个自然数一定互质。（除0、1外） 11、求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：
如：
所以24与36的最大公因数＝2³2³3＝12
最小公倍数＝2³2³3³2³3＝72
12、甲乙两数的最小公倍数=两数的最大公因数³甲数独有的质因数³乙数独有的质因数 (
公有的质因数的积)
甲数=两数的最大因约数³甲数独有的质因数 乙数＝两数的最大公因数³乙数独有的质因数
13、求两数最小公倍数和最大因约数的特殊情况：
14、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做
约分。
在约分时，可以用分子和分母的公因数分别去除分子和分母，直到约成最简分数为止；也可以直接用分子和分母的最大公因数去除分数的分子和分母，得到最简分数。用第二种方法比较简便，但是，必须要能看出分子和分母的最大公因数。 15、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫做通分。
注意通分时，要先观察原分数的分母，选择分母的最小公倍数作公分母，运用分数的基本性质，将异分母分数化成和原分数相等的同分母分数。
16、小数实际上是分母为10 、100 、1000 „的分数的另一种形式。
小数化成分数时，先把小数写成分数，原来有几位小，就在1 后面写几个0作分母，原来的小数去掉小数点作分子。注意约分的要约分。
而分数化小数时，一般情况下是用分子÷分母，除不尽的按要求取近似值；如果分数的分母是10 、100 、1000 „„ ，可以直接化成小数；如果分母是10 、100 、1000 的因数，可以转化成分母是10 、100 、1000 的分数，再改写成小数。 17、常用小数与分数的互化
1131=0.5 =0.25 =0.75=75% =0.0625 244161234=0.2 =0.4 =0.6 =0.8 55551357
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 88881111=0.05 =0.04 =0.025 =0.02 20254050
第五单元 分数的加法和减法、
1、分数加、减法意义与整数加、减法相同。在计算同分母分数加、减法时，分母不变，
只把分子相加减。注意计算结果能约分的要约成最简分数。
2、在计算同分母分数分数连加、连减时，用几个分数直接相加或相减比较简便。
另外，如果被减数是“1 ”时，将被减数化成与减数分母相同的假分数再计算，
当分子出现O 时，这个分数就等于O 。
3、异分母分数加、减法的计算方法：。一般情况下，计算异分母分数的加、减法时，先通分（分数单位不同不能相加减。），转化成同分母分数的加、减法，然后按同分母分数加、减法的计算方法进行计算。注意在通分时，为了计算简便，应选择分母的最小公倍数作公分母。
4、异分母分数加、减法中的一些特殊情况的计算规律：
当两个分数的分子为1 ，分母互质时，它们的结果是用这两个分母的和（差）作分子，用两个分母的乘积作分母。
5、分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同。也是按照从左往右的顺序计算，带有小括号的先算小括号里面的，再算小括号外面的。
在计算分数加减法时，要注意认真审题，根据题目中数的特点，灵活应用加法交换律、加法结合律进行简便运算，从而提高计算的正确率和计算的速度。
第六单元 统 计
1、描述一组数据的集中趋势，可以用平均数、中位数和众数，它们描述的角度和范围有所不同，在具体问题中，究竟采用哪种统计量来描述一组数据的集中趋势，要根据数据的特点及我们所关心的问题来确定。
平均数的大小与一组数据的每一个数据都有关系，其中任何数据的变化都会引起平均数的变化；众数着眼于对各数据重复出现次数的考察，其大小只与这组数据的部分数据有关；中位数则与数据的排列位置有关，有时某些数据的变化对中位数没有影响。一组数据的平均数和中位数是惟一的，而众数则不一定是惟一的。
2、中位数又叫中数，它在一组数据的中间位置。中位数受观察数目的影响，而不象平均数那样受每一数值大小的影响。当个数为奇数时，最中间的就是中位数；当个数为偶数时，中间的两个数的平均数为中位数。一组数据中出现次数最多的数定义为众数。
3、注意：①、当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数、中位数都要带上单位。
②、求中位数时必须先将这组数据排序。
③、中位数不是一个数值而是一个点，它不能用于进一步的计算。
4、条形统计图不较容易比较各种数量的多少，折线统计图不但可以很快比较出各种数量的多少，还能看出数量增减变化的情况。
第七单元 数学广角
1、 利用天平找次品的时候，把待测物品分成3 份，并且平均分的方法能保证找出次品而且
称的次数一定最少。 2、 只含一个次品，用天平测的次数规律：