第2章 函数的基本性质
2. 19 函数的实际应用问题
【教学目标】
1. 会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式，并确定函数的定义域。 2. 通过函数关系式的建立，培养学生把实际问题转化成数学问题的能力。 3. 通过函数关系的建立，培养学生分析问题与解决问题的能力； 4. 熟悉图表型的函数问题，掌握分段函数的函数关系式的建立；
【教学重点】
如何把应用问题转换为函数模型，并建立函数关系, 求出符合实际的自变量的范围。
【教学难点】
分段函数的函数关系式的建立；培养学生的数学应用意识。
【教学过程】：
一．知识整理
1. 在本节课教学过程中，要始终贯穿着数学建模的思想，这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括、把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：
2. 在教学过程中，解应用题的基本思路是：
检验 分析 画图
实际问题
3. 应用问题来源于生活和生产，不但题型变化较大，而且对每个应用问题而言，一般所给条件都较多，不易发现条件与条件，条件与所要解决的问题之间的内在联系，学生难于构造出理想的数学模型，实现实际问题向数学问题的转化。
中学数学中常见的建模类型一般有：
（1）函数建模 （2）数列建模 （3）几何建模 （4）最佳方案建模
如何建立数学模型：
1）． 认真审题，准确理解题意。建立数学模型首先要认真审题。应用问题的题目一般都较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题。在读题的过程中，弄清每一个名词、概念。分析已知条件和要求结论的数学意义，挖掘实际问题对所求的结论的限制等隐含条件。准确理解题意，应达到如下要求：
① 明确问题属于哪类应用问题（生产应用问题，或生活应用问题，或科技应用问题）；
② 弄清题目中的主要已知事项；
③ 明确所求的结论是什么。
2）．抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达。由于应用问题中数量关系分散，已知与所求之间的联系没有纯数学问题那样明了，因此在理解题意的基础上，把有关的数量关系找出来，联想与题意有关的数学知识和
方法，恰当引入变量或适当建立坐标系，将已知事项中的数量关系翻译成数学语言或数学表达式.
3）．将实际问题抽象为数学问题。在前两步的基础上，将已知与所求联系起来，据题
意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、或方程、或不等式），或作出满足题意的几何图形，将实际问题转化、抽象为数学问题。
二．例题精析
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解
决问题能力。
【题目】某蔬菜基地种植西红柿，由历年的市场行情知，自2月1日起的300天内西红柿
每100千克市场售价与上市时间的关系用图2—3的一条折线表示；每100千克西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—4的抛物线段表示。
（1）写出图2—3表示的市场售价p （元）与时间t （天）的函数关系式； （2）写出图2—4表示的种植成本q （元）与时间t （天）的函数关系式。
图2—3
图2—4
【解答】
（1）由图2—3可知，函数在[0,200]与[200,300]内的图象为两条不同的线段，函数是定义域分别为(0,200]与[200,300]一次函数，设函数为p =kt +b .
⎧300=k ⋅0+b ⎧b =300
当t ∈(0,200]时，由⎨，得⎨，则p =300-t , t ∈(0,200]；
100=k ⋅200+b k =-1⎩⎩
当t ∈[200,300]时，由
⎧1
⎨⎩3
0=k 0⋅0=k 0⋅
+b 2+b 3
，
得
⎧b =-300⎨
⎩k =2
，则
p =2t -300t ∈, ； [
因此，市场售价p （元）与时间t 的函数关系式是
⎧300-t
p =⎨
⎩2t -300
t ∈(0,200]t ∈(200,300]
(t ∈N ).
（2）由题意可知，图2—4表示的函数是二次函数，设为q =a (t -150) +100，
2
因为点(250,150) 在函数图象上，即150=a (250-150) 2+100，得a =则种植成本q （元）与时间t 的函数关系式是
q =
1200
(t -150) +100, t ∈(0,300](t ∈N ).
2
1200
.
