1、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背回家几根香蕉？
要想猴子背回家最多香蕉，就要背着香蕉走的路尽量少，因此安排猴子先背50个香蕉到25米处，此时只剩25个香蕉，再回去背50个到25米处，此时在25米处有50个香蕉，一次全部背回家，能够剩余25个香蕉。（在这种情况下，猴子后25米只走了一次，走的路程最少。如果最后走一次的路程大于25米，那么吃掉的香蕉就要多于25个，剩下的香蕉就要少于25个。）
另：此题应该是16根。
在剩余香蕉大于50根之前，猴子每走1米要吃3根香蕉，因为他走1米吃掉1根后，还得往回走1米抱剩下的香蕉，这又得吃1根，然后再回到原位置需要走1米，再吃1根，所以实际上猴子走1米需要消费3个香蕉 当走到17米的时候，猴子一共吃了17*3=51个香蕉，还剩49，这样猴子就可以一次性搬回家了，不用往回去搬香蕉，离家还剩下50-17=33米，需要吃33根香蕉，所以到家时还剩下49-33=16根
例题】有a ，b ，c ，d 四条直线，依次在a 线上写 1，在 b 线上写 2，在 c 线上写 3，在 d 线上写 4， 然后在 a 线上写 5，在 b 线，c 线和 d 线上写数字 6， 7， 8……按这样的周期循环下去，问数 2008 在哪条线上？
A ．a 线 B ．b 线 C．C 线 D ．d 线
【解析】abcd 分别代表每个数除以4的余数，每条线上的余数相同，分别是1,2,3,0，因为2008除以4余0，所以在d 线上，选D
【例题】小王工作一年酬金是1800元和一台全自动洗衣机。他干了7个月，得到560元和一台洗衣机，问这台洗衣机价钱为多少元（ ）
A ．1176 B ．1144 C．1200 D．1154
【解析】小王做12个“7个月”要得到560*12+12台洗衣机，跟干7年共1800*7+7台洗衣机应该是相等的。即5台
— 1 —
洗衣机=1800*7-560*12，1台洗衣机=360*7-112*12，尾数应该是6，选A
【例题】15克盐放入135克水中，放置一段时间后，盐水重量变为100克，这时盐水的浓度是多少？浓度比原来提高了百分之几（ ）
A ．75%，12.5% B ．25%，12.5% C．15%，50% D．50%，62.5%
【解析】盐的重量是不变的，因此浓度=15/100*100%=15%,选C
【例题】小张和小王两人比赛珠算，共有1200题，小张每分钟算出20题，小王每算出80题比小张算同样多的题少用2秒，问：小王做完1200题时，小张还有多少题没做（ ）
A.10 B.15 C.20 D.5
【解析】小张3秒做一道题，小王每算240道题要比小张少用6秒，即小张还差2道题，于是1200/240=5，小张还有5*2=10道题没做，选A
【例题】某校二年级全部共3个班的学生排队．每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人．这个学校二年级有（ ）名学生。
A ．120 B．122 C ．121 D ．123
【解析】本题即4,5,6的任意公倍数+2，此题采用最小公倍数=122
2、旅客在车站候车室等车, 并且排队的乘客按一定速度增加, 检查速度也一定, 当车站放一个检票口, 需用半小时把所有乘客解决完毕, 当开放2个检票口时, 只要10分钟就把所有乘客OK 了 求增加人数的速度还有原来的人数?
牛吃草问题：公式法
（牛的头数－每天长草量）×天数=草原原有草量
— 2 —
（1-x ）*30=y
(2-x)*10=y
即y/10-y/30=1,解得y=15，x=0.5
(其中x 表示增加人数的速度，y 表示原来的人数)
3、某单位有78人，站成一排，从左到右数，小王是第50个，从右往左，小张是第48个，则小王和小张之间有多少人？
A,16 B,17 C,18 D,20
容斥原理问题，加上小王、小张和中间的人，共有50+48-78=20人，所以小王和小张之间共有18个人。
4、人们将1/10表示为1月10日，也有人将1/10表示为10月1日，这样一年中就有不少混淆不清的日期了，当然，8/15和15/8只能表示为8月15日，那么一年中像这样不会搞错的日期最多会有多少天?
不会搞错的有这么几种类型：
类型一：前后两个数字相同：1/1,2/2,3/3,……,12/12，共12天，
类型二：有一个数字大于12，其中1、3、5、7、8、10、12月有31-12=19天，4、6、9、11有30-12=18天，2月在平年中有28-12=16天，闰年有17天。
于是类型二共有7*19+4*18+16=221天，或者闰年222天
综上，共有12+221=233或234天。
5、某地区2009年全年实现工业增加值3107亿元，同比增长8.7%
— 3 —
第四季度实现工业增加值828亿元，同比增长12.5%
问：前三个季度的工业增加值，同比增长率为多少？
A 7.4% B 8.8% C 9.6% D 10.7%
8.7%应该介于12.5%和前三个季度的工业增长率之间（因为8.7%是两个数值加权平均出来的），选A
关于加权平均，举个例子，X=a*p1+b*p2，其中p1+p2=1，p1,p2均为正数,a
6、现要挂号邮寄120本书，每11本重2千克，邮局规定(为计算方便，略有改动) ：印刷品的邮费是每千克0.8元，不足1千克的以1千克计，每件限重5千克，挂号费每件0.6元(含手续费0.3元) ，试问：这批书最省的邮费为多少元?( )
A ．20.6 B．20 C．19.6 D．19.2
为使邮费最省，则每次尽量装满，5千克只能装11+11+5=27本，于是120本书应该分为27+27+27+27+12 每包邮费=5*0.8+0.6=4.6元
12本书的邮费=3*0.8+0.6=3元
于是120本书=4.6*4+3=21.4元，无答案
所以考虑把最后一个装满4千克，这样就还可以装10本，从前面的2包中取出10本，于是
4千克的邮费=4*0.8+0.6=3.8
— 4 —
最省邮费=3.8*3+2*4.6=20.6，选a
7、一次测验中共有10道问答题，每题评分标准时：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分；回答完全错误或不回答，得0分。那么，至少（ ）人参加这次测验，才能保证至少有3人的得分相同？
将这10道题分为0，3，5三类，那么用插空法，有C （12，2）=66种方法。
但是3个5分的与5个3分的得分相同，于是
当有5道题得了3分时，此时剩下的5道题还有C(7,2)=21种方法，要减掉
于是有66-21=45种不同的分数
于是至少要45*2+1=91人参加考试才行。
8、插板法就是在n 个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件：
（1） 这n 个元素必须互不相异
（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
===================================================
a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
— 5 —
3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入
1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是 c12 2=66
-------------------------------------------------
例2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=28
==================================================
b 添板插板法
例3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o 表示10个小球，-表示空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空 c12 2=66
--------------------------------------------------------
例4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a 个1，第二组取到b 个1，但此时第二组始终不能取— 6 —
空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45
-----------------------------------------------------------
例5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
