高等桥梁结构理论课程作业参考答案（2014版）
【作业1】
如图1所示薄壁单箱断面，试分别计算：（1）该截面在竖向弯矩M x =100kN ⋅m 作用下的正应力（注：平截面假定成立。）；（2）该截面在竖向剪力Q y =100kN 通过截面中心作用下的剪应力分布。
图1 薄壁单箱断面几何尺寸（单位：cm ）
【参考答案】
由于该截面关于y 轴对称，故需要确定主轴ox 轴的位置，假定ox 轴距离上翼缘中心线为a ，由x =0，得
11
(2. 5+3. 0+2. 5) δ⋅a +2⨯a 2δ-3. 0⨯δ(2-a ) -2⨯(2-a ) 2δ=0
22
即
0. 8a +0. 1a 2-0. 6+0. 3a -0. 4-0. 1a 2+0. 4a =0
1. 5a =1. 0，即a =0. 667m
由ANSYS 计算截面几何特性参数，计算结果如图2所示。具体几何特性计算结果为：
竖向抗弯惯性矩为I x =1. 064⨯108(cm 4) =1. 064(m 4) , 横向抗弯惯性矩为I y =5. 370⨯108(cm 4) =5. 370(m 4) ， 扭转常数为：I y =1. 47⨯108(cm 4) =1. 470(m 4) ， 截面几何中心至顶板中心线距离为a =0. 667(m ) 。
（1）截面在竖向弯矩M x =100kN ⋅m 作用下，由初等梁理论可知，截面正应力分布由下式 计算，即
σz =
M x 100, 000
y =y =93984. 96y （Pa ） （-1. 333m ≤y ≤0. 667m ），具体截面正I x 1. 064
应力分布如图3所示。
Y
Sig1=62688Pa
O Sig2=125282Pa
图2截面在竖向弯矩M x
=100kN ⋅
m 作用下正应力分布图
（2）截面在竖向剪力Q y =100kN
作用下，闭口截面弯曲剪应力计算公式可知，截面剪应力为
⎛
Q y
-S x +q =
I x ⎝⎫ds ⎪⎪ ds ⎪δ⎪⎭
S x
划分薄壁断面各关键节点如图3（a ）所示。将截面在1点处切口，变为开口截面，求S x 、
δ
ds
和
δ
S x
ds 。作y 图如图3（b ）所示。
（a ）薄壁断面节点划分图（单位：cm ）
Y
0.667
O -1.333
（b ）y 图（单位：cm ）1.2862*0.1*3
Y
0.10005
0.1668
9
0.289
0.2668
-0.1668
8
-0.2668
-0.10005
-0.2
X
0.2
0.2
（c ）点1处开口对应的S x 图（以s 绕几何中心逆时针方向为正，单位：cm 3）
Y
-94.03
-156.77
9
-271.62
-250.75
3
8
250.75
94.03
271.62
187.97
4
-187.97
（d ） 闭口截面剪应力图（单位：kPa ）
图3薄壁截面剪应力计算图式（注：剪力流为正时，对应逆时针方向；剪力流为负对应顺时针方向）
187.97
由S x =
⎰
s
ydF 可求出该开口截面各点处的S x （以s 绕截面几何中心逆时针方向为正），即
S x (1) =0，S x (9) =0，S x (10) =0；
S x (2右) =⎰
-b /2
a ⨯δ⨯d (-x ) =
ba δ
=0. 10005(m 3) ； 2
S x (2左) =-⎰a ⨯δ⨯dx =-ad δ=-0. 677⨯2. 5⨯0. 1=-0. 16675(m 3)
d
S x (2下) =⎰
-(d +b /2)
a ⨯δ⨯d (-x ) =a (d +b /2) δ=0. 2668(m 3)
a 2δS x (3) =S x (2下) +⎰y δd (-y ) =S x (2) +=0. 2668+0. 02224445=0. 289(m 3)
a 2S x (4) =S x (3) +⎰
S x (5) =S x (4) +⎰
-y x
2
y x δ
