第二节 分数、小数的运算
教学目标：
1. 理解分数四则运算的含义，能正确的利用计算法则进行运算。
2. 理解小数四则运算的含义，能正确的利用计算法则进行运算。
3.掌握常用的计算方法和计算工具。
教学过程
一、复习
（一）问题一
1. 数的最高数位的规定：一个整数最高位上的数字不能是0，为什么？
2. 最小、最大的一位数和两位数是什么？
3. 用“四舍五入法”“进一法”“去尾法”取近似数的根本区别？
4. 所有的自然数，不是奇数就是偶数吗？
5. 转盘之谜
商人说：“请你们看一样东西。”说着拿出一套东西并对它详细作了介绍：一个写着1---12的数字圆盘，圆盘中心竖立一个可以转动的木棒，木棒上端连着一根横杆，横杆的一端用线系着一根指针。花2角钱可以转动一次。指针停在圆盘的哪一格，就从下一格起，按照指针指的数字数几格。数到哪格，那格里的奖品便归你所有。商人又指着图，举例说：“如果指针停在5字格，就从6字格起数5格，结果终止在10字格，10字格的奖品是橡皮，你可以取走。”
这个数字转盘中，每一格都有奖品，只要参加一定能得奖！奖品价值大小不等，小到铅笔、橡皮、糖果。。。大到金笔、手表、计算器。。。奇怪的是，玩这种游戏的人，每次所能得到的，都是一些低廉的东西，金笔、手表之类的贵重物品从来没有人能拿走，难道真是参加的运气都不佳吗？
（二）问题二
6. 简述自然数的产生过程。
7. 阿拉伯数字的由来
8.“2是质因数”的说法对吗？
9. 质数、质因数和互质数的区别？
（三）问题三
10. 简述负数的产生过程。
11. 互质的两个数必须都是质数吗？
12. 用短除法求两个数的最小公倍数和最大公因数的方法相同吗？
13. 在表示近似数的时候，小数的末尾的0为什么不能去掉？
一个三位小数，四舍五入是0.20，这个三位小数是（ ），最小是（ ）。
15. 损失的钱
某城市的步行街头开了一家鞋店。有一天，鞋店来了一位戴眼镜的顾客，他买了一双价值40元的鞋子，拿出一张100元的人民币递给营业员。因为店里零钱不够，营业员就把这张钞票拿到隔壁的文具店，换了10张10元的钞票。交给顾客60元以后，自己留下40元。
不一会儿，文具店的会计过来了，他拿着那张100元的钞票说这是假币。鞋店营业员仔细一看，果不其然。鞋店营业员回到店里，拿着一张真的100元的钞票，还给了文具店的会计。当营业员开始计算自己的损失时，由于心情不好，老是算不出来。请你帮忙算一算，他损失的钱究竟是多少？
二、新授
（一）分数的四则运算
1分数加法
（1）分数加法概念
定义：有两个分数，分别以其中一个分数的分子与另一个分数分母相乘，把得到的两个的和做分子，以两个分数的分母的积作分母，这样所得的分数叫做这两个分数的和。求两个分数的和的运算叫做分数加法。
如果有两个分数
和 ，那么
+ =
其中，
是它们的和。 和 是加数，
含义：分数加法的意义与整数的加法的意义相同，就是把几个数合并在一起，求它们的和一共是多少的运算方法。
(2)分数加法的运算法则
用两个分数的分母的积作公分母，进行通分，然后用这个公分母作和的分母，用通分后的两个分子的和作和的分子。
(3)整数加法的运算定律推广到分数加法
2. 分数减法
（1）分数减法概念
定义：已知两个分数
和 ，求一个分数 ，
使
记作 与 的和等于 ，这种运算叫做分数减法，
— =
其中 是被减数， 是减数， 是 与 的差。 含义：分数减法的意义与整数的减法的意义相同，就是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
（2）分数减法的运算法则
— =
用两个分数的分母的积作公分母，进行通分，然后用这个公分母作差的分母，用通分后两个分子的差作差的分子。
（3）整数减法的运算定律推广到分数减法
3. 分数乘法
（1）分数乘法概念
