第 44课时 柱 锥 台 球
课前预习案
1．理解空间几何体的结构特征．
2．知道斜高、侧棱、高、母线的定义，并会有关计算. 3. 掌握柱、锥、球的体积、表面积计算方法．
1. 棱柱：
(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这
些面所围成的几何体叫做棱柱。
侧棱不垂直于底面⎧−→斜棱柱⎪−−−−−棱柱⎨侧棱垂直于底面 底面是正多边形
⎪−−−−−→直棱柱−−−−−→正棱柱⎩
底面是平行四边形 侧棱垂直于底面 底面是矩形
四棱柱
底面是正方形
平行六面体
棱长都相等
直平行六面体长方体
正方体。
(2)性质：①侧面都是平行四边形； ②两底面是全等多边形； ③平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；
④长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 (3)面积：S 直棱柱侧=ch （c 是底面周长，h 是高）
h 为高） (4)体积：V 棱柱=Sh =（S S 为底面积，侧面
2. 棱锥：
(1)定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫正棱锥； (2)性质：
①平行于底面的截面和底面相似，
截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；
②正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形Rt ∆POH ，Rt ∆POB ，Rt ∆PBH ，Rt ∆BOH 实现边，高，斜高间的换算 P
1
2
S 正棱锥=(3)面积：S 正棱锥侧
(4)体积：V 棱锥=
1
ch ' （c 为底周长，h ' 为斜高） 2
O
3. 圆柱、圆锥、圆台
分别以矩形的_____、直角三角形的___________、直角梯形_______________所在的直线为旋转轴, 其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台. 4. 棱台
(1)定义:用一个_______________的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分叫作棱台.
1
Sh （S 为底面积，h 为高） 3
C
(2)正棱台:用_______截得的棱台叫作正棱台. 正棱台的侧面是全等的等腰梯形, 它的高叫作正棱台的斜高.
(3)分类:三棱台、四棱台、五棱台、…
5.球
(1)定义：①球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
②球体：球面所围成的几何体。
(2)性质：
①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆）
两点的球面距离，是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且r =的到截面的距离。
(3)面积公式：S 球面=4πR 2
（R 为球半径）； (4)体积公式：V 球=
1．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则此棱锥的全面积是( )
R 2-d 2，其中R 为球半径，r 为截面半径，d 为球心
43
πR (R 为球半径） 3
22
A ． B ． 2
C ．
D ． 都不对
2．湖面上漂着一球，湖结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的
表面积为( )
A ．64π B ．320π C. 576π D ．676π
3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起, 当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( ) A ． 90° B ． 60° C ． 45° D ． 30°
课堂探究案
考点1 空间几何体的结构特征
【典例1】下面是关于四棱柱的四个命题，其中真命题的编号是________。 ① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
② 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
【变式1】如图, 若Ω是长方体ABCD-A 被平面E F G H 截去几何体B 1C 1D 11F 为线段B B 1上异于B 1EFGH B 1C 1后得到的几何体, 其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是（ ） ．．．
A. EH ∥FG B.四边形EFGH 是矩形 C. Ω是棱柱 D. Ω是棱台 考点2 基本元素的计算
【典例2】设正四棱锥S -ABCD 的底面边长为a ，高为h ，求棱锥的侧棱长和斜高。
【变式2】 底半径为1,
其内接圆柱的底半径为R ，当内接圆柱的体积最大时，R ＝________. 【变式3】已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的
表面积等于________．
【典例3】正三棱台两底面边长分别为3cm 和6cm ，高是
3
cm 。 2
（1） 求三棱台的斜高；
（2） 求三棱台的侧面积与表面积。
【变式4】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） (A) πa
2
(B) πa
7
3
2
(C)
1122
πa (D) 5πa 3
考点3 体积计算
【典例4】如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm, 将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm, 如果不计容器厚度, 则球的体积为 （ ）
500π
cm 3 31372π
cm 3 C ．3
A ．
866π
cm 3 32048π
cm 3 D ．
3
B ．
【变式5】（2013上海春季）若两个球的表面积之比为1:4, 则这两个球的体积之比为（ ）
A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16
考点4 角度问题
CD 与平面BDC 1所成角【典例5】（2013大纲版理）已知正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1中, AA 1=2AB , 则
的正弦值等于（ ） A ．
2
3
B
．
3
C
．
3
D ．
1 3
9
ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直, 体积为4,
【变式6】（2013山东）已知三棱柱
角形. 若P 为底面
A 1B 1C 1的中心, 则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）
5π
πππA ．12
B ．3 C ．4 D ．6
1. 已知正方体的外接球的体积是
32
3
π，则这个正方体的棱长是（ ） A.
