第四章 三角函数
知识结构网络
三角函数线
三角综合运用
4.1 三角函数的概念与基本公式
——三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识
一、明确复习目标
1. 熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式; 2. 掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;
二．建构知识网络
1． 角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。
2. 角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上. (1) 象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
(2) 象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。 (3) 与α角终边相同的角的集合：{β|β=k360°+α,k∈Z}
终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (4) 正确理解：“0 ~90 间的角” “第一象限的角”，“锐角”，“小于90 的角”，这四种角的集合分别表示为：
{θ|00≤θ
{θ0
}， {θ
3．弧度制: 规定
(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角, 作为弧度制的单位; (2) 任一已知角α的弧度数的绝对值=l 。
r
(3) 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 比值l/r与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。 4．弧度与角度的换算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。
11
5．弧长公式:l =⋅r ; 扇形的面积公式： S 扇形=lr =⋅r 2。
22
6. 任意角三角函数的定义:在角α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是
r
（r =x 2+y 2＞0），则sin α=
y y x
，cos α=，tan α=.
r r x
三角函数两件事:一是符号, 二是比值, 且比值与P 上在终边上的位置无关. 7. 同角三角函数关系式: sin 2α+cos2α=1（平方关系）；
sin α
=tanα（商数关系）；tan αcot α=1（倒数关系）. cos α
8. 诱导公式 α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. ——函数名不变，符号看象限。
另外：sin （
ππ
－α）=cosα，cos （－α）=sinα. ——函数名改变。 22
三、双基题目练练手
3α4
，cos =－，那么α的终边在 （ ）
5252
A. 第一象限 B. 第三或第四象限 C. 第三象限 D. 第四象限 1. 已知sin
=
2. (2005全国Ⅲ) 设0≤x ≤2π,
=sin x -cos x , 则 （ ） A. 0≤x ≤π B.
α
π
4
≤x ≤
7ππ5ππ3π C. ≤x ≤ D. ≤x ≤ 44422
4
，则m 的值是（ ） 5
3. 角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－A.
1
C. － D.
222
1πcot （-α-π）⋅sin （2π+α）
4. 已知cos α=，且－＜α＜0，则=_________.
cos （-α）⋅tan α32
1
2
B. －
1
5. 已知sin β=，sin （α+β）=1，则sin （2α+β）=_________.
36. 已知sin θ=
1-a 3a -1
，cos θ=，若θ是第二象限角，则实数a =______
1+a 1+a
简答:1-3.DCA; 4.
121
; 5. ; 6. . 439
1. 结合三角函数线知
2k π+
3πα3π
247
＜0，cos α= ＞0，∴α终边在第四象限. 2525
=－
法2: sinα=－
3. cosα=
-8m 64m 2+9
411
. ∴m =或m =－（舍去）答案：A 522
1
4. 从cos α=中可推知sin α、cot α的值，再用诱导公式即可求之.
35. ∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+
π. 2
1
∴sin （2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=.
3
⎧1-a
⎪0
13a -1⎪
6. 依题意得⎨-1
1+a 9⎪
⎪1-a 23a -12（（）=1. ⎪1+a ）+1+a ⎩
四、经典例题做一做
【例1】已知α是第二象限的角
（1） 指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围； （2） 若α还满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间;
（3） 若
π
2
解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k ∈Z ） （1） 所以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k ∈Z ），若k 为偶数，
则α/2是第一象限的角；若k 为奇数，则α/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影部分所示（不含边界） （2） 因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2，
即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π）∩[－6，2]，
结合数轴可知，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2]。 (3)
π
πππ
又α
π
2
◆提炼方法: 理解象限角、终边相同的角、区间角的概念，掌握α角的取值范围与2α、
α/2角的取值范围间的相互关系。
sin (k π-α)⋅cos[(k -1) π-α]
【例2】化简（1） （k ∈Z ）
sin[(k +1) π+α]⋅cos(k π+α)
1-sin 6α-cos 6α
（2）; 24
sin α-sin α
1-sin
α2+2
1+sin 1-sin
α2.