定义：用两个分数的分子的积作分子，分母的积作分母，所得的分数叫做这两个分数的积，求两个分数的积的运算叫做分数乘法。
如果两个分数
和 ，那么
× =
其中，
含义： 和 是因数， 是它们的积。
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
一个数乘分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少。
（2）分数乘法的运算法则
两个分数相乘就是把它们的分子、分母分别相乘作积的分子和分母。
（3）整数乘法的运算定律推广到分数乘法
4. 分数除法
（1）分数除法的概念
定义：已知两个分数 和 ，求一个分
数 ，使 与
叫做分数除法。记作
的积等于 ，这种运算
÷ =
其中
含义： 是被除数， 是除数， 是 与 的商。
÷ = 也就是使得：
× = ， × =
计算
÷ ，就是已知一个数的 是 ，求
这个数；或求 是 的几分之几。
（2）分数除法的运算法则
÷ = × =
用被除数的分子与除数的分母的积作商的分子，用被除数的分母与除数的分子的积作商的分母，即把除数的分子和分母颠倒位置以后与被除数相乘。
（3）整数除法的运算性质推广到分数除法
（二）小数的四则运算
1. 小数的加法和减法
（1）小数的加法和减法的意义
小数的加法和减法的意义与整数的加法和减法的意义相同。
（2）小数的加法和减法的计算法则
小数的加法和减法的运算法则与整数的加法和减法的运算法则类似，小数点对齐也就是相同数位对齐。
2. 小数的乘法和除法
（1）小数乘法的意义
小数乘整数与整数乘法的意义相同，就是求几个相同小数的和的简便运算。
一个数乘小数就是求这个数的十分之几（或者百分之几，千分之
几。。。）是多少。
（2）小数乘法的运算法则
3. 小数的除法意义
小数的除法意义与整数的除法意义相同，就是已知两个因数的积和其中一个因数，求另外一个因数的运算。
小数除法的计算方法
（三）计算方法与计算工具
1. 计算方法
口算
估算
笔算
表算
算法的多样化
解文字题
口算，也称为心算。
口算的高级形式是速算。
口算一般采用视算和听算两种形式。
小学口算大致分为基本口算和简单的速算两种。
小学中常用的速算方法
A 运用运算定律和运算性质
1200÷ 25 1200÷ 25÷ 4
25×19×4 88×125
B 补数凑整法
536-198 536-201
C 分解法
25 ×1.25 ×32
D 基准数法
31+35+32+28+29
E 分组法
+ 0.23+0.77+
6324-（789-676）
F 公式法
1+2+3+4+。。。。。。+100
G 转化法
78 ×5
37 ÷ +125 ×
小学数学几种特殊的速算方法：
1. 一个数乘或者除以0.5的速算
一个数乘0.5等于这个数的一半；一个数除以0.5等于这个数的2倍。
1.26 ÷0.5 1.26 ×0.5
2. 一个数乘1.5等于这个数加上这个数的一半。
1.26 ×1.5
3. 一个数乘11的速算
一个数乘11可以用“两头一拉，中间相加”
36 ×11
4. 十几乘十几的速算
十几乘十几可以“两个个位数与10相加的和乘10再加上两个个位数的积”来简算。
12 ×13=（2+3+10） ×10+2 × 3
5. 首数相同，尾数和是10的两位数相乘的速算
首数相同，尾数和是10的两位数相乘，用（头+1） ×头的积作为积的前两位数字，用尾×尾的积作为积的后两位数字。
83 ×87=7221,82 ×83=7206
25 ×25= 625 ， 45 ×45=2025
6. 尾数相同，首数和是10的两位数相乘的速算
用头×头+尾的和作积的前两个数字，用尾×尾的积作为积的后两个数字，如果积是一位数，就在它的前面用0补位。
72 ×32=2304
7. 一个数乘15的速算
一个数乘15等于这个数加上它的一半的和再乘10.