y δd (-y ) =S x (3) -=0. 289-0. 08884445=0. 20015(m 3)
2
0b /2
-b /2
(-y x ) δdx =S x (4) -y x δb =0. 20015-1. 333⨯0. 1⨯3. 0=-0. 200(m 3)
2y x δ
S x (6) =S x (5) +⎰y δdy =S x (5) -=-0. 200-0. 08884445=-0. 289(m 3)
-y x
2
S x (7下) =S x (6) +⎰
S x (7左) =-
a
a 2δ
y δdy =S x (6) +=-0. 289+0. 02224445=-0. 2668(m 3)
2
ab
δ=-0. 10005(m 3) 2
S x (7右) =ad δ=0. 16675(m 3)
故在1点处切口对应的开口截面各点处的S x 如图3（c ）所示。现求
δ
S x
ds ，考虑到S x
关于y 轴反对称，故
δ
S x
ds =0，即
S x
ds
=0。即截面在竖向剪力Q y =100kN 作用下
δ
ds
的剪应力为τ=
q
δ
=-
Q y
δI x
S x =-939. 85S x (kPa ) ，具体分布如图3（d ）所示。从图3（d ）
中可以看出，单箱薄壁截面腹板剪应力较大，而翼缘板靠近腹板处剪应力较大，向两侧逐渐减小。
【作业2】
应用ANSYS 软件分析一悬臂薄壁箱梁分别在（工况一）梁端作用集中载和（工况二）梁上作用均布载时箱梁固定端、1/4，1/2和3/4处的顶板、底板正应力分布，并分析顶底板与腹板连接处的剪力滞系数变化规律。（略！）
【作业3】已知某预应力混凝土简支箱梁，计算跨径为40m ，沿梁长等截面。截面尺寸如4所示。采用C40混凝土，剪切模量为G =1. 445⨯10MPa ，弹性模量为E =3. 40⨯10MPa 。荷载为跨中作用一偏心荷载P =451. 0kN ，偏心距为e =2. 35m （计算约束扭转时，可简化为集中力矩M k =1059. 85≈1060. 0kN ⋅m ）
4
4
图4 薄壁预应力混凝土箱梁截面尺寸（单位：cm ）
图5 截面划分及计算尺寸（单位：cm ）
【参考答案】 1）截面几何特性计算 （1）截面几何中心
对顶板中心线取面积矩，即S =4. 73608(m ) ，面积A =4. 96(m ) ； 箱梁截面几何中心距离顶板中心线距离为：e y =S /A =0. 955(m ) ； （2）惯性矩
截面绕x 、y 轴的惯性矩分别为I x =4. 556m 4、I y =25. 365m 4。 （3）广义扇性坐标c (s ) 计算
将以截面几何中心（G.C. ）为极点的扇性坐标记为c ，将以扭转中心A 为极点的扇性坐标记为A 。扇性坐标原点取在y 轴与顶板中心线的交点上，如图5所示。则根据广义扇性坐标定义可知：
3
2
Ωs ds
c (s ) =⎰ρds -⎰00t
t
ds Ω2
=49. 32044， 式中，Ω=ρ(s ) ds =4. 7⨯2. 12⨯2=19. 928m ，=0. 40405；
ds t
t
s
具体截面各节点广义扇性坐标计算公式如下，具体计算结果如表1所示。 ① 箱梁闭口部分：c (s ) =
⎰
s
ρds -0. 40405⎰
s
ds ； t
s 2. 35
② 顶板悬臂部分：左侧c (s ) =c , 3' (s ) +
⎰
s
2. 35
ρds ；右侧c (s ) =c , 3(s ) -⎰ρds 。
表1 薄壁箱梁截面关键节点广义扇性坐标c (s ) 计算汇总
（a ）箱梁截面广义扇性坐标c (s ) （单位：m 2）
4.75
1'
2'
3'
5'
s
21
-4.75
6' -2.35
2.35
x
6
（b ）箱梁截面x 坐标图（单位：m ） 图6 箱梁截面广义扇性坐标与x 坐标图
（4）扭转（剪切）中心的确定
