2003年第11期 数学通讯15
巧用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程
耿玉明
(老河口市一中, 湖北 441800)
中图分类号:O123. 3 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2003) 11-0015-02
在解析几何教学中, 求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一, 而椭圆曲线的两种定义又是研究圆锥曲线各种性质的基本出发点, 如果在求动点的轨迹方程中充分利用圆锥曲线定义, 常常会达到言简意明、异曲同工的效果. 例介绍, 以飨读者.
1 即x 0=2x -c , y 0=2y ,
∴(2x ) 2+(2y ) 2=4a 2x 22=(y ≠0) . 2
4
-y 2=1右支上除顶
, F 1, F 2的为两焦点, 则△F 1PF 2的内心M 在
2
( )
例1 2+2=1(a >b >0) , a b
(A ) 直线x =2上. (B ) 直线x =1上. (C ) 直线y =2x 上.
(D ) 直线y =x 上.
点P 为其上一点, F 1, F 2为椭圆的焦点, ∠F 1PF 2的外角平分线为l , 点F 2关于l 的对称点为Q ,
F 2Q 交l 于R , 当P 在椭圆上运动时, 求动点R 的
解 如图2, 设内心M (x , y ) , 过点M 分别作边F 1F 2
, PF 1, PF 2的垂线, 垂足分别为E , N , G , 则
E (x , 0) , 由(-2
轨迹方程.
解 ∵l 为∠F 1PF 2的外角平分线, 且F 2, Q 两点关于l 对称,
∴|PF 2|=|PQ |. 设R , Q 的坐标分别为
(x , y ) , (x 0, y 0) , F 1, F 2的
4
-y 2=1, 得F 1, F 2的坐标分别为
, 0) , (, 0) .
根据双曲线第一定义得:
坐标分别为(-c , 0) , (c , 0) , 由椭圆第一定义得:|PF 1|
+|PF 2|=2a ,
∴|Q F 1|=2a ,
2
则(x 0+c ) 2+y 20=4a .
图1 例1图
图2 例2图
|PF 1|-|PF 2|=4.
x =
又y =
22,
,
∵|PN |=|PG |, |F 1N |=|F
1E |, |F 2E |=
|F 2G |, ∴|EF 1|-|EF 2|=4, 即(x +) -(-x ) =4.
收稿日期:2003-02-09
作者简介:耿玉明(1962-) , 男, 湖北老河口人, 湖北老河口一中高级教师.
16
∴x =2, 故答案选(A ) .
2 运用第二定义求动点轨迹方程
数学通讯 2003年第11期
x -12
2
+(y -2) 2=
, 4
例3 已知动点P 到直线l ∶x +4=0的距离和它到M (2, 0) 的距离的一半的差等于3, 求动点P 的轨迹方程.
解 因为动点P 到直线l 的距离和它到点M 的距离的一半的差为3, 所以动点P 到直线l ′∶x +1
=0的距离和它到点M 的距离的一半相等, 即=2(如图3) , 由双曲线第二定义知:P 点轨迹|PK |
即左顶点P 的轨迹方程为
x -9
2
+
2
4
=1.
3 将两种定义混合运用, 求动点轨迹方程
=1的两个焦
43
点, M 是椭圆上与F 1, F 2不共线的任意一点,
+
例5 设F 1, F 2
是椭圆
2
2
∠F 2M F 1的内心为点P , 求动点P 的轨迹方程.
解 如图5, 设P (x ,
y ) 为轨迹上任意一点, M
是以M 为焦点, l ′为对应准线且离心率e =2的双曲线.
=2, a =3, c
2
(x 0, y 0) 延长得a =2, b
由
2
2
=2, c =4,
1, b =, c =1, F 1(-1, 0) , F 2(1, 0) . ∵
图3 例3图
图5 例5图
所以P 为
2
P 为△F 1M F 1的内心,
4
-
2
12
=1.
∴
M F M F ==
|F 1N ||N F 2||PN |
=
.
|F 1N |+|N F 2|
例4 如图4, 求以y 轴为准线, 过定点M (1,
2) , 且离心率e =
的椭圆左顶点P 的轨迹方程. 2
解 设椭圆的左顶点为P (x , y ) , 左焦点
由椭圆第一定义, 得|M F 1|+|M F 2|=4, ∴由
==2.
|F 1N ||PN |
F (x 0, y 0) ,
∵椭圆过点M (1, 2) 且以y 轴为准线, ∴由椭圆第二定义知:
=,
|M K |2
=2及椭圆第二定义得:
|F 1N |
x +20
=2,
x +1N
即x N =由
图4 例4图
x , N 40x , 0. 40
即|M F |=
, 2
∴F 点的轨迹方程为
(x 0-1) 2+(y 0-2) 2=
4
(1)
=2, 知P 点分线段M N 的比λ=2,
|PN |
x 0+2x 0
x ==x ,
320
y =
又P 为椭圆左顶点, 再由椭圆第二定义得:
y =y 0,
3
=
y , 302
x 0=x ,
2即=, y 0=y , x 2
即x 0=2x , y 0=3y.
又4
+
2
3
=1,
代入可得内心P 点的轨迹方程为
x +3y =1.