类似的，某数的前三位为abc ，a+b+c
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a 个1，第二组取b 个1，第三组取c 个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165 ============================================
c 选板法
例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限) ，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o 代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是 2^9= 512啦
=============================================
d 分类插板
例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ c10 1=10
— 7 —
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20
所以一共是 2+10+28+20=60 种
=================================
e 二次插板法
例8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？ -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504种
插板法另一模型a+b+c
a+b+c
a+b+c
以上两个不等式的非负整数解各有几种？没事做做
----------------------------------------------------------------
x=a+1,y=b+1,z=c+1,则 x ，y ，z 为正整数 x+y+z
0- 0- 0- 0- 0 -0 -0 -0 -0 -0- 0- 0 -0- 0代表13个1，-代表空位
13个空 选3个插入3板，13个1被分成4部分，前3部分分别对应x ，y ，z
满足x ，y ，z>=1,且x+y+z
一个xyz 与一个abc 唯一对应，所以共有286个abc
p.s 这里取3个空，而不取2个空，是由于前三个数和可以小于13
— 8 —
------------------------------------------------------
a+b+c+d
x=a+1,y=b+1,z=c+1,t=d+1,x，y ，z ，t 为正整数，x+y+z+t
分析方法同上，需要从14个空选4个
c14 4=1001
-----------------------------
模型应用举例
有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
10、一只船从甲码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米，因此后2小时多行16千米。那么甲，乙两个码头距离时多少千米？
顺水比逆水多行16千米，说明顺水行了4/3小时，于是逆水行了4-4/3=8/3小时
根据V 顺-V 逆=S/t顺-S/t逆，且V 顺-V 逆=12
得到S=32
8道排列组合题解析
1：8个相同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
取球最少的盒子取1，取球第二少的盒子可以取[1,3] 3种
取球最少的盒子取2，取球第二少的盒子可以取[2,3] 2种
— 9 —
取球最少的盒子取3，此情况不存在，一共5种
按取球多寡来分类讨论可以做到不遗漏，不重复
-------------------------------------------------------------------------
2：8个相同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
插板法，c7 2=21
--------------------------------------------------------------------------
4：8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
取球最少盒子取1时，有116，125，134三种情况，分别有c8 6=28, c8 1*c7 2=168, c8 1*c73=280 取球最少盒子取2时，有224，233二种情况，分别有c82*c62/2=210，c83×c53/2=280
一共28+168+280+210+280=966
-------------------------------------------------------------------------------
3：8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
4问中的966种情况，每种情况的三个元素都是互异的，比如 116（因为球是不同的），这三个元素进行全排列p33=6,乘以966=5796即为所求
------------------------------------------------------------------------------------
5：8个相同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
最少盒子取0，次盒子取[0,4]
最少盒子取1，次盒子取[1,3]
最少盒子取2，次盒子取[2,3]
一共5+3+2=10种
------------------------------------------------------------------------------
6：8个相同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法
— 10 —
预先在三个盒子种各放入一小球，则问题转化为11同球放3不同盒子，每盒至少1个，几种方法？ 用插板法，c10 2=45
----------------------------------------------------------------------------
7：8个不同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法
每个球都有3种选择，8个球就有3^8=6561
-----------------------------------------------------------------------------
8：8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
7问中的一般情况(3个元素都相异），比如116，一共有6种排列（球是不同的），此问中，盒子是相同的，因此这6种排列都只算一种情况。
但如果2个元素相同的时候，有且只有 008，只有3种排列，我们多添加3种进去，令其也重复6次，则（6561+3）就是 所有的情况都重复了6次，（6561+3）/6=1094即为所求。
关于排列组合问题之全错位排列递推公式的推导！
把编号 1-------------n 的小球放到编号1------n 的盒子里，全错位排列（1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推），共有几种情况？
------------------------------------------------------
设n 个球全放错的情况有 s （n ）种
1号盒子可以选[2,n] 共（n-1）种选择，设1号盒选择某号球后对应的错排次数是 a
（n-1）个选择对应的错排次数是相同的 ，则 s （n ）=（n-1）a
不妨设1号盒选择2号球
1： 2号盒选择1号球，剩下 （n-2）个球去错排，有 s （n-2）种情况
2： 2号盒不选择1号球，则后面总有一个盒子选择1号球，我们可以把1号球换成2号球，
— 11 —
对问题没有影响，此时就相当于对（n-1）个球去错排，有s （n-1）种情况
于是a= s （n-1)+s(n-2)
s(n)=(n-1) [ s （n-1）+s（n-2）]
s(2)=1,s(3)=2
s(4)=3*(1+2)=9
s(5)=4*(2+9)=44
s(6)=5*(9+44)=265 ....................
关于篮球传接球回到初始人次数的公式总结！
关于篮球传接球回到初始人次数的公式总结！！！
先看看这道典型题， 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式多少种?
