三角恒等变换
§3.1.1两角和与差的余弦
【学习目标】
1．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过
程，体会向量和三角函数间的联系。
2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。
3．能用余弦的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
【重点难点】
学习重点：理解并熟记两角和与差的余弦公式。
学习难点：两角差的余弦公式的推导，灵活应用几个公式来进行三角恒等变换
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1 设向量a =(cos75 , sin 75 ) ，b
=(cos15 , sin 15 ), 试分别计算⋅=θ及⋅=x 1x 2+y 1y 2，比较两次计算结果，你能发现什么？
问题2 cos (α-β)能否用α的三角函数和β的三角函数来表示？
问题3 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示cos(α+β) ？
二、知识建构与应用：
两角差的余弦公式：C (α-β)
两角和的余弦公式：C (α+β)
问题4：用“-β代替β”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？
三、例题剖析
例1 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）cos(
例2 （1）求值：cos 75， cos 15， sin 15, tan 15； π2-α) =sin α； （2）sin(π2-α) =cos α。
（2）求值：cos(x +27 ) cos(x -18 ) +sin(x +27 ) sin(x -18 )
例3 （1）已知sin α=2π33，α∈(, π) ，cos β=-，β∈(π, π) 3252
求cos(α+β) 的值
（2）已知：α, β为锐角，且cos α=
416，cos(α+β) =- ，求cos β的值 565
例4 设α, β为锐角，且sin α=
四、巩固练习
1．利用两角和（差）的余弦公式证明：
（1）cos(5，sin β=，求α+β的值 5103π3π-α) =-sin α （2）sin(-α) =-cos α 22
2．利用两角和（差）的余弦公式化简：
（1）cos 58cos 37+sin 58sin 37
（2）cos(60+θ) -cos(60-θ)
（3）cos(60+θ) +cos(60-θ)
（4）cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=
3．利用两角和（差）的余弦公式，求cos105
4．化简
（1）cos100cos 40+sin80sin 40
（2）cos80cos55+sin10sin35
（3
）
（4
）
5．已知cos θ=-，θ∈(
6．已知sin α=
+sin15 22 -cos15 2235π2, π) ，求cos(π3-θ) 的值 1πππ，α∈(, π) ，求cos(α+) 和cos(α-) 的值 3244
§3.1.2两角和与差的正弦（一）
【学习目标】
1．能用两角余弦的和、差角公式推导出两角正弦的和、差角公式，并从推导过程中体会到化归思想的作用
2．能用正弦的和、差角公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式的证明
【重点难点】
学习重点：推导、理解并熟记两角和与差的正弦公式，并用公式解决相关的问题。 学习难点：辅助角公式的引入与应用及灵活用学过的公式进行三角函数的计算、化简和
证明。
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1：sin15° = _________.
问题2：sin(α+β) 如何用α的三角函数和β的三角函数表示？怎样表示？
二、知识建构与应用：
问题3：能否根据问题1中求sin15°值的解法将sin(α+β)用α的三角函数和β的三角函数来表示？
问题4：能否用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式？
S (α+β) ：
S (α-β) ：
三、例题
例1 已知sin a =
例2 已知cos(α+β) =
2π33π, α∈(, π), cos β=-, β∈(π, ) ，求sin(α+β) 的值． 325254，cos β=，α、β均为锐角，求sin α的值． 135
思考：怎样求a sin α+b cos α类型？
辅助角公式：a sin α+b cos α
2222 =a +b (sinαcos φ+cosαsin φ)= a +b sin(α+φ),
其中tan φ=b 。 a
; 练习：（1）：n i s α+c o s α=__________
（2）： sin α-cos α=___________.
