复习引入：
新授： 1. 向量的概念
把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a,b,c,...等，在书写时，则在小写西文字
符的上方加一个小箭头，例如a,b,c,...等．
如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．
向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a|,|b|,|c|,...或|a|,|b|,|c|,...．
特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．
为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB,CD,11等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB|,|CD|,|11|．
D 图7-2(2)
B1
C1
b图7-2(1)
由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．
例1 设矩形ABCD的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？
课内练习1
1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？
2. 向量的比较 (1)向量相等
任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(ab)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(ab)．在例1中的相等向量有且仅有 AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，
更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．
若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．
例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．
(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；
(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是？为什么？ (2)相反向量
对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：
AB=-, BC=-CB, DC=-CD, =-, AC=-,CA, =-．
例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、
(3)平行向量
若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．
规定零向量平行于任意向量.
根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量． 例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．
课内练习2
1. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？
2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？
F1
3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在 物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物 体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理 的解释．
第3题图
新授：
(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．
向量a加向量b的结果a+b是按照下列法则生成的一个向量c：把b的始点移到a的终点后、从a的始点连到b的终点．记作 c=a+b．
与数量相加一样，把a叫做被加向量，b叫做加向量，c叫做和向量．
在a,b不平行的情况下，c是重合a,b的始 点、以a,b为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与a,b同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a的终点作为b的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a,b 的和向量c．
解 (1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c． (见图9-10(2))
(2)移b的始点到a的终点，从a的
始点连向b的终点的向量即为和向量c(见图9-10(3))． 例5 (1)若b=-a，求c=a+b； (2)若a,b平行，求c=a+b． 例6 已知向量a,b, c, d如图9- 12，求f=a+b+c+d．
解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从
abb
a图9-12
c
f
d
图9-10(2)
b
图
9-9(1)
图
9-9(2)
图9-10(1)
图9-10(3)
c d
被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f如图9-12所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a+b, a+b+c． 课内练习3
1. 请举一个向量相加的实际问题．
2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？
3. a+(-a)=0，因此|a|+|-a|=0，这个结论正确吗？一般地，c=a+b，因此|c|=|a|+|b|，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？ A
4. 矩形ABCD如图，试求
AB+BC,BC+AB,BA+BC,BA+CB 得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD如第4题，求
(AB+BC)+CD,AB+(BC+CD),AB+BC+DC,BA+BC+DA． 得到的和向量之间有哪些关系？
数量加法运算满足交换律(a+b=b+a)、结合律(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律
a+b=b+a， a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)， (2)向量的减法运算
如同数量a,b相减a-b，是被加数a与加数b的相反数-b相加一样，所谓向量a,b相减a-b，实际上是向量a与向量b的相反向量-b相加，即a+(-b)a-b法运算的法则．图9-