一种方法是进行分类讨论，得出答案是60。还有人用这么个式子求解 3^5 /4=60.75，理由是一共有 3^5种传球方式，而最后球回到甲乙丙丁的概率是相同的，每个人是1/4,所以上式除以4便是所求，显然这方法是错误的，因为不存在0.75种传球方式。
----------------------------
先考虑 m 个人进行传球，甲第一次传球，传了2次，最后回到甲的次数是多少？
把m 个人分成2类，甲和非甲，回到(m-1)个非甲的次数显然是相同的，因为他们彼此不具有特殊性
传了2次，回到甲的次数 a=（m-1）×1，总的传球方式b=（m-1）^2
回到非甲的次数c= （b-a)/ (m-1)= m-1-1=a-1
即回到甲的次数比回到非甲的次数多1
如果是传了3次的情况，考虑 回到甲 和回到乙 （代表非甲）的次数
— 12 —
1 甲传乙，持球人是乙，再传2次，由上面的讨论可知，回到乙的次数比甲的次数多1
2 甲传给 非乙 球回到甲，乙的次数相同（ 因为此时甲乙都不是持球人，是对称的）
所以传3次的情况是 回到乙的次数比回到甲次数多1，即回到 甲次数比 非甲 的次数 少1
由归纳法，可知 球传了奇数次 回到甲的次数比回到非甲的次数 少1
球传了偶数次 回到甲的次数比回到非甲的次数 多1
因此，对于一般的问题， m 个人传球，甲第一次传，传了n 次，球又回到甲手中，有几种方式？
设有x 种方式，则 x+（m-1）（x+1）=（m-1）^n n 为奇数
x+（m-1）（x-1）=（m-1）^ n n为偶数
解这个一元一次方程显然比分类讨论要快捷的多了。
『原创』幼儿园买来9种不同的书籍，每个小朋友领3本，问至少几个小朋友 幼儿园买来9种不同的书籍，每个小朋友领3本，问至少几个小朋友领过后，一定会出现两个小朋友领的书是相同的？
0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - 9个0代表不同书籍
（1） 3本都不同 c9 3，从9个0里选3个
（2）2本不同，可能第一个0取2本，可能第二个0取2本， 分别对应00-（第一个-） 和00- （第二个-）
（3）1本不同 对应 取到0 --
如此从11个位置选3个，对应了3种分类，答案是c11 3+1=166
-------------------------------------------------------
幼儿园买来9种不同的书籍，每个小朋友领5本，问至少几个小朋友领过后，一定会出现两个小朋友领的书是相同的？
— 13 —
0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - - -
（1）5本不同，从9个0里选5个
（2）4本不同(选了4个0），可能第1或第2或第3或第4 个0取到2本，分别对应0000 - （有4个-可选，对应前面4个0）
（3）3本不同(选了3个0），还有2本分配到3个位置，有6种情况，选了3个0，再从4个-里选2个-，也是c4 2=6，对应了前面6种分类
（4）2本不同(选了2个0），还有3本分配到2个位置，有4种情况，选了2个0，再从4个-里选3个-，c4 3=4 对应了前面4种分类
（5）1本不同(选了1个0），选了一个0，还要从4个-里选4个-，c4 4=1，与前面一一对应
所以从13个空里选 5个的算法 包括了上述的5种分类，且不遗漏，不重复，答案是c13 5+1=1288
===================================
第一个问题的分类验证：
（1）3本不同 c9 3=84
（2）2本不同 c9 2× c2 1=72
（3）1本不同(3本相同） c9 1=9
84+72+9=165
165+1=166
-----------------------------------------
第二个问题的分类验证：
（1）5本不同： c9 5=126
（2）4本不同： c9 4× c4 1=504
（3）3本不同：c9 3×c4 2（插板法）=504
— 14 —
（4）2本不同：c9 2×c4 1（插板法）=144
（5）1本不同（5本相同）： c9 1=9
126+504+504+144+9=1287
1287+1=1288
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
n 种元素 (每种元素足够多） 选m 个的公式：
c(n+m-1,m)
（附上简证）
c （n+m-1，m ）= ∑ c （n ，i ）*c（m-1，m-i ） ， i 取[1,m] { 表示从n 个中取i 个出来，再从剩下的m-1个中取 m-i 个出来}
其中c （n ，i ）对应 从 n 个元素里选 i 个选素，此时还有 m-i 个名额（相同）分配到 这i 个元素（不同）中 由插板法有 c （m-i +i -1，i-1）=c（m-1，i-1）=c（m-1，m-i ）
这样 i 取尽[1,m],就包含了所有的选法
也即 ∑ c （n ，i ）*c（m-1，m-i ）=c（n+m-1，m ）
9、五个人排成一排，甲不在排头，乙不在正中间，丙不在排尾的，问共有几种排法？
甲不在排头，乙不在正中间，丙不在排尾的情况有x 种
题干的否命题是甲在排头（a ）或 乙在中间（b ）或丙在排尾（c ），对应情况为y
x+y=p55 （所有的情况）
y=a并b 并c
a 并b 并c=a+b+c-a交b-a 交c-b 交c+a交b 交c （三集合容斥原理）
=3p44-3p33+p22=56
— 15 —
x=p55-y=120-56=64
11、有9颗相同的糖，从明天起，每天至少吃一颗糖，吃完为止，请问一共有多少种吃法？
A 256 B 512 C 1024 D2048
类似插空法，可用插空法求解。但是此题没有规定吃完的天数，因此需要分类，再采用加法原理。
假设N 天吃完，则根据插空法，有C(8,N-1)种吃法。
N 可以取1，2，……，9，所以共有C （8，0）+C（8，1）+……+C（8，8）=2^8
12、今年，祖父的年龄是小明年龄的6倍；若干年后，祖父的年龄是小明年龄的5倍；又过若干年后，祖父的年龄是小明年龄的4倍。祖父今年多少岁？
A ．60 B ．66 C．72 D ．78
年龄问题，只要牢牢把握住年龄差就好了。
根据第一句，得到年龄差是5的倍数
同理，年龄差也是4的倍数，也是3的倍数。
于是年龄差是3，4，5的倍数，至少是60，年龄差不可能是120，所以年龄差是60
再根据第一个条件，容易求得祖父72岁，小明12岁。
13、A,B,C,D,E 是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分别是17，25，28，31，34，39，42，45，则这5个数中能被6整除的有几个？
A.0 B.1 C.2 D.3
不妨设A ＜B ＜C ＜D ＜E ，则必有A+B=17，A+C=25，C+E=42，D+E=45。
得知BC 之间差8，DC 之间差3，AE 之间差17，所以AB 距离+DE距离=17-3-8=6，又DE 的奇偶性不同，所以DE — 16 —
之间的距离只能是1，3，5.
