高中数学易错知识点
1. 在应用条件A ∪B ＝B A∩B ＝A AB 时，易忽略A 是空集Φ的情况，并且要时刻注意集合的三要素中的互异性和无序性
2. 求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.
3. 判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.
4. 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(任取, 作差, 判正负.)
5. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”
6. 单调区间不能用集合或不等式表示. 两个单调区间之间要用逗号相连
7. 用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件.
8. 函数 (其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对号函数，对号函数是奇函数，图像关于原点对称) 在
上单调递增；在
上单调递减）
9. 函数
图像关于原点对称. 的单调区间：在上单调递增；是奇函数，
10. 对数函数真数与底数的限制条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数需要讨论
11. 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性，也就是换元之后的自变量的取值范围
12. 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０. 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.
13. 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q，则; （反之不成立）
14. 等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则. （反之不成立）
15. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况.
16. 已知求时, 易忽略n ＝1的情况.
17. 等差数列的一个性质：设是数列{}的前n 项和, {}为等差数列的充要条件
是：
(a, b为常数) 其公差是2a.
18. 数列求和 之“错位相减”法——若
{}的前n 项的和 其中{}是等差数列，{}是等比数列，求19. 数列求和之“裂项求和”（如）
20. 在解三角问题时，注意到正切函数、余切函数的定义域，注意到正弦函数、余弦函数的有界性了，并且在求解三角函数的题目时，要时刻注意角范围
21. 三角化简的通性通法（切化弦、降幂扩角、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名）
22. 在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？——）
23. 在三角函数中的“1”
代换
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用. 24. 与实数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定
.
向量平行，但与任意向量都不垂直. 25. ，则，但不能得到或
. 有. 可以看成与任意
26. 时，有. 反之不能推出
27. 一般地
28. 在中， ，即向量运算中不存在分配率
29. 使用正弦定理时易忘比值还等于2R. 齐次代换
30. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示.
31. 两个不等式相乘时, 必须注意同向同正时才能相乘, 即同向同正可乘；同时要注意“同号取倒数”
即A ＞B ＞ｏ，A ＜B ＜ｏ.
32. 分式不等式的一般解题思路是移项通分、零点分段
33. 解指对不等式应该注意指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零. 因此指对不等式不宜平方解
34. 在解含有参数的不等式时，一定要进行讨论，特别是指数和对数的底或 ，
35. 讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……. 这一条用于所有数学大题
36. 常用放缩技巧：
37. 解析几何的主要思想：用代数的方法研究图形的性质. 主要方法：坐标法.
38. 用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况.
39. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是.
40. 函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：
41. 对不重合的两条直线，，有
；
和截距）
42. 直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0. . （在解题时，讨论后利用斜率43. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷.
44. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
45. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.
46. 圆锥曲线方程中的a,b,c,p , ，，的意义
47. 离心率的大小与曲线的形状的关系（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是根号2
48. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式的限制. （求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.
49. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形. （a ，b ，c ）
50. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. （想一想在双曲线中的结论？）
51. 椭圆、双曲线标准方程中a ，b ，c 之间关系的差异
52. 如果直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交, 只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交, 只有一个交点. 此时两个方程联立，消元后为一次方程.
53. 求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.
54. 线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大.
55. 作出二面角的平面角主要方法是定义法、三垂线法、垂面法
三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.
56. 求点到面的距离的常规方法是直接法、等体积法、换点法、向量法
57. 求多面体体积的常规方法是割补法、等积法
58. 两条异面直线所成的角的范围：0°
直线与平面所成的角的范围：0o ≤α≤90°
二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°
59. 二项式展开式的通项公式中A 与B 的顺序不变.
60. 二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第r+1项的二项式系数为.
61. 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混. 二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为用解不等式组来确定ｒ.
62. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合.
63. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法或看为若干个恰好.
64. 二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混. 通项公式： （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）.
事件A 发生k 次的概率：
.
其中ｋ＝0,1,2,3,…,n,且0
65. 常见函数的导数公式：
；；；
.
. . . .