（3）3cos x -sin x =____________
例3
求函数y =
1sin x +x 的最大值． 22
思考：函数y = 3sinx + cosx是否为周期函数？y 有最大值吗？
四、巩固练习
1．下列等式中恒成立的是（ ）
A ．cos(α-β) =cos αcos β-sin αsin β B ．cos(α+β) =cos αsin β-sin αcos β
C ．sin(α+β) =sin αsin β+cos αcos β D ．sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β
2．sin 13cos 17+cos 13sin 17
3．sin 200cos 140-cos 160sin 40
4．化简
（1）sin 11cos 29+cos 11sin 29
（2）cos 24cos69+sin 24sin 69
（3）sin 22. 5-cos 22. 5
（4）2sin 15cos 15
5．求值：（1）sin 105; （2）cos 165
6．已知cos θ=-，θ∈(
7．已知sin(θ+
8．求函数y =
2 2 35π2, π) ，求sin(θ+π3) 和cos(θ-π3) 的值 π4) =1π，θ∈(, π) ，求sin θ 321cos x -sin x 的最小值和最大值 22
§3.1.2两角和与差的正弦（二）
【学习目标】
进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式，通过逆用公式研究三角函数图象和性质.
【重点难点】
学习重点：两角和与差的正（余）弦公式的应用.
学习难点：灵活应用公式进行化简、求值.
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1：写出下列各式的最大值及最小值：
13（1）y = cosx + sinx ，y max = ________，y min = _________； 22
（2）y = sinx – cosx，y max = ________，y min = _________；
（3）y = sinx + 3cosx ，y max = ________，y min = _________；
（4）y = sin2x - 3cos2x ，y max = ________，y min = _________.
问题2：设α、β都是锐角，试比较大小：
（1）sin(α+β)_____sinα+sinβ； （2）cos(α+β)_____cosα+cosβ
二、知识建构与应用：
3问题2：已知α是第一象限角且cos(α + 30°) = sin α的值. 5
常用关系式：α = (α+β) – β = (α – β) + β =
三、例题 α+βα - β + 22
sin(2A +B ) sin B -2cos(A +B ) =例1 求证： sin A sin A
2cos10︒-sin 20︒例2 求的值. cos 20︒
例4 已知关于x 的方程cos x -x =
四、巩固练习 3-2m 有解，求实数m 的取值范围. m -1
1531．已知α、β都为锐角，sin α = ，cos(α + β) = . 714
（1）试用α与α + β表示角β； （2）求sin β与cos β的值.
2．求证：
（1）
（2）
113．已知sin α + sinβ = ，cos α – cosβ = ，求cos(α + β) 的值. 23
4．已知sin(α+
5．已知sin α-cos β = -,cos α+sinβ = , 求sin (α-β) 的值.
sin(A +B ) =tan A +tan B cos A cos B sin(α+β) +sin(α-β) =tan α cos(α+β) +cos(α-β) π3π4) =,sin(α-) =, 求sin α,cos α和tan α的值. 45452313
§3.1.3两角和与差的正切（1）
【学习目标】 1．掌握T （α＋β），T （α－β) 的推导及特征，能用它们进行有关求值、化简； 2．体高简单的推理能力，培养应用意识，提高数学素质． 【重点难点】
学习重点：两角和与差的正切公式的推导及特征； 学习难点：灵活应用公式进行化简、求值. 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈 复习回顾
sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β（S （α＋β）） sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β（S （α－β）） cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C （α＋β）） cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C （α－β））
二、知识建构与应用：
1．两角和的正切
∵cos(α+β) ≠0, tan(α+β) =
sin(α+β) sin αcos β+cos αsin β
=
cos(α+β) cos αcos β-sin αsin β
当cos αcos β≠0时, 分子分母同时除以cos αcos β得：
tan α+tan β即：（T (α+β) ） tan(α+β)=
2．两角差的正切
以-β代β得：tan(α-β) =
1-tan αtan β
tan α+tan(-β) tan α-tan β
=
1-tan αtan(-β) 1+tan αtan β
tan α-tan β
1+tan αtan β即：（T (α-β) ）
tan(α-β)=
【说明】①T (α±β) 公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
三、例题剖析
例1 不查表求tan15°，tan75°的值.