(3) 若sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，化简
1+sin
2
解：（1）当k 为偶数时，原式=-sin α⋅(-cos α) =－1；当k 为奇数时同理可得，原式=
-sin αcos α
－1，故当k ∈Z 时，原式=-1。
1-sin 2α+cos 2α[sin 2α+cos 2α
（2）原式=
sin 2α1-sin 2α
()(
)2
-3sin 2α⋅cos 2α]
=3
(3)由所给条件知α是第二象限角，则
1-sin
α
2
是第一或第三象限角.
α
+1+sin
α
=
原式=
2
-sin 2
α
2
α|cos |
2
αα⎧2sec （是第一象限角），⎪⎪22=⎨
αα⎪-2sec （是第三象限角）.
⎪22⎩
◆关键点注:（1）分清k 的奇偶，决定函数值符号是关键；
（2）平方式降次是化简的重要手段之一。
【例3】（1）确定lg （cos6－sin6）的符号；
-sin 2α （2）若+=0，判断cos （sin α）•sin （cos α）的符号。
2cos α-cos α
sin α
解：（1）∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0；
∵（cos6－sin6）2=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴lg （cos6－sin6）＞0 （2）由题意可得
sin α|cos α|
+=0，∴sin α•cos α＜0，故α在第二或第四象限。
|sin α|cos α
① 若α在第二象限，则0＜sin α＜1，-1＜cos α＜0，∴cos （sin α）＞0， sin （cos α）＜0；∴原式＜0。
② 若α在第四象限，则-1＜sin α＜0，0＜cos α＜1，∴cos （sin α）＞0， sin （cos α）＞0；∴原式＞0。
◆思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。
【例4】时钟上自7点整到分针与 时针第一次重合, 求分针转过的弧度数. 如果分针长11cm, 求分针转过扇形的面积.
解:设分针转过的弧度数的绝对值为x, 则时针转过的角的弧度数的绝对值为x -由分针、时针转过的时间相等得：
分针转过扇形的面积 S =答：分针转过-
7π, 6
30x
π
=
360
π
(x -
7π14
) （分钟）⇒x =π。
116
1114π
|x |⋅r 2=⨯⨯112=77π(cm 2) 2211
14
π，转过扇形的面积为77πcm2. 11
【研讨. 欣赏】证明：(1)
2(cos α-sin α)cos αsin α
=-
1+sin α+cos α1+sin α1+cos α
(2) 若sin α=msinβ,tan α=ntanβ, 且α, β为锐角,
则cos α=cos α+cos 2α-sin α-sin 2α
证明(1)法一：右边=
1+sin α1+cos α=
(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)
1+sin α1+cos α2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)
=
21+sin α+cos α+sin αcos α2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)
= 1+sin 2α+cos 2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α
=
2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)
1+sin α+cos α2
=左边
法二：要证等式即证
2(cos α-sin α)cos αsin α
=-
1+sin α+cos α1+sin α1+cos α
cos α-sin α)(1+sin α+cos α)( =
1+sin α1+cos α只需证2(1+sin α)(1+cos α)=(1+sin α+cos α) 即证
2
2+2sin α+2cos α+2sin αcos α
=1+sin α+cos α+2sin α+2cos α+2sin αcos α
即1=sin α+cos α显然成立, 所以原等式成立。 (2)(注意结论, 应消去β)
2
2
2
2
由tan α=m tan β得sin αcos β=n cos αsin β ① 由sin α=msinβ ② 得sin β=
sin α
, 代入①得ncos α=mcosβ与②平方相加得(n2-1)cos 2α=m2-1. m
∵α是锐角,
∴cos α=
◆思维点拨：１．证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；
综合法；比较法等.
２．常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“１”的代换．
五．提炼总结以为师
1. 任意角、弧度制、与角度制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念. 2. 在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号, 求出相应的值.
3. 弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号., 并注意“1”的灵活代换:
如1=sin2α+cos2α=sec2α－tan 2α=csc2α－cot 2α=tanα·cot α.
4. 应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.
5. sin θ+cos θ，sin θcos θ，sin θ-cos θ三个式子中，已知其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。
同步练习
【选择题】
4.1 三角函数的概念与基本公式
1. （2004. 辽宁卷）若cos θ>0, 且sin 2θ
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2
⎧⎪sin(πx ), -1
2. （2005山东）函数f (x ) =⎨x -1，若f (1) +f (a ) =2，则a 的所有
⎪⎩e , x ≥0
可能值为 （ ） （A ）1 （B ）1, -
222 （C ）- （D ）1, 222
3. 设α、β是第二象限的角，且sin α＜sin β，则下列不等式能成立的是 ( )
A.cos α＜cos β B.tan α＜tan β C.cot α＞cot β D.sec α＜sec β
【填空题】
4. 化简-sin 8=_________.