13(1)中是已知向量a,b；图9-13(2) a
a b
显示了a+(-b)；图9-13(2)
显示了 图9-13(2)
a-b的直接运算法则，法则的文字 图9-13(1) 图9-13(3) 表述是：a-b的结果是一个向量c，
把a,b的始点移到同一点，从b的终点连向a的终点的向量就是c(三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．
D
第4题图
C B
记作 c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．
例7 在ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 例8 在ABC中，若边向量为AB,AC,BC，求 (1)a=AB+BC+AC；(2)求b=AB-BC-AC． 课内练习4
1. 在ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 2. 在矩形ABCD中的边向量为AB,BC,CD，求
(1)a=AB-BC；(2)b=BC-AB；(3)c=CD-BC；(4)d=AB-BC- CD．
因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如 a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)． (3)向量的数乘运算
在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=+,b=+这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2, b=2呢？这完全取决与如何规定2,2的含义，若规定它们的含义确实与
+,+相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：
一个实数乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模||倍，即 |b|=|||a|；
b的方向当>0时与a的方向相同，当
把向量的这种运算叫做向量的数乘运算． 根据向量数乘运算的这种规定，立即可知 -a=-1a，a+a=2a，-a-a=-2a．
把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：
(+)a=a+a， (a+b)=a+b， 其中,是任意实数，a,b是任意向量．
根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数，使b=a（a≠0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数，使b=a（a≠0）． 例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c． 解 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a) =2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b．
例9 ABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为A1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)． 课内练习5
1. 已知向量a，作出向量-2a, 3a．
2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模． 3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b．
4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？
复习引入：
新授：
1．平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量
设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy}．方向为x轴正向的单位向量i、方向为y轴正向的单位向量j叫做该坐标系的坐标基底向量(见图9-16)．
(2)平面向量的直角坐标
在坐标平面上给定了向量 a，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A的坐标为(x,y)．把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a=OA=(x,y)．
若向量a的坐标为(x,y)，则其模可以用坐标表示为 |a|=x2y2 (7-2-1) 坐标基底向量也有其坐标，分别是i=(1,0), j=(0,1)．
以原点O为始点、点A在x,y轴上的投影为终点，是两个分别平行于i, j的向量，根据向量加法定义，有
a=xi+yj， (7-2-2) 即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合． 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a，直接在a上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出
=i-2j =(1,-2)．
y
j
x
O
i 图7-16
图7-17
课内练习1
1. 写出图9-18中向量OP,,CD的坐标，并求它们的模．
2. 向量关系的坐标表示
向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道
图9-18
了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单． (1)相等：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，则 a=b a1=a2, b1=b2．
即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等． (2)相反：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，则 a=-b a1=-a2, b1=-b2．
即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反．
(3)平行(共线)：向量a=(a1,b1),b=(a2,b2)平行 移a,b的始点到原点后，它们的终点A,B与原点共线 OA1A∽OB1B(见图7-19)
a1b1．
22
图7-19
所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例． 例1 已知向量a=(2,-1)，当x为多少时，向量b=(x,2)与a平行？ 解 a//b 21 x=-4．所以当x=-4时a//b．
x
2
课内练习2
1. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线：
a=(2,-1), b=(-2, 1), c=(-6, 3), d=(42,-21), e=(2,-1), f=(8,-4), g=(-2,-1)． 2. 已知向量a=(9,-4)，当y为多少时，向量b=(-12,y)与a平行？