若是1，则D=22.E=23,于是C=19,A=6,B=11.于是B+C=30,舍去
若是3，则D=21,E=24,于是C=18,A=7,B=10,符合题意，被6整除的有两个，选C
51 ．学校举办一次中国象棋比赛，有10 名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9 名同学比赛一局．比赛规则，每局棋胜者得2 分，负者得O 分，平局两人各得l 分．比赛结束后，10 名同学的得分各不相同，已知：（ 1 ）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；（ 2 ） 前两名的得分总和比第三名多20 分；（ 3 ）第四名的得分与最后四名的得分和相等．那么，排名第五名的同学的得分是：
A . 8 分
B . 9 分
C . 10 分
D . 11 分
【解析】每场比赛都能产生2分，10人单循环共有C （10，2）=45场比赛，共90分。
根据（1）得到第一名与第二名是平局，于是第一名最多17分，第二名最多16分，总和最多33，第三名最多13，第四名最多12，后四名的和最多12，加起来最多33+13+12+12=70，所以第五名和第六名最少有20分，但是第五名最多11，第六名最多10，于是只能是第五名11. （否则第五名10分，第六名9分，总和不到20分）。选D
55 ．一名外国游客到北家旅游．他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在屋里。期间，不下雨的天数是12天．他上午呆在旅馆的天数为8 天．下午呆在旅馆的天教为12 天．他在北京共呆了：
A ．16 天
B .20 天
— 17 —
C . 22天
D . 24天
【解析】假设他不下雨也不出去玩，那么待在旅馆的天数=1/2*(12+8+12)=16天，也就是说她在北京共待了16天，选A
14、已知几何图体的 正视图，侧视图与俯视图都是腰长为1的 等腰直角三角形。则这个几何体的 体积是多少？
A 、1 B 二分一 C 三分一 D 六分一
【解析】只需构造一个符合条件的集合体就好了，考虑直三棱锥，A-BCD 。CA=CB=CD=1,其余三条棱都是根号2，此时体积=1/3*1/2=1/6
f(x+1)=-1 除以f(x) 若 f(x)=2007, 则 f(2007)=
A2 B-1除以2007 C 1除以2007 D2008
【解析】由f(x)=2007知道函数值只能是2007和-1/2007，所以选B
1．两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。20秒内男孩走27级，女孩走了24级，按此速度男孩2分钟到达另一端，而女孩需要3分钟才能到达。则该扶梯静止时共有多少级可以看见？（ ）
A.54 B.48 C.42 D.36
【解析】电梯问题，采用追击原理，列出下列两个方程：
（27/20+v）*120=S
(24/20+v )*180=S
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于是有S/120-S/180=27/20-24/20=3/20，得到S=54，选A
2．22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？（ ）
A.50 B.46 C.38 D.35
【牛吃草问题】
4. 某书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者优惠5%，每次买书500元以上者(含500元) 优惠10%。某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜13.5元；如果三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元。已知第一次付款是第三次付款的5/8，这位顾客第二次买了多少钱的书？
A.115 B.120 C.125 D.130
【解析】第一次与第二次合并一起买，应该是超出200元（否则没有优惠），不会超出500元（否则金额将=13.5/10%=135，少于500），所以第一次和第二次共买了13.5/5%=13.5*20=270元。同样的，第三次购书优惠39.4-270*10%=12.4元，且第三次购书超过200元，于是第三次购书12.4/5%=248元，第一次购书155元，第二次购书270-155=115元，选A
14、数的拆分和奇约数问题
学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
A.52 B.36 C.28 D.12
这个题是刚才一位朋友出的，让我想起以前儒风海韵的原创帖子了！那个帖子很优秀很赞，但是基本上没人去看，很遗憾
现在我发下关于数字拆分的总结帖和大家一起学习
— 19 —
整数的拆分：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
奇约数：首先要知道什么是奇约数，简单的说就是一个数约数当中的奇数，比如说6的奇约数就只有1，3. 那么如何算一个数字的奇约数的个数，
如果一个数字A 若可以写成A=M^a*N^b*Q^C....的形式
他的奇约数就有（a+1)(b+1)(c+1)....个
其中M,N,Q 必须是奇数。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【解析】这个题比较简单，由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。 所以就是7天。类似于某年国考题。
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例2 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。
【解析】：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍。这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。
对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为
45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。
于是495=45+46+…+54。
同理可得495=51+52+…+59=40+41+…+50。
例3：把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？
【解析】：945=3^3*5*7
奇约数就是（3+1)*(1+1)*(1+1)=16个。
还有一个结论就是一个整数若有N 个奇约数，就有N-1种拆分成连续自然数加和的形式
所以答案就是16-1=15种
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例4：学校准备了2310块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
【解析】：先将2310分解一下。
2310=2*3*5*7*11 这个地方有点小失误，这题考虑的是约数，不是奇约数，所以2是要考虑的
求出约数2*2*2*2*2=32，也就是长和宽有32种情况.
这个地方要注意的是，一个长方形，长和宽互换是等效的, 存在重复的情况，
所以要除2，答案是32/2=16。
例5：将450分拆成若干连续自然数的和，有多少种分拆方法？？
【解析】：解法基本同例1
450=2*3^2*5^2（2不算）
奇约数就有（2+1）*（2+1）=9个
又因为一个整数若有N 个奇约数，就有N-1种拆分成连续自然数加和的形式。
所以9-1=8个
例6 试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
【解析】：要使分拆成的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1。
— 22 —
1999=8×249+7，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×250^7为最大。
例7：将14分拆成若干个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆？
【解析】：我们先考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
首先，分成数中不能有1
其次，分成的数中不能有大于4的数，否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆成的2和5的乘积小。
再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3。
注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中若有三个2，则不如换成两个3，换句话说，分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。
根据上面的讨论，我们应该把14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这五数的积有最大值 3×3×3×3×2=162。
结论：要使的乘积最大，必须使分解出的数尽量相等或者差1.
