集 合详 解（2016）
（1）集合的概念
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 ）关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}（
（2）常用数集及其记法
N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表
示有理数集，R 表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a 与集合M 的关系是a ∈M ，或者a ∉M ，两者必居其一. （4）集合的表示法
①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
②描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ③图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （1．有限集 含有有限个元素的集合 2．无限集 含有无限个元素的集合 3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝）
【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合
A 有n (n ≥1) 个元素，则它有2n 个子集，它有2n -1个真子集，它有2n -1个非空子集，它有
2n -2非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集
例1、判断下列关系是否正确 （1）
{a }⊆{a }；（2）{1,2,3}={3,2,1}；（3）∅⊄{0}；（4）0∈{0}；（5）∅∈{0}；（6）
∅={0}；（7）∅⊄{0,1,2}；（8）{1}⊄{x x ≤5}
例2、已知集合M 满足
{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，则这样的集合M 有多少个？
例3、设
A =x x 2-2x -3=0, B ={x ax -1=0}，若B ⊆A ，求实数a 。
={2, a , b }, N ={2a , 2, b 2}，且M =N ，求a , b 的值。
={2,0,3-a 2}，子集P ={2, a 2-a -2}，且C U P ={-1}，求a 。
{}
例4、已知M
例5、已知全集U A 级训练 1、列举集合
{1,2,3}的所有子集：
2、集合
{0}与空集∅的关系为：
3、若
{a ,0,1}=⎧⎨c ,
1⎫
, -1⎬，则a = ，b = ，c = 。
⎩b ⎭
4、下列集合中，只有一个子集的集合是（ ） A 、
C 、
{C ={x x
A =x x 2≤0
2
}
B 、B
D 、
{D ={x x
=x x 3≤0
3
}
5、已知全集U
={1,2,0}，且C U Q ={2}，则集合Q 的真子集共有个。
⊇N ，则有（ ）
6、已知全集U ; M , N 是U 的非空子集，若C U M A 、M
⊆C U N B 、M ⊄C U N C 、C U M =C U N D 、M =N
已知集合B 级训练 1
、
A ={x x 2}, B ={x 4x +p
A =x y =x 2-2x +1, B =y y =x 2-2x +1, C =x x 2-2x +1=0
{}{
D =x x 2-2x +1
则下列结论正确的是（ ）
{}{
}{
-2x +1}, F ={(x , y ) x
}}
，
2
-2x +1=0, y ∈R
，
A ⊆B ⊆C ⊆D B 、D ⊆C ⊆B ⊆A
C 、E =F D 、A =B =E
2、设U 是全集，N ⊄U 且M ⊆N ，则下列各式成立的是（ ）
A 、 A 、C U M C 、C U M 3、设U
⊇C U N B 、C U M ⊆N ⊆C U N D 、C U N ⊆M
=R , A ={x a ≤x ≤b }, C U A ={x x >4, 或x
4、若集合
A =x x 2+ax +1=0, B ={1,2}，且A ⊄B ，则实数a 的取值范围是
2
5、（1）设
{A ={x x
}
-8x +15=0, B ={x ax -1=0}，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合。
}
（2）设
A ={x -2≤x ≤5}B ={x m +1≤x ≤2m -1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围。
6、已知
A ={x k +1≤x ≤2k }, B ={x ≤x ≤3}, A ⊆B ，求实数k 的取值范围。
集 合详 解（2016）
（1）集合的概念
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 ）关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}（
（2）常用数集及其记法
N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表
示有理数集，R 表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a 与集合M 的关系是a ∈M ，或者a ∉M ，两者必居其一. （4）集合的表示法
①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
②描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ③图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （1．有限集 含有有限个元素的集合 2．无限集 含有无限个元素的集合 3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝）
【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合
A 有n (n ≥1) 个元素，则它有2n 个子集，它有2n -1个真子集，它有2n -1个非空子集，它有
2n -2非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集
例1、判断下列关系是否正确 （1）
{a }⊆{a }；（2）{1,2,3}={3,2,1}；（3）∅⊄{0}；（4）0∈{0}；（5）∅∈{0}；（6）
∅={0}；（7）∅⊄{0,1,2}；（8）{1}⊄{x x ≤5}
例2、已知集合M 满足
{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，则这样的集合M 有多少个？
例3、设
A =x x 2-2x -3=0, B ={x ax -1=0}，若B ⊆A ，求实数a 。
={2, a , b }, N ={2a , 2, b 2}，且M =N ，求a , b 的值。
={2,0,3-a 2}，子集P ={2, a 2-a -2}，且C U P ={-1}，求a 。
{}
例4、已知M
例5、已知全集U A 级训练 1、列举集合
{1,2,3}的所有子集：
2、集合
{0}与空集∅的关系为：
3、若
{a ,0,1}=⎧⎨c ,
1⎫
, -1⎬，则a = ，b = ，c = 。
⎩b ⎭
4、下列集合中，只有一个子集的集合是（ ） A 、
C 、
{C ={x x
A =x x 2≤0
2
}
B 、B
D 、
{D ={x x
=x x 3≤0
3
}
5、已知全集U
={1,2,0}，且C U Q ={2}，则集合Q 的真子集共有个。
⊇N ，则有（ ）
6、已知全集U ; M , N 是U 的非空子集，若C U M A 、M
⊆C U N B 、M ⊄C U N C 、C U M =C U N D 、M =N
已知集合B 级训练 1
、
A ={x x 2}, B ={x 4x +p
A =x y =x 2-2x +1, B =y y =x 2-2x +1, C =x x 2-2x +1=0
{}{
D =x x 2-2x +1
则下列结论正确的是（ ）
{}{
}{
-2x +1}, F ={(x , y ) x
}}
，
2
-2x +1=0, y ∈R
，
A ⊆B ⊆C ⊆D B 、D ⊆C ⊆B ⊆A
C 、E =F D 、A =B =E
2、设U 是全集，N ⊄U 且M ⊆N ，则下列各式成立的是（ ）
A 、 A 、C U M C 、C U M 3、设U
⊇C U N B 、C U M ⊆N ⊆C U N D 、C U N ⊆M
=R , A ={x a ≤x ≤b }, C U A ={x x >4, 或x
4、若集合
A =x x 2+ax +1=0, B ={1,2}，且A ⊄B ，则实数a 的取值范围是
2
5、（1）设
{A ={x x
}
-8x +15=0, B ={x ax -1=0}，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合。
}
（2）设
A ={x -2≤x ≤5}B ={x m +1≤x ≤2m -1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围。
6、已知
A ={x k +1≤x ≤2k }, B ={x ≤x ≤3}, A ⊆B ，求实数k 的取值范围。