第二章 质点动力学
前一章我们学习了质点运动学，我们已经清楚地知道，物体的运动方式和如何描述物体的运动。那么，它为什么做这样的运动而不做别的运动呢？本章中将解释这一问题，即本章的任务就是进一步讨论物体为什么做这样或那样的运动。力学中将这部分称为动力学。所谓动力学就是以牛顿运动定律为基础建立起来的研究宏观物体运动状态改变时所遵守的规律。
本章的主要内容是通过阐述牛顿运动定律的内容，讨论其在研究质点和质点系运动规律方面的初步应用等。
2.1牛顿运动定律
牛顿不仅是历史上伟大的物理学家，也是杰出的数学家和哲学家，他总结了伽利略、开普勒等人的工作，创立了完整的经典力学体系。在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，他提出了著名的牛顿运动定律，奠定了经典力学的核心。
2.1.1 牛顿运动定律的内容
牛顿运动定律由三条定理组成。
一 牛顿第一运动定律
古希腊哲学家亚里斯多德认为：静止是物体的自然状态，要使物体以某一速度做匀速运动，必须有力作用在其上才行。这一观点一直受到人们的认可，人们确实看到水平面上运动的物体，在撤掉推力后最终都要停下来。直到17世纪，意大利物理学家和天文学家伽利略通过假想实验得出，物体在水平面上运动趋于静止的原因是有摩擦力作用在物体上的结果。伽利略指出，力不是维持物体运动的原因，而是使物体运动状态改变的原因。
牛顿在继承和发展了伽利略见解的基础上，得到了他的第一运动定律：任何物体都要保持静止或匀速成直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。其数学表示形式为
F =0时，v =恒矢量 (2-1)
这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态不变的特性，物体的这种保持运动状
态不变的性质称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动。第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，所以第一定律又称惯性定律。
由于运动具有相对性，对于不同的参考系而言，物体的同一运动在不同的参考系下将有不同的结果，所以，牛顿第一运动定律也定义了一种参考系。在一些参考系中观察不受外力作用的物体时，那些得到物体静止或保持匀速直线运动状态不变的参考系是等价的，这些参考系被称为惯性系。
二 牛顿第二运动定律
物体在运动时总具有速度v ，我们把物体的质量m 与其运动速度v 的乘积称作物体的动量，用p 表示，即
p =m v (2-2)
显然，动量p 是矢量，其方向与速度v 方向相同，它也是一个表示物体运动状态的物理量。牛顿第二运动定律说明了物体受到的合外力与其动量之间的关系：物体动量随时间的变化率
于物体上的合外力，即
F =
如果d p 等于作用d t d p d (m v ) = (2-3a) d t d t d m =0，则上式为 d t
F =m a =m d v (2-3b) d t
在国际单位制(SI ) 中，力F 的单位为牛顿，符号为N ，质量m 的单位为千克，符号为kg ，加速度a 的单位是米每平方秒，符号是m ⋅s 。
牛顿第二定律是牛顿力学的核心，也是质点运动学的核心。在笛卡尔直角坐标系中，牛顿第二定律表示成 -2
d v x ⎧F =m ⎪x d t ⎪d v y ⎪ ⎨F y =m (2-4) d t ⎪d v z ⎪F =m ⎪z d t ⎩
在自然坐标系下，牛顿第二定律表示成
d v ⎧F =m τ⎪d t ⎪ ⎨ (2-5) 2v ⎪F n =m ⎪ρ⎩
这里，F τ称为切向力，F n 称为法向力。
式(2-3)、(2-4)和(2-5)说明了力的叠加性：如果几个力同时作用在一个物体上，则F =∑F ，i F i =m a i ，这就是力的叠加原理。
牛顿第二运动定律所表述的合外力与加速度的关系是瞬时关系。
三 牛顿第三运动定律
物理学史上普遍认为，牛顿第一、第二运动定律是牛顿总结了伽利略等前人研究成果的基础上建立起来的，而第三运动定律是牛顿独立发现的。牛顿认为：“任何物体拉引或推压另一个物体时，同样也要被另一个物体拉引或推压。”这段话说明，物体间的作用是相互的，同性质的。牛顿第三运动定律表述如下：
两物体之间的作用力F 和反作用力F 大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用于两个物体上。
牛顿第三运动定律说明：
(1) 力总是成对出现的，作用力和反作用力同时作用、同时消失，分别作用在相互作用的两个物体上，不存在相互抵消；
(2) 作用力和反作用力总是属于同种性质的力。如弹性力的反作用力必定是弹性力，摩擦力的反作用力必定是摩擦力。
这三条定律大家在中学时已经非常熟悉了，在这里我们更注重应用微积分和矢量来解决一些问题。
2.1.2几种常见的力
应用牛顿运动定律解决问题的关键是要正确地分析物体的受力情况。力学中常见的力有弹性力、摩擦力、万有引力等，它们分别属于不同性质的力，弹性力和摩擦力属于接触力，而万有引力属于场力。 '
一 万有引力
自然界中，大到天体，小到微观粒子，任何两个物体之间都存在相互吸引的力，这种力称作万有引力。其规律遵从牛顿提出的万有引力定律：任何两个质点之间的万有引力的大小F 与这两个质点的质量乘积m 1⋅m 2成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比，方向沿两质点的连线，即
F =G m 1⋅m 2 (2-6) r 2
式中，G =6. 67⨯10-11N ⋅m 2⋅kg -2，是万有引力恒量。
应当指出的是，式(2-6)中的F 是两个质点之间的引力。对于两个有限大的物体，它们之间的引力为组成此物体的各个质点和组成另一个物体的各个质点之间的所有引力的矢量和。对于两个均匀球体之间的引力，计算表明，式(2-6)仍然适用。这时，m 1和m 2分别表示两个球体的质量，r 则表示两个球心的距离。例如，地球对其表面附近的一个质量为m 的吸引力就可以表示成F =G
这里，M 是地球的质量，R 是地球的半径。
重力就是地球对其表面附近的物体的吸引力。忽略地球自转的影响(这一忽略引起的误差不超过千分之四) ，物体所受重力就等于它所受的万有引力，即P =G
力加速度的理论公式 M ⋅m ，R 2M ⋅m =mg 。由此可得，地面上重R 2
g =G M 2R
-7可以计算，地面上相隔1m 的两个人之间的万有引力大约是10N ，这对人的活动没有任何影响，
是可以忽略的。但在宇宙天体之间，万有引力起着重要的作用，这是由于天体质量非常大的缘故。
二 弹性力
发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用。这种力被称作弹性力。由于形变的原因不同，弹性力的表现形式也不相同。主要表现形式是：
(1) 正压力(或支持力) ：两个相互接触的物体，因压挤而产生了形变(十分微小，难以观察到) ，因而产生对对方的弹性力作用，即正压力(或支持力) 。它们的大小取决于相互压紧的程度，方向总是垂直于接触面而指向对方。
(2) 张力：绳被拉紧时所产生的弹性力称为张力。它的大小取决于绳被拉紧的程度，方向总是沿着绳而指向绳要收缩的方向。一般情况下，绳子上各处张力的大小是不相等的，只有在绳子的质量可
以忽略的情况下，绳子内部各处的张力才相等。
(3) 弹簧的弹力：弹簧被拉伸或被压缩时，施于物体上的力。弹簧和形变的关系比较简单，遵从胡克定律：在弹性限度内，弹性力的大小F 与弹簧的形变量x 成正比。即
F =-kx (2-7)
其中，k 是弹簧的劲度系数，由弹簧本身的性质决定；负号表示弹性力的方向总是与形变发生的方向相反。
三 摩擦力
两个相互接触的物体有相对滑动或相对滑动趋势时，在它们的接触面间产生的一对阻止相对运动的力。相互接触的两个物体，有相对运动的趋势，但并不产生相对运动时，在它们的接触面间也会产生一对阻碍相对运动趋势的摩擦力，称作静摩擦力。实验表明，静摩擦力的方向与物体相对运动趋势的方向相反，大小视外力的大小而定，在0到最大静摩擦力f s 之间。最大静摩擦力为
f s =μs N (2-8a)
μs 是静摩擦系数，它与接触面的材料和表面情况有关。
当外力超过最大静摩擦时，两个相互接触的物体有相对滑动，在它们的接触面间产生的一对阻碍相对运动的力，称为滑动摩擦力。实验表明，滑动摩擦力的方向与物体相对运动的方向相反，其大小f k 与物体间的正压力N 成正比，即
f k =μk N (2-8b)
式中μk 为滑动摩擦系数，它不仅与接触面的材料、粗糙程度、干湿程度等因素有关，还与相对滑动速度的大小有关，在大多数情况下，速度越大，μk 越小。在相对速度不太大时，μk 可视作常数。
对于给定的一对接触面来说，μs >μk ，一般两者都小于1。
2.2 动量及动量守恒定律
从前面的学习内容可知，牛顿运动定律反映了力的瞬时性。对一个物体而言，若已知其受力情况，则可通过牛顿运动定律求得加速度与时间的函数关系，再由初始条件即可确定该物体的速度和运动方程，物体在任意时刻的位置也相应确定，这正是研究机械运动问题的初衷。在实际问题中，我们不仅
要研究力的瞬时效应，而且还要研究物体在力的持续作用下，力对物体所产生的积累效应，一种是力(或力矩) 在时间上的累积及累积效应，将在本部分中介绍，另一种是力在空间上的累积及累积效应，将在下部分中介绍。
2.2.1 冲量与质点的动量定理
现在，我们直接把牛顿第二运动定律写成微分形式
F d t =d p (2-9)
式中乘积F d t 就表示力在时间d t 内的累积量，称作在d t 时间内质点所受合外力的冲量。它表明在d t 时间内质点所受的合外力的冲量，等于同一时间内质点动量的增量。这一关系叫做动量定理的微分形式。为了考察力的时间积累效果，将上式从时间t 1到时间t 2积分，得
⎰t 2
t 1F d t =⎰d p =p 2-p 1 (2-10) p 1p 2
左侧积分表示外力在这段时间内的积累量，称作力的冲量。以I 表示，即
I =
则上式可写成 ⎰t 2t 1F d t (2-11a)
I =p 2-p 1 (2-11b)
冲量是一个过程量。式(2-10)和式(2-11)是动量定理的积分形式。它表明，质点在t 1到t 2这段时间内所受的合外力的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。后者是效
果，它取决于力在这段时间内的累积。值得注意的是，要产生同
样的效果，即同样的动量增量，力大力小都可以：力大时间短一
些，力小时间长一些。只要力的冲量一样，就可以产生同样的动
量增量。所以从过程的角度看，动量p 比速度v 更能恰当地反映
物体的运动状态。
事实上，在实际问题中力往往是变化的，不易直接求出。例图 2-1 平均冲力
如用锤子击打物体时，锤子对物体的作用力是不断变化的。但不论作用力怎样变化，力的作用效果——冲量都等于动量的增量。利用这一点，我们可以在研究短暂过程的冲击、碰撞等问题时，忽略复杂的中间过程，从而大大减化问题。为了对冲力的大小有个估计，通常引入平均冲力的概念。它是冲力对碰撞时间的平均。以表示平均冲力，则
1=t -t 0
由式(2-10)，得 ⎰F d t t 0t
=
∆p ∆t 式（2-10）或式(2-11)是质点的动量定理的矢量式，它们表明合外力的冲量的方向应和受力质点的动量增量的方向一致，而并不一定和质点的初动量或末动量的方向相同。由于它们是矢量形式，在具体应用时，往往要把矢量投影到坐标轴的方向，用分量方程进行计算，如在直角坐标系中动量定理可写成
⎧I =t 2F d t =mv -mv 2x 1x ⎪x ⎰t 1x ⎪t 2⎪ ⎨I y =⎰F y d t =mv 2y -mv 1y (2-12) t 1⎪⎪I =t 2F d t =mv -mv 2z 1z ⎪⎩z ⎰t 1z
这些公式说明，质点所受外力的冲量在某一方向上的分量，等于质点的动量在该方向的分量的增量。
