线性回归
一、 教学目标 （a ） 知识与技能
1. 了解相关关系、回归分析、散点图的概念。
2. 了解回归分析的必要性和回归分析的一般步骤，会求回归直线方程。 3. 体会回归分析的实际价值和基本思想，并会用回归分析对具体事件进行分析。 （b ） 过程与方法
1. 创设情境，引出课题，激发学生的学习兴趣和 求知欲。
2. 从实际问题中的数量之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。 （c ） 情感态度与价值观
1. 从实际问题中发现学生知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲。 2. 通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的思路。 二、 教学重点、难点
重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法。 难点：如何启发学生掌握回归直线方程的求解方法。 三、 教学基本流程
四、 教学过程设计
1
、创设情境，引出课题 有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大的影响”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存在着某种关系。你如何认识它们之间存在的关系？
结论：变量之间除了函数关系外，还存在一种非确定性关系——相关关系。 关于相关关系
2、新课讲解、下出定义 相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系成为相关关系。 注意：相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系。 相同点： 均是两个变量之间的关系。
不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量之间的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。
回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。
散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。（散点图形象地反映了各对数据的密切程度，粗略地看，散点分布具有一定的规律。）
关于相关关系生活中有很多这样的例子，谁能举出来？比如： （1） 商品销售收入与广告支出经费之间的关系。 （2） 粮食产量与施肥量之间的关系。 （3） 人体内脂肪含量与年龄之间的关系。 3、师生合作，共探新知
？
通过统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断。下面我们以施化肥量为横轴，水稻产量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，称该图为散点图。 如图：
x
由图可以看出，数据是呈线性分布的。那么，我们该怎样来求出这个回归方程呢？ 对于这类问题，人们曾尝试过很多种方案，但可靠性都不是很强，经过长期的实践与研究，最终找到了一种比较科学的计算回归方程的方法。
ˆ=bx +a ，其中a 、b
是待定系数。则设所求的直线方程为y
ˆi =bx i +a ,(i =1,2, ⋅⋅⋅, n ) ，于是得到各个偏差y i -y ˆi =(bx i +a ),(i =1,2, ⋅⋅⋅, n ) 。 y
ˆi 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的显见，偏差y i -y
和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和。
Q =(y 1-bx 1-a ) 2+(y 2-bx 2-a ) 2+
表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度． 记 Q =∑(y i -bx i -a ) (向学生说明∑的意义)
2
i =1
i =1
n
n
+(y n -bx n -a ) 2
上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值．即
n n
⎧
(x i -)(y i -) ∑x i y i -∑⎪
1
⎪b =i =1n =i =n 1n 1n
x i ，=∑y i 222，=⎨∑(x -) x -n i =1n i =1∑∑i i
⎪i =1i =1⎪
⎩a =-相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析。 ◆特别指出：
（1）回归直线方程其推导较为复杂，但它的原理较为简单，只要求会运用它进行具体计算a 、b ，求出回归直线方程即可．不要求掌握回归直线方程的推导过程．
（2）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．
（3）求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．
（4）回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．
4、讨论探究，例题演练
知道了回归方程的求法，我们来把这题求出来。
ˆ=bx +a ： 我们设人的年龄为x ，人体内的脂肪含量为y ，则y
求回归系数a 、b ，先将所给的数据x 、y 列成相应的表格，如下表所示：
≈4.75,
故可得到 7000-7⨯302
a =399.3-4.75⨯30≈257
b =
ˆ=4.75x +257 从而得回归直线方程是y
5，课堂小结，布置作业
◆(1)计算线性回归方程的斜率与截距公式
n n
⎧
(x i -x )(y i -y ) ∑x i y i -nx y ∑⎪⎪i =1i =1
=⎨b =n n
2
⎪(x i -x ) 2x i 2-nx ∑∑⎪i =1i =1⎩
(2)回归直线的线性回归方程:
ˆ=bx +a y
◆求线性回归问题的步骤：
1. 作出散点图，从散点图中判断样本点是否呈直线分布，从而判断两个变量是否具有线性相关关系。 2. 列表i , x i ,
y i ,
x i ⋅y i , x i 2, y i 2，求出回归系数a 、b 。
ˆ=bx +a 3, 写出回归直线方程y ◆课后作业：
课后习题1 2 3