设扭转中心与截面几何中心的距离分别为αx 和αy ，具体计算公式为
αx =
I cx I x
(s ) ydA ⎰，α=
A
c
I x
y
=-
I cy I y
(s ) xdA ⎰=-
A
c
I x
考虑到y 轴为对称轴，且广义扇性坐标关于y 轴反对称，则广义扇性坐标c (s ) 与直角坐标y 的惯性积I cx = 扇性惯性积I cy =
⎰(s ) ydA =0，α
A
c A
c
x
=0，即扭转中心在y 上，故只需求αy 。
⎰(s ) xdA 可采用箱梁截面x 坐标图（图6（b ）所示）与广义扇性
坐标c (s ) 图（图6（a ）所示）乘得到，即 I cy =
⎰
A
c (s ) xdA =∑
∆S ij t ij
6
(2x
i
i
+x j ) +j (x i +2x j )
]
扇性惯性积I cy =
⎰(s ) xdA 具体计算结果汇总见表2。
A
c
表2 扇性惯性积I cy =
⎰(s ) xdA 具体计算结果汇总表
A
c
即扭转中心与截面几何中心竖向距离为：
αy =-
I cy I y
=-
2⨯3. 8048
=-0. 3000(m )
25. 365
即扭转中心A 坐标为（0，-0.3000），在截面几何中心的正下方0.3m 处。
图7所示为采用ANSYS 计算得到的该截面的剪切中心位置，从图7中可以看出剪切中心位于几何中心正下方0.29233m ，与本文计算结果比较接近。
图7 薄壁箱梁截面剪切中心ANSYS 计算结果
（5）主扇性坐标A (s ) 计算
将扇性坐标极点从几何中心C 移到剪切中心A 处，按下式进行主扇性坐标计算，即
A (s ) =c (s ) +αy x -αx y +C
其中，C 为积分常数，与广义扇性静矩S c =
⎰
s
c (s ) tds 有关，即C =
S c A
(s ) tds ⎰=。
c
s
A
由于广义扇性坐标c (s ) 关于y 轴反对称，则
C =
S c A
(s ) tds ⎰==0
c
s
A
故A (s ) =c (s ) -0. 3x ，据此可计算得到各节点的主扇性坐标，结果如表3所示。对应的主扇性坐标A (s ) 图如图8所示。
表3 主扇性坐标A (s ) 的计算结果汇总表
图8箱梁截面主扇性坐标A
(s ) （单位：m 2）
（6）广义扇性静矩计算
在计算截面约束扭转剪应力时，需要首先计算闭口截面的广义扇性静矩：
ds =S -
t
S ① 计算主扇性坐标下的扇性静矩S (s ) =
⎰0
s
A
取主扇性坐标零点（4点）为S (s ) (s ) tds ，
计算的起点，即在距离i 点为s 处的广义扇性静矩S , s 按下式计算，即 S , s 在i +1节点处的S , i +1为
S , i +1=S , i +(i +i +1)
t i ⋅s 2
=S , i +i ⋅t i ⋅s +(i +1-i ) 2⋅l i
t i ⋅l i
2
式中，S , i 为板段计算起点的广义扇性静矩。由4点开始依次计算，则各板段起点处的S , s 及S , i +1均可以计算。本算例中各板段的广义扇性静矩具体计算如下： ① 4-3' 段：
S , 3' =0+(0. 0+(-1. 3667))
0. 22⨯2. 351. 3667⨯0. 22⨯2. 35
=-=-0. 353(3m 4)
22
② 3'-1' 段：(2'与3' 之间距离为1.089m)
S , 2'
0. 22⨯1. 0892
=-0. 3533-1. 3667⨯0. 22⨯1. 089+(1. 6453+1. 3667) ⨯=-0. 51701(m 4)
2⨯2. 40. 22⨯2. 42
=-0. 3533-1. 3667⨯0. 22⨯2. 4+(1. 6453+1. 3667) ⨯=-0. 27952(m 4)
2⨯2. 4
S , 1'
③ 3'-6' 段：(3'与6' 之间主扇性坐标0点距离3' 点为1.3624m)
S , 10'