例2-1 如图2-2所示，一质量为0.05kg 、速率为10m/s的钢球，以与钢板法线呈α=45 角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设球与钢板的碰撞时间为0.05s ，求在此碰撞过程中钢板所受的平均冲力。
解 按图所选定的坐标，v 1、v 2均在Oxy 平面内，v 1在Ox 、Oy 轴上的分速度大小分别为v 1x =-v cos α，
Oy 轴上的分速度大小分别为v 2x =v cos α，v 2在Ox 、v 1y =v sin α，v 2y =v sin α
由动量定理的分量式(2-11)，可得在碰撞过程中球所受的平均冲量大小为
x ∆t =mv 2x -mv 1x =mv cos α-(-mv cos α) =2mv cos α
y ∆t =mv 2y -mv 1y =mv sin α-mv sin α=0
因此，球所受的平均冲力大小为： 图 2-2
=x =2mv cos α ∆t
方向与Ox 轴正向相同。如令'为球对钢板的平均冲力，则由牛顿第三运动定律，有 =-，即球对钢板作用的平均冲力与钢板对球作用的平均冲力大小相等，方向相反，故有
'=
代入已知数据
2mv cos α ∆t
2⨯0. 05⨯10⨯cos 45
'==14. 1N 0. 05
'的方向与Ox 轴正向相反。
2.2.2 质点系的动量定理
有相互作用的若干质点组成的系统，一般称为质点系。系统内部各质点间的相互作用力称为内力。系统以外的其他物体对系统内任意一质点的作用力称为外
力。例如，由地球与月球组成系统，它们之间的相互作用力
即是内力，由于太阳在这个系统之外，故太阳对地球或月球
的引力都是外力。 2 如图2-3所示，设想由两个质点组成的系统，两质点的图2-3 质点系的内力与外力 质量分别为m 1和m 2。从质点m 1来看，它受到外力F 1和质
点m 2作用于它的内力F 12。同样地，m 2受到外力F 2和质点m 1作用于它的内力F 21。根据质点的动量定理，在d t 的时间间隔内，两质点所受力的冲量，以及由此引起的动量的变化为
⎧(F 1+F 12) d t =d p 1 ⎨(F +F ) d t =d p 212⎩2
两式相加，有：
[(F 1+F 2) +(F 12+F 21)]d t =d(p 1+p 2)
式中F 12和F 21是一对作用力和反作用力，依据牛顿第三运动定律，F 12+F 21=0，所以
(F 1+F 2) d t =d(p 1+p 2)
上式表明，两质点组成的质点系的总动量在d t 时间内的增量等于同一时间内质点系所受的合外力的冲量，与系统内力无关。这个结论说明：内力可以改变系统内每一个成员的动量，但不能影响系统的总动量。
上述结论可以推广应用到多个质点组成的系统中。由于系统的各个内力总是以作用力和反作用力的形式成对出现的，所以它们的矢量和等于零，因此可得到系统总体的动量可用下式表示
(∑F i ) d t =d(∑p i ) (2-13a)
i =1
i i =1其中，∑F 为系统所受的合外力，∑p 为系统的总动量。以F i
i =1i =1ex 和P 分别表示此合外力和总动
量，则上式可写成
F ex d t =d P (2-13b)
此即为质点系的动量定理，它表明，在d t 时间内质点系的总动量的增量等于在这段时间内作用于质点系的合外力的冲量。
可以看出，只有外力的冲量才对体系的总动量变化有贡献，内力对体系的总动量变化没有贡献，只是将体系的总动量在系统内部重新分配。应该注意，质点系在任意时刻的总动量等于系统内每一个质点在该时刻动量的矢量和。
对式(2-13b)从时间t 1到时间t 2内积分，得质点系动量定理的积分表达形式
⎰
t 2t 1F ex d t =P 2-P 1 (2-14a) 上式左端是质点系所受到的合外力的冲量，右端是质点系动量的增量。 同质点的动量定理一样，质点系的动量定理也可以写成分量形式：
⎧t 2F ex dt =P -P ∑x ∑0x ⎪⎰t 1∑x ⎪t 2ex ⎨⎰t ∑F y dt =∑P y -∑P 0y (2−14b)
⎪1
t 2⎪⎰∑F z ex dt =∑P z -∑P 0z ⎩t 1
即，质点系所受的合外力在某一坐标轴方向的分冲量，等于质点系中各质点在该方向的动量增量之和。
例2-2 如图2-4所示，一柔软链条长为l ，单位长度的质量为λ。链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链条因自身重力开始落下。求：链条下落速度与落下距离之间的关系。设链条与各处的摩擦均略去不计，且认为链条柔软得可自由伸开。
解 选取如图所示坐标系，设某时刻t 下垂部分的链长为y ，此时桌面上尚余有长为l -y 的链条。选取链条为一系统，那么此系统含有竖直悬挂的链条和在桌面上的链条两部分，它
们之间的作用力为内力。由于链与各处的摩擦略去不计，故下垂部分
链条所受的重力大小m 1g ，桌面上链条所受的重力大小m 2g ，所受的
支持力N =-m 2g ，所以作用于系统的外力为F ex =m 1g ，其中
ex m 1=λy 。在无限小时间间隔d t 内，外力F 在Oy 轴上的冲量应为图2-4
F d t ，所以，由质点系的动量定理可得 ex
F ex d t =λyg d t =d p (1)
d
p 为系统即整个链条的动量增量。考虑到桌面上那部分链条处于静止状态，其速度恒为零，因此整个链条中只有下垂
部分的动量在改变。
在时刻t ，链条下垂长度为y ，下落速度为v ，因此这部分链条的动量大小为：
p =m 1v =λyv
随着链条下落，链条下部分的长度及速度均在增加。在d t 时间里，下垂部分链条动量的增量为：
d p =λd (yv )
把它代入(1)式有
λyg d t =λd (yv )
即
yg =
等式两边各乘以y d y ，上式为 d (yv ) d t
gy 2d y =y d y d (yv ) =yv d (yv ) (2) d t
已知在开始时，链条尚未下落，其下落速度当然也为零，即(yv ) y =0=0。于是式(2)的积分为
g ⎰y 2d y =⎰yv d (yv )
00y yv
得
12v =(gy ) 2 3
这就是链条下落速度与落下距离之间的关系。
2.2.3 动量守恒定律
由式(2-13)可以看出，当质点系不受外力或所受合外力为零时，即F =0，则 ex
P =恒矢量
亦即
∑p =∑m v i
i =1i =1i i =恒矢量 (2-15)
这就是说当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。这一结论称作动量守恒定律。
应用动量守恒定律分析、解决问题时，应该注意以下几点：
1 系统动量守恒的条件是合外力为零，即F =0。但在外力比内力小得多的情况下，外力对ex
质点系的总动量变化影响很小。这时可以认为近似满足守恒条件，也就是说可近似地应用动量守恒定律。例如两物体的碰撞过程，由于相互碰撞的内力往往很大，所以即使有摩擦或重力等外力，也常常可以忽略它们，而认为整体的总动量守恒。又如爆炸过程也属于内力远大于外力的过程，也可以认为在此过程中系统的总动量守恒。
2动量守恒表示式(2-15)是矢量关系式。在实际问题中，常应用其在直角坐标系中的分量式
⎧ex
⎪当F x =0时，P x =∑m i v ix =常量；
i
⎪⎪ex (2-16) ⎨当F y =0时，P y =∑m i v iy =常量；
i ⎪
⎪当F ex =0时，P =m v =常量。
∑z z i iz
⎪i ⎩
3由于我们是用牛顿定律导出动量守恒定律的，所以它只适用于惯性系。
2.3 质点的角动量
本节将介绍描述质点运动的另一个重要的物理量——角动量。在某种意义上，我们可以把角动量看做是质点所受力矩在时间上的一个累积效应。
2.3.1 质点的角动量定理
一个动量为p 的质点，它对惯性参考系中某一固定点O 的角动量L 用矢量矢积表示
L =r ⨯p (2-17)
式中，r 是质点相对于固定点的矢径(图2-5) 。根据矢积的意义，可知角动量的大小为
（b ）
图2-5 质点的角动量
图2-6 圆周运动的角动量
L =rp sin θ=mrv sin θ
其中，θ是r 和p 两矢量间的夹角。L 的方向垂直于r 和p 所决定的平面，其指向可用右手螺旋定
则确定，即用右手四指从r 经过小于180角转向p ，大拇指指示的方向为L 的方向。
按式(2-4)，质点的角动量不但取决于质点的动量，还取决于它相对固定点的矢径，即固定点位置的选择。同一质点，相对于不同的固定点，它的角动量有不同的值。因此，在说明一个质点的角动量时，必须指明是对哪一个固定点说的。
例如，一个质点沿半径为r 的圆周运动，如图2-6所示，其动量为大小为p =mv 时，它对圆心
O 的角动量的大小为L =mrv =mr 2ω，方向由右手螺旋定则判断，向上。
我们知道，一个质点的动量p =m v 对时间的导数是质点所受的合外力。质点角动量对时间的导数又是什么呢？我们来求角动量对时间的导数
d L d d p d r =(r ⨯p ) =r ⨯+⨯p
d t d t d t d t
d r d p =v ，而p =m v ，所以第二项等于零。又由于F =由于，所以 d t d t
d L
=r ⨯F
d t
此式等号后面的一项矢积，称作合外力对固定点(即计算L 时用的那个固定点) 的力矩，以M 表示力矩，就有
M =r ⨯F (2-18)
这样，式(2-18)就写成
M =
这就是质点的角动量定理的微分形式，它表明：质点所受的合外力矩等于质点角动量对时间的变化率(力矩和角动量都是对于惯性系中同一固定点说的) 。
从时间t 1到t 2这段时间，质点受力矩作用的累积
式中，
d L
(2-19) d t
M
m
⎰
t 2
t 1
M d t =L 2-L 1 (2-20)
⎰
t 2
t 1
M d t 称为冲量矩。上式表明，质点所受到的冲量矩等于质点角动量的增量，这就是质点
角动量定理积分形式。
我们下面来说一下这里的力矩，这个概念在中学的时候大家已经接触过。由式(2-18)，力矩的大
小是M =rF sin θ，从图2-7可以看出r sin θ=d ，恰是从力的作用点(质点m 处) 到力的作用线的垂直距离，即是力臂。
2.3.2 质点的角动量守恒定律 根据式(2-19)，如果M =0，则
d L
=0，因而 d t
L =常矢量 (2-21)
图2-9
这就是说，如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。这一结论称为角动量守恒定律。
可以指出，角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界的一条最基本的定律。 应该指出，由于M =r ⨯F ，满足M =0，可以是如下条件之一 (1) F =0；
例如，如图2-8所示，一不受外力作用的质点做直线运动，速率为v 。则它对距其垂直距离为d 的点O 的角动量为mvd ，方向垂直直面向外，且不管质点运动到哪一点，角动量矢量保持不变。
(2) 质点所受到力的作用线总通过一个固定点，这种力被称作有心力，固定点称作力心。对固定点而言，质点的角动量守恒。
例如，质量为m 的小木块受细绳约束，在光滑水平面上绕小孔O 作圆周运动，如图2-9所示。圆的半径为r 0，木块的速率为v 0。今缓慢地拉动绳子的一端，使小木块到点O 的距离逐渐减少，任意时刻木块的速率为v 。由于拉力过固定点O ，是有心力。故木块对点O 的角动量守恒。即有
mr 0v 0=m rv 。
2.4 功和能
2.4.1功
在本章的上两部分中，我们先介绍了力对质点或质点系在时间上的累积效应，引入了动量的概念，又介绍了力矩对质点在时间上的累积效应，引入了角动量的概念。在这部分中，我们将介绍力按空间（或路径）的累积效应，引入功的概念。
一质点在合外力F 的作用下，发生一无限小的位移d r 时，如图2-12所示，此力对它做的元功定义为力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积。以d W 表示元功，则 d W =F c o θs |d r |=F τ|d r |
