电荷守恒定律 库仑定律典型例题
【例1】 两个点电荷带有相等的电量，要求它们之间相距1m 时的相互作用力等于1N ，则每个电荷的电量是多少？等于电子电量的多少倍？
[分析] 根据库仑定律，由F 、r 即可计算出电量．
[解] 设每个电荷的电量为Q ，间距r=1m，相互作用力F=1N．由库仑定律
得
这个电量与电子电量相比为
即是电子电量的6.25×1013倍．
[说明] 在宏观世界中，Q=1×10－5C ，是一个不大的电量，但相比于微观世界中电子等粒子的带电量，这简直是一个巨大的“电的仓库”了．可见，电子电量（或基元电荷）是一个极小的电量．
【例2】 两个半径相同的金属小球，带电量之比为1∶7，相距为r ，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的 [ ]
[分析] 设两小球的电量分别为q 与7q ，则原来相距r 时的相互作用力
由于两球的电性未知，接触后相互作用力的计算可分两种情况：
（1）两球电性相同．相互接触时两球电量平均分布、每球带电量
（2）两球电性不同．相互接触时电荷先中和再平分，每球带电量
[答] C 、D ．
[说明] （1）相同的球接触后电量平分，是库仑当年从直觉得出的结果，也是库仑实验中的一个重要的思想方法——依靠彼此接触达到改变电量的目的．（2）本题的计算渗透着电荷守恒的思想，即电荷不会创生也不会消失，只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分传递到另一部分，电荷的总量保持不变．
【例3】 一半径为R 的绝缘球壳上均匀地带有电量为+Q 的电荷，另一电量为+q的点电荷放在球心O 上，由于对称性，点电荷所受力的为零，现在球壳上挖去半径为r （r ＜＜R ）的一个小圆孔，则此时置于球心的点电荷所受力的大小为____（已知静电力恒量为k ），方向____．
[分析] 由于球壳上均匀带电，原来每条直径两端相等的一小块面上的电荷对球心+q的力互相平衡．现在球壳上A 处挖去半径为r 的小圆孔后，其他直径两端电荷对球心+q的力仍互相平衡，剩下的就是与A 相对的B 处、半径也等于r 的一小块圆面上电荷对它的力F ，如图所示．
B 处这一小块圆面上的电量为
由于半径r ＜＜R ，可以把它看成点电荷．根据库仑定律，它对中心+q的作用力大小为
其方向由球心指向小孔中心．
[说明] 题中有两处合理近似：1．挖去小圆孔后，认为不改变电荷在球壳上的分布；2．把B 处圆面上的电荷看成点电荷．
由于本题中运用了对称思维，巧妙地把不均匀分布的电荷转化为点电荷处理，值得体会．
【例4】 如图1所示，三个点电荷q 1、q 2、q 3固定在一直线上，q 2与q 3的距离为q 1与q 2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电量之比q 1∶q 2∶q 3为
[ ]
A ．－9∶4∶－36 B．9∶4∶36
C ．－3∶2∶－6 D．3∶2∶
6
[分析] 每个电荷所受静电力的合力为零，其电性不可能相同，只能是如图2所示两种情况．
考虑q 2的平衡：由
r 12∶r 23=1∶2，
据库仑定律得q 3=4q1．
考虑q 1的平衡：由
r 12∶r 13=1∶3，
考虑电性后应为－9∶4∶－36或9∶－4∶36．只有A 正确．
[答]A．
【例5】 如图1所示，在光滑水平面上固定一个小球A ，用一根原长为l 0、由绝缘材料制的轻弹簧把A 球与另一个小球B 连接起来，然后让两球带上等量同种电荷q ，这时弹簧的伸长量为x 1，如果设法使A 、B 两球的电量各减少一半，这时弹簧的伸长量为x 2，则
[ ]
[分析] 以B 球为研究对象，它在水平方向仅受到弹力和静电斥力两个力作用，平衡时必等值反向．
设弹簧的劲度系数为k 0，当弹簧伸长量为x 1时，弹力T 1= k 0x 1．此
力平衡条件得（图2）．
当弹簧伸长为x 2时，同理得
两式相比，得
[答] C．
[说明] 两球间的静电斥力不仅与两球所带电量有关，还与两球间
长量改变而引起
的。