，
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。
等差数列的通项公式为：
an=a1+(n-1)d (1)
前n 项和公式为：
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
从(1)式可以看出，an 是n 的一次数函(d≠0) 或常数函数(d=0)，(n，an) 排在一条直线上，由
(2)式知，Sn 是n 的二次函数(d≠0) 或一次函数(d=0，a1≠0) ，且常数项为0。
任意两项am ，an 的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=„=ak+an-k+1，k ∈{1,2,„,n}
若m ，n ，p ，q ∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk ，S2k-Sk ，S3k-S2k ，„，Snk-S(n-1)k„或等差数列，等等。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。
等比数列的通项公式是：an=a1·qn-1
前n 项和公式是：Sn=a1(1-qn)/1-q
在等比数列中，a,b 的等比中项：G=±(ab)1/2
且任意两项am ，an 的关系为an=am·qn-m
如果等比数列的公比q 满足0＜∣q ∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各
项的和(又叫所有项的和) 的公式为：
从等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=„=ak·an-k 1，k ∈{1,2,„,n}
若m ，n ，p ，q ∈N*，则有：ap ·aq=am·an ，
记πn=a1·a2„an ，则有
π2n-1=(an)2n-1，π2n 1=(an 1)2n 1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can ，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列) ，“错位相减”(等比数列) 。
数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n 项和。
三、 范例
例1．设ap ，aq ，am ，an 是等比数列中的第p 、q 、m 、n 项，若p+q=m+n，求证：apoaq=amoan
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q ，则
ap=a1·qp-1，aq=a1·qq-1，am=a1·qm-1，an=a1·qn-1
所以：ap ·aq=a12qp+q-2，am ·an=a12·qm+n-2，故：ap ·aq=am+an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项) 距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a1+k·an-k=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a1+k+an-k=a1+an
例2．在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=
A.20 B.22 C.24 D28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选C
例3．已知等差数列满足a1+a2+a3+„+a101=0，则有( )
A.a1+a101＞0 B. a2+a100＜0 C.a3+a99=0 D.a51=51
解：显然，a1+a2+a3+„+a101故a1+a101=0，从而a2+a100=a3+a99=a1+a101=0，选C
例4．设Sn 为等差数列的前n 项之各，S9=18，an-4=30(n＞9) ，Sn=336，则n 为( )
A.16 B.21 C.9 D8
解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+an-4=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B
例5．设等差数列满足3a8=5a13，且a1＞0，Sn 为其前n 项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是
(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
解：∵3a8=5a13∴3(a1+7d)=5(a1+12d)故令an ≥0→n ≤20；当n ＞20时an ＜0
∴S19=S20最大，选(C) 注：也可用二次函数求最值
例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样
的数列共有( ) (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
解：设等差数列首项为a ，公差为d ，则依题意有( )
即【2a+(n-1)d】on=2×972 (*)
因为n 是不小于3的自然数，97为素数，故数n 的值必为2×972的约数(因数) ，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。
若d ＞0，则d ≥1由(*)式知2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)故只可能有n=97，(*)式化为：a+48d=97，这时(*)有两组解：
若d=0，则(*)式化为：an=972，这时(*)也有两组解。
故符今题设条件的等差数列共4个，分别为：
49，50，51，„，145，(共97项)1，3，5，„，193，(共97项)
97，97，97，„，97，(共97项)1，1，1，„，1(共972=9409项) 故选(C)
例7．将正奇数集合{1，3，5，„}由小到大按第n 组有(2n-1)个奇数进行分组：
， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，„
(第一组) (第二组) (第三组) 则1991位于第 组中。
解：依题意，前n 组中共有奇数
1+3+5+„+(2n-1)=n2个
而1991=2×996-1，它是第996个正奇数。
∵312=961＜996＜1024=322
∴1991应在第31+1=32组中。故填32
例8．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。
解：设该数为x ，则其整数部分为【x 】，小数部分为x-【x 】，由已知得：x ·(x-【x 】=【x 】2