式中F τ是力F 在d r 方向(亦即轨道切线上) 的分量，θ为力F 与位移d r 之间的夹角。按照矢量标积的定义，上式又可以写成
d W =F ⋅d r (2-22)
这就是说，功等于质点受到的力和它的位移的标积。
B F
O
d r
τ
A
图2-10
功的定义
图2-11 力沿一段路径做的功
注意，按式(2-22)的定义，功是标量，没有方向，但有正负。符号取决于cos θ。当0≤θ
π
2
时，
d W >0 ，力对质点做正功；当θ=
π
2
时，d W =0，力对质点不做功；当
π
2
≤θ
力对质点做负功，此时我们就说质点在运动过程中克服力F 做功了。 力在单位时间内做的功叫做功率，用P 来表示，即
P =
d W F ⋅d r
==F ⋅v (2-23) d t d t
功率越大，做同样的功花费的时间越少。所以，功率是量度力做功效率的物理量，在工程中非常有用。
在图2-11中，如果质点沿一曲线运动，从点A 到点B ，则整个AB 段上的功就是把沿整个路径上的所有元功加起来，即是对元功沿整个路径积分，即
W =⎰d W =⎰F ⋅d r (2-24)
AB
AB
这一积分在数学上称作力F 沿路径L 从点A 到点B 的线积分。当质点同时受到几个力的作用，如F 1，F 2，…，F N ，沿路径L 从点A 到点B 时，合力所做的功为
W =⎰F ⋅d r =⎰(F 1+F 2+... +F N ) ⋅d r
AB
AB
=⎰F 1⋅d r +⎰F 2⋅d r +... +⎰F N ⋅d r (2-25)
AB
AB
AB
=W 1+W 2+... +W N
这一结果表明：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。
例2-3 质量为2kg 的物体由静止出发沿直线运动，作用在物体上的力为F =6t (F 的单位是N ，t 的单位是s ) 。试求在0~2s 内，此力对物体所做的功。
解 这是一个一维运动，由元功的定义
d W =F ⋅d x =6t ⋅d x
为了能用上式计算变力的功，必须找到变量x 与时间t 之间的关系，以便统一变量进行积分。由F =6t 和F x =ma x ，有
a x =
由a =d v x ，有
x
d t
F x
=3t m
⎰
因为，t 0=0时，v x 0=0，所以
v
v x 0
d v =⎰3t d t
t
v x =1. 5t 2
由因为v =d x ，有
x
d t
d x =1. 5t 2d t
于是，在0~2s 内，力F 对物体所做的功
W =⎰F ⋅d x =⎰9t 3⋅d t =36. 0J
2
例2-4 一质量为m 的小球竖直落入水中，刚接触水面时其速率为v 0。设此球在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为f r =-bv ，b 是一常量。求阻力对球做的功与时间的函数关系。
解 由于阻力随球的速率而变化，故阻力做功是变力做功的问题。取水面上的某点为坐标原点O ，竖直向下为Oy 轴正向。由功的定义可知，水的阻力做功为
W =⎰f ⋅d y =⎰-bv d y =-b ⎰v
d y
d t =-b ⎰v 2d y (1) r d t
由于小球在下落过程中所受的浮力与重力相等，则小球仅受阻力作用，由牛顿第二定律
a f r y =
m =-bv m
而a y
=d v ，所以
d t
1d v =-b m
d t v 两边积分，得
v =v -b
0e
m
t 将(2)带入(1)，有
W =-bv
20
⎰e
-
2bt m
d t
设小球刚落入水面时为计时起点，即t 0=0，那么，上式的积分为
2bt
W =-bv
2t -
2bt 0
⎰e
m
d t =-bv 20
(-m 2b
)(e -
m -1)
即
2bt
W =12
mv 2-m
0(e -1)
2.4.2 动能定理
力对物体做功会产生什么效果呢？
将牛顿第二运动定律的定义式(2-3)代入到式(2-22)，可得
d W =F ⋅d r =F τ⋅|d r |=ma τd s
由于
a d v
τ=
d t
，d s =v d t 所以
d W =m
d v d t v d t =mv d v =d(1
2mv 2) 对于图2-11所示的从点A 到点B 路径，可利用式(2-24)，经过简单积分，得
W =
12mv 2-12
mv 2
B A (2)
(2-26a) (2-26b)
其中，v A 和v B 分别是质点经过点A 和点B 时的速率。式(2-26)说明：力对质点做功能改变质点的运动状态，在数值上对应的是
12
mv 量的改变。我们把这个量定义为动能，用E K 来表示，即 2
1
E K =mv 2
2
此时，式（2-26）就可以写成
d W =d E K (2-27a) W =E KB -E KA (2-27b)
式(2-26)或式(2-27)被称作动能定理。它说明：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
应该指出，动能定理适用于物体的任何运动，物体在外力的持续作用下经历某一段路径，不管外力是否是变力，也不管物体的运动状态如何复杂，其路径是曲线还是直线，合外力对物体所做的功总是取决于物体始末动能之差。这样，动能定理在解决某些力学问题时，往往比直接运用牛顿第二定律的瞬时关系要简便得多。
同动量定理一样，动能定理也只适用于惯性系。一个物体的动能对不同的惯性系是相对的，但在不同惯性系中动能定理表达式是不变的。
现在，我们着手把单个物体(质点) 的动能定理推广到由若干物体(质点) 组成的系统。为方便起见，先考虑两个质点组成的系统。如图2-12所示，两质点的质量分别为m 1和m 2。
2
m 1受到外力F 1和质点m 2作用于它的内力F 12。同样地，m 2
受到外力F 2和质点m 1作用于它的内力F 21。在这些力的作
图2-12 质点系的动能定理
用下，质点1和质点2沿各自的路径s 1和s 2运动。对质点1应用动能定理有
⎰F ⋅d r +⎰F
1
1
12
⋅d r 1=∆E K 1
同样，对质点2有
⎰F
两式相加，得
2
⋅d r 2+⎰F 21⋅d r 2=∆E K 2
⎰F ⋅d r +⎰F
1
1
2
⋅d r 2+⎰F 12⋅d r 1+⎰F 21⋅d r 2=∆E K 1+∆E K 2
ex
等号左边前两项是外力对质点系所做功之和，可用W
来表示，后两项是质点系内力所做的功之和。
用W 表示。等号右侧是质点系总动能的增量，可写成∆E K ，则
in
W ex +W in =∆E K (2-28)
上式它说明，所有外力对质点系所做的功和内力对质点系做功的总和等于系统动能的增量。这一结论很明显地可以推广到由任意多个质点组成的质点系，它就是质点系的动能定理。
这里应该指出的是，系统内力的功之和可以不为零，因而可以改变系统的总动能。我们通过分析如下例子加以理解。
木板B 上放有物体A ，水平外力F 作用在B 上，使
整个系统在光滑平面上运动。当B 的运动距离是s 时，A 相对于B 移动的长度是L ，如图2-15所示。系统的内力为A 与B 之间的相互作用力，共有两对，分别是N A 和N A ，f A 和f A 。由于N A 和
' '
与位移垂直，做功等于零。f A 作用在A 上，其对A 做功为W A =f A ⋅(s +L ) ；f A 作用在B 上，N A
'
'
图2-13 内力做功分析
其对B 做功为W B =-f A ⋅s 。由于f A 和f A 是一对相互作用力，大小相等，故系统内力所做的功W =W A +W B =f A ⋅L 。
可见，内力做功能改变系统的总动能，但不可以改变系统的总动量。
例2-5 如图2-14所示，长为1. 0m 的细绳，一端系有质量为1. 0kg 的小球，另一端固定于天花板上的O 点。开始时，把绳子放在与竖直线成30 角处，然后放手使小球沿圆弧下落，试求绳子与竖直线成10角时，小球的速率。
解 如图所示，设在开始时，绳子与竖直线之间的夹角为θ0，小球的速率v 0=0。
' '
图 2-14
在任意时刻t ，小球受到重力m g 和绳的张力T 的作用，绳与竖直方向成θ角，小球的速率v 。由功的定义，合外力的功
d W =F ⋅d r =T ⋅d r +m g ⋅d r (1)
由于张力T 的方向始终与小球的运动方向垂直，故
T ⋅d r =0
d W =m g ⋅d r =m g sin θd s (2)
由图2-14可知，位移d r 的大小d s =-l d θ，于是，(2)式写成
d W =-m g l sin θd θ
在摆角由θ0改变到θ的过程中，合外力所做的功为
W =-m g l ⎰sin θd θ=m g l (cosθ-cos θ0)
θ0
θ
由动能定理，得
W =m g l (cosθ-cos θ0) =
据题，v 0=0，故绳子与竖直线成θ角时，小球的速率为
1212 mv -mv 022
v =2g l (cosθ-cos θ0)
将已知数据l =1m ，θ0=30o ，θ=10o 代入上式，得
v =1. 53m ⋅s -1
2.4.3 保守力与非保守力 势能
在谈论这部分问题之前，我们先看两个例子，一个是弹性力做功的问题，一个是摩擦力做功的问题。
例2-6 有一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小物块，如图2-15所示。求小球的位置由A 到B 的过程中，弹性力对它做的功。设弹簧的劲度系数为k 。
解 这是一个路径为直线，但力随位置的不同而改变的例子。取坐标如图所示，x 轴与小球运动的直线平行，坐标原点O 是弹簧既不伸长也不缩短的位置(平衡位置) ，这样小球在任意位置x 时受到的弹性力可以表示为
图2-15
F =-kx i
小球发生一小段位移时，弹性力做功
d W =F ⋅d r =F ⋅d x i =-kx d x
小球的位置由Α到B 的过程中，弹性力对它做的功
x B 1212
W =⎰F ⋅d r =⎰(-kx ) ⋅d x =kx A -kx B
AB x A
22
这一结果说明，如果x A >x B ，弹簧缩短，弹性力做正功；否则弹性力做负功。
值得注意的是，弹性力的功只和弹簧的始末位置有关，而和弹簧伸长和缩短的中间过程无关。
例2-7 如图2-16所示，在水平桌面上有一个小物体，质量为m ，在外力作用下作两种运动，一种是沿半径为
R 的圆由Α到B 移动了半个圆周(图中L 1) ，另一种是沿直径直接由Α到B (图中L 2) 。物体与桌面的滑动摩擦系数为
μk 。求在这一过程中桌面对它的摩擦力所做的功。
解 物体在竖直方向上受到的重力和支持力平衡，仅需分析物体在桌面上的运动即可。物体在桌面上沿圆周运动，受到的摩擦力的作用，大小为
f k =μk N =μk mg
由于此摩擦力的方向总与位移d r 的方向相反，所以摩擦力的功为
d W =f k ⋅d r =-f k |d r |=-μk mg d s
其中d s 是相应于位移d r 的路程，则物体从Α到B 的过程中，摩擦力对它做的功就是
图2-16
W =⎰f k ⋅d r =-μk mg ⎰d s
AB
AB
积分
⎰
AB
d s 为从Α到B 物体的实际路程。对路径L 1，它等于πR ，对路径L 2，它等于2R ，所以
⎧-πμk mgR (沿L 1)
W =-μk mg ⎰d s =⎨
AB
⎩-2μk mgR (沿L 2)
此结果中的负号表示相对于桌面的移动来说，摩擦力总是做负功，此功的大小显然和物体经过的路径有关。
从上面的两个例子可以看出，力F 做功不仅与质点的始末位置、B 有关，还有可能与物体经过的路径有关。所以，一般情况下。功是过程量。按照力的做功性质，我们把做功与路径无关，仅与物体的始末位置有关的力称为保守力。不具备这种性质的力称为非保守力。显然，弹簧的弹性力是保守力，摩擦力是非保守力。下面我们再分析万有引力和重力的做功性质，看能够得到什么样结论。
一 万有引力的功
如图2-17所示。有一质量为m 的物体，在另一个质量为M 的静止物体的引力场中，沿任一路径从点A 到点B 。以r A 和r B 分别表示m 相对M 的始末距离。以