例2 已知tan α, tan β 是方程x +5x -6=0的两根，求 tan(α+β) 的值.
1 + tan15°
例3 = 3.
1 - tan15°
例4 如图，三个相同的正方形相接，求证： α + β = .
2
π
4
四、巩固练习
1．（1）已知tan α=3，求tan(α-
π
4
) ；
α+β) ． （2）已知tan α=-2, tan β=5, 求tan(
α+β) 的值． 2． 已知tan α, tan β是方程3x +5x -1=0的两个根，求tan(
3. 在三角形ABC 中，tan A =2, tan B =5, 求tanC
4． 已知tan α=3, tan β=2, α, β∈(0,
2
π
2
), 求证α+β=
3π. 4
§3.1.3两角和与差的正切（2）
【学习目标】
1. 正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式解决问题；
2. 能将简单的几何问题化归为三角问题，培养数学转换能力及分析问题的能力. 【重点难点】
选用恰当的方法解决问题. 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈
1．tan(α + β) = __________________________，tan(π – θ) = ____________；
2．你能说出多少组三个实数，使它们的和与积相等？
二、知识建构与应用：
1．公式T (α + β) 变换一个形式后可以是：
2．斜△ABC 中tan(A + B)与tanC 之间的数量关系是：
3．斜△ABC 中tanA 、tanB 、tanC 之间的数量关系有：
三、例题
例1 求值：（1）tan95° - tan35° - 3tan95°tan35°，
（2）tan63° + tan57° - 3tan63°tan57°.
例2 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ：DC ：AD ＝ 2：3：6，求∠BAC 的度数.
例3 如图，两座建筑物AB,CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°，求建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD.
四、巩固练习 1．化简：
C
E
45︒-A
D
B
tan 39︒+tan 81︒+tan 240︒
=___________________．
tan 39︒tan 81︒
2. tan 83+tan 37-3tan 83⋅tan 37
3．求证：tan 3α-tan 2α-tan α=tan 3αtan 2αtan α．
4. 在∆ABC 中，已知tan A , tan B 是方程3x +8x -1=0的两根，求tan C 的值．
2
o o o o
§3.2二倍角的三角函数（一）
【学习目标】
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明； 2．引导发现数学规律，体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养创新意识. 【重点难点】
学习重点：二倍角公式的推导及简单应用.
学习难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数. 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1：写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
问题2：若α=β，则以上公式变为什么形式？
二、知识建构与应用：
倍角公式：
sin2α = 2sinαcos α； （S 2α）
2 2
cos2α = cosα – sinα； （C 2α）
2tan α
tan2α = . （T 2α）
1 - tanα说明：①“二倍角”的意义是相对的，如：
2
2
αα
是的二倍角； 48
②观察公式特征：“倍角”与“二次”的关系； ③利用三角函数关系式sin α+cos α=1，
可将余弦的倍角公式变形为：cos 2α=2cos α-1=1-2sin α，
2
2
α-sin 2α，cos 2α=2cos 2α-1，cos 2α==1-2sin 2α
1+cos 2α1-cos 2α22
“降幂公式”： cos α=，sin α=
“升幂公式”：cos2α=cos
2
22
④注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：
α≠
ππk π
+k π, α(k ∈Z ) ． 242
12π
, α∈(, π) ，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。 132
三、例题 例1 已知sin α=
变式：已知sin α=
例2
；
归纳：1 + sinα = _____1 - sinα = _______；1 + cosα = ______；1 - cosα = ______. 例3 求证：
12πααα
, α∈(, π) ，求sin 2cos 2tan 2. 132
1+sin 2θ-cos 2θ
=tan θ
1+sin 2θ+cos 2θ
四、巩固练习
1．利用倍角公式求下列各式的值．
① sin
ππππ
cos = ； ②cos 2-sin 2 8888
2tan 15
③ 1－2sin 15= ； ④= .
1-tan 215
2
⑤1 - sin80° = __________.