比较难的题，学习一下就可以了
例8 若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后取出，小明从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过
— 23 —
小球和盒子。问：一共有多少只盒子？
【解析】：设原来小球数最少的盒子里装有a 只小球，现在增加到了b 只，由于小明没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a 个小球的盒子，这只盒子里原来装有（a+1）个小球。
同理，现在另有一个盒子里装有（a+1）个小球，这只盒子里原来装有（a+2）个小球。
依此类推，原来还有一只盒子装有（a+3）个小球，（a+4）个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数。
现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？ 因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又 （7+5）+（8+4）+（9+3）
是6个6，从而 42=3+4+5+6+7+8+9， 一共有7个加数。
又因42=14×3，故可将42写成13+14+15，一共有3个加数。
又因42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。
于是原题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。发出来大家共同进步 15、2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20％，而每台的价格比上一年度下降了20％。如果2001年该公司的计算机销售额为3 000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少? （ ）。
A.2 900万元 B.3 000万元
C.3 100万元 D.3 300万元
最佳答案
（x+0.2x）*（y-0.2y ）=3000
1.2x*0.8y=3000
x*y=3000/（1.2*0.8）
x*y=3125
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1、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背回家几根香蕉？
要想猴子背回家最多香蕉，就要背着香蕉走的路尽量少，因此安排猴子先背50个香蕉到25米处，此时只剩25个香蕉，再回去背50个到25米处，此时在25米处有50个香蕉，一次全部背回家，能够剩余25个香蕉。（在这种情况下，猴子后25米只走了一次，走的路程最少。如果最后走一次的路程大于25米，那么吃掉的香蕉就要多于25个，剩下的香蕉就要少于25个。）
另：此题应该是16根。
在剩余香蕉大于50根之前，猴子每走1米要吃3根香蕉，因为他走1米吃掉1根后，还得往回走1米抱剩下的香蕉，这又得吃1根，然后再回到原位置需要走1米，再吃1根，所以实际上猴子走1米需要消费3个香蕉 当走到17米的时候，猴子一共吃了17*3=51个香蕉，还剩49，这样猴子就可以一次性搬回家了，不用往回去搬香蕉，离家还剩下50-17=33米，需要吃33根香蕉，所以到家时还剩下49-33=16根
例题】有a ，b ，c ，d 四条直线，依次在a 线上写 1，在 b 线上写 2，在 c 线上写 3，在 d 线上写 4， 然后在 a 线上写 5，在 b 线，c 线和 d 线上写数字 6， 7， 8……按这样的周期循环下去，问数 2008 在哪条线上？
A ．a 线 B ．b 线 C．C 线 D ．d 线
【解析】abcd 分别代表每个数除以4的余数，每条线上的余数相同，分别是1,2,3,0，因为2008除以4余0，所以在d 线上，选D
【例题】小王工作一年酬金是1800元和一台全自动洗衣机。他干了7个月，得到560元和一台洗衣机，问这台洗衣机价钱为多少元（ ）
A ．1176 B ．1144 C．1200 D．1154
【解析】小王做12个“7个月”要得到560*12+12台洗衣机，跟干7年共1800*7+7台洗衣机应该是相等的。即5台
— 1 —
洗衣机=1800*7-560*12，1台洗衣机=360*7-112*12，尾数应该是6，选A
【例题】15克盐放入135克水中，放置一段时间后，盐水重量变为100克，这时盐水的浓度是多少？浓度比原来提高了百分之几（ ）
A ．75%，12.5% B ．25%，12.5% C．15%，50% D．50%，62.5%
【解析】盐的重量是不变的，因此浓度=15/100*100%=15%,选C
【例题】小张和小王两人比赛珠算，共有1200题，小张每分钟算出20题，小王每算出80题比小张算同样多的题少用2秒，问：小王做完1200题时，小张还有多少题没做（ ）
A.10 B.15 C.20 D.5
【解析】小张3秒做一道题，小王每算240道题要比小张少用6秒，即小张还差2道题，于是1200/240=5，小张还有5*2=10道题没做，选A
【例题】某校二年级全部共3个班的学生排队．每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人．这个学校二年级有（ ）名学生。
A ．120 B．122 C ．121 D ．123
【解析】本题即4,5,6的任意公倍数+2，此题采用最小公倍数=122
2、旅客在车站候车室等车, 并且排队的乘客按一定速度增加, 检查速度也一定, 当车站放一个检票口, 需用半小时把所有乘客解决完毕, 当开放2个检票口时, 只要10分钟就把所有乘客OK 了 求增加人数的速度还有原来的人数?
牛吃草问题：公式法
（牛的头数－每天长草量）×天数=草原原有草量
— 2 —
（1-x ）*30=y
(2-x)*10=y
即y/10-y/30=1,解得y=15，x=0.5
(其中x 表示增加人数的速度，y 表示原来的人数)
3、某单位有78人，站成一排，从左到右数，小王是第50个，从右往左，小张是第48个，则小王和小张之间有多少人？
A,16 B,17 C,18 D,20
容斥原理问题，加上小王、小张和中间的人，共有50+48-78=20人，所以小王和小张之间共有18个人。
4、人们将1/10表示为1月10日，也有人将1/10表示为10月1日，这样一年中就有不少混淆不清的日期了，当然，8/15和15/8只能表示为8月15日，那么一年中像这样不会搞错的日期最多会有多少天?
不会搞错的有这么几种类型：
类型一：前后两个数字相同：1/1,2/2,3/3,……,12/12，共12天，
类型二：有一个数字大于12，其中1、3、5、7、8、10、12月有31-12=19天，4、6、9、11有30-12=18天，2月在平年中有28-12=16天，闰年有17天。
于是类型二共有7*19+4*18+16=221天，或者闰年222天
综上，共有12+221=233或234天。
5、某地区2009年全年实现工业增加值3107亿元，同比增长8.7%
— 3 —
第四季度实现工业增加值828亿元，同比增长12.5%
问：前三个季度的工业增加值，同比增长率为多少？
A 7.4% B 8.8% C 9.6% D 10.7%
8.7%应该介于12.5%和前三个季度的工业增长率之间（因为8.7%是两个数值加权平均出来的），选A
关于加权平均，举个例子，X=a*p1+b*p2，其中p1+p2=1，p1,p2均为正数,a
6、现要挂号邮寄120本书，每11本重2千克，邮局规定(为计算方便，略有改动) ：印刷品的邮费是每千克0.8元，不足1千克的以1千克计，每件限重5千克，挂号费每件0.6元(含手续费0.3元) ，试问：这批书最省的邮费为多少元?( )
A ．20.6 B．20 C．19.6 D．19.2
为使邮费最省，则每次尽量装满，5千克只能装11+11+5=27本，于是120本书应该分为27+27+27+27+12 每包邮费=5*0.8+0.6=4.6元
12本书的邮费=3*0.8+0.6=3元
于是120本书=4.6*4+3=21.4元，无答案
所以考虑把最后一个装满4千克，这样就还可以装10本，从前面的2包中取出10本，于是
4千克的邮费=4*0.8+0.6=3.8
— 4 —
最省邮费=3.8*3+2*4.6=20.6，选a
7、一次测验中共有10道问答题，每题评分标准时：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分；回答完全错误或不回答，得0分。那么，至少（ ）人参加这次测验，才能保证至少有3人的得分相同？
将这10道题分为0，3，5三类，那么用插空法，有C （12，2）=66种方法。
但是3个5分的与5个3分的得分相同，于是
当有5道题得了3分时，此时剩下的5道题还有C(7,2)=21种方法，要减掉
于是有66-21=45种不同的分数
于是至少要45*2+1=91人参加考试才行。
8、插板法就是在n 个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件：
（1） 这n 个元素必须互不相异
（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
===================================================
a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
— 5 —
3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入
1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是 c12 2=66
-------------------------------------------------