M 的中心为原点，某时刻m 的位矢为r ，在m 发生了
一个微小位移d r 后，万有引力做的元功为
Mm Mm
d W =F ⋅d r =-G 2e r ⋅d r =-G 2cos θ|d r |
r r
图2-17 万有引力的功
e r 为沿位矢r 的单位矢量。从图2-17中可以看出，cos θ|d r |=|r +d r |-|r |=d r ，带入上式，得
d W =-G
Mm
d r r 2
1r r A r 2
r B
所以，m 沿任一路径从点A 到点B 的过程中，万有引力做的功为
W =⎰
即
AB
d W =-GMm ⎰
W =-[(-G
Mm Mm
) -(-G )] (2-29) r B r A
这一结果只决定于两物体的始末距离，并不显示和路径形状有任何关系。因此，万有引力所做的功与质点移动的路径无关，只取决于两质点的始末相对位置，所以，万有引力是保守力。
二 重力的功
一质量为m 的物体，在重力的作用下沿图2-18所示的任一点从点A 到点B ，在m 发生了一个微小位移d r 后，重力所做的元功为
y
y d W =F ⋅d r =mg (-j ) ⋅(d x i +d y j ) =-mg d y
所以，m 沿任一路径从点A 到点B 的过程中，重力做的功为
y B
W =⎰
即
AB
d W =-mg ⎰d y
y A
y B
O
图2-18 重力的功
x
W =-(mgy B -mgy A ) (2-30)
上式表明重力做功与路径无关，只与物体的始末位置有关。所以，重力也是保守力。
综上，万有引力、重力和弹簧的弹性力都属于保守力，而摩擦力属于非保守力。
三 保守力的数学性质
如果力F 是保守力，它也可以用另一种方式来表示，如图2-19所示。若一质点m 在保守力F 的作用下自点A 沿路径L 1到点B ，或沿路径L 2到点
A
（a ）
B 。根据保守力做功与路径无关的性质，有
（b ） 图2-19 保守力的功
W L 1=W L 2，而
W L 1=L 1
则
L 1
⎰
AB
F ⋅d r W L 2=L 2
⎰
AB
F ⋅d r =-
L 2BA
⎰
F ⋅d r
⎰
AB
F ⋅d r =-L 2⎰F ⋅d r
BA
即
F ⋅d r =0 (2-31)
L
上式说明，保守力沿一闭合路径做功一圈等于零。式中的积分符号 四 势能
L
表示沿闭合回路L 的线积分。
我们把以上保守力(弹性力、万有引力和重力) 的功列出来，用W c 表示保守力做的功，F c 特别表示保守力，则
W c =⎰
AB
⎧1212
⎪-(2kx B -2kx A ) ⎪
Mm Mm ⎪
F c ⋅d r =⎨-[(-G ) -(-G )]
r r B A ⎪
⎪-(m gy B -m gy A ) ⎪⎩
这些力的功总是由某种相应形式的函数之差来表示。无论哪种保守力，我们把与位置有关的函数用符号E P 来表示，称作势能函数。则有
W c =-(E P B -E P A ) (2-32a)
或
W c =-∆E P (2-32b)
上式说明，保守力的功等于系统势能增量的负值。它说明，保守力的功仅和势能的差值有关。
将(2-32)改写为
E PA =W c +E PB (2-33a)
或
E P A =⎰F c ⋅d r +E P B (2-33b)
AB
可见，为了确定某处A 的势能，必须确定另外点B 处的势能，这说明势能的值具有相对性，而参考点
B 的选取具有任意性。一般情况下，可选取E P B =0，则式(2-33)改写成
E PA =⎰F c ⋅d r (2-34)
AB
此时要清楚，这里的点B 特指势能零点。对于弹性力可选择x =0，万有引力可选择r =∞，重力可选择y =0作为势能零点。这样，对任意一点而言，弹性势能为E P =
12
kx ，万有引力势能为2
E P =-G
Mm
，重力势能为E P =mgy 。 r
值得注意的是，势能是由物体间相对位置决定的能量，它实际上是两个或两个以上以保守力相互作用的物体之间的作用能。因此，严格地讲，势能是属于相互作用物体系统共有的，通常说某物体具有多少势能只是简便的说法。例如重力势能为物体和地球共有，弹性势能为物体和弹簧所共有，等等。
2.4.4功能原理 机械能守恒定律
我们已经知道，按照力的做功性质，作用于质点上的力，有保守力和非保守力之分。因此，对于一个质点系来说，无论是内力还是外力，既可以是保守力，也可以是非保守力。若以W c 表示质点系内各保守内力的做功之和，以W nc 表示质点系内各非保守内力的做功之和，那么，质点系内一切内力所做的功应为
in in
W in =W c +W nc
in
in
此外，从式(2-32)知道，系统内保守力做的功等于系统内势能增量的负值，即
W c =-∆E P
根据质点系的动能定理，式(2-28)，W
ex
in
+W in =∆E K ，可以得到
in
W ex +W nc =∆E K +∆E P
即
W ex +W nc =∆(E K +E P )
我们把系统的动能E K 和势能E P 之和E K +E P 叫做机械能，用E 来表示。则上式又可写成
in
W ex +W nc =∆E (2-35)
此式表明：质点系在运动过程中，它所受的外力的功与系统内非保守力的功的总和等于机械能的增量，
in
这就是质点系的功能原理。
显然，当W ex +W nc =0时，有
in
∆E =0 (2-36)
这就是说，在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。这一结论叫作机械能守恒定律。在经典力学中，它是牛顿定律的一个推论，因此也只适用于惯性系。
式(2-36)也包含了这样的含义，即
∆E K =-∆E P
它说明，在机械能守恒条件下，系统内的动能和势能都不是不变的，两者之间可以互相转换，但动、势能之和是不变的。所以说，在机械能守恒定律中，机械能是不变量或守恒量，而质点系的动能和势能之间的转换则是通过质点系内保守力做功(W c ) 来实现的。
例2-8 如图2-20所示，一质量可以忽略不计的轻质弹簧，其一端系在垂直放置的圆环的顶点P ，另一端系一质量为m 的小球，小球穿过圆环并在圆环上作无摩擦的运动。设开始时小球静止于点A ，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径R ，当小球运动到圆环的底端点B 时，小球对圆环没有压力，求此弹簧的劲度系数。
解 取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的的重力、小球与弹簧间的相互作用均是保守力。而圆环对小球的支持力和点P 对弹簧的拉力虽都是外力，但都不做功。所以，小球从A 运动到B 的过程中，系统的机械能保持不变。因小球在点A 时弹簧处于自由状态，故取点A 的弹性势能为零；另
in
取点B 时小球的重力势能为零。那么，由机械能守恒定律，得
1212
mv +kR =mgR (2-sin 30o ) 22
其中，v 是小球在点B 时的速率。又小球在点B 时的牛顿第二定律方程为
kR -m g =m
解以上两式，得弹簧的劲度系数为
v 2
R
k =
2mg R
图2-20
2.4.5碰撞
如果两个或几个物体在相遇时，物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间，这些现象就是碰撞。日常生活中属于碰撞的物理现象是很多的，如锻打、打桩、球的碰撞，人跳上车或跳下车，以
及子弹射入物体内等。在这些现象中，发生碰撞的物体都是直接接触的。但是碰撞现象并不限于直接接触的物体，不直接接触的物体之间也会发生碰撞。例如，核反应过程大都属于非接触碰撞过程。
在碰撞过程中，由于物体之间的相互撞击力非常大，作用时间又非常短，以至于作用在物体上的外力，如重力、摩擦力以及空气阻力等相对很小，因此，动量守恒定律是适用的。如果在碰撞后，两物体的动能之和完全没有损失，那么这种碰撞称为完全弹性碰撞。另外，两物体碰撞时，由于非保守力的作用，可使机械能转换为热能、声能、化学能和其他形式的能量，或者其它形式的能量转换为机械能，这种碰撞就是非弹性碰撞。如果两物体在碰撞之后以同一速度运动，这种碰撞叫做完全非弹性碰撞。
能量守恒定律也总是适用的。这样，在许多情况下我们可以不知道碰撞的过程细节，而由这两个守恒定律原则上可知道碰撞的结果。
解决碰撞的问题，是非常有实际意义的。
例2-9 如图2-21，用一个轻质弹簧把一个金属盘悬挂起来，这时弹簧伸长了
l 1=10cm 。一个质量和盘相同的泥球从高于盘h =30cm 处由静止下落到盘上。求此盘向
下运动的最大距离l 2。
解 本题可分为三个过程进行分析。
首先是泥球自由下落的过程。泥球落到盘时的速度为
v =gh
接着是泥球和盘的碰撞过程。把盘和泥球看作一个系统，因二者碰撞时的冲力远大于它们受到的外力(包括弹簧的拉力和重力) 而且作用时间很短，所以可以认为系统的动量守
图2-21
恒。设泥球和盘的质量用m 表示，它们碰撞后刚粘在一起时的共同速度为V ，在y 方向上的动量守恒的分量式写成
mv =(m +m ) V
由此可得
V =
v
=gh /2 (1) 2
最后是泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球、盘和地球为系统，以泥球和盘开始共同运动时为系统初态，二者达到最低点时为系统末态。在此过程中只有保守力做功，所以系统的机械能守恒，以弹簧自然伸长为弹性势能零点，以盘最低位时是重力势能零点，则系统的机械能守恒表示为
1121
(2m ) V 2+(2m ) gl 2+kl 1=k (l 1+l 2) 2 (2) 222
当盘挂在弹簧上时，弹簧形变，伸长量是l 1，有关系
mg =kl 1
即
k =
解(1)、(2)和(3)，并将l 1=10cm ，h =30cm 带入，得
mg (3) l 1
l 2-20l 2-300=0
解得，
2
l 2=30, -10（舍去）
即得盘向下运动的最大距离是 l 2=30cm
例2-10 在宇宙中有密度为ρ的尘埃，这些尘埃相对于惯性参考系是静止的。有一质量为m 0的航天器以初速v 0穿过宇宙尘埃，由于尘埃粘到航天器上，致使航天器的速度发生改变，求：航天器的速度与其在尘埃中飞行时间的关系。为了便于计算，设想航天器的外形是截面为S 的圆柱体，如图2-22所示。
解 按本题条件，可以认为尘埃与航天器作完全非弹性碰撞，把尘埃与
航天器做为一个系统，考虑到航天器在自由空间中飞行，无外力作用在这个系统上，因此系统的动量守恒。若以m 0和v 0作为航天器进入尘埃前(t =0) 的质量和速度，m 和v 为航天器在尘埃中(时刻t ) 的质量和速度。由动量守恒定律，有
图
2-22
m 0v 0=mv (1)
此外，在t →t +d t 时间内，由于航天器和尘埃做完全非弹性碰撞，粘在航天器上尘埃的质量即是航天器所增加的质量，有
d m =ρS v d t (2)
由式(1)，有
ρS v d t =-
按已知条件，将上式积分
m 0v 0
d v v 2
ρS
m 0v 0
得
⎰
t
d t =-⎰
v
v 0
d v v 3
111ρS (2-2) =t 2v v 0m 0v 0
整理得
v =(
m 0
) 1/2v 0
2ρSv 0t +m 0
显然，航天器在尘埃中的时间越长，其速度就越低。
2.4.6 能量守恒定律
我们知道，如果外力和非保守内力都不做功，系统的动能和势能之和是保持不变的，但是如果系
统内部除重力和弹力等保守内力作功外，还有摩擦力等非保守力作功，那么系统的机械能就要转化成其它形式的能量。实验表明，对于一个孤立系统，或者与外界之间无能量交换的系统来说，系统内各种形式的能量之间可以互相转化，但能量的总和保持守恒。这一规律称为能量守恒定律。它可叙述为：能量即不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，从一种形式转化为另一种形式，而能量的总和保持守恒。
在能量守恒定律中，系统的总能量是不变化的，但能量的各种形式之间是可以相互转化的。例如