2
2
代入(1) 有:
2003年第11期 数学通讯15
巧用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程
耿玉明
(老河口市一中, 湖北 441800)
中图分类号:O123. 3 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2003) 11-0015-02
在解析几何教学中, 求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一, 而椭圆曲线的两种定义又是研究圆锥曲线各种性质的基本出发点, 如果在求动点的轨迹方程中充分利用圆锥曲线定义, 常常会达到言简意明、异曲同工的效果. 例介绍, 以飨读者.
1 即x 0=2x -c , y 0=2y ,
∴(2x ) 2+(2y ) 2=4a 2x 22=(y ≠0) . 2
4
-y 2=1右支上除顶
, F 1, F 2的为两焦点, 则△F 1PF 2的内心M 在
2
( )
例1 2+2=1(a >b >0) , a b
(A ) 直线x =2上. (B ) 直线x =1上. (C ) 直线y =2x 上.
(D ) 直线y =x 上.
点P 为其上一点, F 1, F 2为椭圆的焦点, ∠F 1PF 2的外角平分线为l , 点F 2关于l 的对称点为Q ,
F 2Q 交l 于R , 当P 在椭圆上运动时, 求动点R 的
解 如图2, 设内心M (x , y ) , 过点M 分别作边F 1F 2
, PF 1, PF 2的垂线, 垂足分别为E , N , G , 则
E (x , 0) , 由(-2
轨迹方程.
解 ∵l 为∠F 1PF 2的外角平分线, 且F 2, Q 两点关于l 对称,
∴|PF 2|=|PQ |. 设R , Q 的坐标分别为
(x , y ) , (x 0, y 0) , F 1, F 2的
4
-y 2=1, 得F 1, F 2的坐标分别为
, 0) , (, 0) .
根据双曲线第一定义得:
坐标分别为(-c , 0) , (c , 0) , 由椭圆第一定义得:|PF 1|
+|PF 2|=2a ,
∴|Q F 1|=2a ,
2
则(x 0+c ) 2+y 20=4a .
图1 例1图
图2 例2图
|PF 1|-|PF 2|=4.
x =
又y =
22,
,
∵|PN |=|PG |, |F 1N |=|F
1E |, |F 2E |=
|F 2G |, ∴|EF 1|-|EF 2|=4, 即(x +) -(-x ) =4.
收稿日期:2003-02-09
作者简介:耿玉明(1962-) , 男, 湖北老河口人, 湖北老河口一中高级教师.
16
∴x =2, 故答案选(A ) .
2 运用第二定义求动点轨迹方程
数学通讯 2003年第11期
x -12
2
+(y -2) 2=
, 4
例3 已知动点P 到直线l ∶x +4=0的距离和它到M (2, 0) 的距离的一半的差等于3, 求动点P 的轨迹方程.
解 因为动点P 到直线l 的距离和它到点M 的距离的一半的差为3, 所以动点P 到直线l ′∶x +1
=0的距离和它到点M 的距离的一半相等, 即=2(如图3) , 由双曲线第二定义知:P 点轨迹|PK |
即左顶点P 的轨迹方程为
x -9
2
+
2
4
=1.
3 将两种定义混合运用, 求动点轨迹方程
=1的两个焦
43
点, M 是椭圆上与F 1, F 2不共线的任意一点,
+
例5 设F 1, F 2
是椭圆
2
2
∠F 2M F 1的内心为点P , 求动点P 的轨迹方程.
解 如图5, 设P (x ,
y ) 为轨迹上任意一点, M
是以M 为焦点, l ′为对应准线且离心率e =2的双曲线.
=2, a =3, c
2
(x 0, y 0) 延长得a =2, b
由
2
2
=2, c =4,
1, b =, c =1, F 1(-1, 0) , F 2(1, 0) . ∵
图3 例3图
图5 例5图
所以P 为
2
P 为△F 1M F 1的内心,
4
-
2
12
=1.
∴
M F M F ==
|F 1N ||N F 2||PN |
=
.
|F 1N |+|N F 2|
例4 如图4, 求以y 轴为准线, 过定点M (1,
2) , 且离心率e =
的椭圆左顶点P 的轨迹方程. 2
解 设椭圆的左顶点为P (x , y ) , 左焦点
由椭圆第一定义, 得|M F 1|+|M F 2|=4, ∴由
==2.
|F 1N ||PN |
F (x 0, y 0) ,
∵椭圆过点M (1, 2) 且以y 轴为准线, ∴由椭圆第二定义知:
=,
|M K |2
=2及椭圆第二定义得:
|F 1N |
x +20
=2,
x +1N
即x N =由
图4 例4图
x , N 40x , 0. 40
即|M F |=
, 2
∴F 点的轨迹方程为
(x 0-1) 2+(y 0-2) 2=
4
(1)
=2, 知P 点分线段M N 的比λ=2,
|PN |
x 0+2x 0
x ==x ,
320
y =
又P 为椭圆左顶点, 再由椭圆第二定义得:
y =y 0,
3
=
y , 302
x 0=x ,
2即=, y 0=y , x 2
即x 0=2x , y 0=3y.
又4
+
2
3
=1,
代入可得内心P 点的轨迹方程为
x +3y =1.
2
2
代入(1) 有: