球与几何体切、接问题
球与正方体
正方体的内切球
正四面体与球的切接问题
（1） 正四面体的内切球，如图4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；
球与正方体的棱相切
正方体的外接球
正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
球与长方体
结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．
例 1 棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，
E ，F 分别是棱AA 1，DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）
A
B ．1 C
．1+
D
例2 自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA , MB , MC ，求
MA 2+MB 2+MC 2的值．
例 3（全国卷I 高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π
1
一．选择题（共16小题） 1．（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长
2．（2014•
宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（
）
4．（2014•西藏一模）三棱锥S ﹣ABC
的顶点都在同一球面上，且5．（2014•临汾模拟）三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是
6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球O 上的四面体ABCD 所有棱长都为
12，点E 、
7．（2013•辽宁）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6
个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，8．（2013•河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD 沿对角线
AC 折起直二
9．（2013•黄梅县模拟）已知半径为5的球O 被互相垂直的两个平面所截，得到的 10．（2013•郑州一模）在三棱锥A ﹣BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD
、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） 2
11．（2013•河池模拟）一个四面体A ﹣BCD 中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，
12．（2012•南宁模拟）已知Rt △ABC 的顶点都在半径为4的球O 面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=
13．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，侧面与底面所成角为
，则它的外接球的半径R
，则棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ） 16．（2011•琼海一模）已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当
二．填空题（共8小题） 17．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ． 18．（2014•江西模拟）正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 _________ ． 19．（2014•呼伦贝尔二模）设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足AB ⊥AC ，AD ⊥AC ，AB ⊥AD ，则S △ABC +S△ABD +S△ACD 的最大值是 _________ ． 20．（2014•河南模拟）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为a 的正方形，所有侧棱长相等且等于a ，若其外接球的半径为R ，则等于 _________ ．
21．（2012•辽宁）已知正三棱锥P ﹣ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为的球面上，若PA ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 _________ ． 22．（2009•湖南）在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC 的距离为 _________ ；
（2）过A ，B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 ．
3
14．已知球O 的表面积为20π，SC 是球O 的直径，A 、B 两点在球面上，且AB=BC=2，
15．（2014•安阳一模）如图，平面四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1，
，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD
顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
23．正三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是
24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r= _________ ．
5．（2012•桂林模拟）如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为 _________ ．
6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD 1和BB 1作一个截面，正确的截面图是 _________ ．
截面问题
一．填空题（共8小题）
1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R 的外接球的球心O 所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是 __ ． 2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为 （只填写序号）．
7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M ，N ，则线段|MN|的长度最大值为 _________ ．
8．球O 的球面上有三点A ，B ，C ，且BC=3，∠BAC=30°，过A ，B ，C 三点作球O 的截面，球心O 到截面的距离为4，则该球的体积为 _________ ． 9．（2014•上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r 的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？
3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 _________ ．
4．已知正三棱锥S ﹣ABC 内接于半径为6的球，过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为 _________ ．
4
球与几何体切、接问题
球与正方体
正方体的内切球
正四面体与球的切接问题
（1） 正四面体的内切球，如图4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；
球与正方体的棱相切
正方体的外接球
正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
球与长方体
结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．
例 1 棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，
E ，F 分别是棱AA 1，DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）
A
B ．1 C
．1+
D
例2 自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA , MB , MC ，求
MA 2+MB 2+MC 2的值．
例 3（全国卷I 高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π
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一．选择题（共16小题） 1．（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长
2．（2014•
宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（
）
4．（2014•西藏一模）三棱锥S ﹣ABC
的顶点都在同一球面上，且5．（2014•临汾模拟）三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是
6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球O 上的四面体ABCD 所有棱长都为
12，点E 、
7．（2013•辽宁）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6
个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，8．（2013•河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD 沿对角线
AC 折起直二
9．（2013•黄梅县模拟）已知半径为5的球O 被互相垂直的两个平面所截，得到的 10．（2013•郑州一模）在三棱锥A ﹣BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD
、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） 2
11．（2013•河池模拟）一个四面体A ﹣BCD 中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，
12．（2012•南宁模拟）已知Rt △ABC 的顶点都在半径为4的球O 面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=
13．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，侧面与底面所成角为
，则它的外接球的半径R
，则棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ） 16．（2011•琼海一模）已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当
二．填空题（共8小题） 17．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ． 18．（2014•江西模拟）正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 _________ ． 19．（2014•呼伦贝尔二模）设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足AB ⊥AC ，AD ⊥AC ，AB ⊥AD ，则S △ABC +S△ABD +S△ACD 的最大值是 _________ ． 20．（2014•河南模拟）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为a 的正方形，所有侧棱长相等且等于a ，若其外接球的半径为R ，则等于 _________ ．
21．（2012•辽宁）已知正三棱锥P ﹣ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为的球面上，若PA ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 _________ ． 22．（2009•湖南）在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC 的距离为 _________ ；
（2）过A ，B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 ．
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14．已知球O 的表面积为20π，SC 是球O 的直径，A 、B 两点在球面上，且AB=BC=2，
15．（2014•安阳一模）如图，平面四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1，
，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD
顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
23．正三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是
24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r= _________ ．
5．（2012•桂林模拟）如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为 _________ ．
6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD 1和BB 1作一个截面，正确的截面图是 _________ ．
截面问题
一．填空题（共8小题）
1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R 的外接球的球心O 所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是 __ ． 2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为 （只填写序号）．
7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M ，N ，则线段|MN|的长度最大值为 _________ ．
8．球O 的球面上有三点A ，B ，C ，且BC=3，∠BAC=30°，过A ，B ，C 三点作球O 的截面，球心O 到截面的距离为4，则该球的体积为 _________ ． 9．（2014•上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r 的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？
3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 _________ ．
4．已知正三棱锥S ﹣ABC 内接于半径为6的球，过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为 _________ ．
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