3．平面向量运算的直角坐标表示
把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示．
(1)数乘：设a=(x,y)，即a=xi+yj，b=a，则 b=a=(xi+yj)=xi+yj=(x,y)，
即 a=(x,y)=(x,y)． (7-2-3) 即向量a数乘后所得向量的坐标，是a的纵、横坐标的倍． (2)加减法：设a=(a1,b1)，b=(a2,b2)，则
a=a1i+b1j，b=a2i+b2j，
a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，
即 a+b=(a1+a2, b1+b2)． (7-2-4) 同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2)． (7-2-5) 所以向量a, b的和、差向量的坐标，等于a, b的坐标对应的和、差． (3)给定始终点的向量的坐标
向量a=AB．若已知点A,B在坐标A(x1,y1),B(x2,y2)(见图7-20)，则 OA=(x1, y1),=(x2, y2)，
=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)． (7-2-6)
所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标．
例2 已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a + b, a b, 2a3b． 例3 已知A(1,2), B(2,1)，求AB,BA． 解 应用公式(10-2-6)，
AB=(-2-1,1-2)=(-3,-1)；BA=(1-(-2),2-1)=(3,1)． 例4 已知平行四边形ABCD的顶点坐标A(1,1), B(2,3), C(-1,4)(见图7-21)，求顶点D点坐标．
例5
例6 某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h步行3 小时到达A处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h骑了 3小时自行车到达B处．问B离此人出发点的直线距离是多少？ 课内练习2
1. 已知a=(1,2), b=(2,2),求a+ b, a b,a+2b． 2. 已知a=(2+x,4), b=(3,1y),且a=b,求x,y． 3. 根据下列条件求AB与BA的坐标：
已知A(2,3),B(-2,5),且=2AC，求C点的坐标．
图7-21
O 图7-20 B
x
y
A
(1)A(1,0), B(2,1)；(2)A(2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,2)；(4)A(2,4), B(3,8)．
4. 已知平行四边形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(1,1),求D点坐标．
5. 已知A(6,3),B(3,5),且AB= 2AC，求C点的坐标．
复习引入：
新授：
1. 向量的数量积
(1)平面向量所成的角
给定两个非零平面向量a,b，移它们的始点到同一点，以表示向量
的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a,b所成的角，记作(a^b)(见
图7-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0(a^b)．零向量图7-25
0与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a^b)叫做向量之间的夹角．
从向量所成角定义，立即可知
(a^b)=0 a//b (即a,b共线)；(a^b)= a=-b (即a,b互为相反向量)． 特别地，当(a^b)=
(2)向量的数量积
已知向量a,b，a,b的数量积是一个以下式定义的数量： ab=|a||b|cos(a^b)
其中(a^b)表示向量a,b之间所成的角．
向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积．
例1 求下列向量的数量积： ，则我们说a与b垂直，记作ab． 2
1 (1)|a|=5,|b|=4, (a^b)=2，求ab； (2)a=(3,4),|b|=, (a^b)=，求ab； 322
(3)a=(3,4), b=(-3,-4)，求ab； (4)a=(1,3)，求aa； (5)a=0，b=(x,y)，求ab． 课内练习1
1. 求下列向量的数量积：
(1)|a|=2,|b|=8, (a^b)=1，求ab； (2)a=(1,3),|b|=, (b^a)=，求ab； 324
(3)a=(-3,-2), b=(3,2)，求ab； (4)a=(5,3)，求aa； (5)a=(10,y)，b=0，求ab．
(3)向量数量积的基本运算法则
根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则：
①交换律：ab=ba；
②数乘分配率：(a)b=a(b)=(ab)，(任意R)；
③分配率：(a+b)c=ac+bc．
例2 设AB=(3,-1), |CD|=2, =(AB^CD)=，求 3
(1)(2AB)(3CD)；(2)(AB+2CD)AB；(3)(-4AB)(AB+2CD)．
课内练习2
1．已知|a|=4, |b|=3，a与b的夹角为5，求(2ab)(a+2b)． 6
2．已知A(-1,2),B(1,4)，|CD|=4, =(^CD)=，求 3
(1)(3CD)；(2)(2+CD)；(3)(-+2CD)．
(4)向量数量积的基本结论
从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的． ①ab ab=0；
②当a//b且同向时，ab=|a||b|；当a//b且方向相反时，ab=-|a||b|；
③aa=|a|2，所以|a
；
④cos(a^b)=ab． (7-3-2) |a||b|
最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用．
例3 已知|a|=4, |b|=5，分别在下列条件下求ab： (1)a//b； (2)ab．
例4 已知|a|=2, |b|=4，a b=-6，求(a^b)的余弦值．
课内练习3
1. 已知a//b，|a|=1, |b|＝2，求 ab．
2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：
(1)0a=0；(2)|a|=aa；(3)ab=|a||b|；(4)ab=|ab|；(5)|ab|=|a||b||cos(a^b)|；
(6)(ab)(ab)=(aa)(bb)=|a|2|b|2；(7)a//b 存在实数，使ab=|a|2；
(8)(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2；(9)(a+b)(a-b)=a2-b2．
3. 已知|a|=1, |b|=4, ab=
(a^b)．
2．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积．