其中【x 】＞0，0＜x-【x 】＜1，解得：由0＜x-【x 】＜1知，∴【x 】=1，
例9．等比数列的首项a1=1536，公比，用πn 表示它的前n 项之积，则πn(n∈N*)最大的
(A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13
解：等比数列的通项公式为，前n 项和
因为故π12最大。 选(C)
例10．设x ≠y ，且两数列x ，a1，a2，a3，y 和b1，x ，b2，b3，y ，b4均为等差数列，那么= 。
解：依题意，有y-x=4(a2-a1) ∴； 又y-x=3(b3-b2) ∴
例11．设x,y,Z 是实数，3x,4y,5z 成等比数列，且成等差数列，则的值是 。因为3x,4y,5z 成等比数列，所以有3x ·5z=(4y)2 即16y2=15xz ①
又∵成等差数列，所以有即②将②代入①得：
∵x ≠0,y ≠0,z ≠0∴64xz=15(x2+2xz+z2)∴15(x2+z2)=34xz
例12．已知集合M={x,xy,lg(xy)}及N={0,∣x ∣,y}
并且M=N，那么的值等于 。
解：由M=N知M 中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知xy ≠0，从而x ≠0，且y ≠0，故只有lg(xy)=0， xy=1，M={x,1,0}；若y=1，则x=1，M=N={0，1，1}与集合中元素互异性相连，故y ≠1，从而∣x ∣=1，x=±1；由x=1 y=1(含) ，由x=-1 y=-1，M=N={0,1,-1} 此时，从而注：数列x ，x2，x3，„，x2001；以及
在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。 例13．已知数列满足3an+1+an=4(n≥1) 且a1=9，其前n 项之和为Sn ，则满足不等式( ) ∣Sn-n-6∣＜的最小整数n 是( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解：由3an+1+an=4(n≥1) 3an+1-3=1-an
故数列是以8为首项，以为公比的等比数列，所以
当n=7时满足要求，故选(C)
【注】：数列既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，„，1和等比数列： 的对应项的和构成的数列，故其前n 项和Sn 可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。
例14．设数列的前n 项和Sn=2an-1(n=1,2,„) ，数列满足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,„) 求数列的前n 项和。
解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1 ①
又Sn=2an-1 ②Sn-1=2an-1-1 ③
②-③得：Sn-sn-1=2an-2an-1∴an=2an-2an-1
∴数列是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2n-1 ④
由⑤ ∴以上诸式相加，得
注：本题综合应用了a1-s1，a3=Sn-Sn-1(n≥2) 以及等差数列、等比数列求和公式以及叠加等方法，从基本知识出发，解决了较为复杂的问题。选准突破口，发现化归途径，源于对基础知识的深刻理念及其联系的把握。
例15．n2个正数排成n 行n 列
a11，a12，a13，a14，„，a1n
a21，a22，a23，a24，„，a2n
a31，a32，a33，a34，„，a3n
a41，a42，a43，a44，„，a4n
an1，an2，an3，an4，„，ann 。
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等。已知 解：设第一行数列公差为d ，纵行各数列公比为q ，则原n 行n 列数表为：
故有： ②÷③得，代入①、②得④
因为表中均为正数，故q ＞0，∴，从而，因此，对于任意1≤k ≤n ，有
记S=a11+a22+a33+„+ann ⑤
⑥⑤-⑥得：
评注：本题中求和，实为等差数列an=n与等比数列的对应项乘积构成的新数列的前n 项的和，将⑤式两边同乘以公比，再错项相减，化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前n 项和的基本方法，它在解决此类问题中非常有用，应予掌握。课本P137复习参考题三B 组题第6题为：求和：S=1+2x+3x2+„+nxn-1；2003年北京高考理工类第(16)题：已知数列是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求数列的通项公式；(II)令bn=an·xn(x∈R) ，求数列的前n 项和公式。都贯穿了“错项相减”方法的应用。
练习
1．给定公比为q(q≠1) 的等比数列，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，„，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，„，则数列 ( )
(A)是等差数列 (B)是公比为q 的等比数列
(C)是公比为q3的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列
2．等差数列的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )
A ．130 B．170 C．210 D．260
3．等差数列中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于 。
4．已知数列是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12
(I)求数列的通项公式；
(II)(文) 令bn=an·3n ，求数列的前n 项和的公式；
(理) 令bn=an·xn (x∈R) ，求数列的前n 项和的公式
5．求和： (1)S=1+2x+3x2+„+nxn-1
(2)求数列：1，6，27，„，n-3n-1，的前n 项之和Sn 。
6．已知正整数n 不超过2000，且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n 的个数是
7．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项。参考答案 1．(C)2．(C)3．44．(I)an=2n(II)5．6．6个7．8
高中数学易错知识点
1. 在应用条件A ∪B ＝B A∩B ＝A AB 时，易忽略A 是空集Φ的情况，并且要时刻注意集合的三要素中的互异性和无序性
2. 求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.