例2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=28
==================================================
b 添板插板法
例3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o 表示10个小球，-表示空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空 c12 2=66
--------------------------------------------------------
例4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a 个1，第二组取到b 个1，但此时第二组始终不能取— 6 —
空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45
-----------------------------------------------------------
例5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
类似的，某数的前三位为abc ，a+b+c
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a 个1，第二组取b 个1，第三组取c 个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165 ============================================
c 选板法
例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限) ，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o 代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是 2^9= 512啦
=============================================
d 分类插板
例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ c10 1=10
— 7 —
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20
所以一共是 2+10+28+20=60 种
=================================
e 二次插板法
例8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？ -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504种
插板法另一模型a+b+c
a+b+c
a+b+c
以上两个不等式的非负整数解各有几种？没事做做
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x=a+1,y=b+1,z=c+1,则 x ，y ，z 为正整数 x+y+z
0- 0- 0- 0- 0 -0 -0 -0 -0 -0- 0- 0 -0- 0代表13个1，-代表空位
13个空 选3个插入3板，13个1被分成4部分，前3部分分别对应x ，y ，z
满足x ，y ，z>=1,且x+y+z
一个xyz 与一个abc 唯一对应，所以共有286个abc
p.s 这里取3个空，而不取2个空，是由于前三个数和可以小于13
— 8 —
------------------------------------------------------
a+b+c+d
x=a+1,y=b+1,z=c+1,t=d+1,x，y ，z ，t 为正整数，x+y+z+t
分析方法同上，需要从14个空选4个
c14 4=1001
-----------------------------
模型应用举例
有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
10、一只船从甲码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米，因此后2小时多行16千米。那么甲，乙两个码头距离时多少千米？
顺水比逆水多行16千米，说明顺水行了4/3小时，于是逆水行了4-4/3=8/3小时
根据V 顺-V 逆=S/t顺-S/t逆，且V 顺-V 逆=12
得到S=32
8道排列组合题解析
1：8个相同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
取球最少的盒子取1，取球第二少的盒子可以取[1,3] 3种
取球最少的盒子取2，取球第二少的盒子可以取[2,3] 2种
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取球最少的盒子取3，此情况不存在，一共5种
按取球多寡来分类讨论可以做到不遗漏，不重复
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2：8个相同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
插板法，c7 2=21
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4：8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
取球最少盒子取1时，有116，125，134三种情况，分别有c8 6=28, c8 1*c7 2=168, c8 1*c73=280 取球最少盒子取2时，有224，233二种情况，分别有c82*c62/2=210，c83×c53/2=280
一共28+168+280+210+280=966
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3：8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
4问中的966种情况，每种情况的三个元素都是互异的，比如 116（因为球是不同的），这三个元素进行全排列p33=6,乘以966=5796即为所求
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5：8个相同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
最少盒子取0，次盒子取[0,4]
最少盒子取1，次盒子取[1,3]
最少盒子取2，次盒子取[2,3]
一共5+3+2=10种
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6：8个相同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法
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预先在三个盒子种各放入一小球，则问题转化为11同球放3不同盒子，每盒至少1个，几种方法？ 用插板法，c10 2=45
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7：8个不同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法
每个球都有3种选择，8个球就有3^8=6561
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8：8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
7问中的一般情况(3个元素都相异），比如116，一共有6种排列（球是不同的），此问中，盒子是相同的，因此这6种排列都只算一种情况。
但如果2个元素相同的时候，有且只有 008，只有3种排列，我们多添加3种进去，令其也重复6次，则（6561+3）就是 所有的情况都重复了6次，（6561+3）/6=1094即为所求。
关于排列组合问题之全错位排列递推公式的推导！
把编号 1-------------n 的小球放到编号1------n 的盒子里，全错位排列（1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推），共有几种情况？
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设n 个球全放错的情况有 s （n ）种
1号盒子可以选[2,n] 共（n-1）种选择，设1号盒选择某号球后对应的错排次数是 a
（n-1）个选择对应的错排次数是相同的 ，则 s （n ）=（n-1）a
不妨设1号盒选择2号球
1： 2号盒选择1号球，剩下 （n-2）个球去错排，有 s （n-2）种情况
2： 2号盒不选择1号球，则后面总有一个盒子选择1号球，我们可以把1号球换成2号球，
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对问题没有影响，此时就相当于对（n-1）个球去错排，有s （n-1）种情况
于是a= s （n-1)+s(n-2)
s(n)=(n-1) [ s （n-1）+s（n-2）]
s(2)=1,s(3)=2
s(4)=3*(1+2)=9
s(5)=4*(2+9)=44
s(6)=5*(9+44)=265 ....................
关于篮球传接球回到初始人次数的公式总结！
关于篮球传接球回到初始人次数的公式总结！！！
先看看这道典型题， 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式多少种?