首先考察坐标基底向量i, j的数量积，有
ii=1；ij=ji=0；jj=1． (4)
现设向量 a, b的坐标为a=(x1,y1), b=(x2,y2)，即
a=x1i+y1j, b=x2i+y2j，
则 a·b=(x1i+y1j)·( x2i+y2j)=x1x2i·i+y1y2j·j+x1y2i·j+y1x2j·i，
即 a·b=x1x2+y1y2． (7-3-3) 这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和．
以坐标表示向量数量积的基本公式③，能得到我们熟知的一些公式：
设a=(x,y)，则a·a=|a|2=x2+y2，即向量模公式 |a|=x2y2；
特别地当a=，且起终点坐标A(x1,y1),B(x2,y2)为已知时，由=(x2-x1,y2-y1)，即得 |a|=||=(x2x1)2(y2y1)2，
此即为两点间的距离．
例5 求下列向量的数量积：
(1)a=(2, -1), b=(3, 1)，求a·b；(2)c=(-1, -1), d=(1, -1)，求c·d．
例6 已知a=(1, 2), b=(-2, 3)，求(a+b)(a-b), (a- b)(2a+b)．
例7 (1)已知a=(-2, 6), a·b=-6，设b=(6, y)，求y；
(2)已知a=(2,2), (a^b)=
课内练习4
1. 求下列向量的数量积：
(1)a=(-2, 1), b=(3, -1)，求a·b；(2)c=(4, -1), d=(2, -1)，求c·d．
2. 已知a=(2, -1), b=(-1, 5)，求(2a+b)(2a-b), (a-2b)(2a+b)．
3. 设a=(x, 6), a·b=-6, b=(2, -1)，求x．
4. 已知|a|=1, (a^b)=, |b|=2，求b的坐标． 43, b=(-1,2)，求a的坐标． 4
(2)平面向量所成角的计算公式
把(9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2)，得
cos(a^b)=x1x2y1y2
xyxy2
1212222． (7-3-4)
直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事．(7-3-4)表明，只要知道向量的坐标，就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段．
特别地，从向量数量积基本结论①和(7-3-4)，还能得到
ab x1x2+y1y2=0，
这也是用来判定向量垂直的主要手段之一．
例8 求向量a与b所成角：
(1)a=(2,1) , b=(3,-1)；(2)a=(2,-1) , b=(-3,-1)．
例9 已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,5) ．求证BAC=
2．
课内练习5
1．求求向量a与b所成角：
(1)a=(1, 2), b=(2, 3)；(2)a=(1,2), b=(2, 5)．
2. 证明以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形：
(1) A(1, 4), B(5, 2), C(3, 4)；(2)A(2, 3), B(19, 4), C(1,6)．
3. 已知a=(4, 2), b=(3,3)，当k为何值时，a+b 与ka2b垂直？
4. 已知点A(0,1), B(5,2)，求点P(x,y)，使PAPB且PA=PB． (7-3-5)
复习引入：
新授： 1. 向量的概念
把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a,b,c,...等，在书写时，则在小写西文字
符的上方加一个小箭头，例如a,b,c,...等．
如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．
向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a|,|b|,|c|,...或|a|,|b|,|c|,...．
特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．
为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB,CD,11等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB|,|CD|,|11|．
D 图7-2(2)
B1
C1
b图7-2(1)
由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．
例1 设矩形ABCD的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？
课内练习1
1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？
2. 向量的比较 (1)向量相等
任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(ab)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(ab)．在例1中的相等向量有且仅有 AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，
更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．
若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．
例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．
(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；
(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是？为什么？ (2)相反向量
对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：
AB=-, BC=-CB, DC=-CD, =-, AC=-,CA, =-．
例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、
(3)平行向量
若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．
规定零向量平行于任意向量.
根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量． 例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．
课内练习2
1. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？
2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？
F1