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，分析问题与解
决问题能力。
【题目】大小汽车在狭窄的道路上相遇，必须其中一车倒车让道才能通过. 已知小汽车的
速度是a 千米每小时，大汽车的速度是b 千米每小时（a >b ）．小汽车倒车距离是大汽车的x 倍．如果倒车速度是正常速度的
1n
(n >1) ，问应该由哪辆车倒车才能使两车尽快通过这
段狭窄的道路．
【解答】 设大汽车倒车的距离为d 千米，则小汽车的倒车的距离为xd 千米．
（1）大汽车倒车，小汽车跟进，然后大汽车通过窄路，共需时间： T 1=
n d b +
(x +1) d
b
=
(n +x +1) d
b
（小时）
（2）小汽车倒车，大汽车跟进，待大汽车跟进完毕后，小汽车通过窄道，共需时间： T 2=∴T 1T 2T 1T 2T 1T 2T 1T 2
=
nxd b
+
(x +1) d
a
=
(nax +bx +b ) d
ab
（小时）
an +ax +a nax +bx +b
.
当
当>1，即(a -b )(x +1) >na (x -1) 时，应由小汽车倒车；
当
=1，即(a -b )(x +1) =na (x -1) 时，由哪辆车倒车均可以．
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中档，分析问题与
解决问题能力。
某商品进货每件50元，据市场调查，当销售价格x 元每件定在范围x ∈[50, 80]时，每
100000(x -40)
2
天售出件数p =，若想每天获得的利润最多，销售价格应定为每件多少元？
【解答】 设定价为x 元每件（x ∈[50, 80]）时，利润为y 元，则
y =(x -50) ⋅
100000(x -40)
2
，
=(x -40-10) ⋅
100000(x -40)
2
，
⎡1⎤10
- =100000⎢， 2⎥
x -40(x -40) ⎣⎦
令
1x -40
=t ，则y =100000(t -10t ) .
2
∴当t =
12⨯(-10)
，即
1x -40
=
120
，亦即x =60时，y 有最大值．
由于60∈[50, 80]，故x =60满足题设条件． 因此，销售价格应定为每件60元．
点拨 利用销售常识，建立函数模型并不难，从解题过程中可看出，为求y 的最大值，将x -50，改写成(x -40) -10，并运用换元方法确定定价的值是解题的关键，也就是说换元法，在解题中起到了重要作用．
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解
决问题能力。
【题目】
生产某种商品x 吨，所需的费用为(
110
x +5x +100) 元，而出售x 吨这样的商品时，
x b
2
每吨的售价为p 元，这里的p 依关系式p =a +（a , b 是常数）而定．
（1）写出售出这种商品获得的利润y 元与售出这种商品的吨数x 之间的函数关系式； （2）如果生产出来的这种商品都能卖完，那么当产品是150吨时，所获利润最大，并且这时每吨的价格时40元，求a 、b 的值．
（1）依据题意，可知 y =px -( =(a + =(
1b -x
110110
x
2
+5x +100)
b 1
) x -(
2
x +5x +100)
2
10
) x +(a -5) x -100 (x >0) ， 1
○
（2）由题设条件，当x =150时，p =40， ∴ a +
150b
=40，即
1b =40-a 150
， ○2
将○2代入○1，得 y =(
40-a
-1
) x +(a -5) x -100，
2
15010
a -252
x +(a -5) x -100， =-
150
⎧a >25，⎪
再由已知，当产品是150吨时，利润最大，即⎨150(a -5) ,
=150．
⎪2(a -5) ⎩
解之，a =45，再代入○2，得 b =-30．∴ a =45，b =-30．
点拨 这里，a 、b 是待定的系数，它们的确定既需要借助于明显的条件，即p =a +
x b
的关系式，又需要利用当产品是150吨，可获得最大利润这个隐含的条件. 待定系数法可以一次性列出方程来求解，也可以逐个列出方程逐个求解．采用哪一种方式求解好，应根据具体问题而定，本题明显采用了逐个列出方程，再逐个求解的方式．
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解
决问题能力。
【题目】
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作用如下假定：用1个单位水量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的
12
，用水越多洗掉农药量越多，但总
还有农药残留在蔬菜上。设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f (x ) ．
（1）试规定f (0) 的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数f (x ) 应满足的条件和具有的性质； （3）设f (x ) =
11+x
2
现有a (a >0) 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水
平均分成两份后清洗两次。试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
【解答】
（1）f (0) =1，表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量保持原样． （2）函数f (x ) 应满足的条件和具有的性质是 f (0) =1，f (1) =
12
，
在[0, +∞)上f (x ) 单调递减，且0
f 2=⎢
⎢⎢1+⎢⎣
⎤
⎥1⎥
2
⎛a ⎫⎥ ⎪⎥
⎥⎝2⎭⎦
=
2
11+a
2
；
=
16(4+a )
2
2
∴ f 1-f 2=
11+a
2
-
16(4+a )
2
2
a (a -8) (1+a )(4+a )
2
2
2
22
于是 当a >22时，f 1>f 2，即清洗两次后残留的农药量较少；
当a =22时，f 1=f 2，即两种清洗方法具有相同效果； 当0
三．课堂反馈
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，易，分析问题与解