2．已知sin α=0. 8, α∈ 0,
⎛⎝
π⎫
⎪, 求sin 2α,cos 2α的值．
2⎭
3．已知tan α=
4．证明：
①2sin(π+α)cos(π-α) =sin 2α； ②1+2cos 2θ-cos 2θ=2；
1-cos 2α
=2sin α；
sin α1-cos 2A
=tan 2A . ④
1+cos 2A
1
, 求tan 2α的值． 2
③
§3.1.2二倍角的三角函数（二）
【学习目标】
1．继续加强二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解和掌握，并能灵活应用公式。
2．引导发现数学规律，体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养创新意识. 【重点难点】
学习重点：二倍角公式应用。
学习难点：公式的灵活应用和变式训练 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈： 默写倍角公式： 1．二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
2tan α
tan 2α=
1-tan 2α
2．降幂公式： s i n α=
2
1-c o s α2+1c o αs 22-1αc o s 22
, c o αs =, t αa n
221+c o αs 2
2
3. 升幂公式： cos2α=cos
α-sin 2α，cos 2α=2cos 2α-1，cos 2α==1-2sin 2α
二、知识建构与应用： 例1 化简sin (α-
例2 求证：sin 50 (1+3tan 10 ) =1
2
π
6
) +sin 2(α+
π
6
) -sin 2α
例3 化简：
（1）cos 20cos 40cos60cos80；
（2）sin10sin30sin50sin 70．
例4 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取使这个矩形的面积最大？
四、巩固练习
1．化简：
（1）(sin15+cos 15) ；
（2）sin
（3）cos α-sin α
（4）2+cos 20 -sin 210
44 2θ2cos θ2
（5）
（6）- α)cos(- α) = __________. 4411- 1-tan θ1+tan θ
2．证明：
（1）cos 2(A +B ) -sin 2(A -B ) =cos 2A cos 2B
（2）cos
3．已知tan α=2θ(1-tan 2θ) =cos 2θ 11，tan β=, 且α, β都是锐角，求α+2β的值。 73
三角恒等变换
§3.1.1两角和与差的余弦
【学习目标】
1．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过
程，体会向量和三角函数间的联系。
2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。
3．能用余弦的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
【重点难点】
学习重点：理解并熟记两角和与差的余弦公式。
学习难点：两角差的余弦公式的推导，灵活应用几个公式来进行三角恒等变换
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1 设向量a =(cos75 , sin 75 ) ，b
=(cos15 , sin 15 ), 试分别计算⋅=θ及⋅=x 1x 2+y 1y 2，比较两次计算结果，你能发现什么？
问题2 cos (α-β)能否用α的三角函数和β的三角函数来表示？
问题3 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示cos(α+β) ？
二、知识建构与应用：
两角差的余弦公式：C (α-β)
两角和的余弦公式：C (α+β)
问题4：用“-β代替β”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？
三、例题剖析
例1 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）cos(
例2 （1）求值：cos 75， cos 15， sin 15, tan 15； π2-α) =sin α； （2）sin(π2-α) =cos α。
（2）求值：cos(x +27 ) cos(x -18 ) +sin(x +27 ) sin(x -18 )
例3 （1）已知sin α=2π33，α∈(, π) ，cos β=-，β∈(π, π) 3252
求cos(α+β) 的值
（2）已知：α, β为锐角，且cos α=
416，cos(α+β) =- ，求cos β的值 565
例4 设α, β为锐角，且sin α=
四、巩固练习
1．利用两角和（差）的余弦公式证明：
（1）cos(5，sin β=，求α+β的值 5103π3π-α) =-sin α （2）sin(-α) =-cos α 22
2．利用两角和（差）的余弦公式化简：
（1）cos 58cos 37+sin 58sin 37
（2）cos(60+θ) -cos(60-θ)
（3）cos(60+θ) +cos(60-θ)
（4）cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=
3．利用两角和（差）的余弦公式，求cos105
4．化简
（1）cos100cos 40+sin80sin 40
（2）cos80cos55+sin10sin35
（3
）
（4
）
5．已知cos θ=-，θ∈(
6．已知sin α=
+sin15 22 -cos15 2235π2, π) ，求cos(π3-θ) 的值 1πππ，α∈(, π) ，求cos(α+) 和cos(α-) 的值 3244
§3.1.2两角和与差的正弦（一）
【学习目标】
1．能用两角余弦的和、差角公式推导出两角正弦的和、差角公式，并从推导过程中体会到化归思想的作用
2．能用正弦的和、差角公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式的证明
【重点难点】
学习重点：推导、理解并熟记两角和与差的正弦公式，并用公式解决相关的问题。 学习难点：辅助角公式的引入与应用及灵活用学过的公式进行三角函数的计算、化简和
证明。
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1：sin15° = _________.