一种方法是进行分类讨论，得出答案是60。还有人用这么个式子求解 3^5 /4=60.75，理由是一共有 3^5种传球方式，而最后球回到甲乙丙丁的概率是相同的，每个人是1/4,所以上式除以4便是所求，显然这方法是错误的，因为不存在0.75种传球方式。
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先考虑 m 个人进行传球，甲第一次传球，传了2次，最后回到甲的次数是多少？
把m 个人分成2类，甲和非甲，回到(m-1)个非甲的次数显然是相同的，因为他们彼此不具有特殊性
传了2次，回到甲的次数 a=（m-1）×1，总的传球方式b=（m-1）^2
回到非甲的次数c= （b-a)/ (m-1)= m-1-1=a-1
即回到甲的次数比回到非甲的次数多1
如果是传了3次的情况，考虑 回到甲 和回到乙 （代表非甲）的次数
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1 甲传乙，持球人是乙，再传2次，由上面的讨论可知，回到乙的次数比甲的次数多1
2 甲传给 非乙 球回到甲，乙的次数相同（ 因为此时甲乙都不是持球人，是对称的）
所以传3次的情况是 回到乙的次数比回到甲次数多1，即回到 甲次数比 非甲 的次数 少1
由归纳法，可知 球传了奇数次 回到甲的次数比回到非甲的次数 少1
球传了偶数次 回到甲的次数比回到非甲的次数 多1
因此，对于一般的问题， m 个人传球，甲第一次传，传了n 次，球又回到甲手中，有几种方式？
设有x 种方式，则 x+（m-1）（x+1）=（m-1）^n n 为奇数
x+（m-1）（x-1）=（m-1）^ n n为偶数
解这个一元一次方程显然比分类讨论要快捷的多了。
『原创』幼儿园买来9种不同的书籍，每个小朋友领3本，问至少几个小朋友 幼儿园买来9种不同的书籍，每个小朋友领3本，问至少几个小朋友领过后，一定会出现两个小朋友领的书是相同的？
0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - 9个0代表不同书籍
（1） 3本都不同 c9 3，从9个0里选3个
（2）2本不同，可能第一个0取2本，可能第二个0取2本， 分别对应00-（第一个-） 和00- （第二个-）
（3）1本不同 对应 取到0 --
如此从11个位置选3个，对应了3种分类，答案是c11 3+1=166
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幼儿园买来9种不同的书籍，每个小朋友领5本，问至少几个小朋友领过后，一定会出现两个小朋友领的书是相同的？
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - - -
（1）5本不同，从9个0里选5个
（2）4本不同(选了4个0），可能第1或第2或第3或第4 个0取到2本，分别对应0000 - （有4个-可选，对应前面4个0）
（3）3本不同(选了3个0），还有2本分配到3个位置，有6种情况，选了3个0，再从4个-里选2个-，也是c4 2=6，对应了前面6种分类
（4）2本不同(选了2个0），还有3本分配到2个位置，有4种情况，选了2个0，再从4个-里选3个-，c4 3=4 对应了前面4种分类
（5）1本不同(选了1个0），选了一个0，还要从4个-里选4个-，c4 4=1，与前面一一对应
所以从13个空里选 5个的算法 包括了上述的5种分类，且不遗漏，不重复，答案是c13 5+1=1288
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第一个问题的分类验证：
（1）3本不同 c9 3=84
（2）2本不同 c9 2× c2 1=72
（3）1本不同(3本相同） c9 1=9
84+72+9=165
165+1=166
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第二个问题的分类验证：
（1）5本不同： c9 5=126
（2）4本不同： c9 4× c4 1=504
（3）3本不同：c9 3×c4 2（插板法）=504
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（4）2本不同：c9 2×c4 1（插板法）=144
（5）1本不同（5本相同）： c9 1=9
126+504+504+144+9=1287
1287+1=1288
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n 种元素 (每种元素足够多） 选m 个的公式：
c(n+m-1,m)
（附上简证）
c （n+m-1，m ）= ∑ c （n ，i ）*c（m-1，m-i ） ， i 取[1,m] { 表示从n 个中取i 个出来，再从剩下的m-1个中取 m-i 个出来}
其中c （n ，i ）对应 从 n 个元素里选 i 个选素，此时还有 m-i 个名额（相同）分配到 这i 个元素（不同）中 由插板法有 c （m-i +i -1，i-1）=c（m-1，i-1）=c（m-1，m-i ）
这样 i 取尽[1,m],就包含了所有的选法
也即 ∑ c （n ，i ）*c（m-1，m-i ）=c（n+m-1，m ）
9、五个人排成一排，甲不在排头，乙不在正中间，丙不在排尾的，问共有几种排法？
甲不在排头，乙不在正中间，丙不在排尾的情况有x 种
题干的否命题是甲在排头（a ）或 乙在中间（b ）或丙在排尾（c ），对应情况为y
x+y=p55 （所有的情况）
y=a并b 并c
a 并b 并c=a+b+c-a交b-a 交c-b 交c+a交b 交c （三集合容斥原理）
=3p44-3p33+p22=56
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x=p55-y=120-56=64
11、有9颗相同的糖，从明天起，每天至少吃一颗糖，吃完为止，请问一共有多少种吃法？
A 256 B 512 C 1024 D2048
类似插空法，可用插空法求解。但是此题没有规定吃完的天数，因此需要分类，再采用加法原理。
假设N 天吃完，则根据插空法，有C(8,N-1)种吃法。
N 可以取1，2，……，9，所以共有C （8，0）+C（8，1）+……+C（8，8）=2^8
12、今年，祖父的年龄是小明年龄的6倍；若干年后，祖父的年龄是小明年龄的5倍；又过若干年后，祖父的年龄是小明年龄的4倍。祖父今年多少岁？
A ．60 B ．66 C．72 D ．78
年龄问题，只要牢牢把握住年龄差就好了。
根据第一句，得到年龄差是5的倍数
同理，年龄差也是4的倍数，也是3的倍数。
于是年龄差是3，4，5的倍数，至少是60，年龄差不可能是120，所以年龄差是60
再根据第一个条件，容易求得祖父72岁，小明12岁。
13、A,B,C,D,E 是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分别是17，25，28，31，34，39，42，45，则这5个数中能被6整除的有几个？
A.0 B.1 C.2 D.3
不妨设A ＜B ＜C ＜D ＜E ，则必有A+B=17，A+C=25，C+E=42，D+E=45。
得知BC 之间差8，DC 之间差3，AE 之间差17，所以AB 距离+DE距离=17-3-8=6，又DE 的奇偶性不同，所以DE — 16 —
之间的距离只能是1，3，5.