4223423 B.3 C.3 D.2
3
2. 一个几何体的三视图如图所示, 且其侧视图是
一个等边三角形, 则这个几何体的体积为( )
A.
(
4+π3
B.(
4+π C.
(
8+π(
8+π2
6
3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，求其体积.
课后拓展案
组全员必做题
1．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )
A ．AB
l //αCD B ． AB与CD 相交 C．AB ⊥CD D ． AB与CD 所成的角为60
2．如图，在三棱锥S-ABC 中，SA=SC=AB=BC，则直线SB 与AC 所成角的大小是( )
A ．30º B ．45º C．60º D．90º
3．球的半径扩大为原来的2倍, 它的体积扩大为原来的 倍.
4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M , N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是
5．如图，四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA ∥平面BDE ； (2）平面PAC ⊥平面BDE ．
组提高选做题
1．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点) ． (1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A －CDEF 的体积．
2．如图，DC ⊥平面ABC ，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB =90︒，P 、Q 分别为DE 、AB 的中点。
(1）求证：PQ//平面ACD ；
(2）求几何体B —ADE 的体积；
(3）求平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的正切值。
参考答案
1.A 2.D 3.C
【典例1】②④ 【变式1】D
【典例2】解：记O 为正方形ABCD 中心，连接OA
，则OA =
，
2
∴侧棱SA ==
． 取AB 中点E ，连接OE 、SE ，
则SE ==
2
，
【变式2】
23
【变式3】4π
【典例3】. （1
（2
【变式4】B 【典例4】A 【变式5】C 【典例5】A 【变式6】
B
1.B 2.D
. 组全员必做题
1.D 2.D 3.8 4.90° 5. 证明：（1）连接AC ，则必与BD 交于点O ，连接OE ，∵E 为PC 中点，∴PA //OE ，
∵PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PA //平面BDE ．
（2）∵ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ．
又PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥BD ， 又PO AC =O ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵BD ⊂平面BDE ，
∴平面BDE ⊥平面PAC ．
组提高选做题
1. （1）证明：连接BE ，则BE 与AF 交点M ，则M 为BE 的中点，连接MN 、EC ． ∴MN //EC ．
又∵MN ⊄平面CDEF ，EC ⊂平面CDEF ， ∴MN //平面CDEF ． （2
）解：V =
13⨯2⨯=83
． 2. （1）证明：取BC 中点F ，连接PF 、FQ ． ∵P 、Q 分别为DE 、AB 中点， ∴PF //CD ，FQ //AC ， 又∵PF FQ =F ， ∴平面PFQ //平面ACD ， ∵PQ ⊂平面PFQ ， ∴PQ //面ACD ．
（2）V V 114
B -B ADE -ADE -=-V V A -A BDE -BDE =
33⨯22⨯⨯22⨯⨯22⨯⨯22=33
（3）解：延长ED 、BC 交于点G ，连接AG ，过C 作CH ⊥AG 交AG 于H ，连接DH ．∵DC ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴DC ⊥AG ，
又CH ⊥AG ，DC CH =C ， ∴AG ⊥平面DCH ，
∴∠DHC 即为平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的平面角． 在Rt △ACG 中，CG =
2，∴CH
∴tan ∠DHC =
= 即平面ADE 与平面ABC
所成锐二面角的正切值为2
．
第 44课时 柱 锥 台 球
课前预习案
1．理解空间几何体的结构特征．
2．知道斜高、侧棱、高、母线的定义，并会有关计算. 3. 掌握柱、锥、球的体积、表面积计算方法．
1. 棱柱：
(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这
些面所围成的几何体叫做棱柱。
侧棱不垂直于底面⎧−→斜棱柱⎪−−−−−棱柱⎨侧棱垂直于底面 底面是正多边形
⎪−−−−−→直棱柱−−−−−→正棱柱⎩
底面是平行四边形 侧棱垂直于底面 底面是矩形
四棱柱
底面是正方形
平行六面体
棱长都相等
直平行六面体长方体
正方体。
(2)性质：①侧面都是平行四边形； ②两底面是全等多边形； ③平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；
④长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 (3)面积：S 直棱柱侧=ch （c 是底面周长，h 是高）
h 为高） (4)体积：V 棱柱=Sh =（S S 为底面积，侧面
2. 棱锥：
(1)定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫正棱锥； (2)性质：