3. 判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.
4. 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(任取, 作差, 判正负.)
5. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”
6. 单调区间不能用集合或不等式表示. 两个单调区间之间要用逗号相连
7. 用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件.
8. 函数 (其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对号函数，对号函数是奇函数，图像关于原点对称) 在
上单调递增；在
上单调递减）
9. 函数
图像关于原点对称. 的单调区间：在上单调递增；是奇函数，
10. 对数函数真数与底数的限制条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数需要讨论
11. 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性，也就是换元之后的自变量的取值范围
12. 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０. 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.
13. 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q，则; （反之不成立）
14. 等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则. （反之不成立）
15. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况.
16. 已知求时, 易忽略n ＝1的情况.
17. 等差数列的一个性质：设是数列{}的前n 项和, {}为等差数列的充要条件
是：
(a, b为常数) 其公差是2a.
18. 数列求和 之“错位相减”法——若
{}的前n 项的和 其中{}是等差数列，{}是等比数列，求19. 数列求和之“裂项求和”（如）
20. 在解三角问题时，注意到正切函数、余切函数的定义域，注意到正弦函数、余弦函数的有界性了，并且在求解三角函数的题目时，要时刻注意角范围
21. 三角化简的通性通法（切化弦、降幂扩角、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名）
22. 在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？——）
23. 在三角函数中的“1”
代换
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用. 24. 与实数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定
.
向量平行，但与任意向量都不垂直. 25. ，则，但不能得到或
. 有. 可以看成与任意
26. 时，有. 反之不能推出
27. 一般地
28. 在中， ，即向量运算中不存在分配率
29. 使用正弦定理时易忘比值还等于2R. 齐次代换
30. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示.
31. 两个不等式相乘时, 必须注意同向同正时才能相乘, 即同向同正可乘；同时要注意“同号取倒数”
即A ＞B ＞ｏ，A ＜B ＜ｏ.
32. 分式不等式的一般解题思路是移项通分、零点分段
33. 解指对不等式应该注意指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零. 因此指对不等式不宜平方解
34. 在解含有参数的不等式时，一定要进行讨论，特别是指数和对数的底或 ，
35. 讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……. 这一条用于所有数学大题
36. 常用放缩技巧：
37. 解析几何的主要思想：用代数的方法研究图形的性质. 主要方法：坐标法.
38. 用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况.
39. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是.
40. 函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：
41. 对不重合的两条直线，，有
；
和截距）
42. 直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0. . （在解题时，讨论后利用斜率43. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷.
44. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
45. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.
46. 圆锥曲线方程中的a,b,c,p , ，，的意义
47. 离心率的大小与曲线的形状的关系（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是根号2
48. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式的限制. （求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.
49. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形. （a ，b ，c ）
50. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. （想一想在双曲线中的结论？）
51. 椭圆、双曲线标准方程中a ，b ，c 之间关系的差异
52. 如果直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交, 只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交, 只有一个交点. 此时两个方程联立，消元后为一次方程.
53. 求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.
54. 线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大.
55. 作出二面角的平面角主要方法是定义法、三垂线法、垂面法
三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.
56. 求点到面的距离的常规方法是直接法、等体积法、换点法、向量法
57. 求多面体体积的常规方法是割补法、等积法
58. 两条异面直线所成的角的范围：0°
直线与平面所成的角的范围：0o ≤α≤90°
二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°
59. 二项式展开式的通项公式中A 与B 的顺序不变.
60. 二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第r+1项的二项式系数为.
61. 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混. 二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为用解不等式组来确定ｒ.
62. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合.
63. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法或看为若干个恰好.
64. 二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混. 通项公式： （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）.
事件A 发生k 次的概率：
.
其中ｋ＝0,1,2,3,…,n,且0
65. 常见函数的导数公式：
；；；
.
. . . .