机械能、光能、电能、热能以及分子、原子、核能等能量之间都可以相互转换。应当指出，在能量转换过程中，能量的变化常用功来量度。
第二章 质点动力学
前一章我们学习了质点运动学，我们已经清楚地知道，物体的运动方式和如何描述物体的运动。那么，它为什么做这样的运动而不做别的运动呢？本章中将解释这一问题，即本章的任务就是进一步讨论物体为什么做这样或那样的运动。力学中将这部分称为动力学。所谓动力学就是以牛顿运动定律为基础建立起来的研究宏观物体运动状态改变时所遵守的规律。
本章的主要内容是通过阐述牛顿运动定律的内容，讨论其在研究质点和质点系运动规律方面的初步应用等。
2.1牛顿运动定律
牛顿不仅是历史上伟大的物理学家，也是杰出的数学家和哲学家，他总结了伽利略、开普勒等人的工作，创立了完整的经典力学体系。在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，他提出了著名的牛顿运动定律，奠定了经典力学的核心。
2.1.1 牛顿运动定律的内容
牛顿运动定律由三条定理组成。
一 牛顿第一运动定律
古希腊哲学家亚里斯多德认为：静止是物体的自然状态，要使物体以某一速度做匀速运动，必须有力作用在其上才行。这一观点一直受到人们的认可，人们确实看到水平面上运动的物体，在撤掉推力后最终都要停下来。直到17世纪，意大利物理学家和天文学家伽利略通过假想实验得出，物体在水平面上运动趋于静止的原因是有摩擦力作用在物体上的结果。伽利略指出，力不是维持物体运动的原因，而是使物体运动状态改变的原因。
牛顿在继承和发展了伽利略见解的基础上，得到了他的第一运动定律：任何物体都要保持静止或匀速成直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。其数学表示形式为
F =0时，v =恒矢量 (2-1)
这个定律说明任何物体都具有保持静止或匀速直线运动状态不变的特性，物体的这种保持运动状
态不变的性质称为惯性，而匀速直线运动也称为惯性运动。第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，所以第一定律又称惯性定律。
由于运动具有相对性，对于不同的参考系而言，物体的同一运动在不同的参考系下将有不同的结果，所以，牛顿第一运动定律也定义了一种参考系。在一些参考系中观察不受外力作用的物体时，那些得到物体静止或保持匀速直线运动状态不变的参考系是等价的，这些参考系被称为惯性系。
二 牛顿第二运动定律
物体在运动时总具有速度v ，我们把物体的质量m 与其运动速度v 的乘积称作物体的动量，用p 表示，即
p =m v (2-2)
显然，动量p 是矢量，其方向与速度v 方向相同，它也是一个表示物体运动状态的物理量。牛顿第二运动定律说明了物体受到的合外力与其动量之间的关系：物体动量随时间的变化率
于物体上的合外力，即
F =
如果d p 等于作用d t d p d (m v ) = (2-3a) d t d t d m =0，则上式为 d t
F =m a =m d v (2-3b) d t
在国际单位制(SI ) 中，力F 的单位为牛顿，符号为N ，质量m 的单位为千克，符号为kg ，加速度a 的单位是米每平方秒，符号是m ⋅s 。
牛顿第二定律是牛顿力学的核心，也是质点运动学的核心。在笛卡尔直角坐标系中，牛顿第二定律表示成 -2
d v x ⎧F =m ⎪x d t ⎪d v y ⎪ ⎨F y =m (2-4) d t ⎪d v z ⎪F =m ⎪z d t ⎩
在自然坐标系下，牛顿第二定律表示成
d v ⎧F =m τ⎪d t ⎪ ⎨ (2-5) 2v ⎪F n =m ⎪ρ⎩
这里，F τ称为切向力，F n 称为法向力。
式(2-3)、(2-4)和(2-5)说明了力的叠加性：如果几个力同时作用在一个物体上，则F =∑F ，i F i =m a i ，这就是力的叠加原理。
牛顿第二运动定律所表述的合外力与加速度的关系是瞬时关系。
三 牛顿第三运动定律
物理学史上普遍认为，牛顿第一、第二运动定律是牛顿总结了伽利略等前人研究成果的基础上建立起来的，而第三运动定律是牛顿独立发现的。牛顿认为：“任何物体拉引或推压另一个物体时，同样也要被另一个物体拉引或推压。”这段话说明，物体间的作用是相互的，同性质的。牛顿第三运动定律表述如下：
两物体之间的作用力F 和反作用力F 大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用于两个物体上。
牛顿第三运动定律说明：
(1) 力总是成对出现的，作用力和反作用力同时作用、同时消失，分别作用在相互作用的两个物体上，不存在相互抵消；
(2) 作用力和反作用力总是属于同种性质的力。如弹性力的反作用力必定是弹性力，摩擦力的反作用力必定是摩擦力。
这三条定律大家在中学时已经非常熟悉了，在这里我们更注重应用微积分和矢量来解决一些问题。
2.1.2几种常见的力
应用牛顿运动定律解决问题的关键是要正确地分析物体的受力情况。力学中常见的力有弹性力、摩擦力、万有引力等，它们分别属于不同性质的力，弹性力和摩擦力属于接触力，而万有引力属于场力。 '
一 万有引力
自然界中，大到天体，小到微观粒子，任何两个物体之间都存在相互吸引的力，这种力称作万有引力。其规律遵从牛顿提出的万有引力定律：任何两个质点之间的万有引力的大小F 与这两个质点的质量乘积m 1⋅m 2成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比，方向沿两质点的连线，即
F =G m 1⋅m 2 (2-6) r 2
式中，G =6. 67⨯10-11N ⋅m 2⋅kg -2，是万有引力恒量。
应当指出的是，式(2-6)中的F 是两个质点之间的引力。对于两个有限大的物体，它们之间的引力为组成此物体的各个质点和组成另一个物体的各个质点之间的所有引力的矢量和。对于两个均匀球体之间的引力，计算表明，式(2-6)仍然适用。这时，m 1和m 2分别表示两个球体的质量，r 则表示两个球心的距离。例如，地球对其表面附近的一个质量为m 的吸引力就可以表示成F =G
这里，M 是地球的质量，R 是地球的半径。
重力就是地球对其表面附近的物体的吸引力。忽略地球自转的影响(这一忽略引起的误差不超过千分之四) ，物体所受重力就等于它所受的万有引力，即P =G
力加速度的理论公式 M ⋅m ，R 2M ⋅m =mg 。由此可得，地面上重R 2
g =G M 2R
-7可以计算，地面上相隔1m 的两个人之间的万有引力大约是10N ，这对人的活动没有任何影响，
是可以忽略的。但在宇宙天体之间，万有引力起着重要的作用，这是由于天体质量非常大的缘故。
二 弹性力
发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用。这种力被称作弹性力。由于形变的原因不同，弹性力的表现形式也不相同。主要表现形式是：
(1) 正压力(或支持力) ：两个相互接触的物体，因压挤而产生了形变(十分微小，难以观察到) ，因而产生对对方的弹性力作用，即正压力(或支持力) 。它们的大小取决于相互压紧的程度，方向总是垂直于接触面而指向对方。
(2) 张力：绳被拉紧时所产生的弹性力称为张力。它的大小取决于绳被拉紧的程度，方向总是沿着绳而指向绳要收缩的方向。一般情况下，绳子上各处张力的大小是不相等的，只有在绳子的质量可
以忽略的情况下，绳子内部各处的张力才相等。
(3) 弹簧的弹力：弹簧被拉伸或被压缩时，施于物体上的力。弹簧和形变的关系比较简单，遵从胡克定律：在弹性限度内，弹性力的大小F 与弹簧的形变量x 成正比。即
F =-kx (2-7)
其中，k 是弹簧的劲度系数，由弹簧本身的性质决定；负号表示弹性力的方向总是与形变发生的方向相反。
三 摩擦力
两个相互接触的物体有相对滑动或相对滑动趋势时，在它们的接触面间产生的一对阻止相对运动的力。相互接触的两个物体，有相对运动的趋势，但并不产生相对运动时，在它们的接触面间也会产生一对阻碍相对运动趋势的摩擦力，称作静摩擦力。实验表明，静摩擦力的方向与物体相对运动趋势的方向相反，大小视外力的大小而定，在0到最大静摩擦力f s 之间。最大静摩擦力为
f s =μs N (2-8a)
μs 是静摩擦系数，它与接触面的材料和表面情况有关。
当外力超过最大静摩擦时，两个相互接触的物体有相对滑动，在它们的接触面间产生的一对阻碍相对运动的力，称为滑动摩擦力。实验表明，滑动摩擦力的方向与物体相对运动的方向相反，其大小f k 与物体间的正压力N 成正比，即
f k =μk N (2-8b)
式中μk 为滑动摩擦系数，它不仅与接触面的材料、粗糙程度、干湿程度等因素有关，还与相对滑动速度的大小有关，在大多数情况下，速度越大，μk 越小。在相对速度不太大时，μk 可视作常数。
对于给定的一对接触面来说，μs >μk ，一般两者都小于1。
2.2 动量及动量守恒定律
从前面的学习内容可知，牛顿运动定律反映了力的瞬时性。对一个物体而言，若已知其受力情况，则可通过牛顿运动定律求得加速度与时间的函数关系，再由初始条件即可确定该物体的速度和运动方程，物体在任意时刻的位置也相应确定，这正是研究机械运动问题的初衷。在实际问题中，我们不仅
要研究力的瞬时效应，而且还要研究物体在力的持续作用下，力对物体所产生的积累效应，一种是力(或力矩) 在时间上的累积及累积效应，将在本部分中介绍，另一种是力在空间上的累积及累积效应，将在下部分中介绍。
2.2.1 冲量与质点的动量定理
现在，我们直接把牛顿第二运动定律写成微分形式
F d t =d p (2-9)
式中乘积F d t 就表示力在时间d t 内的累积量，称作在d t 时间内质点所受合外力的冲量。它表明在d t 时间内质点所受的合外力的冲量，等于同一时间内质点动量的增量。这一关系叫做动量定理的微分形式。为了考察力的时间积累效果，将上式从时间t 1到时间t 2积分，得
⎰t 2
t 1F d t =⎰d p =p 2-p 1 (2-10) p 1p 2
左侧积分表示外力在这段时间内的积累量，称作力的冲量。以I 表示，即
I =
则上式可写成 ⎰t 2t 1F d t (2-11a)
I =p 2-p 1 (2-11b)
冲量是一个过程量。式(2-10)和式(2-11)是动量定理的积分形式。它表明，质点在t 1到t 2这段时间内所受的合外力的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。后者是效
果，它取决于力在这段时间内的累积。值得注意的是，要产生同
样的效果，即同样的动量增量，力大力小都可以：力大时间短一
些，力小时间长一些。只要力的冲量一样，就可以产生同样的动
量增量。所以从过程的角度看，动量p 比速度v 更能恰当地反映
物体的运动状态。
事实上，在实际问题中力往往是变化的，不易直接求出。例图 2-1 平均冲力
如用锤子击打物体时，锤子对物体的作用力是不断变化的。但不论作用力怎样变化，力的作用效果——冲量都等于动量的增量。利用这一点，我们可以在研究短暂过程的冲击、碰撞等问题时，忽略复杂的中间过程，从而大大减化问题。为了对冲力的大小有个估计，通常引入平均冲力的概念。它是冲力对碰撞时间的平均。以表示平均冲力，则
1=t -t 0
由式(2-10)，得 ⎰F d t t 0t
=
∆p ∆t 式（2-10）或式(2-11)是质点的动量定理的矢量式，它们表明合外力的冲量的方向应和受力质点的动量增量的方向一致，而并不一定和质点的初动量或末动量的方向相同。由于它们是矢量形式，在具体应用时，往往要把矢量投影到坐标轴的方向，用分量方程进行计算，如在直角坐标系中动量定理可写成
⎧I =t 2F d t =mv -mv 2x 1x ⎪x ⎰t 1x ⎪t 2⎪ ⎨I y =⎰F y d t =mv 2y -mv 1y (2-12) t 1⎪⎪I =t 2F d t =mv -mv 2z 1z ⎪⎩z ⎰t 1z
这些公式说明，质点所受外力的冲量在某一方向上的分量，等于质点的动量在该方向的分量的增量。
例2-1 如图2-2所示，一质量为0.05kg 、速率为10m/s的钢球，以与钢板法线呈α=45 角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设球与钢板的碰撞时间为0.05s ，求在此碰撞过程中钢板所受的平均冲力。