34 ×15=（34+17） ×10=510
2. 计算工具
算盘
电子计算器
三、拓展知识
1. 分数的产生
世界上第一个“人为”的数是正分数。从逻辑上看，应该是先有负整数，再有分数。但是历史的顺序却正好相反。负数最早出现在中国的《九章算术》（约公元前1世纪），而有历史记录的分数则出现在古代埃及的纸草书上，距今约4000年。我国的分数记载出现在春秋战国时代（公元前770年-前476年《左传》中），规定了诸侯的都城大小：最大的不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的
不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三白六十五又四分之一天。 《九章算术》也叙述了完整的分数知识。
4000多年前，古埃及就有了分数符号。2000多年前，中国用算筹表示分数。后来，印度人用阿拉伯数字表示分数，但是没有分数线。公元12世纪，阿拉伯人发明了分数线，这种方法一直延续到至今。
中文数字名词“三分之一”“几分之几”，确实既精确又达意，比起英文的one-third （一和第三）来，要容易理解。在东南亚许多使用汉字的国家和地区，学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好，据说与此有关。
2. 单位“1”的含义
单位“1”是极为重要的数学概念。它表示要平均分的人和事物的整体。小到被平均分的事物的一部分，大到有限数量的任何事物，我们都可以把它看作单位“1”，但要注意的是，无限多的事物不能看作单位“1”，因为无限多的事物是不能平均分的。掌握单位“1”是学好 相关知识的基础。
3. 分数单位的含义
分数单位的概念很重要。和自然数的单位不同，分数单位并不是一个固定的数。决定分数单位的是分数的分母，分母是几，分数单位就是几分之一，分母越大，分数单位越小。分子是几，就是有几个这样的分数单位。因为分母不同的分数，它们的分数单位也不同。所以，我们在比较两个不同分母的分数大小或计算分母不同的分数加减法时，通常要先统一分数单位。
4. 小资料
我国古代数学著作《九章算术》（在公元前100年到公元100年间成书），把分数加法叫做合分，法则是：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。
这里的实是被除数，也就是分子，法是除数，也就是分母；实如法而一，是把假分数化为带分数的方法，而如果分子大于分母，则从分子中取出和分母相同的数（实如法）就得到整数1.
《九章算术》把分数减法叫做减分，法则是：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。
《九章算术》把分数乘法叫做乘分，法则是：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。
《九章算术》把分数除法叫做经分，法则是：法分母乘实（为实），实分母乘法（为法），实如法而一。
5. 分数乘法的合理性
求两个分数的乘积非常简单：分子乘分子，分母乘分母。但究竟为什么要这样做呢？也许有人要问：为什么求两个分数之和时，分子、分母不能分别相加，但在乘法时就可以分别相乘了呢？这就是我们要探讨分数乘法意义的合理性问题。
分数的乘法不能沿用自然数的乘法思想。例如2乘3，就是3个2或者2个3相加，或者说长度是2或者3的线段，连续量3次或2次。但是对于分数二分之一乘三分之二，则不能说三分之二个二分之一相加，也不能说把长度是二分之一的线段量三分之二次。
1.我们可以把两个分数通分成同分母的分数，这样一来，就可以用单位分数把乘法看成是连加了。比如上边的例子变成六分之三乘六分之四，就是分子连加3个4得12，分母连加6个6得36，结果是三十六分子十二就是三分之一。
2. 通常我们可以用图示法给以直观说明
6. 一百只羊
一百只羊来自中国古代数学书《算法统宗》。
甲赶群羊逐草茂，乙扯肥羊一只随其后，
细问甲及一百否？甲云所说无差缪，
若得这般一群凑，再添半群小半群，
得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？
7. 年龄之谜
“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列数目，
便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生，
不料儿子竟先其父四年而终，
只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，丢番图活到多大，