1
，那么角α是第_______象限的角. 5
6. 已知扇形的周长为20，当扇形的半径r=_____时，扇形的面积最大，面积的最大值等于________；
5. 已知sin α+cosα=
练习简答：1-3.DBA;
3.A 与D 互斥，B 与C 等价，则只要判断A 与D 对错即可. 利用单位圆或特殊值法，易知选A.
2
4. -sin 8=sin 4-cos 4）=|sin4－cos4|=sin4－cos4.
112
，∴sin αcos α=－＜0. ∴α是第二或第四象限角. 2525
6. 当r =5时面积最大，最大值为25
【解答题】
5. 两边平方得1+2sinαcos α=7. 已知π
π4π
，-π
33
1313
，B=；∴2α-β=（α+β）+（α-β），从而可求得－π＜2α－β2222
解：设2α-β=A（α+β）+B（α-β），（A ，B 为待定系数），则2α-β=（A+B）α+（A-B ）β。比较两边的系数得A=＜π／6。
思维点拨:解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出α、β的范围，再求2α－β的范围比实际范围要大。 8. 已知tan α=2，求
4sin α-2cos α（1）的值；
5sin α+3cos α
（2）5sin 2α+3sin αcos α-2的值。
6； 13
4tan α-26
法二：∵tan α=2，∴cos α≠0，∴原式==。
5tan α+313
解：（1）法一：由已知sin α=2cosα，∴原式=
3sin 2α+3sin αcos α-2cos 2α（2）5sin α+3sin αcos α-2==
sin 2α+cos 2α
2
3tan 2α+3tan α-216
= 2
5tan α+1
提炼方法：关于sin α, cos α的齐次式的一般处理方法。
９.(1)已知sin θ+cos θ=（2）化简sin
1
, θ∈(0, π)，求cot θ的值。 5
⎛4n -1⎫⎛4n +1⎫
π-α⎪+cos π-α⎪(n ∈z )
⎝4⎭⎝4⎭
112
得sin θcos θ=-，所以sin θ, cos θ是方程 525
11243x 2-x -=0的两根，x 1=, x 2=-
52555
解：(1)由已知sin θ+cos θ=
而θ∈(0, π), ∴sin θ=
433, cos θ=-, ∴cot θ=- 554
t 2-1
思维点拨：常用关系sin θ+cos θ=t ，则sin θcos θ=在解题中的作用。
2
(2)原式=sin ⎢n π-
⎡⎣⎡⎛π⎫⎤⎛π⎫⎤
+α⎪⎥+cos ⎢n π+ -α⎪⎥ ⎝4⎭⎦⎝4⎭⎦⎣
当n 为奇数时，设n =2k +1(k ∈z )， 则原式=sin ⎢2k π+π-
⎡⎣⎡⎛π⎫⎤⎛π⎫⎤
+α⎪⎥+cos ⎢2k π+π+ -α⎪⎥ ⎝4⎭⎦⎝4⎭⎦⎣
=sin
⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫
+α⎪-cos -α⎪=cos -α⎪-cos -α⎪=0。 ⎝4⎭⎝4⎭⎝4⎭⎝4⎭
当n 为偶数时，设n =2k (k ∈z )，同理可得原式=0。 1０. 求证：
tan αsin αtan α+sin α
=
tan α-sin αtan αsin α
sin 2αsin α
=证明：左边=
sin α-sin αcos α1-cos α
右边=
sin α+sin αcos α1+cos α(1+cos α)(1-cos α)sin α
===
sin αsin α1-cos α1-cos αsin 2α
所以原等式成立
n π
(n ∈N ) ，求f (1)+f (2)+ +f (2004)的值。 5
（2）已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是关于x 的方程 5x 2-x+m=0的根, 求sin 3θ+cos3θ和tanθ的值.