解 按图所选定的坐标，v 1、v 2均在Oxy 平面内，v 1在Ox 、Oy 轴上的分速度大小分别为v 1x =-v cos α，
Oy 轴上的分速度大小分别为v 2x =v cos α，v 2在Ox 、v 1y =v sin α，v 2y =v sin α
由动量定理的分量式(2-11)，可得在碰撞过程中球所受的平均冲量大小为
x ∆t =mv 2x -mv 1x =mv cos α-(-mv cos α) =2mv cos α
y ∆t =mv 2y -mv 1y =mv sin α-mv sin α=0
因此，球所受的平均冲力大小为： 图 2-2
=x =2mv cos α ∆t
方向与Ox 轴正向相同。如令'为球对钢板的平均冲力，则由牛顿第三运动定律，有 =-，即球对钢板作用的平均冲力与钢板对球作用的平均冲力大小相等，方向相反，故有
'=
代入已知数据
2mv cos α ∆t
2⨯0. 05⨯10⨯cos 45
'==14. 1N 0. 05
'的方向与Ox 轴正向相反。
2.2.2 质点系的动量定理
有相互作用的若干质点组成的系统，一般称为质点系。系统内部各质点间的相互作用力称为内力。系统以外的其他物体对系统内任意一质点的作用力称为外
力。例如，由地球与月球组成系统，它们之间的相互作用力
即是内力，由于太阳在这个系统之外，故太阳对地球或月球
的引力都是外力。 2 如图2-3所示，设想由两个质点组成的系统，两质点的图2-3 质点系的内力与外力 质量分别为m 1和m 2。从质点m 1来看，它受到外力F 1和质
点m 2作用于它的内力F 12。同样地，m 2受到外力F 2和质点m 1作用于它的内力F 21。根据质点的动量定理，在d t 的时间间隔内，两质点所受力的冲量，以及由此引起的动量的变化为
⎧(F 1+F 12) d t =d p 1 ⎨(F +F ) d t =d p 212⎩2
两式相加，有：
[(F 1+F 2) +(F 12+F 21)]d t =d(p 1+p 2)
式中F 12和F 21是一对作用力和反作用力，依据牛顿第三运动定律，F 12+F 21=0，所以
(F 1+F 2) d t =d(p 1+p 2)
上式表明，两质点组成的质点系的总动量在d t 时间内的增量等于同一时间内质点系所受的合外力的冲量，与系统内力无关。这个结论说明：内力可以改变系统内每一个成员的动量，但不能影响系统的总动量。
上述结论可以推广应用到多个质点组成的系统中。由于系统的各个内力总是以作用力和反作用力的形式成对出现的，所以它们的矢量和等于零，因此可得到系统总体的动量可用下式表示
(∑F i ) d t =d(∑p i ) (2-13a)
i =1
i i =1其中，∑F 为系统所受的合外力，∑p 为系统的总动量。以F i
i =1i =1ex 和P 分别表示此合外力和总动
量，则上式可写成
F ex d t =d P (2-13b)
此即为质点系的动量定理，它表明，在d t 时间内质点系的总动量的增量等于在这段时间内作用于质点系的合外力的冲量。
可以看出，只有外力的冲量才对体系的总动量变化有贡献，内力对体系的总动量变化没有贡献，只是将体系的总动量在系统内部重新分配。应该注意，质点系在任意时刻的总动量等于系统内每一个质点在该时刻动量的矢量和。
对式(2-13b)从时间t 1到时间t 2内积分，得质点系动量定理的积分表达形式
⎰
t 2t 1F ex d t =P 2-P 1 (2-14a) 上式左端是质点系所受到的合外力的冲量，右端是质点系动量的增量。 同质点的动量定理一样，质点系的动量定理也可以写成分量形式：
⎧t 2F ex dt =P -P ∑x ∑0x ⎪⎰t 1∑x ⎪t 2ex ⎨⎰t ∑F y dt =∑P y -∑P 0y (2−14b)
⎪1
t 2⎪⎰∑F z ex dt =∑P z -∑P 0z ⎩t 1
即，质点系所受的合外力在某一坐标轴方向的分冲量，等于质点系中各质点在该方向的动量增量之和。
例2-2 如图2-4所示，一柔软链条长为l ，单位长度的质量为λ。链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链条因自身重力开始落下。求：链条下落速度与落下距离之间的关系。设链条与各处的摩擦均略去不计，且认为链条柔软得可自由伸开。
解 选取如图所示坐标系，设某时刻t 下垂部分的链长为y ，此时桌面上尚余有长为l -y 的链条。选取链条为一系统，那么此系统含有竖直悬挂的链条和在桌面上的链条两部分，它
们之间的作用力为内力。由于链与各处的摩擦略去不计，故下垂部分
链条所受的重力大小m 1g ，桌面上链条所受的重力大小m 2g ，所受的
支持力N =-m 2g ，所以作用于系统的外力为F ex =m 1g ，其中
ex m 1=λy 。在无限小时间间隔d t 内，外力F 在Oy 轴上的冲量应为图2-4
F d t ，所以，由质点系的动量定理可得 ex
F ex d t =λyg d t =d p (1)
d
p 为系统即整个链条的动量增量。考虑到桌面上那部分链条处于静止状态，其速度恒为零，因此整个链条中只有下垂
部分的动量在改变。
在时刻t ，链条下垂长度为y ，下落速度为v ，因此这部分链条的动量大小为：
p =m 1v =λyv
随着链条下落，链条下部分的长度及速度均在增加。在d t 时间里，下垂部分链条动量的增量为：
d p =λd (yv )
把它代入(1)式有
λyg d t =λd (yv )
即
yg =
等式两边各乘以y d y ，上式为 d (yv ) d t
gy 2d y =y d y d (yv ) =yv d (yv ) (2) d t
已知在开始时，链条尚未下落，其下落速度当然也为零，即(yv ) y =0=0。于是式(2)的积分为
g ⎰y 2d y =⎰yv d (yv )
00y yv
得
12v =(gy ) 2 3
这就是链条下落速度与落下距离之间的关系。
2.2.3 动量守恒定律
由式(2-13)可以看出，当质点系不受外力或所受合外力为零时，即F =0，则 ex
P =恒矢量
亦即
∑p =∑m v i
i =1i =1i i =恒矢量 (2-15)
这就是说当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。这一结论称作动量守恒定律。
应用动量守恒定律分析、解决问题时，应该注意以下几点：
1 系统动量守恒的条件是合外力为零，即F =0。但在外力比内力小得多的情况下，外力对ex
质点系的总动量变化影响很小。这时可以认为近似满足守恒条件，也就是说可近似地应用动量守恒定律。例如两物体的碰撞过程，由于相互碰撞的内力往往很大，所以即使有摩擦或重力等外力，也常常可以忽略它们，而认为整体的总动量守恒。又如爆炸过程也属于内力远大于外力的过程，也可以认为在此过程中系统的总动量守恒。
2动量守恒表示式(2-15)是矢量关系式。在实际问题中，常应用其在直角坐标系中的分量式
⎧ex
⎪当F x =0时，P x =∑m i v ix =常量；
i
⎪⎪ex (2-16) ⎨当F y =0时，P y =∑m i v iy =常量；
i ⎪
⎪当F ex =0时，P =m v =常量。
∑z z i iz
⎪i ⎩
3由于我们是用牛顿定律导出动量守恒定律的，所以它只适用于惯性系。
2.3 质点的角动量
本节将介绍描述质点运动的另一个重要的物理量——角动量。在某种意义上，我们可以把角动量看做是质点所受力矩在时间上的一个累积效应。
2.3.1 质点的角动量定理
一个动量为p 的质点，它对惯性参考系中某一固定点O 的角动量L 用矢量矢积表示
L =r ⨯p (2-17)
式中，r 是质点相对于固定点的矢径(图2-5) 。根据矢积的意义，可知角动量的大小为
（b ）
图2-5 质点的角动量
图2-6 圆周运动的角动量
L =rp sin θ=mrv sin θ
其中，θ是r 和p 两矢量间的夹角。L 的方向垂直于r 和p 所决定的平面，其指向可用右手螺旋定
则确定，即用右手四指从r 经过小于180角转向p ，大拇指指示的方向为L 的方向。
按式(2-4)，质点的角动量不但取决于质点的动量，还取决于它相对固定点的矢径，即固定点位置的选择。同一质点，相对于不同的固定点，它的角动量有不同的值。因此，在说明一个质点的角动量时，必须指明是对哪一个固定点说的。
例如，一个质点沿半径为r 的圆周运动，如图2-6所示，其动量为大小为p =mv 时，它对圆心
O 的角动量的大小为L =mrv =mr 2ω，方向由右手螺旋定则判断，向上。
我们知道，一个质点的动量p =m v 对时间的导数是质点所受的合外力。质点角动量对时间的导数又是什么呢？我们来求角动量对时间的导数
d L d d p d r =(r ⨯p ) =r ⨯+⨯p
d t d t d t d t
d r d p =v ，而p =m v ，所以第二项等于零。又由于F =由于，所以 d t d t
d L
=r ⨯F
d t
此式等号后面的一项矢积，称作合外力对固定点(即计算L 时用的那个固定点) 的力矩，以M 表示力矩，就有
M =r ⨯F (2-18)
这样，式(2-18)就写成
M =
这就是质点的角动量定理的微分形式，它表明：质点所受的合外力矩等于质点角动量对时间的变化率(力矩和角动量都是对于惯性系中同一固定点说的) 。
从时间t 1到t 2这段时间，质点受力矩作用的累积
式中，
d L
(2-19) d t
M
m
⎰
t 2
t 1
M d t =L 2-L 1 (2-20)
⎰
t 2
t 1
M d t 称为冲量矩。上式表明，质点所受到的冲量矩等于质点角动量的增量，这就是质点
角动量定理积分形式。
我们下面来说一下这里的力矩，这个概念在中学的时候大家已经接触过。由式(2-18)，力矩的大
小是M =rF sin θ，从图2-7可以看出r sin θ=d ，恰是从力的作用点(质点m 处) 到力的作用线的垂直距离，即是力臂。
2.3.2 质点的角动量守恒定律 根据式(2-19)，如果M =0，则
d L
=0，因而 d t
L =常矢量 (2-21)
图2-9
这就是说，如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。这一结论称为角动量守恒定律。
可以指出，角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界的一条最基本的定律。 应该指出，由于M =r ⨯F ，满足M =0，可以是如下条件之一 (1) F =0；
例如，如图2-8所示，一不受外力作用的质点做直线运动，速率为v 。则它对距其垂直距离为d 的点O 的角动量为mvd ，方向垂直直面向外，且不管质点运动到哪一点，角动量矢量保持不变。
(2) 质点所受到力的作用线总通过一个固定点，这种力被称作有心力，固定点称作力心。对固定点而言，质点的角动量守恒。
例如，质量为m 的小木块受细绳约束，在光滑水平面上绕小孔O 作圆周运动，如图2-9所示。圆的半径为r 0，木块的速率为v 0。今缓慢地拉动绳子的一端，使小木块到点O 的距离逐渐减少，任意时刻木块的速率为v 。由于拉力过固定点O ，是有心力。故木块对点O 的角动量守恒。即有
mr 0v 0=m rv 。
2.4 功和能
2.4.1功
在本章的上两部分中，我们先介绍了力对质点或质点系在时间上的累积效应，引入了动量的概念，又介绍了力矩对质点在时间上的累积效应，引入了角动量的概念。在这部分中，我们将介绍力按空间（或路径）的累积效应，引入功的概念。
一质点在合外力F 的作用下，发生一无限小的位移d r 时，如图2-12所示，此力对它做的元功定义为力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积。以d W 表示元功，则 d W =F c o θs |d r |=F τ|d r |
式中F τ是力F 在d r 方向(亦即轨道切线上) 的分量，θ为力F 与位移d r 之间的夹角。按照矢量标积的定义，上式又可以写成