才和死神见面？”
请你算一算，丢番图到底活到多少岁？
四：趣题赏析
1. 乘出的圆周率
π的值是一个无限不循环小数，它的前九位数字是
Π=3.14159265。。。
下面的等式，可以通过将一些有趣的数相乘，得出圆周率来：
1.09999901×1.19999911×1.39999931×1.69999961
等号前面的每一个因数，不考虑小数点，都是左右对称的。而在等号右边得到的，恰好是圆周率的一个很好的近似值。
2. 慷慨的“慈善家”
有一位“慈善家”准备在新年到来之际施舍穷人，他决定给每个男人1美元，每个女人40美分（1美元为100美分），在圣诞节正午12时他驾驶直升机飞到一个贫困山村去施舍穷人。他为什么要选择这个时刻呢？原因是他知道在此时此刻村庄里有60%的男人外出打猎，这样花费不多。已知该村庄的成年人口3085人，儿童忽略不计，女性比男性多。请问：这位慈善家得花多少钱？
3. 百鸟图
宋代文学家苏轼，不单诗词写得精彩，中国画也画得好。传说有一位广东的状元，名叫伦文叙，为苏轼画的《百鸟归巢图》题了个奇怪的诗：
天生一只又一只，
三四五六七八只。
凤凰何少鸟何多，
啄尽人间千万石。
画的标题中说是“百鸟”，题诗中却不见百字的踪影，似乎只管数鸟儿有多少只：一只，又一只，三、四、五、六、七、八只，数到八只结束。画中的鸟儿，究竟是八只还是一百只呢？要想解开这个谜，可以把鸟儿只数的数字写成一行：
1,1,3,4,5,6,7,8
这些数合在一起，与100有没有关系呢？
第二节 分数、小数的运算
教学目标：
1. 理解分数四则运算的含义，能正确的利用计算法则进行运算。
2. 理解小数四则运算的含义，能正确的利用计算法则进行运算。
3.掌握常用的计算方法和计算工具。
教学过程
一、复习
（一）问题一
1. 数的最高数位的规定：一个整数最高位上的数字不能是0，为什么？
2. 最小、最大的一位数和两位数是什么？
3. 用“四舍五入法”“进一法”“去尾法”取近似数的根本区别？
4. 所有的自然数，不是奇数就是偶数吗？
5. 转盘之谜
商人说：“请你们看一样东西。”说着拿出一套东西并对它详细作了介绍：一个写着1---12的数字圆盘，圆盘中心竖立一个可以转动的木棒，木棒上端连着一根横杆，横杆的一端用线系着一根指针。花2角钱可以转动一次。指针停在圆盘的哪一格，就从下一格起，按照指针指的数字数几格。数到哪格，那格里的奖品便归你所有。商人又指着图，举例说：“如果指针停在5字格，就从6字格起数5格，结果终止在10字格，10字格的奖品是橡皮，你可以取走。”
这个数字转盘中，每一格都有奖品，只要参加一定能得奖！奖品价值大小不等，小到铅笔、橡皮、糖果。。。大到金笔、手表、计算器。。。奇怪的是，玩这种游戏的人，每次所能得到的，都是一些低廉的东西，金笔、手表之类的贵重物品从来没有人能拿走，难道真是参加的运气都不佳吗？
（二）问题二
6. 简述自然数的产生过程。
7. 阿拉伯数字的由来
8.“2是质因数”的说法对吗？
9. 质数、质因数和互质数的区别？
（三）问题三
10. 简述负数的产生过程。
11. 互质的两个数必须都是质数吗？
12. 用短除法求两个数的最小公倍数和最大公因数的方法相同吗？
13. 在表示近似数的时候，小数的末尾的0为什么不能去掉？
一个三位小数，四舍五入是0.20，这个三位小数是（ ），最小是（ ）。
15. 损失的钱
某城市的步行街头开了一家鞋店。有一天，鞋店来了一位戴眼镜的顾客，他买了一双价值40元的鞋子，拿出一张100元的人民币递给营业员。因为店里零钱不够，营业员就把这张钞票拿到隔壁的文具店，换了10张10元的钞票。交给顾客60元以后，自己留下40元。
不一会儿，文具店的会计过来了，他拿着那张100元的钞票说这是假币。鞋店营业员仔细一看，果不其然。鞋店营业员回到店里，拿着一张真的100元的钞票，还给了文具店的会计。当营业员开始计算自己的损失时，由于心情不好，老是算不出来。请你帮忙算一算，他损失的钱究竟是多少？
二、新授
（一）分数的四则运算
1分数加法
（1）分数加法概念
定义：有两个分数，分别以其中一个分数的分子与另一个分数分母相乘，把得到的两个的和做分子，以两个分数的分母的积作分母，这样所得的分数叫做这两个分数的和。求两个分数的和的运算叫做分数加法。
如果有两个分数
和 ，那么
+ =
其中，
是它们的和。 和 是加数，
含义：分数加法的意义与整数的加法的意义相同，就是把几个数合并在一起，求它们的和一共是多少的运算方法。
(2)分数加法的运算法则
用两个分数的分母的积作公分母，进行通分，然后用这个公分母作和的分母，用通分后的两个分子的和作和的分子。