决问题能力。
【题目】一个等腰三角形的周长为30，底边长为y ，腰长为x ，则y 与x 满足的函数关系式为 ．
【解答】y=30－2x
⎛15
⎫
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，易，逻辑思维能力。
【题目】已知1999年年底世界人口约60亿，设人口的年平均增长率为x ％，2009年年底
世界人口数为y （亿），则y 关于x 的函数关系式是 ．．
【解答】：y ＝60(1+
x 100
)
10
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，逻辑思维能力。
【题目】某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每
件提价1元，则每天卖出的件数将减少一件，则每天出售衬衫的净收入y （元）与每件衬衫的售价x （元）（x ≥40）之间的函数关系是 ． 【解答】y =-x 2+110x -2400(40≤x ≤80, x ∈N )
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，分析能力。 【题目】从装满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液后
又用水填满，这样继续进行．如果倒完第k 次（k ≥1）时共倒出纯酒精x 升，设倒完第k+1次时共倒出纯酒精f (x ) 升，则函数f (x ) 的表达式为 ．
【解答】由于倒完第k 次共倒出纯酒精x 升，则第k+1次倒酒精时，容器中还有纯酒精（20-x ）升，第k+1次倒出了纯酒精（1≤x
120
(20-x ) 升，所以，f (x ) =x +
120
(20-x ) =1+
1920
x
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，选择题，中，逻辑思维能力。
【题目】已知AB 两地相距150千米．某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，
在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离s （千米）表示成时间t （小时）的函数为（ ）．
（A ） s=60t ； （B ） s ＝60t+50t；
⎧60t , 0≤t ≤2. 5
60t , 0≤t ≤2. 5⎧⎪
（C ） s =⎨ ； （D ） s =⎨150-50t , 2. 5
⎩150-50t , t >3. 5⎪325-50t , 3. 5
⎩
【解答】D ．
四．课堂小结（课堂小结主要为方法总结及解题注意事项）. 建立函数关系解题的步骤: 1）．仔细审题, 设出适当的自变量； 2）. 找出等量关系, 列出函数关系式； 3）. 根据问题的要求, 作适当的变形； 4）. 根据实际要求, 写出函数定义域 。
五．课后作业
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，逻辑思维能力。
【题目】
现有直径为d 的圆木，要把它锯成横断面是矩形的墚 。从材料力学知横断面是矩形的墚 的强度
。
K 是常数），若要强度最大，则
【解答】：
，
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，分析问题与解
决问题能力。
【题目】降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为38cm ，底面直
径为24cm ，深为35cm 的圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，用此桶盛得
的雨水正好是桶深的
，则此次下雨的降水量是 （精确到1cm ）。
【解答】22mm
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，逻辑思维能力。
【题目】有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，尺寸如图，为保证
行车安全，要求车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要0.5米，若行车道总宽AB 为6米，车辆过此隧道限高为 （精确到0.1cm ）。
【解答】3.2m
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，逻辑思维能力。
【题目】用一根长为l 的铁丝, 制成如图所示的框架, 问如何设计, 使得框架的面积S 最大？
x
答案：设矩形框架的宽为x , 那么长为面积=长⨯宽, 所以, S =x ⋅
l -4x 2
2
l -4x 2
l 2
l -4x 2
∴ S =-2x +
l 4
x , 又>0, 且x >0,
∴0
2
∴ S =-2x +
l 2
x (0
l 4
)
（体会如何建立函数关系） 当x =
l 8
时，S 最大为
l
2
32
。
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，逻辑思维能力。
【题目】如图, 有一圆柱形的无盖杯子, 它的内
表面积是100cm ，试用解析式将杯子的容积
V (cm ) 表示成底面内半径x (cm ) 的函数。
2
【解答】本题中x >0, 学生容易理解, 对于πx
2
2
2
h =100-πx
2πx 2, 因为h >0, 所以πx 2
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，易，逻辑思维能力。
【题目】把截面直径为40厘米的半圆形木料，锯成矩形木料，设矩形的一边长是x 厘米，将矩形的面积S 表示成边长x 的函数。
【解答】S =2x ⋅400-x (0
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，逻辑思维能力。
【题目】建造一个容积为8000m 3，深为6m 的长方体的游泳池（无盖），池璧造价为a 元/m 2 , 池底造价为2a 元/m 2, 把总造价y 元表示成底的一边长x （m ）的函数。
【解答】 （1）总造价y =底面造价+侧面造价=底面积⨯2a +侧面积⨯a
（2）y =
8000a 3+12a (x +40003x ) (x >0) .