d W =F ⋅d r (2-22)
这就是说，功等于质点受到的力和它的位移的标积。
B F
O
d r
τ
A
图2-10
功的定义
图2-11 力沿一段路径做的功
注意，按式(2-22)的定义，功是标量，没有方向，但有正负。符号取决于cos θ。当0≤θ
π
2
时，
d W >0 ，力对质点做正功；当θ=
π
2
时，d W =0，力对质点不做功；当
π
2
≤θ
力对质点做负功，此时我们就说质点在运动过程中克服力F 做功了。 力在单位时间内做的功叫做功率，用P 来表示，即
P =
d W F ⋅d r
==F ⋅v (2-23) d t d t
功率越大，做同样的功花费的时间越少。所以，功率是量度力做功效率的物理量，在工程中非常有用。
在图2-11中，如果质点沿一曲线运动，从点A 到点B ，则整个AB 段上的功就是把沿整个路径上的所有元功加起来，即是对元功沿整个路径积分，即
W =⎰d W =⎰F ⋅d r (2-24)
AB
AB
这一积分在数学上称作力F 沿路径L 从点A 到点B 的线积分。当质点同时受到几个力的作用，如F 1，F 2，…，F N ，沿路径L 从点A 到点B 时，合力所做的功为
W =⎰F ⋅d r =⎰(F 1+F 2+... +F N ) ⋅d r
AB
AB
=⎰F 1⋅d r +⎰F 2⋅d r +... +⎰F N ⋅d r (2-25)
AB
AB
AB
=W 1+W 2+... +W N
这一结果表明：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。
例2-3 质量为2kg 的物体由静止出发沿直线运动，作用在物体上的力为F =6t (F 的单位是N ，t 的单位是s ) 。试求在0~2s 内，此力对物体所做的功。
解 这是一个一维运动，由元功的定义
d W =F ⋅d x =6t ⋅d x
为了能用上式计算变力的功，必须找到变量x 与时间t 之间的关系，以便统一变量进行积分。由F =6t 和F x =ma x ，有
a x =
由a =d v x ，有
x
d t
F x
=3t m
⎰
因为，t 0=0时，v x 0=0，所以
v
v x 0
d v =⎰3t d t
t
v x =1. 5t 2
由因为v =d x ，有
x
d t
d x =1. 5t 2d t
于是，在0~2s 内，力F 对物体所做的功
W =⎰F ⋅d x =⎰9t 3⋅d t =36. 0J
2
例2-4 一质量为m 的小球竖直落入水中，刚接触水面时其速率为v 0。设此球在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为f r =-bv ，b 是一常量。求阻力对球做的功与时间的函数关系。
解 由于阻力随球的速率而变化，故阻力做功是变力做功的问题。取水面上的某点为坐标原点O ，竖直向下为Oy 轴正向。由功的定义可知，水的阻力做功为
W =⎰f ⋅d y =⎰-bv d y =-b ⎰v
d y
d t =-b ⎰v 2d y (1) r d t
由于小球在下落过程中所受的浮力与重力相等，则小球仅受阻力作用，由牛顿第二定律
a f r y =
m =-bv m
而a y
=d v ，所以
d t
1d v =-b m
d t v 两边积分，得
v =v -b
0e
m
t 将(2)带入(1)，有
W =-bv
20
⎰e
-
2bt m
d t
设小球刚落入水面时为计时起点，即t 0=0，那么，上式的积分为
2bt
W =-bv
2t -
2bt 0
⎰e
m
d t =-bv 20
(-m 2b
)(e -
m -1)
即
2bt
W =12
mv 2-m
0(e -1)
2.4.2 动能定理
力对物体做功会产生什么效果呢？
将牛顿第二运动定律的定义式(2-3)代入到式(2-22)，可得
d W =F ⋅d r =F τ⋅|d r |=ma τd s
由于
a d v
τ=
d t
，d s =v d t 所以
d W =m
d v d t v d t =mv d v =d(1
2mv 2) 对于图2-11所示的从点A 到点B 路径，可利用式(2-24)，经过简单积分，得
W =
12mv 2-12
mv 2
B A (2)
(2-26a) (2-26b)
其中，v A 和v B 分别是质点经过点A 和点B 时的速率。式(2-26)说明：力对质点做功能改变质点的运动状态，在数值上对应的是
12
mv 量的改变。我们把这个量定义为动能，用E K 来表示，即 2
1
E K =mv 2
2
此时，式（2-26）就可以写成
d W =d E K (2-27a) W =E KB -E KA (2-27b)
式(2-26)或式(2-27)被称作动能定理。它说明：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
应该指出，动能定理适用于物体的任何运动，物体在外力的持续作用下经历某一段路径，不管外力是否是变力，也不管物体的运动状态如何复杂，其路径是曲线还是直线，合外力对物体所做的功总是取决于物体始末动能之差。这样，动能定理在解决某些力学问题时，往往比直接运用牛顿第二定律的瞬时关系要简便得多。
同动量定理一样，动能定理也只适用于惯性系。一个物体的动能对不同的惯性系是相对的，但在不同惯性系中动能定理表达式是不变的。
现在，我们着手把单个物体(质点) 的动能定理推广到由若干物体(质点) 组成的系统。为方便起见，先考虑两个质点组成的系统。如图2-12所示，两质点的质量分别为m 1和m 2。
2
m 1受到外力F 1和质点m 2作用于它的内力F 12。同样地，m 2
受到外力F 2和质点m 1作用于它的内力F 21。在这些力的作
图2-12 质点系的动能定理
用下，质点1和质点2沿各自的路径s 1和s 2运动。对质点1应用动能定理有
⎰F ⋅d r +⎰F
1
1
12
⋅d r 1=∆E K 1
同样，对质点2有
⎰F
两式相加，得
2
⋅d r 2+⎰F 21⋅d r 2=∆E K 2
⎰F ⋅d r +⎰F
1
1
2
⋅d r 2+⎰F 12⋅d r 1+⎰F 21⋅d r 2=∆E K 1+∆E K 2
ex
等号左边前两项是外力对质点系所做功之和，可用W
来表示，后两项是质点系内力所做的功之和。
用W 表示。等号右侧是质点系总动能的增量，可写成∆E K ，则
in
W ex +W in =∆E K (2-28)
上式它说明，所有外力对质点系所做的功和内力对质点系做功的总和等于系统动能的增量。这一结论很明显地可以推广到由任意多个质点组成的质点系，它就是质点系的动能定理。
这里应该指出的是，系统内力的功之和可以不为零，因而可以改变系统的总动能。我们通过分析如下例子加以理解。
木板B 上放有物体A ，水平外力F 作用在B 上，使
整个系统在光滑平面上运动。当B 的运动距离是s 时，A 相对于B 移动的长度是L ，如图2-15所示。系统的内力为A 与B 之间的相互作用力，共有两对，分别是N A 和N A ，f A 和f A 。由于N A 和
' '
与位移垂直，做功等于零。f A 作用在A 上，其对A 做功为W A =f A ⋅(s +L ) ；f A 作用在B 上，N A
'
'
图2-13 内力做功分析
其对B 做功为W B =-f A ⋅s 。由于f A 和f A 是一对相互作用力，大小相等，故系统内力所做的功W =W A +W B =f A ⋅L 。
可见，内力做功能改变系统的总动能，但不可以改变系统的总动量。
例2-5 如图2-14所示，长为1. 0m 的细绳，一端系有质量为1. 0kg 的小球，另一端固定于天花板上的O 点。开始时，把绳子放在与竖直线成30 角处，然后放手使小球沿圆弧下落，试求绳子与竖直线成10角时，小球的速率。
解 如图所示，设在开始时，绳子与竖直线之间的夹角为θ0，小球的速率v 0=0。
' '
图 2-14
在任意时刻t ，小球受到重力m g 和绳的张力T 的作用，绳与竖直方向成θ角，小球的速率v 。由功的定义，合外力的功
d W =F ⋅d r =T ⋅d r +m g ⋅d r (1)
由于张力T 的方向始终与小球的运动方向垂直，故
T ⋅d r =0
d W =m g ⋅d r =m g sin θd s (2)
由图2-14可知，位移d r 的大小d s =-l d θ，于是，(2)式写成
d W =-m g l sin θd θ
在摆角由θ0改变到θ的过程中，合外力所做的功为
W =-m g l ⎰sin θd θ=m g l (cosθ-cos θ0)
θ0
θ
由动能定理，得
W =m g l (cosθ-cos θ0) =
据题，v 0=0，故绳子与竖直线成θ角时，小球的速率为
1212 mv -mv 022
v =2g l (cosθ-cos θ0)
将已知数据l =1m ，θ0=30o ，θ=10o 代入上式，得
v =1. 53m ⋅s -1
2.4.3 保守力与非保守力 势能
在谈论这部分问题之前，我们先看两个例子，一个是弹性力做功的问题，一个是摩擦力做功的问题。
例2-6 有一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小物块，如图2-15所示。求小球的位置由A 到B 的过程中，弹性力对它做的功。设弹簧的劲度系数为k 。
解 这是一个路径为直线，但力随位置的不同而改变的例子。取坐标如图所示，x 轴与小球运动的直线平行，坐标原点O 是弹簧既不伸长也不缩短的位置(平衡位置) ，这样小球在任意位置x 时受到的弹性力可以表示为
图2-15
F =-kx i
小球发生一小段位移时，弹性力做功
d W =F ⋅d r =F ⋅d x i =-kx d x
小球的位置由Α到B 的过程中，弹性力对它做的功
x B 1212
W =⎰F ⋅d r =⎰(-kx ) ⋅d x =kx A -kx B
AB x A
22
这一结果说明，如果x A >x B ，弹簧缩短，弹性力做正功；否则弹性力做负功。
值得注意的是，弹性力的功只和弹簧的始末位置有关，而和弹簧伸长和缩短的中间过程无关。
例2-7 如图2-16所示，在水平桌面上有一个小物体，质量为m ，在外力作用下作两种运动，一种是沿半径为
R 的圆由Α到B 移动了半个圆周(图中L 1) ，另一种是沿直径直接由Α到B (图中L 2) 。物体与桌面的滑动摩擦系数为
μk 。求在这一过程中桌面对它的摩擦力所做的功。
解 物体在竖直方向上受到的重力和支持力平衡，仅需分析物体在桌面上的运动即可。物体在桌面上沿圆周运动，受到的摩擦力的作用，大小为
f k =μk N =μk mg
由于此摩擦力的方向总与位移d r 的方向相反，所以摩擦力的功为
d W =f k ⋅d r =-f k |d r |=-μk mg d s
其中d s 是相应于位移d r 的路程，则物体从Α到B 的过程中，摩擦力对它做的功就是
图2-16
W =⎰f k ⋅d r =-μk mg ⎰d s
AB
AB
积分
⎰
AB
d s 为从Α到B 物体的实际路程。对路径L 1，它等于πR ，对路径L 2，它等于2R ，所以
⎧-πμk mgR (沿L 1)
W =-μk mg ⎰d s =⎨
AB
⎩-2μk mgR (沿L 2)
此结果中的负号表示相对于桌面的移动来说，摩擦力总是做负功，此功的大小显然和物体经过的路径有关。
从上面的两个例子可以看出，力F 做功不仅与质点的始末位置、B 有关，还有可能与物体经过的路径有关。所以，一般情况下。功是过程量。按照力的做功性质，我们把做功与路径无关，仅与物体的始末位置有关的力称为保守力。不具备这种性质的力称为非保守力。显然，弹簧的弹性力是保守力，摩擦力是非保守力。下面我们再分析万有引力和重力的做功性质，看能够得到什么样结论。
一 万有引力的功
如图2-17所示。有一质量为m 的物体，在另一个质量为M 的静止物体的引力场中，沿任一路径从点A 到点B 。以r A 和r B 分别表示m 相对M 的始末距离。以
M 的中心为原点，某时刻m 的位矢为r ，在m 发生了
一个微小位移d r 后，万有引力做的元功为
Mm Mm
d W =F ⋅d r =-G 2e r ⋅d r =-G 2cos θ|d r |
r r
图2-17 万有引力的功
e r 为沿位矢r 的单位矢量。从图2-17中可以看出，cos θ|d r |=|r +d r |-|r |=d r ，带入上式，得
d W =-G
Mm
d r r 2
1r r A r 2
r B
所以，m 沿任一路径从点A 到点B 的过程中，万有引力做的功为
W =⎰
即
AB
d W =-GMm ⎰
W =-[(-G
Mm Mm
) -(-G )] (2-29) r B r A
这一结果只决定于两物体的始末距离，并不显示和路径形状有任何关系。因此，万有引力所做的功与质点移动的路径无关，只取决于两质点的始末相对位置，所以，万有引力是保守力。
二 重力的功
一质量为m 的物体，在重力的作用下沿图2-18所示的任一点从点A 到点B ，在m 发生了一个微小位移d r 后，重力所做的元功为
y
y d W =F ⋅d r =mg (-j ) ⋅(d x i +d y j ) =-mg d y
所以，m 沿任一路径从点A 到点B 的过程中，重力做的功为
y B
W =⎰
即
AB
d W =-mg ⎰d y
y A
y B
O
图2-18 重力的功
x
W =-(mgy B -mgy A ) (2-30)
上式表明重力做功与路径无关，只与物体的始末位置有关。所以，重力也是保守力。
综上，万有引力、重力和弹簧的弹性力都属于保守力，而摩擦力属于非保守力。
三 保守力的数学性质
如果力F 是保守力，它也可以用另一种方式来表示，如图2-19所示。若一质点m 在保守力F 的作用下自点A 沿路径L 1到点B ，或沿路径L 2到点
A
（a ）
B 。根据保守力做功与路径无关的性质，有
（b ） 图2-19 保守力的功
W L 1=W L 2，而
W L 1=L 1
则
L 1
⎰
AB
F ⋅d r W L 2=L 2
⎰
AB
F ⋅d r =-
L 2BA
⎰
F ⋅d r
⎰
AB
F ⋅d r =-L 2⎰F ⋅d r
BA
即
F ⋅d r =0 (2-31)
L
上式说明，保守力沿一闭合路径做功一圈等于零。式中的积分符号 四 势能
L
表示沿闭合回路L 的线积分。
我们把以上保守力(弹性力、万有引力和重力) 的功列出来，用W c 表示保守力做的功，F c 特别表示保守力，则
W c =⎰
AB
⎧1212
⎪-(2kx B -2kx A ) ⎪
Mm Mm ⎪
F c ⋅d r =⎨-[(-G ) -(-G )]
r r B A ⎪
⎪-(m gy B -m gy A ) ⎪⎩
这些力的功总是由某种相应形式的函数之差来表示。无论哪种保守力，我们把与位置有关的函数用符号E P 来表示，称作势能函数。则有
W c =-(E P B -E P A ) (2-32a)
或
W c =-∆E P (2-32b)
上式说明，保守力的功等于系统势能增量的负值。它说明，保守力的功仅和势能的差值有关。
将(2-32)改写为
E PA =W c +E PB (2-33a)
或
E P A =⎰F c ⋅d r +E P B (2-33b)
AB
可见，为了确定某处A 的势能，必须确定另外点B 处的势能，这说明势能的值具有相对性，而参考点
B 的选取具有任意性。一般情况下，可选取E P B =0，则式(2-33)改写成
E PA =⎰F c ⋅d r (2-34)
AB
此时要清楚，这里的点B 特指势能零点。对于弹性力可选择x =0，万有引力可选择r =∞，重力可选择y =0作为势能零点。这样，对任意一点而言，弹性势能为E P =
12
kx ，万有引力势能为2
E P =-G
Mm
，重力势能为E P =mgy 。 r
值得注意的是，势能是由物体间相对位置决定的能量，它实际上是两个或两个以上以保守力相互作用的物体之间的作用能。因此，严格地讲，势能是属于相互作用物体系统共有的，通常说某物体具有多少势能只是简便的说法。例如重力势能为物体和地球共有，弹性势能为物体和弹簧所共有，等等。
2.4.4功能原理 机械能守恒定律
我们已经知道，按照力的做功性质，作用于质点上的力，有保守力和非保守力之分。因此，对于一个质点系来说，无论是内力还是外力，既可以是保守力，也可以是非保守力。若以W c 表示质点系内各保守内力的做功之和，以W nc 表示质点系内各非保守内力的做功之和，那么，质点系内一切内力所做的功应为
in in
W in =W c +W nc
in
in
此外，从式(2-32)知道，系统内保守力做的功等于系统内势能增量的负值，即
W c =-∆E P
根据质点系的动能定理，式(2-28)，W
ex
in
+W in =∆E K ，可以得到
in
W ex +W nc =∆E K +∆E P
即
W ex +W nc =∆(E K +E P )
我们把系统的动能E K 和势能E P 之和E K +E P 叫做机械能，用E 来表示。则上式又可写成
in
W ex +W nc =∆E (2-35)
此式表明：质点系在运动过程中，它所受的外力的功与系统内非保守力的功的总和等于机械能的增量，
in
这就是质点系的功能原理。
显然，当W ex +W nc =0时，有
in
∆E =0 (2-36)
这就是说，在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。这一结论叫作机械能守恒定律。在经典力学中，它是牛顿定律的一个推论，因此也只适用于惯性系。
式(2-36)也包含了这样的含义，即
∆E K =-∆E P
它说明，在机械能守恒条件下，系统内的动能和势能都不是不变的，两者之间可以互相转换，但动、势能之和是不变的。所以说，在机械能守恒定律中，机械能是不变量或守恒量，而质点系的动能和势能之间的转换则是通过质点系内保守力做功(W c ) 来实现的。
例2-8 如图2-20所示，一质量可以忽略不计的轻质弹簧，其一端系在垂直放置的圆环的顶点P ，另一端系一质量为m 的小球，小球穿过圆环并在圆环上作无摩擦的运动。设开始时小球静止于点A ，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径R ，当小球运动到圆环的底端点B 时，小球对圆环没有压力，求此弹簧的劲度系数。
解 取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的的重力、小球与弹簧间的相互作用均是保守力。而圆环对小球的支持力和点P 对弹簧的拉力虽都是外力，但都不做功。所以，小球从A 运动到B 的过程中，系统的机械能保持不变。因小球在点A 时弹簧处于自由状态，故取点A 的弹性势能为零；另
in
取点B 时小球的重力势能为零。那么，由机械能守恒定律，得
1212
mv +kR =mgR (2-sin 30o ) 22
其中，v 是小球在点B 时的速率。又小球在点B 时的牛顿第二定律方程为
kR -m g =m
解以上两式，得弹簧的劲度系数为
v 2
R
k =
2mg R
图2-20
2.4.5碰撞
如果两个或几个物体在相遇时，物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间，这些现象就是碰撞。日常生活中属于碰撞的物理现象是很多的，如锻打、打桩、球的碰撞，人跳上车或跳下车，以
及子弹射入物体内等。在这些现象中，发生碰撞的物体都是直接接触的。但是碰撞现象并不限于直接接触的物体，不直接接触的物体之间也会发生碰撞。例如，核反应过程大都属于非接触碰撞过程。
在碰撞过程中，由于物体之间的相互撞击力非常大，作用时间又非常短，以至于作用在物体上的外力，如重力、摩擦力以及空气阻力等相对很小，因此，动量守恒定律是适用的。如果在碰撞后，两物体的动能之和完全没有损失，那么这种碰撞称为完全弹性碰撞。另外，两物体碰撞时，由于非保守力的作用，可使机械能转换为热能、声能、化学能和其他形式的能量，或者其它形式的能量转换为机械能，这种碰撞就是非弹性碰撞。如果两物体在碰撞之后以同一速度运动，这种碰撞叫做完全非弹性碰撞。
能量守恒定律也总是适用的。这样，在许多情况下我们可以不知道碰撞的过程细节，而由这两个守恒定律原则上可知道碰撞的结果。
解决碰撞的问题，是非常有实际意义的。
例2-9 如图2-21，用一个轻质弹簧把一个金属盘悬挂起来，这时弹簧伸长了
l 1=10cm 。一个质量和盘相同的泥球从高于盘h =30cm 处由静止下落到盘上。求此盘向
下运动的最大距离l 2。
解 本题可分为三个过程进行分析。
首先是泥球自由下落的过程。泥球落到盘时的速度为
v =gh
接着是泥球和盘的碰撞过程。把盘和泥球看作一个系统，因二者碰撞时的冲力远大于它们受到的外力(包括弹簧的拉力和重力) 而且作用时间很短，所以可以认为系统的动量守
图2-21
恒。设泥球和盘的质量用m 表示，它们碰撞后刚粘在一起时的共同速度为V ，在y 方向上的动量守恒的分量式写成
mv =(m +m ) V
由此可得
V =
v
=gh /2 (1) 2
最后是泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球、盘和地球为系统，以泥球和盘开始共同运动时为系统初态，二者达到最低点时为系统末态。在此过程中只有保守力做功，所以系统的机械能守恒，以弹簧自然伸长为弹性势能零点，以盘最低位时是重力势能零点，则系统的机械能守恒表示为
1121
(2m ) V 2+(2m ) gl 2+kl 1=k (l 1+l 2) 2 (2) 222
当盘挂在弹簧上时，弹簧形变，伸长量是l 1，有关系
mg =kl 1
即
k =
解(1)、(2)和(3)，并将l 1=10cm ，h =30cm 带入，得
mg (3) l 1
l 2-20l 2-300=0
解得，
2
l 2=30, -10（舍去）
即得盘向下运动的最大距离是 l 2=30cm
例2-10 在宇宙中有密度为ρ的尘埃，这些尘埃相对于惯性参考系是静止的。有一质量为m 0的航天器以初速v 0穿过宇宙尘埃，由于尘埃粘到航天器上，致使航天器的速度发生改变，求：航天器的速度与其在尘埃中飞行时间的关系。为了便于计算，设想航天器的外形是截面为S 的圆柱体，如图2-22所示。
解 按本题条件，可以认为尘埃与航天器作完全非弹性碰撞，把尘埃与
航天器做为一个系统，考虑到航天器在自由空间中飞行，无外力作用在这个系统上，因此系统的动量守恒。若以m 0和v 0作为航天器进入尘埃前(t =0) 的质量和速度，m 和v 为航天器在尘埃中(时刻t ) 的质量和速度。由动量守恒定律，有
图
2-22
m 0v 0=mv (1)
此外，在t →t +d t 时间内，由于航天器和尘埃做完全非弹性碰撞，粘在航天器上尘埃的质量即是航天器所增加的质量，有
d m =ρS v d t (2)
由式(1)，有
ρS v d t =-
按已知条件，将上式积分
m 0v 0
d v v 2
ρS
m 0v 0
得
⎰
t
d t =-⎰
v
v 0
d v v 3
111ρS (2-2) =t 2v v 0m 0v 0
整理得
v =(
m 0
) 1/2v 0
2ρSv 0t +m 0
显然，航天器在尘埃中的时间越长，其速度就越低。
2.4.6 能量守恒定律
我们知道，如果外力和非保守内力都不做功，系统的动能和势能之和是保持不变的，但是如果系
统内部除重力和弹力等保守内力作功外，还有摩擦力等非保守力作功，那么系统的机械能就要转化成其它形式的能量。实验表明，对于一个孤立系统，或者与外界之间无能量交换的系统来说，系统内各种形式的能量之间可以互相转化，但能量的总和保持守恒。这一规律称为能量守恒定律。它可叙述为：能量即不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，从一种形式转化为另一种形式，而能量的总和保持守恒。
在能量守恒定律中，系统的总能量是不变化的，但能量的各种形式之间是可以相互转化的。例如
机械能、光能、电能、热能以及分子、原子、核能等能量之间都可以相互转换。应当指出，在能量转换过程中，能量的变化常用功来量度。