3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在 物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物 体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理 的解释．
第3题图
新授：
(1)向量的加法运算 向量加法运算的法则．
向量a加向量b的结果a+b是按照下列法则生成的一个向量c：把b的始点移到a的终点后、从a的始点连到b的终点．记作 c=a+b．
与数量相加一样，把a叫做被加向量，b叫做加向量，c叫做和向量．
在a,b不平行的情况下，c是重合a,b的始 点、以a,b为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与a,b同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))； 也是是以a的终点作为b的始点所组成的三角形的 第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连． 例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a,b 的和向量c．
解 (1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c． (见图9-10(2))
(2)移b的始点到a的终点，从a的
始点连向b的终点的向量即为和向量c(见图9-10(3))． 例5 (1)若b=-a，求c=a+b； (2)若a,b平行，求c=a+b． 例6 已知向量a,b, c, d如图9- 12，求f=a+b+c+d．
解 逐次应用向量加法的法则—— 移加向量的始点到被加向量的终点，从
abb
a图9-12
c
f
d
图9-10(2)
b
图
9-9(1)
图
9-9(2)
图9-10(1)
图9-10(3)
c d
被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f如图9-12所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a+b, a+b+c． 课内练习3
1. 请举一个向量相加的实际问题．
2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？
3. a+(-a)=0，因此|a|+|-a|=0，这个结论正确吗？一般地，c=a+b，因此|c|=|a|+|b|，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？ A
4. 矩形ABCD如图，试求
AB+BC,BC+AB,BA+BC,BA+CB 得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD如第4题，求
(AB+BC)+CD,AB+(BC+CD),AB+BC+DC,BA+BC+DA． 得到的和向量之间有哪些关系？
数量加法运算满足交换律(a+b=b+a)、结合律(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律
a+b=b+a， a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)， (2)向量的减法运算
如同数量a,b相减a-b，是被加数a与加数b的相反数-b相加一样，所谓向量a,b相减a-b，实际上是向量a与向量b的相反向量-b相加，即a+(-b)a-b法运算的法则．图9-
13(1)中是已知向量a,b；图9-13(2) a
a b
显示了a+(-b)；图9-13(2)
显示了 图9-13(2)
a-b的直接运算法则，法则的文字 图9-13(1) 图9-13(3) 表述是：a-b的结果是一个向量c，
把a,b的始点移到同一点，从b的终点连向a的终点的向量就是c(三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．
D
第4题图
C B
记作 c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．
例7 在ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 例8 在ABC中，若边向量为AB,AC,BC，求 (1)a=AB+BC+AC；(2)求b=AB-BC-AC． 课内练习4
1. 在ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 2. 在矩形ABCD中的边向量为AB,BC,CD，求
(1)a=AB-BC；(2)b=BC-AB；(3)c=CD-BC；(4)d=AB-BC- CD．
因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如 a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)． (3)向量的数乘运算
在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=+,b=+这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2, b=2呢？这完全取决与如何规定2,2的含义，若规定它们的含义确实与
+,+相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：
一个实数乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模||倍，即 |b|=|||a|；
b的方向当>0时与a的方向相同，当
把向量的这种运算叫做向量的数乘运算． 根据向量数乘运算的这种规定，立即可知 -a=-1a，a+a=2a，-a-a=-2a．
把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：
(+)a=a+a， (a+b)=a+b， 其中,是任意实数，a,b是任意向量．
根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数，使b=a（a≠0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数，使b=a（a≠0）． 例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c． 解 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a) =2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b．
例9 ABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为A1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)． 课内练习5
1. 已知向量a，作出向量-2a, 3a．
2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模． 3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f-3d-3g-2b．