问题2：sin(α+β) 如何用α的三角函数和β的三角函数表示？怎样表示？
二、知识建构与应用：
问题3：能否根据问题1中求sin15°值的解法将sin(α+β)用α的三角函数和β的三角函数来表示？
问题4：能否用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式？
S (α+β) ：
S (α-β) ：
三、例题
例1 已知sin a =
例2 已知cos(α+β) =
2π33π, α∈(, π), cos β=-, β∈(π, ) ，求sin(α+β) 的值． 325254，cos β=，α、β均为锐角，求sin α的值． 135
思考：怎样求a sin α+b cos α类型？
辅助角公式：a sin α+b cos α
2222 =a +b (sinαcos φ+cosαsin φ)= a +b sin(α+φ),
其中tan φ=b 。 a
; 练习：（1）：n i s α+c o s α=__________
（2）： sin α-cos α=___________.
（3）3cos x -sin x =____________
例3
求函数y =
1sin x +x 的最大值． 22
思考：函数y = 3sinx + cosx是否为周期函数？y 有最大值吗？
四、巩固练习
1．下列等式中恒成立的是（ ）
A ．cos(α-β) =cos αcos β-sin αsin β B ．cos(α+β) =cos αsin β-sin αcos β
C ．sin(α+β) =sin αsin β+cos αcos β D ．sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β
2．sin 13cos 17+cos 13sin 17
3．sin 200cos 140-cos 160sin 40
4．化简
（1）sin 11cos 29+cos 11sin 29
（2）cos 24cos69+sin 24sin 69
（3）sin 22. 5-cos 22. 5
（4）2sin 15cos 15
5．求值：（1）sin 105; （2）cos 165
6．已知cos θ=-，θ∈(
7．已知sin(θ+
8．求函数y =
2 2 35π2, π) ，求sin(θ+π3) 和cos(θ-π3) 的值 π4) =1π，θ∈(, π) ，求sin θ 321cos x -sin x 的最小值和最大值 22
§3.1.2两角和与差的正弦（二）
【学习目标】
进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式，通过逆用公式研究三角函数图象和性质.
【重点难点】
学习重点：两角和与差的正（余）弦公式的应用.
学习难点：灵活应用公式进行化简、求值.
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1：写出下列各式的最大值及最小值：
13（1）y = cosx + sinx ，y max = ________，y min = _________； 22
（2）y = sinx – cosx，y max = ________，y min = _________；
（3）y = sinx + 3cosx ，y max = ________，y min = _________；
（4）y = sin2x - 3cos2x ，y max = ________，y min = _________.
问题2：设α、β都是锐角，试比较大小：
（1）sin(α+β)_____sinα+sinβ； （2）cos(α+β)_____cosα+cosβ
二、知识建构与应用：
3问题2：已知α是第一象限角且cos(α + 30°) = sin α的值. 5
常用关系式：α = (α+β) – β = (α – β) + β =
三、例题 α+βα - β + 22
sin(2A +B ) sin B -2cos(A +B ) =例1 求证： sin A sin A
2cos10︒-sin 20︒例2 求的值. cos 20︒
例4 已知关于x 的方程cos x -x =
四、巩固练习 3-2m 有解，求实数m 的取值范围. m -1
1531．已知α、β都为锐角，sin α = ，cos(α + β) = . 714
（1）试用α与α + β表示角β； （2）求sin β与cos β的值.