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，分析问题与解
决问题能力。
【题目】上海的出租车价格规定：起步费11元，可行3千米；以后按每千米2.1元计价，可再行7千米，10以后全部按每千米3.15元的单价计价，途中等待时间每五分钟按1千米行程计价。
(1) 假设途中等待时间为零，则车费y (元) 与行车里程x （千米）之间的关系可表示为:
（2）如果现在有人从杨高要去宝山，路程为15千米。为了合理地少付车费，是否可以考虑
半途换车或要求“翻牌”（即重新开始计价，相当于乘客下车后重新上车）。请你设计一个较优的方案。
11
【解答】（1）假设途中等待时间为零，则车费y (元) 与行车里程x （千米）之间的关系可表示为:
0
⎪y =⎨2.1x +4.73
⎪3.15x -5.18x >10⎩
（2）（当行程超过14千米时，可考虑在在行程为10千米处“翻牌”） 考虑到出租车费以元为单位，不足1元时按1元计，那么则车费y (元) 与行车里程x （千米）之间的关系可表示为：
0
⎪y =⎨[2.1x +4.7]+13
⎪[3.15x -5.18]+1x >10⎩
12
第2章 函数的基本性质
2. 19 函数的实际应用问题
【教学目标】
1. 会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式，并确定函数的定义域。 2. 通过函数关系式的建立，培养学生把实际问题转化成数学问题的能力。 3. 通过函数关系的建立，培养学生分析问题与解决问题的能力； 4. 熟悉图表型的函数问题，掌握分段函数的函数关系式的建立；
【教学重点】
如何把应用问题转换为函数模型，并建立函数关系, 求出符合实际的自变量的范围。
【教学难点】
分段函数的函数关系式的建立；培养学生的数学应用意识。
【教学过程】：
一．知识整理
1. 在本节课教学过程中，要始终贯穿着数学建模的思想，这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括、把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：
2. 在教学过程中，解应用题的基本思路是：
检验 分析 画图
实际问题
3. 应用问题来源于生活和生产，不但题型变化较大，而且对每个应用问题而言，一般所给条件都较多，不易发现条件与条件，条件与所要解决的问题之间的内在联系，学生难于构造出理想的数学模型，实现实际问题向数学问题的转化。
中学数学中常见的建模类型一般有：
（1）函数建模 （2）数列建模 （3）几何建模 （4）最佳方案建模
如何建立数学模型：
1）． 认真审题，准确理解题意。建立数学模型首先要认真审题。应用问题的题目一般都较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题。在读题的过程中，弄清每一个名词、概念。分析已知条件和要求结论的数学意义，挖掘实际问题对所求的结论的限制等隐含条件。准确理解题意，应达到如下要求：
① 明确问题属于哪类应用问题（生产应用问题，或生活应用问题，或科技应用问题）；
② 弄清题目中的主要已知事项；
③ 明确所求的结论是什么。
2）．抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达。由于应用问题中数量关系分散，已知与所求之间的联系没有纯数学问题那样明了，因此在理解题意的基础上，把有关的数量关系找出来，联想与题意有关的数学知识和
方法，恰当引入变量或适当建立坐标系，将已知事项中的数量关系翻译成数学语言或数学表达式.