１１．（1）已知f (n )=cos 解：（1）条件中的
n π
表示10条不同终边的角，这10条终边分成5组，每组互为反5
向延长线，余弦值的和为零. ∴f （1）+f（2）+„+f（2004）
= f（1）+f（2）+„+f（4）+f(5)+f(6)+ „ f(2004) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
2π3π4π+cos +cos
5555
π2π2ππ=cos +cos -cos -cos =0
5555=cos
+cos
π
1⎧
sin θ+cos θ=⎪⎪5
（2）由韦达定理得:⎨ ①
⎪sin θcos θ=m ⎪5⎩
由(sinθ+cosθ) 2=1+2sinθcos θ得∴sin θcos θ=-
12m 12
=1+⇒m =- 2555
12
, 5
Sin 3θ+xos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) =(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ) =⨯
13737
=
525125
又00,cosθ
sinθ-
==
7. 5
ππ，），β∈（0，π）使等式sin （3π－α）22
【探索题】是否存在α、β，α∈（－=2cos （
π
－β），cos （－α）=－2cos （π+β）同时成立? 若存在，求出α、β的值；2
若不存在，请说明理由.
解：由条件得
⎧⎪sin α=β，α=β.
①2+②2得sin 2α+3cos2α=2，∴cos 2α=∵α∈（－将α=
①②
1
. 2
ππππ，），∴α=或α=－. 2244
π
代入②得cos β=. 又β∈（0，π），
24
π
∴β=，代入①可知，符合.
6
将α=－
ππ
代入②得β=，代入①可知，不符合. 46
ππ
，β=. 46
综上可知α=
备选题:
已知sin α是方程5x 2+7x-6=0的根, 且α∈(0,
π
2
) , 求
15π
sin 2[(2k +) π-α]+cos 2(α-π) +cot 2(-α) 的值.
222
解:解方程5x 2+7x-6=0得,x 1=-2(舍),x 1=
3
=sin α. 5
1π
sin[(2k +) π-α]=sin(-α)
225π
cos(α-π) =cos(-α)
22cot(-α) =tan α2
∴所求式=1+tan2α=
π
1125
==2
3cos α1-() 2165
第四章 三角函数
知识结构网络
三角函数线
三角综合运用
4.1 三角函数的概念与基本公式
——三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识
一、明确复习目标
1. 熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式; 2. 掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;
二．建构知识网络
1． 角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。
2. 角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上. (1) 象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
(2) 象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。 (3) 与α角终边相同的角的集合：{β|β=k360°+α,k∈Z}
终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (4) 正确理解：“0 ~90 间的角” “第一象限的角”，“锐角”，“小于90 的角”，这四种角的集合分别表示为：
{θ|00≤θ
{θ0
}， {θ
3．弧度制: 规定
(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角, 作为弧度制的单位; (2) 任一已知角α的弧度数的绝对值=l 。
r
(3) 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 比值l/r与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。 4．弧度与角度的换算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。
11
5．弧长公式:l =⋅r ; 扇形的面积公式： S 扇形=lr =⋅r 2。
22
6. 任意角三角函数的定义:在角α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是
r
（r =x 2+y 2＞0），则sin α=
y y x
，cos α=，tan α=.
r r x
三角函数两件事:一是符号, 二是比值, 且比值与P 上在终边上的位置无关. 7. 同角三角函数关系式: sin 2α+cos2α=1（平方关系）；
sin α
=tanα（商数关系）；tan αcot α=1（倒数关系）. cos α
8. 诱导公式 α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. ——函数名不变，符号看象限。
另外：sin （
ππ
－α）=cosα，cos （－α）=sinα. ——函数名改变。 22
三、双基题目练练手
3α4
，cos =－，那么α的终边在 （ ）
5252
A. 第一象限 B. 第三或第四象限 C. 第三象限 D. 第四象限 1. 已知sin
=
2. (2005全国Ⅲ) 设0≤x ≤2π,
=sin x -cos x , 则 （ ） A. 0≤x ≤π B.
α
π
4
≤x ≤
7ππ5ππ3π C. ≤x ≤ D. ≤x ≤ 44422
4
，则m 的值是（ ） 5
3. 角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－A.