①平行于底面的截面和底面相似，
截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；
②正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形Rt ∆POH ，Rt ∆POB ，Rt ∆PBH ，Rt ∆BOH 实现边，高，斜高间的换算 P
1
2
S 正棱锥=(3)面积：S 正棱锥侧
(4)体积：V 棱锥=
1
ch ' （c 为底周长，h ' 为斜高） 2
O
3. 圆柱、圆锥、圆台
分别以矩形的_____、直角三角形的___________、直角梯形_______________所在的直线为旋转轴, 其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台. 4. 棱台
(1)定义:用一个_______________的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分叫作棱台.
1
Sh （S 为底面积，h 为高） 3
C
(2)正棱台:用_______截得的棱台叫作正棱台. 正棱台的侧面是全等的等腰梯形, 它的高叫作正棱台的斜高.
(3)分类:三棱台、四棱台、五棱台、…
5.球
(1)定义：①球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
②球体：球面所围成的几何体。
(2)性质：
①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆）
两点的球面距离，是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且r =的到截面的距离。
(3)面积公式：S 球面=4πR 2
（R 为球半径）； (4)体积公式：V 球=
1．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则此棱锥的全面积是( )
R 2-d 2，其中R 为球半径，r 为截面半径，d 为球心
43
πR (R 为球半径） 3
22
A ． B ． 2
C ．
D ． 都不对
2．湖面上漂着一球，湖结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的
表面积为( )
A ．64π B ．320π C. 576π D ．676π
3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起, 当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( ) A ． 90° B ． 60° C ． 45° D ． 30°
课堂探究案
考点1 空间几何体的结构特征
【典例1】下面是关于四棱柱的四个命题，其中真命题的编号是________。 ① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
② 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
【变式1】如图, 若Ω是长方体ABCD-A 被平面E F G H 截去几何体B 1C 1D 11F 为线段B B 1上异于B 1EFGH B 1C 1后得到的几何体, 其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是（ ） ．．．
A. EH ∥FG B.四边形EFGH 是矩形 C. Ω是棱柱 D. Ω是棱台 考点2 基本元素的计算
【典例2】设正四棱锥S -ABCD 的底面边长为a ，高为h ，求棱锥的侧棱长和斜高。
【变式2】 底半径为1,
其内接圆柱的底半径为R ，当内接圆柱的体积最大时，R ＝________. 【变式3】已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的
表面积等于________．
【典例3】正三棱台两底面边长分别为3cm 和6cm ，高是
3
cm 。 2
（1） 求三棱台的斜高；
（2） 求三棱台的侧面积与表面积。
【变式4】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） (A) πa
2
(B) πa
7
3
2
(C)
1122
πa (D) 5πa 3
考点3 体积计算
【典例4】如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm, 将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm, 如果不计容器厚度, 则球的体积为 （ ）
500π
cm 3 31372π
cm 3 C ．3
A ．
866π
cm 3 32048π
cm 3 D ．
3
B ．
【变式5】（2013上海春季）若两个球的表面积之比为1:4, 则这两个球的体积之比为（ ）
A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16
考点4 角度问题
CD 与平面BDC 1所成角【典例5】（2013大纲版理）已知正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1中, AA 1=2AB , 则
的正弦值等于（ ） A ．
2
3
B
．
3
C
．
3
D ．
1 3
9
ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直, 体积为4,
【变式6】（2013山东）已知三棱柱
角形. 若P 为底面
A 1B 1C 1的中心, 则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）
5π
πππA ．12
B ．3 C ．4 D ．6
1. 已知正方体的外接球的体积是
32
3
π，则这个正方体的棱长是（ ） A.