，
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。
等差数列的通项公式为：
an=a1+(n-1)d (1)
前n 项和公式为：
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
从(1)式可以看出，an 是n 的一次数函(d≠0) 或常数函数(d=0)，(n，an) 排在一条直线上，由
(2)式知，Sn 是n 的二次函数(d≠0) 或一次函数(d=0，a1≠0) ，且常数项为0。
任意两项am ，an 的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=„=ak+an-k+1，k ∈{1,2,„,n}
若m ，n ，p ，q ∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk ，S2k-Sk ，S3k-S2k ，„，Snk-S(n-1)k„或等差数列，等等。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。
等比数列的通项公式是：an=a1·qn-1
前n 项和公式是：Sn=a1(1-qn)/1-q
在等比数列中，a,b 的等比中项：G=±(ab)1/2
且任意两项am ，an 的关系为an=am·qn-m
如果等比数列的公比q 满足0＜∣q ∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各
项的和(又叫所有项的和) 的公式为：
从等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=„=ak·an-k 1，k ∈{1,2,„,n}
若m ，n ，p ，q ∈N*，则有：ap ·aq=am·an ，
记πn=a1·a2„an ，则有
π2n-1=(an)2n-1，π2n 1=(an 1)2n 1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can ，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列) ，“错位相减”(等比数列) 。
数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n 项和。
三、 范例
例1．设ap ，aq ，am ，an 是等比数列中的第p 、q 、m 、n 项，若p+q=m+n，求证：apoaq=amoan
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q ，则
ap=a1·qp-1，aq=a1·qq-1，am=a1·qm-1，an=a1·qn-1
所以：ap ·aq=a12qp+q-2，am ·an=a12·qm+n-2，故：ap ·aq=am+an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项) 距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a1+k·an-k=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a1+k+an-k=a1+an
例2．在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=
A.20 B.22 C.24 D28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选C
例3．已知等差数列满足a1+a2+a3+„+a101=0，则有( )
A.a1+a101＞0 B. a2+a100＜0 C.a3+a99=0 D.a51=51
解：显然，a1+a2+a3+„+a101故a1+a101=0，从而a2+a100=a3+a99=a1+a101=0，选C
例4．设Sn 为等差数列的前n 项之各，S9=18，an-4=30(n＞9) ，Sn=336，则n 为( )
A.16 B.21 C.9 D8
解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+an-4=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B
例5．设等差数列满足3a8=5a13，且a1＞0，Sn 为其前n 项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是
(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
解：∵3a8=5a13∴3(a1+7d)=5(a1+12d)故令an ≥0→n ≤20；当n ＞20时an ＜0
∴S19=S20最大，选(C) 注：也可用二次函数求最值
例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样
的数列共有( ) (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
解：设等差数列首项为a ，公差为d ，则依题意有( )
即【2a+(n-1)d】on=2×972 (*)
因为n 是不小于3的自然数，97为素数，故数n 的值必为2×972的约数(因数) ，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。
若d ＞0，则d ≥1由(*)式知2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)故只可能有n=97，(*)式化为：a+48d=97，这时(*)有两组解：
若d=0，则(*)式化为：an=972，这时(*)也有两组解。
故符今题设条件的等差数列共4个，分别为：
49，50，51，„，145，(共97项)1，3，5，„，193，(共97项)
97，97，97，„，97，(共97项)1，1，1，„，1(共972=9409项) 故选(C)
例7．将正奇数集合{1，3，5，„}由小到大按第n 组有(2n-1)个奇数进行分组：
， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，„
(第一组) (第二组) (第三组) 则1991位于第 组中。
解：依题意，前n 组中共有奇数
1+3+5+„+(2n-1)=n2个
而1991=2×996-1，它是第996个正奇数。
∵312=961＜996＜1024=322
∴1991应在第31+1=32组中。故填32
例8．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。