(3)整数加法的运算定律推广到分数加法
2. 分数减法
（1）分数减法概念
定义：已知两个分数
和 ，求一个分数 ，
使
记作 与 的和等于 ，这种运算叫做分数减法，
— =
其中 是被减数， 是减数， 是 与 的差。 含义：分数减法的意义与整数的减法的意义相同，就是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
（2）分数减法的运算法则
— =
用两个分数的分母的积作公分母，进行通分，然后用这个公分母作差的分母，用通分后两个分子的差作差的分子。
（3）整数减法的运算定律推广到分数减法
3. 分数乘法
（1）分数乘法概念
定义：用两个分数的分子的积作分子，分母的积作分母，所得的分数叫做这两个分数的积，求两个分数的积的运算叫做分数乘法。
如果两个分数
和 ，那么
× =
其中，
含义： 和 是因数， 是它们的积。
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
一个数乘分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少。
（2）分数乘法的运算法则
两个分数相乘就是把它们的分子、分母分别相乘作积的分子和分母。
（3）整数乘法的运算定律推广到分数乘法
4. 分数除法
（1）分数除法的概念
定义：已知两个分数 和 ，求一个分
数 ，使 与
叫做分数除法。记作
的积等于 ，这种运算
÷ =
其中
含义： 是被除数， 是除数， 是 与 的商。
÷ = 也就是使得：
× = ， × =
计算
÷ ，就是已知一个数的 是 ，求
这个数；或求 是 的几分之几。
（2）分数除法的运算法则
÷ = × =
用被除数的分子与除数的分母的积作商的分子，用被除数的分母与除数的分子的积作商的分母，即把除数的分子和分母颠倒位置以后与被除数相乘。
（3）整数除法的运算性质推广到分数除法
（二）小数的四则运算
1. 小数的加法和减法
（1）小数的加法和减法的意义
小数的加法和减法的意义与整数的加法和减法的意义相同。
（2）小数的加法和减法的计算法则
小数的加法和减法的运算法则与整数的加法和减法的运算法则类似，小数点对齐也就是相同数位对齐。
2. 小数的乘法和除法
（1）小数乘法的意义
小数乘整数与整数乘法的意义相同，就是求几个相同小数的和的简便运算。
一个数乘小数就是求这个数的十分之几（或者百分之几，千分之
几。。。）是多少。
（2）小数乘法的运算法则
3. 小数的除法意义
小数的除法意义与整数的除法意义相同，就是已知两个因数的积和其中一个因数，求另外一个因数的运算。
小数除法的计算方法
（三）计算方法与计算工具
1. 计算方法
口算
估算
笔算
表算
算法的多样化
解文字题
口算，也称为心算。
口算的高级形式是速算。
口算一般采用视算和听算两种形式。
小学口算大致分为基本口算和简单的速算两种。
小学中常用的速算方法
A 运用运算定律和运算性质
1200÷ 25 1200÷ 25÷ 4
25×19×4 88×125
B 补数凑整法
536-198 536-201
C 分解法
25 ×1.25 ×32
D 基准数法
31+35+32+28+29
E 分组法
+ 0.23+0.77+
6324-（789-676）
F 公式法
1+2+3+4+。。。。。。+100
G 转化法
78 ×5
37 ÷ +125 ×
小学数学几种特殊的速算方法：
1. 一个数乘或者除以0.5的速算
一个数乘0.5等于这个数的一半；一个数除以0.5等于这个数的2倍。
1.26 ÷0.5 1.26 ×0.5
2. 一个数乘1.5等于这个数加上这个数的一半。
1.26 ×1.5
3. 一个数乘11的速算
一个数乘11可以用“两头一拉，中间相加”
36 ×11
4. 十几乘十几的速算
十几乘十几可以“两个个位数与10相加的和乘10再加上两个个位数的积”来简算。
12 ×13=（2+3+10） ×10+2 × 3
5. 首数相同，尾数和是10的两位数相乘的速算
首数相同，尾数和是10的两位数相乘，用（头+1） ×头的积作为积的前两位数字，用尾×尾的积作为积的后两位数字。
83 ×87=7221,82 ×83=7206
25 ×25= 625 ， 45 ×45=2025
6. 尾数相同，首数和是10的两位数相乘的速算
用头×头+尾的和作积的前两个数字，用尾×尾的积作为积的后两个数字，如果积是一位数，就在它的前面用0补位。
72 ×32=2304
7. 一个数乘15的速算
一个数乘15等于这个数加上它的一半的和再乘10.