3）．将实际问题抽象为数学问题。在前两步的基础上，将已知与所求联系起来，据题
意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、或方程、或不等式），或作出满足题意的几何图形，将实际问题转化、抽象为数学问题。
二．例题精析
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解
决问题能力。
【题目】某蔬菜基地种植西红柿，由历年的市场行情知，自2月1日起的300天内西红柿
每100千克市场售价与上市时间的关系用图2—3的一条折线表示；每100千克西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—4的抛物线段表示。
（1）写出图2—3表示的市场售价p （元）与时间t （天）的函数关系式； （2）写出图2—4表示的种植成本q （元）与时间t （天）的函数关系式。
图2—3
图2—4
【解答】
（1）由图2—3可知，函数在[0,200]与[200,300]内的图象为两条不同的线段，函数是定义域分别为(0,200]与[200,300]一次函数，设函数为p =kt +b .
⎧300=k ⋅0+b ⎧b =300
当t ∈(0,200]时，由⎨，得⎨，则p =300-t , t ∈(0,200]；
100=k ⋅200+b k =-1⎩⎩
当t ∈[200,300]时，由
⎧1
⎨⎩3
0=k 0⋅0=k 0⋅
+b 2+b 3
，
得
⎧b =-300⎨
⎩k =2
，则
p =2t -300t ∈, ； [
因此，市场售价p （元）与时间t 的函数关系式是
⎧300-t
p =⎨
⎩2t -300
t ∈(0,200]t ∈(200,300]
(t ∈N ).
（2）由题意可知，图2—4表示的函数是二次函数，设为q =a (t -150) +100，
2
因为点(250,150) 在函数图象上，即150=a (250-150) 2+100，得a =则种植成本q （元）与时间t 的函数关系式是
q =
1200
(t -150) +100, t ∈(0,300](t ∈N ).
2
1200
.
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，分析问题与解
决问题能力。
【题目】大小汽车在狭窄的道路上相遇，必须其中一车倒车让道才能通过. 已知小汽车的
速度是a 千米每小时，大汽车的速度是b 千米每小时（a >b ）．小汽车倒车距离是大汽车的x 倍．如果倒车速度是正常速度的
1n
(n >1) ，问应该由哪辆车倒车才能使两车尽快通过这
段狭窄的道路．
【解答】 设大汽车倒车的距离为d 千米，则小汽车的倒车的距离为xd 千米．
（1）大汽车倒车，小汽车跟进，然后大汽车通过窄路，共需时间： T 1=
n d b +
(x +1) d
b
=
(n +x +1) d
b
（小时）
（2）小汽车倒车，大汽车跟进，待大汽车跟进完毕后，小汽车通过窄道，共需时间： T 2=∴T 1T 2T 1T 2T 1T 2T 1T 2
=
nxd b
+
(x +1) d
a
=
(nax +bx +b ) d
ab
（小时）
an +ax +a nax +bx +b
.
当
当>1，即(a -b )(x +1) >na (x -1) 时，应由小汽车倒车；
当
=1，即(a -b )(x +1) =na (x -1) 时，由哪辆车倒车均可以．
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中档，分析问题与
解决问题能力。
某商品进货每件50元，据市场调查，当销售价格x 元每件定在范围x ∈[50, 80]时，每
100000(x -40)
2
天售出件数p =，若想每天获得的利润最多，销售价格应定为每件多少元？
【解答】 设定价为x 元每件（x ∈[50, 80]）时，利润为y 元，则
y =(x -50) ⋅
100000(x -40)
2
，
=(x -40-10) ⋅
100000(x -40)
2
，
⎡1⎤10
- =100000⎢， 2⎥
x -40(x -40) ⎣⎦
令
1x -40
=t ，则y =100000(t -10t ) .