1
C. － D.
222
1πcot （-α-π）⋅sin （2π+α）
4. 已知cos α=，且－＜α＜0，则=_________.
cos （-α）⋅tan α32
1
2
B. －
1
5. 已知sin β=，sin （α+β）=1，则sin （2α+β）=_________.
36. 已知sin θ=
1-a 3a -1
，cos θ=，若θ是第二象限角，则实数a =______
1+a 1+a
简答:1-3.DCA; 4.
121
; 5. ; 6. . 439
1. 结合三角函数线知
2k π+
3πα3π
247
＜0，cos α= ＞0，∴α终边在第四象限. 2525
=－
法2: sinα=－
3. cosα=
-8m 64m 2+9
411
. ∴m =或m =－（舍去）答案：A 522
1
4. 从cos α=中可推知sin α、cot α的值，再用诱导公式即可求之.
35. ∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+
π. 2
1
∴sin （2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=.
3
⎧1-a
⎪0
13a -1⎪
6. 依题意得⎨-1
1+a 9⎪
⎪1-a 23a -12（（）=1. ⎪1+a ）+1+a ⎩
四、经典例题做一做
【例1】已知α是第二象限的角
（1） 指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围； （2） 若α还满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间;
（3） 若
π
2
解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k ∈Z ） （1） 所以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k ∈Z ），若k 为偶数，
则α/2是第一象限的角；若k 为奇数，则α/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影部分所示（不含边界） （2） 因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2，
即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π）∩[－6，2]，
结合数轴可知，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2]。 (3)
π
πππ
又α
π
2
◆提炼方法: 理解象限角、终边相同的角、区间角的概念，掌握α角的取值范围与2α、
α/2角的取值范围间的相互关系。
sin (k π-α)⋅cos[(k -1) π-α]
【例2】化简（1） （k ∈Z ）
sin[(k +1) π+α]⋅cos(k π+α)
1-sin 6α-cos 6α
（2）; 24
sin α-sin α
1-sin
α2+2
1+sin 1-sin
α2.
(3) 若sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，化简
1+sin
2
解：（1）当k 为偶数时，原式=-sin α⋅(-cos α) =－1；当k 为奇数时同理可得，原式=
-sin αcos α
－1，故当k ∈Z 时，原式=-1。
1-sin 2α+cos 2α[sin 2α+cos 2α
（2）原式=
sin 2α1-sin 2α
()(
)2
-3sin 2α⋅cos 2α]
=3
(3)由所给条件知α是第二象限角，则
1-sin
α
2
是第一或第三象限角.
α
+1+sin
α
=
原式=
2
-sin 2
α
2
α|cos |
2
αα⎧2sec （是第一象限角），⎪⎪22=⎨
αα⎪-2sec （是第三象限角）.
⎪22⎩
◆关键点注:（1）分清k 的奇偶，决定函数值符号是关键；
（2）平方式降次是化简的重要手段之一。
【例3】（1）确定lg （cos6－sin6）的符号；
-sin 2α （2）若+=0，判断cos （sin α）•sin （cos α）的符号。
2cos α-cos α
sin α
解：（1）∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0；
∵（cos6－sin6）2=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴lg （cos6－sin6）＞0 （2）由题意可得
sin α|cos α|
+=0，∴sin α•cos α＜0，故α在第二或第四象限。
|sin α|cos α
① 若α在第二象限，则0＜sin α＜1，-1＜cos α＜0，∴cos （sin α）＞0， sin （cos α）＜0；∴原式＜0。
② 若α在第四象限，则-1＜sin α＜0，0＜cos α＜1，∴cos （sin α）＞0， sin （cos α）＞0；∴原式＞0。
◆思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。
【例4】时钟上自7点整到分针与 时针第一次重合, 求分针转过的弧度数. 如果分针长11cm, 求分针转过扇形的面积.