34 ×15=（34+17） ×10=510
2. 计算工具
算盘
电子计算器
三、拓展知识
1. 分数的产生
世界上第一个“人为”的数是正分数。从逻辑上看，应该是先有负整数，再有分数。但是历史的顺序却正好相反。负数最早出现在中国的《九章算术》（约公元前1世纪），而有历史记录的分数则出现在古代埃及的纸草书上，距今约4000年。我国的分数记载出现在春秋战国时代（公元前770年-前476年《左传》中），规定了诸侯的都城大小：最大的不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的
不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三白六十五又四分之一天。 《九章算术》也叙述了完整的分数知识。
4000多年前，古埃及就有了分数符号。2000多年前，中国用算筹表示分数。后来，印度人用阿拉伯数字表示分数，但是没有分数线。公元12世纪，阿拉伯人发明了分数线，这种方法一直延续到至今。
中文数字名词“三分之一”“几分之几”，确实既精确又达意，比起英文的one-third （一和第三）来，要容易理解。在东南亚许多使用汉字的国家和地区，学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好，据说与此有关。
2. 单位“1”的含义
单位“1”是极为重要的数学概念。它表示要平均分的人和事物的整体。小到被平均分的事物的一部分，大到有限数量的任何事物，我们都可以把它看作单位“1”，但要注意的是，无限多的事物不能看作单位“1”，因为无限多的事物是不能平均分的。掌握单位“1”是学好 相关知识的基础。
3. 分数单位的含义
分数单位的概念很重要。和自然数的单位不同，分数单位并不是一个固定的数。决定分数单位的是分数的分母，分母是几，分数单位就是几分之一，分母越大，分数单位越小。分子是几，就是有几个这样的分数单位。因为分母不同的分数，它们的分数单位也不同。所以，我们在比较两个不同分母的分数大小或计算分母不同的分数加减法时，通常要先统一分数单位。
4. 小资料
我国古代数学著作《九章算术》（在公元前100年到公元100年间成书），把分数加法叫做合分，法则是：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。
这里的实是被除数，也就是分子，法是除数，也就是分母；实如法而一，是把假分数化为带分数的方法，而如果分子大于分母，则从分子中取出和分母相同的数（实如法）就得到整数1.
《九章算术》把分数减法叫做减分，法则是：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。
《九章算术》把分数乘法叫做乘分，法则是：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。
《九章算术》把分数除法叫做经分，法则是：法分母乘实（为实），实分母乘法（为法），实如法而一。
5. 分数乘法的合理性
求两个分数的乘积非常简单：分子乘分子，分母乘分母。但究竟为什么要这样做呢？也许有人要问：为什么求两个分数之和时，分子、分母不能分别相加，但在乘法时就可以分别相乘了呢？这就是我们要探讨分数乘法意义的合理性问题。
分数的乘法不能沿用自然数的乘法思想。例如2乘3，就是3个2或者2个3相加，或者说长度是2或者3的线段，连续量3次或2次。但是对于分数二分之一乘三分之二，则不能说三分之二个二分之一相加，也不能说把长度是二分之一的线段量三分之二次。
1.我们可以把两个分数通分成同分母的分数，这样一来，就可以用单位分数把乘法看成是连加了。比如上边的例子变成六分之三乘六分之四，就是分子连加3个4得12，分母连加6个6得36，结果是三十六分子十二就是三分之一。
2. 通常我们可以用图示法给以直观说明
6. 一百只羊
一百只羊来自中国古代数学书《算法统宗》。
甲赶群羊逐草茂，乙扯肥羊一只随其后，
细问甲及一百否？甲云所说无差缪，
若得这般一群凑，再添半群小半群，
得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？
7. 年龄之谜
“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列数目，
便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生，
不料儿子竟先其父四年而终，
只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，丢番图活到多大，
才和死神见面？”
请你算一算，丢番图到底活到多少岁？
四：趣题赏析
1. 乘出的圆周率
π的值是一个无限不循环小数，它的前九位数字是
Π=3.14159265。。。
下面的等式，可以通过将一些有趣的数相乘，得出圆周率来：
1.09999901×1.19999911×1.39999931×1.69999961
等号前面的每一个因数，不考虑小数点，都是左右对称的。而在等号右边得到的，恰好是圆周率的一个很好的近似值。
2. 慷慨的“慈善家”
有一位“慈善家”准备在新年到来之际施舍穷人，他决定给每个男人1美元，每个女人40美分（1美元为100美分），在圣诞节正午12时他驾驶直升机飞到一个贫困山村去施舍穷人。他为什么要选择这个时刻呢？原因是他知道在此时此刻村庄里有60%的男人外出打猎，这样花费不多。已知该村庄的成年人口3085人，儿童忽略不计，女性比男性多。请问：这位慈善家得花多少钱？
3. 百鸟图
宋代文学家苏轼，不单诗词写得精彩，中国画也画得好。传说有一位广东的状元，名叫伦文叙，为苏轼画的《百鸟归巢图》题了个奇怪的诗：
天生一只又一只，
三四五六七八只。
凤凰何少鸟何多，
啄尽人间千万石。
画的标题中说是“百鸟”，题诗中却不见百字的踪影，似乎只管数鸟儿有多少只：一只，又一只，三、四、五、六、七、八只，数到八只结束。画中的鸟儿，究竟是八只还是一百只呢？要想解开这个谜，可以把鸟儿只数的数字写成一行：
1,1,3,4,5,6,7,8
这些数合在一起，与100有没有关系呢？