4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行．当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？
复习引入：
新授：
1．平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量
设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy}．方向为x轴正向的单位向量i、方向为y轴正向的单位向量j叫做该坐标系的坐标基底向量(见图9-16)．
(2)平面向量的直角坐标
在坐标平面上给定了向量 a，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A的坐标为(x,y)．把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a=OA=(x,y)．
若向量a的坐标为(x,y)，则其模可以用坐标表示为 |a|=x2y2 (7-2-1) 坐标基底向量也有其坐标，分别是i=(1,0), j=(0,1)．
以原点O为始点、点A在x,y轴上的投影为终点，是两个分别平行于i, j的向量，根据向量加法定义，有
a=xi+yj， (7-2-2) 即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合． 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a，直接在a上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出
=i-2j =(1,-2)．
y
j
x
O
i 图7-16
图7-17
课内练习1
1. 写出图9-18中向量OP,,CD的坐标，并求它们的模．
2. 向量关系的坐标表示
向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道
图9-18
了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单． (1)相等：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，则 a=b a1=a2, b1=b2．
即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等． (2)相反：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，则 a=-b a1=-a2, b1=-b2．
即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反．
(3)平行(共线)：向量a=(a1,b1),b=(a2,b2)平行 移a,b的始点到原点后，它们的终点A,B与原点共线 OA1A∽OB1B(见图7-19)
a1b1．
22
图7-19
所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例． 例1 已知向量a=(2,-1)，当x为多少时，向量b=(x,2)与a平行？ 解 a//b 21 x=-4．所以当x=-4时a//b．
x
2
课内练习2
1. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线：
a=(2,-1), b=(-2, 1), c=(-6, 3), d=(42,-21), e=(2,-1), f=(8,-4), g=(-2,-1)． 2. 已知向量a=(9,-4)，当y为多少时，向量b=(-12,y)与a平行？
3．平面向量运算的直角坐标表示
把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示．
(1)数乘：设a=(x,y)，即a=xi+yj，b=a，则 b=a=(xi+yj)=xi+yj=(x,y)，
即 a=(x,y)=(x,y)． (7-2-3) 即向量a数乘后所得向量的坐标，是a的纵、横坐标的倍． (2)加减法：设a=(a1,b1)，b=(a2,b2)，则
a=a1i+b1j，b=a2i+b2j，
a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，
即 a+b=(a1+a2, b1+b2)． (7-2-4) 同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2)． (7-2-5) 所以向量a, b的和、差向量的坐标，等于a, b的坐标对应的和、差． (3)给定始终点的向量的坐标
向量a=AB．若已知点A,B在坐标A(x1,y1),B(x2,y2)(见图7-20)，则 OA=(x1, y1),=(x2, y2)，
=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)． (7-2-6)
所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标．
例2 已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a + b, a b, 2a3b． 例3 已知A(1,2), B(2,1)，求AB,BA． 解 应用公式(10-2-6)，
AB=(-2-1,1-2)=(-3,-1)；BA=(1-(-2),2-1)=(3,1)． 例4 已知平行四边形ABCD的顶点坐标A(1,1), B(2,3), C(-1,4)(见图7-21)，求顶点D点坐标．
例5
例6 某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h步行3 小时到达A处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h骑了 3小时自行车到达B处．问B离此人出发点的直线距离是多少？ 课内练习2
1. 已知a=(1,2), b=(2,2),求a+ b, a b,a+2b． 2. 已知a=(2+x,4), b=(3,1y),且a=b,求x,y． 3. 根据下列条件求AB与BA的坐标：
已知A(2,3),B(-2,5),且=2AC，求C点的坐标．
图7-21
O 图7-20 B
x
y
A
(1)A(1,0), B(2,1)；(2)A(2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0,2)；(4)A(2,4), B(3,8)．
4. 已知平行四边形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(1,1),求D点坐标．
5. 已知A(6,3),B(3,5),且AB= 2AC，求C点的坐标．
复习引入：
新授：
1. 向量的数量积
(1)平面向量所成的角
给定两个非零平面向量a,b，移它们的始点到同一点，以表示向量
的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a,b所成的角，记作(a^b)(见