线性回归
一、 教学目标 （a ） 知识与技能
1. 了解相关关系、回归分析、散点图的概念。
2. 了解回归分析的必要性和回归分析的一般步骤，会求回归直线方程。 3. 体会回归分析的实际价值和基本思想，并会用回归分析对具体事件进行分析。 （b ） 过程与方法
1. 创设情境，引出课题，激发学生的学习兴趣和 求知欲。
2. 从实际问题中的数量之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。 （c ） 情感态度与价值观
1. 从实际问题中发现学生知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲。 2. 通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的思路。 二、 教学重点、难点
重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法。 难点：如何启发学生掌握回归直线方程的求解方法。 三、 教学基本流程
四、 教学过程设计
1
、创设情境，引出课题 有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大的影响”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存在着某种关系。你如何认识它们之间存在的关系？
结论：变量之间除了函数关系外，还存在一种非确定性关系——相关关系。 关于相关关系
2、新课讲解、下出定义 相关关系：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系成为相关关系。 注意：相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系。 相同点： 均是两个变量之间的关系。
不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量之间的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。
回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。
散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。（散点图形象地反映了各对数据的密切程度，粗略地看，散点分布具有一定的规律。）
关于相关关系生活中有很多这样的例子，谁能举出来？比如： （1） 商品销售收入与广告支出经费之间的关系。 （2） 粮食产量与施肥量之间的关系。 （3） 人体内脂肪含量与年龄之间的关系。 3、师生合作，共探新知
？
通过统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断。下面我们以施化肥量为横轴，水稻产量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，称该图为散点图。 如图：
x
由图可以看出，数据是呈线性分布的。那么，我们该怎样来求出这个回归方程呢？ 对于这类问题，人们曾尝试过很多种方案，但可靠性都不是很强，经过长期的实践与研究，最终找到了一种比较科学的计算回归方程的方法。
ˆ=bx +a ，其中a 、b
是待定系数。则设所求的直线方程为y
ˆi =bx i +a ,(i =1,2, ⋅⋅⋅, n ) ，于是得到各个偏差y i -y ˆi =(bx i +a ),(i =1,2, ⋅⋅⋅, n ) 。 y
ˆi 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的显见，偏差y i -y
和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和。
Q =(y 1-bx 1-a ) 2+(y 2-bx 2-a ) 2+
表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度． 记 Q =∑(y i -bx i -a ) (向学生说明∑的意义)
2
i =1
i =1
n
n
+(y n -bx n -a ) 2
上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值．即
n n
⎧
(x i -)(y i -) ∑x i y i -∑⎪
1
⎪b =i =1n =i =n 1n 1n
x i ，=∑y i 222，=⎨∑(x -) x -n i =1n i =1∑∑i i
⎪i =1i =1⎪
⎩a =-相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析。 ◆特别指出：
（1）回归直线方程其推导较为复杂，但它的原理较为简单，只要求会运用它进行具体计算a 、b ，求出回归直线方程即可．不要求掌握回归直线方程的推导过程．
（2）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．
（3）求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．
（4）回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．
4、讨论探究，例题演练
知道了回归方程的求法，我们来把这题求出来。
ˆ=bx +a ： 我们设人的年龄为x ，人体内的脂肪含量为y ，则y
求回归系数a 、b ，先将所给的数据x 、y 列成相应的表格，如下表所示：
≈4.75,
故可得到 7000-7⨯302
a =399.3-4.75⨯30≈257
b =
ˆ=4.75x +257 从而得回归直线方程是y
5，课堂小结，布置作业
◆(1)计算线性回归方程的斜率与截距公式
n n
⎧
(x i -x )(y i -y ) ∑x i y i -nx y ∑⎪⎪i =1i =1
=⎨b =n n
2
⎪(x i -x ) 2x i 2-nx ∑∑⎪i =1i =1⎩
(2)回归直线的线性回归方程:
ˆ=bx +a y
◆求线性回归问题的步骤：
1. 作出散点图，从散点图中判断样本点是否呈直线分布，从而判断两个变量是否具有线性相关关系。 2. 列表i , x i ,
y i ,
x i ⋅y i , x i 2, y i 2，求出回归系数a 、b 。
ˆ=bx +a 3, 写出回归直线方程y ◆课后作业：
课后习题1 2 3