【例6】如图1所示用两根等长的绝缘细线各悬挂质量分别为m A 和m B 的小球，悬点为O ，两小球带同种电荷，当小球由于静电力作用张开一角度时，A 球悬线与竖直线夹角为α，B 球悬线与竖直线夹角为β，如果α=30°，β=60°，求两小球m A 和m B 之比。
[分析]A 、B 分别受三个力，如图2所示。各处于平衡状态，若选O 点为转轴，则与解题无关的未知力T A 、T B 可以巧妙地避开（其力矩为O ）用有固定转轴的物体平衡条件可解。
[解]
解法1：用隔离法，分别取A 、B 为研究对象，选O 为转轴，则
对A ：m A gL A =F电L 电
对B ：m B gL B =F电L 电
解法2：用整体法 若将两根悬线和小球A 、B 作为一个整体，则球和绳之间的相互作用力、静电力均为内力，对解题带来方便。
[解答]取两根悬线和小球A 、B 组成的系统作为研究对象，，系统受到重力m A g 和m B g 受到悬点O 的拉力T A ’和T B ’。以悬点O 为固定转动轴，系统为G A 和G B 的力矩作用下处于平衡状态，有M A =MB 得
m A gL A =mB gL B
[说明]1. 本例属于包括静电力在内物体（或物体系）的平衡问题，解决这类问题可用共点力的平衡，和有固定转轴的物体平衡条件解决，当题目涉及许多与解题无直接关系的未知力时，巧妙选取转轴使这些未知力的力矩为零，然后运用有固定转轴的物体平衡条件，可很方便地解决。
2. 解决物体系的相互作用问题时，一般可同时使用隔离法和整体法。一般说来使用后者可简化过程，简捷巧妙地解决问题。
3. 整体法的适用情况：①当只涉及研究系统而不涉及系统内某些物体的力和运动时，可整体分析对象。②当只涉及研究运动的全过程而不涉及某段运动时，可整体分析过程。③当运用适用于系统的物理规律（如动量守恒定律、机械能守恒定律）解题时，可整体分析对象和整体分析运动全过程的初末态。④当可采用多种方法解题时，可整
体优化解题方法。⑤整体法不仅适用于系统内各物体保持相对静止或匀速直线运动，而且也适用于各物体间有相对加速度的情况。 运用整体法解题的基本步骤：
①明确研究的系统和运动的全过程。
②画出系统地受力图和运动全过程的示意图。
电荷守恒定律 库仑定律典型例题
【例1】 两个点电荷带有相等的电量，要求它们之间相距1m 时的相互作用力等于1N ，则每个电荷的电量是多少？等于电子电量的多少倍？
[分析] 根据库仑定律，由F 、r 即可计算出电量．
[解] 设每个电荷的电量为Q ，间距r=1m，相互作用力F=1N．由库仑定律
得
这个电量与电子电量相比为
即是电子电量的6.25×1013倍．
[说明] 在宏观世界中，Q=1×10－5C ，是一个不大的电量，但相比于微观世界中电子等粒子的带电量，这简直是一个巨大的“电的仓库”了．可见，电子电量（或基元电荷）是一个极小的电量．
【例2】 两个半径相同的金属小球，带电量之比为1∶7，相距为r ，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的 [ ]
[分析] 设两小球的电量分别为q 与7q ，则原来相距r 时的相互作用力
由于两球的电性未知，接触后相互作用力的计算可分两种情况：
（1）两球电性相同．相互接触时两球电量平均分布、每球带电量
（2）两球电性不同．相互接触时电荷先中和再平分，每球带电量
[答] C 、D ．
[说明] （1）相同的球接触后电量平分，是库仑当年从直觉得出的结果，也是库仑实验中的一个重要的思想方法——依靠彼此接触达到改变电量的目的．（2）本题的计算渗透着电荷守恒的思想，即电荷不会创生也不会消失，只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分传递到另一部分，电荷的总量保持不变．
【例3】 一半径为R 的绝缘球壳上均匀地带有电量为+Q 的电荷，另一电量为+q的点电荷放在球心O 上，由于对称性，点电荷所受力的为零，现在球壳上挖去半径为r （r ＜＜R ）的一个小圆孔，则此时置于球心的点电荷所受力的大小为____（已知静电力恒量为k ），方向____．
[分析] 由于球壳上均匀带电，原来每条直径两端相等的一小块面上的电荷对球心+q的力互相平衡．现在球壳上A 处挖去半径为r 的小圆孔后，其他直径两端电荷对球心+q的力仍互相平衡，剩下的就是与A 相对的B 处、半径也等于r 的一小块圆面上电荷对它的力F ，如图所示．