解：设该数为x ，则其整数部分为【x 】，小数部分为x-【x 】，由已知得：x ·(x-【x 】=【x 】2
其中【x 】＞0，0＜x-【x 】＜1，解得：由0＜x-【x 】＜1知，∴【x 】=1，
例9．等比数列的首项a1=1536，公比，用πn 表示它的前n 项之积，则πn(n∈N*)最大的
(A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13
解：等比数列的通项公式为，前n 项和
因为故π12最大。 选(C)
例10．设x ≠y ，且两数列x ，a1，a2，a3，y 和b1，x ，b2，b3，y ，b4均为等差数列，那么= 。
解：依题意，有y-x=4(a2-a1) ∴； 又y-x=3(b3-b2) ∴
例11．设x,y,Z 是实数，3x,4y,5z 成等比数列，且成等差数列，则的值是 。因为3x,4y,5z 成等比数列，所以有3x ·5z=(4y)2 即16y2=15xz ①
又∵成等差数列，所以有即②将②代入①得：
∵x ≠0,y ≠0,z ≠0∴64xz=15(x2+2xz+z2)∴15(x2+z2)=34xz
例12．已知集合M={x,xy,lg(xy)}及N={0,∣x ∣,y}
并且M=N，那么的值等于 。
解：由M=N知M 中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知xy ≠0，从而x ≠0，且y ≠0，故只有lg(xy)=0， xy=1，M={x,1,0}；若y=1，则x=1，M=N={0，1，1}与集合中元素互异性相连，故y ≠1，从而∣x ∣=1，x=±1；由x=1 y=1(含) ，由x=-1 y=-1，M=N={0,1,-1} 此时，从而注：数列x ，x2，x3，„，x2001；以及
在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。 例13．已知数列满足3an+1+an=4(n≥1) 且a1=9，其前n 项之和为Sn ，则满足不等式( ) ∣Sn-n-6∣＜的最小整数n 是( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解：由3an+1+an=4(n≥1) 3an+1-3=1-an
故数列是以8为首项，以为公比的等比数列，所以
当n=7时满足要求，故选(C)
【注】：数列既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，„，1和等比数列： 的对应项的和构成的数列，故其前n 项和Sn 可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。
例14．设数列的前n 项和Sn=2an-1(n=1,2,„) ，数列满足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,„) 求数列的前n 项和。
解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1 ①
又Sn=2an-1 ②Sn-1=2an-1-1 ③
②-③得：Sn-sn-1=2an-2an-1∴an=2an-2an-1
∴数列是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2n-1 ④
由⑤ ∴以上诸式相加，得
注：本题综合应用了a1-s1，a3=Sn-Sn-1(n≥2) 以及等差数列、等比数列求和公式以及叠加等方法，从基本知识出发，解决了较为复杂的问题。选准突破口，发现化归途径，源于对基础知识的深刻理念及其联系的把握。
例15．n2个正数排成n 行n 列
a11，a12，a13，a14，„，a1n
a21，a22，a23，a24，„，a2n
a31，a32，a33，a34，„，a3n
a41，a42，a43，a44，„，a4n
an1，an2，an3，an4，„，ann 。
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等。已知 解：设第一行数列公差为d ，纵行各数列公比为q ，则原n 行n 列数表为：
故有： ②÷③得，代入①、②得④
因为表中均为正数，故q ＞0，∴，从而，因此，对于任意1≤k ≤n ，有
记S=a11+a22+a33+„+ann ⑤
⑥⑤-⑥得：
评注：本题中求和，实为等差数列an=n与等比数列的对应项乘积构成的新数列的前n 项的和，将⑤式两边同乘以公比，再错项相减，化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前n 项和的基本方法，它在解决此类问题中非常有用，应予掌握。课本P137复习参考题三B 组题第6题为：求和：S=1+2x+3x2+„+nxn-1；2003年北京高考理工类第(16)题：已知数列是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求数列的通项公式；(II)令bn=an·xn(x∈R) ，求数列的前n 项和公式。都贯穿了“错项相减”方法的应用。
练习
1．给定公比为q(q≠1) 的等比数列，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，„，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，„，则数列 ( )
(A)是等差数列 (B)是公比为q 的等比数列
(C)是公比为q3的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列
2．等差数列的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )
A ．130 B．170 C．210 D．260
3．等差数列中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于 。
4．已知数列是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12
(I)求数列的通项公式；
(II)(文) 令bn=an·3n ，求数列的前n 项和的公式；
(理) 令bn=an·xn (x∈R) ，求数列的前n 项和的公式
5．求和： (1)S=1+2x+3x2+„+nxn-1
(2)求数列：1，6，27，„，n-3n-1，的前n 项之和Sn 。
6．已知正整数n 不超过2000，且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n 的个数是
7．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项。参考答案 1．(C)2．(C)3．44．(I)an=2n(II)5．6．6个7．8