2
∴当t =
12⨯(-10)
，即
1x -40
=
120
，亦即x =60时，y 有最大值．
由于60∈[50, 80]，故x =60满足题设条件． 因此，销售价格应定为每件60元．
点拨 利用销售常识，建立函数模型并不难，从解题过程中可看出，为求y 的最大值，将x -50，改写成(x -40) -10，并运用换元方法确定定价的值是解题的关键，也就是说换元法，在解题中起到了重要作用．
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解
决问题能力。
【题目】
生产某种商品x 吨，所需的费用为(
110
x +5x +100) 元，而出售x 吨这样的商品时，
x b
2
每吨的售价为p 元，这里的p 依关系式p =a +（a , b 是常数）而定．
（1）写出售出这种商品获得的利润y 元与售出这种商品的吨数x 之间的函数关系式； （2）如果生产出来的这种商品都能卖完，那么当产品是150吨时，所获利润最大，并且这时每吨的价格时40元，求a 、b 的值．
（1）依据题意，可知 y =px -( =(a + =(
1b -x
110110
x
2
+5x +100)
b 1
) x -(
2
x +5x +100)
2
10
) x +(a -5) x -100 (x >0) ， 1
○
（2）由题设条件，当x =150时，p =40， ∴ a +
150b
=40，即
1b =40-a 150
， ○2
将○2代入○1，得 y =(
40-a
-1
) x +(a -5) x -100，
2
15010
a -252
x +(a -5) x -100， =-
150
⎧a >25，⎪
再由已知，当产品是150吨时，利润最大，即⎨150(a -5) ,
=150．
⎪2(a -5) ⎩
解之，a =45，再代入○2，得 b =-30．∴ a =45，b =-30．
点拨 这里，a 、b 是待定的系数，它们的确定既需要借助于明显的条件，即p =a +
x b
的关系式，又需要利用当产品是150吨，可获得最大利润这个隐含的条件. 待定系数法可以一次性列出方程来求解，也可以逐个列出方程逐个求解．采用哪一种方式求解好，应根据具体问题而定，本题明显采用了逐个列出方程，再逐个求解的方式．
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解
决问题能力。
【题目】
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作用如下假定：用1个单位水量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的
12
，用水越多洗掉农药量越多，但总
还有农药残留在蔬菜上。设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f (x ) ．
（1）试规定f (0) 的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数f (x ) 应满足的条件和具有的性质； （3）设f (x ) =
11+x
2
现有a (a >0) 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水
平均分成两份后清洗两次。试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
【解答】
（1）f (0) =1，表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量保持原样． （2）函数f (x ) 应满足的条件和具有的性质是 f (0) =1，f (1) =
12
，
在[0, +∞)上f (x ) 单调递减，且0
f 2=⎢
⎢⎢1+⎢⎣
⎤
⎥1⎥
2
⎛a ⎫⎥ ⎪⎥
⎥⎝2⎭⎦
=
2
11+a
2
；
=
16(4+a )
2
2
∴ f 1-f 2=
11+a
2
-
16(4+a )
2
2
a (a -8) (1+a )(4+a )
2
2
2
22
于是 当a >22时，f 1>f 2，即清洗两次后残留的农药量较少；
当a =22时，f 1=f 2，即两种清洗方法具有相同效果； 当0
三．课堂反馈
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，易，分析问题与解
决问题能力。
【题目】一个等腰三角形的周长为30，底边长为y ，腰长为x ，则y 与x 满足的函数关系式为 ．
【解答】y=30－2x
⎛15
⎫
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，易，逻辑思维能力。
【题目】已知1999年年底世界人口约60亿，设人口的年平均增长率为x ％，2009年年底
世界人口数为y （亿），则y 关于x 的函数关系式是 ．．
【解答】：y ＝60(1+
x 100
)
10
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，逻辑思维能力。
【题目】某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每
件提价1元，则每天卖出的件数将减少一件，则每天出售衬衫的净收入y （元）与每件衬衫的售价x （元）（x ≥40）之间的函数关系是 ． 【解答】y =-x 2+110x -2400(40≤x ≤80, x ∈N )
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，分析能力。 【题目】从装满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液后
又用水填满，这样继续进行．如果倒完第k 次（k ≥1）时共倒出纯酒精x 升，设倒完第k+1次时共倒出纯酒精f (x ) 升，则函数f (x ) 的表达式为 ．