4223423 B.3 C.3 D.2
3
2. 一个几何体的三视图如图所示, 且其侧视图是
一个等边三角形, 则这个几何体的体积为( )
A.
(
4+π3
B.(
4+π C.
(
8+π(
8+π2
6
3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，求其体积.
课后拓展案
组全员必做题
1．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )
A ．AB
l //αCD B ． AB与CD 相交 C．AB ⊥CD D ． AB与CD 所成的角为60
2．如图，在三棱锥S-ABC 中，SA=SC=AB=BC，则直线SB 与AC 所成角的大小是( )
A ．30º B ．45º C．60º D．90º
3．球的半径扩大为原来的2倍, 它的体积扩大为原来的 倍.
4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M , N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是
5．如图，四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA ∥平面BDE ； (2）平面PAC ⊥平面BDE ．
组提高选做题
1．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点) ． (1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A －CDEF 的体积．
2．如图，DC ⊥平面ABC ，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB =90︒，P 、Q 分别为DE 、AB 的中点。
(1）求证：PQ//平面ACD ；
(2）求几何体B —ADE 的体积；
(3）求平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的正切值。
参考答案
1.A 2.D 3.C
【典例1】②④ 【变式1】D
【典例2】解：记O 为正方形ABCD 中心，连接OA
，则OA =
，
2
∴侧棱SA ==
． 取AB 中点E ，连接OE 、SE ，
则SE ==
2
，
【变式2】
23
【变式3】4π
【典例3】. （1
（2
【变式4】B 【典例4】A 【变式5】C 【典例5】A 【变式6】
B
1.B 2.D
. 组全员必做题
1.D 2.D 3.8 4.90° 5. 证明：（1）连接AC ，则必与BD 交于点O ，连接OE ，∵E 为PC 中点，∴PA //OE ，
∵PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PA //平面BDE ．
（2）∵ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ．
又PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥BD ， 又PO AC =O ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵BD ⊂平面BDE ，
∴平面BDE ⊥平面PAC ．
组提高选做题
1. （1）证明：连接BE ，则BE 与AF 交点M ，则M 为BE 的中点，连接MN 、EC ． ∴MN //EC ．
又∵MN ⊄平面CDEF ，EC ⊂平面CDEF ， ∴MN //平面CDEF ． （2
）解：V =
13⨯2⨯=83
． 2. （1）证明：取BC 中点F ，连接PF 、FQ ． ∵P 、Q 分别为DE 、AB 中点， ∴PF //CD ，FQ //AC ， 又∵PF FQ =F ， ∴平面PFQ //平面ACD ， ∵PQ ⊂平面PFQ ， ∴PQ //面ACD ．
（2）V V 114
B -B ADE -ADE -=-V V A -A BDE -BDE =
33⨯22⨯⨯22⨯⨯22⨯⨯22=33
（3）解：延长ED 、BC 交于点G ，连接AG ，过C 作CH ⊥AG 交AG 于H ，连接DH ．∵DC ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴DC ⊥AG ，
又CH ⊥AG ，DC CH =C ， ∴AG ⊥平面DCH ，
∴∠DHC 即为平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的平面角． 在Rt △ACG 中，CG =
2，∴CH
∴tan ∠DHC =
= 即平面ADE 与平面ABC
所成锐二面角的正切值为2
．