B 处这一小块圆面上的电量为
由于半径r ＜＜R ，可以把它看成点电荷．根据库仑定律，它对中心+q的作用力大小为
其方向由球心指向小孔中心．
[说明] 题中有两处合理近似：1．挖去小圆孔后，认为不改变电荷在球壳上的分布；2．把B 处圆面上的电荷看成点电荷．
由于本题中运用了对称思维，巧妙地把不均匀分布的电荷转化为点电荷处理，值得体会．
【例4】 如图1所示，三个点电荷q 1、q 2、q 3固定在一直线上，q 2与q 3的距离为q 1与q 2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电量之比q 1∶q 2∶q 3为
[ ]
A ．－9∶4∶－36 B．9∶4∶36
C ．－3∶2∶－6 D．3∶2∶
6
[分析] 每个电荷所受静电力的合力为零，其电性不可能相同，只能是如图2所示两种情况．
考虑q 2的平衡：由
r 12∶r 23=1∶2，
据库仑定律得q 3=4q1．
考虑q 1的平衡：由
r 12∶r 13=1∶3，
考虑电性后应为－9∶4∶－36或9∶－4∶36．只有A 正确．
[答]A．
【例5】 如图1所示，在光滑水平面上固定一个小球A ，用一根原长为l 0、由绝缘材料制的轻弹簧把A 球与另一个小球B 连接起来，然后让两球带上等量同种电荷q ，这时弹簧的伸长量为x 1，如果设法使A 、B 两球的电量各减少一半，这时弹簧的伸长量为x 2，则
[ ]
[分析] 以B 球为研究对象，它在水平方向仅受到弹力和静电斥力两个力作用，平衡时必等值反向．
设弹簧的劲度系数为k 0，当弹簧伸长量为x 1时，弹力T 1= k 0x 1．此
力平衡条件得（图2）．
当弹簧伸长为x 2时，同理得
两式相比，得
[答] C．
[说明] 两球间的静电斥力不仅与两球所带电量有关，还与两球间
长量改变而引起
的。
【例6】如图1所示用两根等长的绝缘细线各悬挂质量分别为m A 和m B 的小球，悬点为O ，两小球带同种电荷，当小球由于静电力作用张开一角度时，A 球悬线与竖直线夹角为α，B 球悬线与竖直线夹角为β，如果α=30°，β=60°，求两小球m A 和m B 之比。
[分析]A 、B 分别受三个力，如图2所示。各处于平衡状态，若选O 点为转轴，则与解题无关的未知力T A 、T B 可以巧妙地避开（其力矩为O ）用有固定转轴的物体平衡条件可解。
[解]
解法1：用隔离法，分别取A 、B 为研究对象，选O 为转轴，则
对A ：m A gL A =F电L 电
对B ：m B gL B =F电L 电
解法2：用整体法 若将两根悬线和小球A 、B 作为一个整体，则球和绳之间的相互作用力、静电力均为内力，对解题带来方便。
[解答]取两根悬线和小球A 、B 组成的系统作为研究对象，，系统受到重力m A g 和m B g 受到悬点O 的拉力T A ’和T B ’。以悬点O 为固定转动轴，系统为G A 和G B 的力矩作用下处于平衡状态，有M A =MB 得
m A gL A =mB gL B
[说明]1. 本例属于包括静电力在内物体（或物体系）的平衡问题，解决这类问题可用共点力的平衡，和有固定转轴的物体平衡条件解决，当题目涉及许多与解题无直接关系的未知力时，巧妙选取转轴使这些未知力的力矩为零，然后运用有固定转轴的物体平衡条件，可很方便地解决。
2. 解决物体系的相互作用问题时，一般可同时使用隔离法和整体法。一般说来使用后者可简化过程，简捷巧妙地解决问题。
3. 整体法的适用情况：①当只涉及研究系统而不涉及系统内某些物体的力和运动时，可整体分析对象。②当只涉及研究运动的全过程而不涉及某段运动时，可整体分析过程。③当运用适用于系统的物理规律（如动量守恒定律、机械能守恒定律）解题时，可整体分析对象和整体分析运动全过程的初末态。④当可采用多种方法解题时，可整
体优化解题方法。⑤整体法不仅适用于系统内各物体保持相对静止或匀速直线运动，而且也适用于各物体间有相对加速度的情况。 运用整体法解题的基本步骤：
①明确研究的系统和运动的全过程。
②画出系统地受力图和运动全过程的示意图。