图7-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0(a^b)．零向量图7-25
0与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a^b)叫做向量之间的夹角．
从向量所成角定义，立即可知
(a^b)=0 a//b (即a,b共线)；(a^b)= a=-b (即a,b互为相反向量)． 特别地，当(a^b)=
(2)向量的数量积
已知向量a,b，a,b的数量积是一个以下式定义的数量： ab=|a||b|cos(a^b)
其中(a^b)表示向量a,b之间所成的角．
向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积．
例1 求下列向量的数量积： ，则我们说a与b垂直，记作ab． 2
1 (1)|a|=5,|b|=4, (a^b)=2，求ab； (2)a=(3,4),|b|=, (a^b)=，求ab； 322
(3)a=(3,4), b=(-3,-4)，求ab； (4)a=(1,3)，求aa； (5)a=0，b=(x,y)，求ab． 课内练习1
1. 求下列向量的数量积：
(1)|a|=2,|b|=8, (a^b)=1，求ab； (2)a=(1,3),|b|=, (b^a)=，求ab； 324
(3)a=(-3,-2), b=(3,2)，求ab； (4)a=(5,3)，求aa； (5)a=(10,y)，b=0，求ab．
(3)向量数量积的基本运算法则
根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则：
①交换律：ab=ba；
②数乘分配率：(a)b=a(b)=(ab)，(任意R)；
③分配率：(a+b)c=ac+bc．
例2 设AB=(3,-1), |CD|=2, =(AB^CD)=，求 3
(1)(2AB)(3CD)；(2)(AB+2CD)AB；(3)(-4AB)(AB+2CD)．
课内练习2
1．已知|a|=4, |b|=3，a与b的夹角为5，求(2ab)(a+2b)． 6
2．已知A(-1,2),B(1,4)，|CD|=4, =(^CD)=，求 3
(1)(3CD)；(2)(2+CD)；(3)(-+2CD)．
(4)向量数量积的基本结论
从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的． ①ab ab=0；
②当a//b且同向时，ab=|a||b|；当a//b且方向相反时，ab=-|a||b|；
③aa=|a|2，所以|a
；
④cos(a^b)=ab． (7-3-2) |a||b|
最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用．
例3 已知|a|=4, |b|=5，分别在下列条件下求ab： (1)a//b； (2)ab．
例4 已知|a|=2, |b|=4，a b=-6，求(a^b)的余弦值．
课内练习3
1. 已知a//b，|a|=1, |b|＝2，求 ab．
2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：
(1)0a=0；(2)|a|=aa；(3)ab=|a||b|；(4)ab=|ab|；(5)|ab|=|a||b||cos(a^b)|；
(6)(ab)(ab)=(aa)(bb)=|a|2|b|2；(7)a//b 存在实数，使ab=|a|2；
(8)(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2；(9)(a+b)(a-b)=a2-b2．
3. 已知|a|=1, |b|=4, ab=
(a^b)．
2．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积．
首先考察坐标基底向量i, j的数量积，有
ii=1；ij=ji=0；jj=1． (4)
现设向量 a, b的坐标为a=(x1,y1), b=(x2,y2)，即
a=x1i+y1j, b=x2i+y2j，
则 a·b=(x1i+y1j)·( x2i+y2j)=x1x2i·i+y1y2j·j+x1y2i·j+y1x2j·i，
即 a·b=x1x2+y1y2． (7-3-3) 这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和．
以坐标表示向量数量积的基本公式③，能得到我们熟知的一些公式：
设a=(x,y)，则a·a=|a|2=x2+y2，即向量模公式 |a|=x2y2；
特别地当a=，且起终点坐标A(x1,y1),B(x2,y2)为已知时，由=(x2-x1,y2-y1)，即得 |a|=||=(x2x1)2(y2y1)2，
此即为两点间的距离．
例5 求下列向量的数量积：
(1)a=(2, -1), b=(3, 1)，求a·b；(2)c=(-1, -1), d=(1, -1)，求c·d．
例6 已知a=(1, 2), b=(-2, 3)，求(a+b)(a-b), (a- b)(2a+b)．
例7 (1)已知a=(-2, 6), a·b=-6，设b=(6, y)，求y；
(2)已知a=(2,2), (a^b)=
课内练习4
1. 求下列向量的数量积：
(1)a=(-2, 1), b=(3, -1)，求a·b；(2)c=(4, -1), d=(2, -1)，求c·d．
2. 已知a=(2, -1), b=(-1, 5)，求(2a+b)(2a-b), (a-2b)(2a+b)．
3. 设a=(x, 6), a·b=-6, b=(2, -1)，求x．
4. 已知|a|=1, (a^b)=, |b|=2，求b的坐标． 43, b=(-1,2)，求a的坐标． 4
(2)平面向量所成角的计算公式
把(9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2)，得
cos(a^b)=x1x2y1y2
xyxy2
1212222． (7-3-4)
直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事．(7-3-4)表明，只要知道向量的坐标，就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段．
特别地，从向量数量积基本结论①和(7-3-4)，还能得到
ab x1x2+y1y2=0，
这也是用来判定向量垂直的主要手段之一．
例8 求向量a与b所成角：
(1)a=(2,1) , b=(3,-1)；(2)a=(2,-1) , b=(-3,-1)．
例9 已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,5) ．求证BAC=
2．
课内练习5
1．求求向量a与b所成角：
(1)a=(1, 2), b=(2, 3)；(2)a=(1,2), b=(2, 5)．
2. 证明以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形：
(1) A(1, 4), B(5, 2), C(3, 4)；(2)A(2, 3), B(19, 4), C(1,6)．
3. 已知a=(4, 2), b=(3,3)，当k为何值时，a+b 与ka2b垂直？
4. 已知点A(0,1), B(5,2)，求点P(x,y)，使PAPB且PA=PB． (7-3-5)