若是1，则D=22.E=23,于是C=19,A=6,B=11.于是B+C=30,舍去
若是3，则D=21,E=24,于是C=18,A=7,B=10,符合题意，被6整除的有两个，选C
51 ．学校举办一次中国象棋比赛，有10 名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9 名同学比赛一局．比赛规则，每局棋胜者得2 分，负者得O 分，平局两人各得l 分．比赛结束后，10 名同学的得分各不相同，已知：（ 1 ）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；（ 2 ） 前两名的得分总和比第三名多20 分；（ 3 ）第四名的得分与最后四名的得分和相等．那么，排名第五名的同学的得分是：
A . 8 分
B . 9 分
C . 10 分
D . 11 分
【解析】每场比赛都能产生2分，10人单循环共有C （10，2）=45场比赛，共90分。
根据（1）得到第一名与第二名是平局，于是第一名最多17分，第二名最多16分，总和最多33，第三名最多13，第四名最多12，后四名的和最多12，加起来最多33+13+12+12=70，所以第五名和第六名最少有20分，但是第五名最多11，第六名最多10，于是只能是第五名11. （否则第五名10分，第六名9分，总和不到20分）。选D
55 ．一名外国游客到北家旅游．他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在屋里。期间，不下雨的天数是12天．他上午呆在旅馆的天数为8 天．下午呆在旅馆的天教为12 天．他在北京共呆了：
A ．16 天
B .20 天
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C . 22天
D . 24天
【解析】假设他不下雨也不出去玩，那么待在旅馆的天数=1/2*(12+8+12)=16天，也就是说她在北京共待了16天，选A
14、已知几何图体的 正视图，侧视图与俯视图都是腰长为1的 等腰直角三角形。则这个几何体的 体积是多少？
A 、1 B 二分一 C 三分一 D 六分一
【解析】只需构造一个符合条件的集合体就好了，考虑直三棱锥，A-BCD 。CA=CB=CD=1,其余三条棱都是根号2，此时体积=1/3*1/2=1/6
f(x+1)=-1 除以f(x) 若 f(x)=2007, 则 f(2007)=
A2 B-1除以2007 C 1除以2007 D2008
【解析】由f(x)=2007知道函数值只能是2007和-1/2007，所以选B
1．两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。20秒内男孩走27级，女孩走了24级，按此速度男孩2分钟到达另一端，而女孩需要3分钟才能到达。则该扶梯静止时共有多少级可以看见？（ ）
A.54 B.48 C.42 D.36
【解析】电梯问题，采用追击原理，列出下列两个方程：
（27/20+v）*120=S
(24/20+v )*180=S
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于是有S/120-S/180=27/20-24/20=3/20，得到S=54，选A
2．22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？（ ）
A.50 B.46 C.38 D.35
【牛吃草问题】
4. 某书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者优惠5%，每次买书500元以上者(含500元) 优惠10%。某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜13.5元；如果三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元。已知第一次付款是第三次付款的5/8，这位顾客第二次买了多少钱的书？
A.115 B.120 C.125 D.130
【解析】第一次与第二次合并一起买，应该是超出200元（否则没有优惠），不会超出500元（否则金额将=13.5/10%=135，少于500），所以第一次和第二次共买了13.5/5%=13.5*20=270元。同样的，第三次购书优惠39.4-270*10%=12.4元，且第三次购书超过200元，于是第三次购书12.4/5%=248元，第一次购书155元，第二次购书270-155=115元，选A
14、数的拆分和奇约数问题
学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
A.52 B.36 C.28 D.12
这个题是刚才一位朋友出的，让我想起以前儒风海韵的原创帖子了！那个帖子很优秀很赞，但是基本上没人去看，很遗憾
现在我发下关于数字拆分的总结帖和大家一起学习
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整数的拆分：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
奇约数：首先要知道什么是奇约数，简单的说就是一个数约数当中的奇数，比如说6的奇约数就只有1，3. 那么如何算一个数字的奇约数的个数，
如果一个数字A 若可以写成A=M^a*N^b*Q^C....的形式
他的奇约数就有（a+1)(b+1)(c+1)....个
其中M,N,Q 必须是奇数。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【解析】这个题比较简单，由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。 所以就是7天。类似于某年国考题。
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例2 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。
【解析】：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍。这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。
对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为
45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。
于是495=45+46+…+54。
同理可得495=51+52+…+59=40+41+…+50。
例3：把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？
【解析】：945=3^3*5*7
奇约数就是（3+1)*(1+1)*(1+1)=16个。
还有一个结论就是一个整数若有N 个奇约数，就有N-1种拆分成连续自然数加和的形式
所以答案就是16-1=15种
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例4：学校准备了2310块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
【解析】：先将2310分解一下。
2310=2*3*5*7*11 这个地方有点小失误，这题考虑的是约数，不是奇约数，所以2是要考虑的
求出约数2*2*2*2*2=32，也就是长和宽有32种情况.
这个地方要注意的是，一个长方形，长和宽互换是等效的, 存在重复的情况，
所以要除2，答案是32/2=16。
例5：将450分拆成若干连续自然数的和，有多少种分拆方法？？
【解析】：解法基本同例1
450=2*3^2*5^2（2不算）
奇约数就有（2+1）*（2+1）=9个
又因为一个整数若有N 个奇约数，就有N-1种拆分成连续自然数加和的形式。
所以9-1=8个
例6 试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
【解析】：要使分拆成的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1。
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1999=8×249+7，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×250^7为最大。
例7：将14分拆成若干个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆？
【解析】：我们先考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
首先，分成数中不能有1
其次，分成的数中不能有大于4的数，否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆成的2和5的乘积小。
再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3。
注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中若有三个2，则不如换成两个3，换句话说，分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。
根据上面的讨论，我们应该把14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这五数的积有最大值 3×3×3×3×2=162。
结论：要使的乘积最大，必须使分解出的数尽量相等或者差1.
比较难的题，学习一下就可以了
例8 若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后取出，小明从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过
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小球和盒子。问：一共有多少只盒子？
【解析】：设原来小球数最少的盒子里装有a 只小球，现在增加到了b 只，由于小明没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a 个小球的盒子，这只盒子里原来装有（a+1）个小球。
同理，现在另有一个盒子里装有（a+1）个小球，这只盒子里原来装有（a+2）个小球。
依此类推，原来还有一只盒子装有（a+3）个小球，（a+4）个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数。
现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？ 因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又 （7+5）+（8+4）+（9+3）
是6个6，从而 42=3+4+5+6+7+8+9， 一共有7个加数。
又因42=14×3，故可将42写成13+14+15，一共有3个加数。
又因42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。
于是原题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。发出来大家共同进步 15、2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20％，而每台的价格比上一年度下降了20％。如果2001年该公司的计算机销售额为3 000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少? （ ）。
A.2 900万元 B.3 000万元
C.3 100万元 D.3 300万元
最佳答案
（x+0.2x）*（y-0.2y ）=3000
1.2x*0.8y=3000
x*y=3000/（1.2*0.8）
x*y=3125
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