【解答】由于倒完第k 次共倒出纯酒精x 升，则第k+1次倒酒精时，容器中还有纯酒精（20-x ）升，第k+1次倒出了纯酒精（1≤x
120
(20-x ) 升，所以，f (x ) =x +
120
(20-x ) =1+
1920
x
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，选择题，中，逻辑思维能力。
【题目】已知AB 两地相距150千米．某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，
在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离s （千米）表示成时间t （小时）的函数为（ ）．
（A ） s=60t ； （B ） s ＝60t+50t；
⎧60t , 0≤t ≤2. 5
60t , 0≤t ≤2. 5⎧⎪
（C ） s =⎨ ； （D ） s =⎨150-50t , 2. 5
⎩150-50t , t >3. 5⎪325-50t , 3. 5
⎩
【解答】D ．
四．课堂小结（课堂小结主要为方法总结及解题注意事项）. 建立函数关系解题的步骤: 1）．仔细审题, 设出适当的自变量； 2）. 找出等量关系, 列出函数关系式； 3）. 根据问题的要求, 作适当的变形； 4）. 根据实际要求, 写出函数定义域 。
五．课后作业
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，逻辑思维能力。
【题目】
现有直径为d 的圆木，要把它锯成横断面是矩形的墚 。从材料力学知横断面是矩形的墚 的强度
。
K 是常数），若要强度最大，则
【解答】：
，
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，分析问题与解
决问题能力。
【题目】降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为38cm ，底面直
径为24cm ，深为35cm 的圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，用此桶盛得
的雨水正好是桶深的
，则此次下雨的降水量是 （精确到1cm ）。
【解答】22mm
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，填空题，中，逻辑思维能力。
【题目】有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，尺寸如图，为保证
行车安全，要求车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要0.5米，若行车道总宽AB 为6米，车辆过此隧道限高为 （精确到0.1cm ）。
【解答】3.2m
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，逻辑思维能力。
【题目】用一根长为l 的铁丝, 制成如图所示的框架, 问如何设计, 使得框架的面积S 最大？
x
答案：设矩形框架的宽为x , 那么长为面积=长⨯宽, 所以, S =x ⋅
l -4x 2
2
l -4x 2
l 2
l -4x 2
∴ S =-2x +
l 4
x , 又>0, 且x >0,
∴0
2
∴ S =-2x +
l 2
x (0
l 4
)
（体会如何建立函数关系） 当x =
l 8
时，S 最大为
l
2
32
。
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，逻辑思维能力。
【题目】如图, 有一圆柱形的无盖杯子, 它的内
表面积是100cm ，试用解析式将杯子的容积
V (cm ) 表示成底面内半径x (cm ) 的函数。
2
【解答】本题中x >0, 学生容易理解, 对于πx
2
2
2
h =100-πx
2πx 2, 因为h >0, 所以πx 2
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，易，逻辑思维能力。
【题目】把截面直径为40厘米的半圆形木料，锯成矩形木料，设矩形的一边长是x 厘米，将矩形的面积S 表示成边长x 的函数。
【解答】S =2x ⋅400-x (0
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，逻辑思维能力。
【题目】建造一个容积为8000m 3，深为6m 的长方体的游泳池（无盖），池璧造价为a 元/m 2 , 池底造价为2a 元/m 2, 把总造价y 元表示成底的一边长x （m ）的函数。
【解答】 （1）总造价y =底面造价+侧面造价=底面积⨯2a +侧面积⨯a
（2）y =
8000a 3+12a (x +40003x ) (x >0) .
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，中，分析问题与解
决问题能力。
【题目】上海的出租车价格规定：起步费11元，可行3千米；以后按每千米2.1元计价，可再行7千米，10以后全部按每千米3.15元的单价计价，途中等待时间每五分钟按1千米行程计价。
(1) 假设途中等待时间为零，则车费y (元) 与行车里程x （千米）之间的关系可表示为:
（2）如果现在有人从杨高要去宝山，路程为15千米。为了合理地少付车费，是否可以考虑
半途换车或要求“翻牌”（即重新开始计价，相当于乘客下车后重新上车）。请你设计一个较优的方案。
11
【解答】（1）假设途中等待时间为零，则车费y (元) 与行车里程x （千米）之间的关系可表示为:
0
⎪y =⎨2.1x +4.73
⎪3.15x -5.18x >10⎩
（2）（当行程超过14千米时，可考虑在在行程为10千米处“翻牌”） 考虑到出租车费以元为单位，不足1元时按1元计，那么则车费y (元) 与行车里程x （千米）之间的关系可表示为：
0
⎪y =⎨[2.1x +4.7]+13
⎪[3.15x -5.18]+1x >10⎩
12