解:设分针转过的弧度数的绝对值为x, 则时针转过的角的弧度数的绝对值为x -由分针、时针转过的时间相等得：
分针转过扇形的面积 S =答：分针转过-
7π, 6
30x
π
=
360
π
(x -
7π14
) （分钟）⇒x =π。
116
1114π
|x |⋅r 2=⨯⨯112=77π(cm 2) 2211
14
π，转过扇形的面积为77πcm2. 11
【研讨. 欣赏】证明：(1)
2(cos α-sin α)cos αsin α
=-
1+sin α+cos α1+sin α1+cos α
(2) 若sin α=msinβ,tan α=ntanβ, 且α, β为锐角,
则cos α=cos α+cos 2α-sin α-sin 2α
证明(1)法一：右边=
1+sin α1+cos α=
(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)
1+sin α1+cos α2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)
=
21+sin α+cos α+sin αcos α2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)
= 1+sin 2α+cos 2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α
=
2(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)
1+sin α+cos α2
=左边
法二：要证等式即证
2(cos α-sin α)cos αsin α
=-
1+sin α+cos α1+sin α1+cos α
cos α-sin α)(1+sin α+cos α)( =
1+sin α1+cos α只需证2(1+sin α)(1+cos α)=(1+sin α+cos α) 即证
2
2+2sin α+2cos α+2sin αcos α
=1+sin α+cos α+2sin α+2cos α+2sin αcos α
即1=sin α+cos α显然成立, 所以原等式成立。 (2)(注意结论, 应消去β)
2
2
2
2
由tan α=m tan β得sin αcos β=n cos αsin β ① 由sin α=msinβ ② 得sin β=
sin α
, 代入①得ncos α=mcosβ与②平方相加得(n2-1)cos 2α=m2-1. m
∵α是锐角,
∴cos α=
◆思维点拨：１．证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；
综合法；比较法等.
２．常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“１”的代换．
五．提炼总结以为师
1. 任意角、弧度制、与角度制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念. 2. 在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号, 求出相应的值.
3. 弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号., 并注意“1”的灵活代换:
如1=sin2α+cos2α=sec2α－tan 2α=csc2α－cot 2α=tanα·cot α.
4. 应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.
5. sin θ+cos θ，sin θcos θ，sin θ-cos θ三个式子中，已知其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。
同步练习
【选择题】
4.1 三角函数的概念与基本公式
1. （2004. 辽宁卷）若cos θ>0, 且sin 2θ
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2
⎧⎪sin(πx ), -1
2. （2005山东）函数f (x ) =⎨x -1，若f (1) +f (a ) =2，则a 的所有
⎪⎩e , x ≥0
可能值为 （ ） （A ）1 （B ）1, -
222 （C ）- （D ）1, 222
3. 设α、β是第二象限的角，且sin α＜sin β，则下列不等式能成立的是 ( )
A.cos α＜cos β B.tan α＜tan β C.cot α＞cot β D.sec α＜sec β
【填空题】
4. 化简-sin 8=_________.
1
，那么角α是第_______象限的角. 5
6. 已知扇形的周长为20，当扇形的半径r=_____时，扇形的面积最大，面积的最大值等于________；
5. 已知sin α+cosα=
练习简答：1-3.DBA;
3.A 与D 互斥，B 与C 等价，则只要判断A 与D 对错即可. 利用单位圆或特殊值法，易知选A.
2
4. -sin 8=sin 4-cos 4）=|sin4－cos4|=sin4－cos4.