2．求证：
（1）
（2）
113．已知sin α + sinβ = ，cos α – cosβ = ，求cos(α + β) 的值. 23
4．已知sin(α+
5．已知sin α-cos β = -,cos α+sinβ = , 求sin (α-β) 的值.
sin(A +B ) =tan A +tan B cos A cos B sin(α+β) +sin(α-β) =tan α cos(α+β) +cos(α-β) π3π4) =,sin(α-) =, 求sin α,cos α和tan α的值. 45452313
§3.1.3两角和与差的正切（1）
【学习目标】 1．掌握T （α＋β），T （α－β) 的推导及特征，能用它们进行有关求值、化简； 2．体高简单的推理能力，培养应用意识，提高数学素质． 【重点难点】
学习重点：两角和与差的正切公式的推导及特征； 学习难点：灵活应用公式进行化简、求值. 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈 复习回顾
sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β（S （α＋β）） sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β（S （α－β）） cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C （α＋β）） cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C （α－β））
二、知识建构与应用：
1．两角和的正切
∵cos(α+β) ≠0, tan(α+β) =
sin(α+β) sin αcos β+cos αsin β
=
cos(α+β) cos αcos β-sin αsin β
当cos αcos β≠0时, 分子分母同时除以cos αcos β得：
tan α+tan β即：（T (α+β) ） tan(α+β)=
2．两角差的正切
以-β代β得：tan(α-β) =
1-tan αtan β
tan α+tan(-β) tan α-tan β
=
1-tan αtan(-β) 1+tan αtan β
tan α-tan β
1+tan αtan β即：（T (α-β) ）
tan(α-β)=
【说明】①T (α±β) 公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
三、例题剖析
例1 不查表求tan15°，tan75°的值.
例2 已知tan α, tan β 是方程x +5x -6=0的两根，求 tan(α+β) 的值.
1 + tan15°
例3 = 3.
1 - tan15°
例4 如图，三个相同的正方形相接，求证： α + β = .
2
π
4
四、巩固练习
1．（1）已知tan α=3，求tan(α-
π
4
) ；
α+β) ． （2）已知tan α=-2, tan β=5, 求tan(
α+β) 的值． 2． 已知tan α, tan β是方程3x +5x -1=0的两个根，求tan(
3. 在三角形ABC 中，tan A =2, tan B =5, 求tanC
4． 已知tan α=3, tan β=2, α, β∈(0,
2
π
2
), 求证α+β=
3π. 4
§3.1.3两角和与差的正切（2）
【学习目标】
1. 正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式解决问题；
2. 能将简单的几何问题化归为三角问题，培养数学转换能力及分析问题的能力. 【重点难点】
选用恰当的方法解决问题. 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈
1．tan(α + β) = __________________________，tan(π – θ) = ____________；
2．你能说出多少组三个实数，使它们的和与积相等？
二、知识建构与应用：
1．公式T (α + β) 变换一个形式后可以是：
2．斜△ABC 中tan(A + B)与tanC 之间的数量关系是：
3．斜△ABC 中tanA 、tanB 、tanC 之间的数量关系有：
三、例题
例1 求值：（1）tan95° - tan35° - 3tan95°tan35°，
（2）tan63° + tan57° - 3tan63°tan57°.
例2 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ：DC ：AD ＝ 2：3：6，求∠BAC 的度数.
例3 如图，两座建筑物AB,CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°，求建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD.
四、巩固练习 1．化简：
C
E
45︒-A
D
B
tan 39︒+tan 81︒+tan 240︒
=___________________．
tan 39︒tan 81︒
2. tan 83+tan 37-3tan 83⋅tan 37
3．求证：tan 3α-tan 2α-tan α=tan 3αtan 2αtan α．
4. 在∆ABC 中，已知tan A , tan B 是方程3x +8x -1=0的两根，求tan C 的值．
2
o o o o
§3.2二倍角的三角函数（一）
【学习目标】
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明； 2．引导发现数学规律，体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养创新意识. 【重点难点】
学习重点：二倍角公式的推导及简单应用.