112
，∴sin αcos α=－＜0. ∴α是第二或第四象限角. 2525
6. 当r =5时面积最大，最大值为25
【解答题】
5. 两边平方得1+2sinαcos α=7. 已知π
π4π
，-π
33
1313
，B=；∴2α-β=（α+β）+（α-β），从而可求得－π＜2α－β2222
解：设2α-β=A（α+β）+B（α-β），（A ，B 为待定系数），则2α-β=（A+B）α+（A-B ）β。比较两边的系数得A=＜π／6。
思维点拨:解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出α、β的范围，再求2α－β的范围比实际范围要大。 8. 已知tan α=2，求
4sin α-2cos α（1）的值；
5sin α+3cos α
（2）5sin 2α+3sin αcos α-2的值。
6； 13
4tan α-26
法二：∵tan α=2，∴cos α≠0，∴原式==。
5tan α+313
解：（1）法一：由已知sin α=2cosα，∴原式=
3sin 2α+3sin αcos α-2cos 2α（2）5sin α+3sin αcos α-2==
sin 2α+cos 2α
2
3tan 2α+3tan α-216
= 2
5tan α+1
提炼方法：关于sin α, cos α的齐次式的一般处理方法。
９.(1)已知sin θ+cos θ=（2）化简sin
1
, θ∈(0, π)，求cot θ的值。 5
⎛4n -1⎫⎛4n +1⎫
π-α⎪+cos π-α⎪(n ∈z )
⎝4⎭⎝4⎭
112
得sin θcos θ=-，所以sin θ, cos θ是方程 525
11243x 2-x -=0的两根，x 1=, x 2=-
52555
解：(1)由已知sin θ+cos θ=
而θ∈(0, π), ∴sin θ=
433, cos θ=-, ∴cot θ=- 554
t 2-1
思维点拨：常用关系sin θ+cos θ=t ，则sin θcos θ=在解题中的作用。
2
(2)原式=sin ⎢n π-
⎡⎣⎡⎛π⎫⎤⎛π⎫⎤
+α⎪⎥+cos ⎢n π+ -α⎪⎥ ⎝4⎭⎦⎝4⎭⎦⎣
当n 为奇数时，设n =2k +1(k ∈z )， 则原式=sin ⎢2k π+π-
⎡⎣⎡⎛π⎫⎤⎛π⎫⎤
+α⎪⎥+cos ⎢2k π+π+ -α⎪⎥ ⎝4⎭⎦⎝4⎭⎦⎣
=sin
⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫
+α⎪-cos -α⎪=cos -α⎪-cos -α⎪=0。 ⎝4⎭⎝4⎭⎝4⎭⎝4⎭
当n 为偶数时，设n =2k (k ∈z )，同理可得原式=0。 1０. 求证：
tan αsin αtan α+sin α
=
tan α-sin αtan αsin α
sin 2αsin α
=证明：左边=
sin α-sin αcos α1-cos α
右边=
sin α+sin αcos α1+cos α(1+cos α)(1-cos α)sin α
===
sin αsin α1-cos α1-cos αsin 2α
所以原等式成立
n π
(n ∈N ) ，求f (1)+f (2)+ +f (2004)的值。 5
（2）已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是关于x 的方程 5x 2-x+m=0的根, 求sin 3θ+cos3θ和tanθ的值.
１１．（1）已知f (n )=cos 解：（1）条件中的
n π
表示10条不同终边的角，这10条终边分成5组，每组互为反5
向延长线，余弦值的和为零. ∴f （1）+f（2）+„+f（2004）
= f（1）+f（2）+„+f（4）+f(5)+f(6)+ „ f(2004) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
2π3π4π+cos +cos
5555
π2π2ππ=cos +cos -cos -cos =0
5555=cos
+cos
π
1⎧
sin θ+cos θ=⎪⎪5
（2）由韦达定理得:⎨ ①
⎪sin θcos θ=m ⎪5⎩
由(sinθ+cosθ) 2=1+2sinθcos θ得∴sin θcos θ=-
12m 12
=1+⇒m =- 2555
12
, 5
Sin 3θ+xos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) =(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ) =⨯
13737
=
525125
又00,cosθ
sinθ-
==
7. 5
ππ，），β∈（0，π）使等式sin （3π－α）22
【探索题】是否存在α、β，α∈（－=2cos （
π
－β），cos （－α）=－2cos （π+β）同时成立? 若存在，求出α、β的值；2
若不存在，请说明理由.
解：由条件得
⎧⎪sin α=β，α=β.
①2+②2得sin 2α+3cos2α=2，∴cos 2α=∵α∈（－将α=
①②
1
. 2
ππππ，），∴α=或α=－. 2244
π
代入②得cos β=. 又β∈（0，π），
24
π
∴β=，代入①可知，符合.
6
将α=－
ππ
代入②得β=，代入①可知，不符合. 46
ππ
，β=. 46
综上可知α=
备选题:
已知sin α是方程5x 2+7x-6=0的根, 且α∈(0,
π
2
) , 求
15π
sin 2[(2k +) π-α]+cos 2(α-π) +cot 2(-α) 的值.
222
解:解方程5x 2+7x-6=0得,x 1=-2(舍),x 1=
3
=sin α. 5
1π
sin[(2k +) π-α]=sin(-α)
225π
cos(α-π) =cos(-α)
22cot(-α) =tan α2
∴所求式=1+tan2α=
π
1125
==2
3cos α1-() 2165