学习难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数. 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1：写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
问题2：若α=β，则以上公式变为什么形式？
二、知识建构与应用：
倍角公式：
sin2α = 2sinαcos α； （S 2α）
2 2
cos2α = cosα – sinα； （C 2α）
2tan α
tan2α = . （T 2α）
1 - tanα说明：①“二倍角”的意义是相对的，如：
2
2
αα
是的二倍角； 48
②观察公式特征：“倍角”与“二次”的关系； ③利用三角函数关系式sin α+cos α=1，
可将余弦的倍角公式变形为：cos 2α=2cos α-1=1-2sin α，
2
2
α-sin 2α，cos 2α=2cos 2α-1，cos 2α==1-2sin 2α
1+cos 2α1-cos 2α22
“降幂公式”： cos α=，sin α=
“升幂公式”：cos2α=cos
2
22
④注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：
α≠
ππk π
+k π, α(k ∈Z ) ． 242
12π
, α∈(, π) ，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。 132
三、例题 例1 已知sin α=
变式：已知sin α=
例2
；
归纳：1 + sinα = _____1 - sinα = _______；1 + cosα = ______；1 - cosα = ______. 例3 求证：
12πααα
, α∈(, π) ，求sin 2cos 2tan 2. 132
1+sin 2θ-cos 2θ
=tan θ
1+sin 2θ+cos 2θ
四、巩固练习
1．利用倍角公式求下列各式的值．
① sin
ππππ
cos = ； ②cos 2-sin 2 8888
2tan 15
③ 1－2sin 15= ； ④= .
1-tan 215
2
⑤1 - sin80° = __________.
2．已知sin α=0. 8, α∈ 0,
⎛⎝
π⎫
⎪, 求sin 2α,cos 2α的值．
2⎭
3．已知tan α=
4．证明：
①2sin(π+α)cos(π-α) =sin 2α； ②1+2cos 2θ-cos 2θ=2；
1-cos 2α
=2sin α；
sin α1-cos 2A
=tan 2A . ④
1+cos 2A
1
, 求tan 2α的值． 2
③
§3.1.2二倍角的三角函数（二）
【学习目标】
1．继续加强二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解和掌握，并能灵活应用公式。
2．引导发现数学规律，体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养创新意识. 【重点难点】
学习重点：二倍角公式应用。
学习难点：公式的灵活应用和变式训练 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈： 默写倍角公式： 1．二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
2tan α
tan 2α=
1-tan 2α
2．降幂公式： s i n α=
2
1-c o s α2+1c o αs 22-1αc o s 22
, c o αs =, t αa n
221+c o αs 2
2
3. 升幂公式： cos2α=cos
α-sin 2α，cos 2α=2cos 2α-1，cos 2α==1-2sin 2α
二、知识建构与应用： 例1 化简sin (α-
例2 求证：sin 50 (1+3tan 10 ) =1
2
π
6
) +sin 2(α+
π
6
) -sin 2α
例3 化简：
（1）cos 20cos 40cos60cos80；
（2）sin10sin30sin50sin 70．
例4 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取使这个矩形的面积最大？
四、巩固练习
1．化简：
（1）(sin15+cos 15) ；
（2）sin
（3）cos α-sin α
（4）2+cos 20 -sin 210
44 2θ2cos θ2
（5）
（6）- α)cos(- α) = __________. 4411- 1-tan θ1+tan θ
2．证明：
（1）cos 2(A +B ) -sin 2(A -B ) =cos 2A cos 2B
（2）cos
3．已知tan α=2θ(1-tan 2θ) =cos 2θ 11，tan β=, 且α, β都是锐角，求α+2β的值。 73