0. 30⨯1. 36242
=-0. 3533-1. 3667⨯0. 30⨯1. 3624+(0. 76+1. 3667) ⨯=-0. 6326(m 4)
2⨯2. 120. 30⨯2. 122
=-0. 3533-1. 3667⨯0. 30⨯2. 12+(0. 76+1. 3667) ⨯=-0. 54623(m 4)
2⨯2. 12
S , 6'
④ 6'-7段：
S , 7=-0. 54623+(0. 76+0. 0) ⨯
⑤ 7-6段：
0. 34⨯2. 35
=-0. 24261(m 4) 20. 34⨯2. 35
=-0. 54623(m 4) 2
S , 6=-0. 24261+(0. 0-0. 76) ⨯
⑥ 6-3段：（主扇性坐标“零”值10距离6点0.7576m ）
S , 10
0. 30⨯0. 75762
=-0. 54623-0. 76⨯0. 30⨯0. 7576+(1. 3667-(-0. 76)) ⨯=-0. 6326(m 4)
2⨯2. 12
0. 30⨯2. 12
=-0. 3533(m 4)
2
S , 3=-0. 54623+(-0. 76+1. 3667) ⨯
⑦ 3-4段：
S , 4=-0. 3533+(1. 3667+0. 0) ⨯
0. 22⨯3. 25
=0. 0(m 4) （验证了计算结果的正确性！） 2
⑧ 3-1段：(2与3之间距离为1.089m ，注：计算该段是为顺时针方向，故S 、L 均应去负值！)
S , 2
0. 22⨯1. 0892
=-0. 3533+1. 3667⨯0. 22⨯(-1. 089) +(-1. 6453-1. 3667) ⨯=-0. 51701(m 4)
2⨯(-2. 4)
0. 22⨯(-2. 4)
=-0. 27975(m 4)
2
S , 1=-0. 3533+(1. 3667-1. 6453) ⨯
对应该截面主扇性静矩如图9所示。
-0.51701
-0.3533
-0.51701
1' 2'
s
42
G.C.
7
-0.24261
-0.54623
-0.54623
x
-0.6326
-0.6326
-0.54623
-0.54623
图9 箱梁截面主扇性静矩S (s ) （单位：m 4）
② 计算S ds t
及
ds t
。
根据图9对S ds
分段进行计算，具体计算过程如下： t
ds n 1l i
S ds S t =∑⎰0
i t i
① 4-3' 段：
12
⨯(-2. 35⨯2⨯0. 3533+⨯2⨯2. 35⨯0. 3533) ⨯0. 22=-1. 2580(m 4) 23⎛1⎝2
2⎫4⨯2. 4⨯0. 19719⎪⨯0. 22=-4. 8860(m ) 3⎭
② 3'-1' 段：- ⨯(0. 3533+0. 27952) ⨯2. 40+③ 3'-6' 段：
- ⨯(0. 3533+0. 54623) ⨯2. 12+
⎛1
⎝22⎫1⨯2. 12⨯0. 155315=-3. 9100(m 4) ⎪⨯3⎭0. 30
④ 6'-7段：
121
⨯(-2. 35⨯2⨯0. 54623+⨯2⨯2. 35⨯0. 30362) ⨯=-2. 3764(m 4) 230. 34
即
S ds ds
=-24. 8608(m 4) ，=49. 32044。 t t
ds
=S +0. 5041，即截面广义扇性静矩如图10所示。故广义扇性静矩为=S - t
S -0.51701
0.1508
0.5041
0.1508
-0.51701
2
0.1285
0.2615
0.1285-0.04213
图10 箱梁截面广义扇性静矩(s ) （单位：m 4）
（7）主扇性惯性矩、极惯性矩、抗扭惯性矩几何特征计算
截面极惯性矩（以剪切中心为极点，仅考虑闭口部分，不计入悬臂翼缘部分。）：
I ρ=ρ2dA =0. 8652⨯0. 34⨯4. 70+2⨯0. 30⨯2. 352⨯2. 12+0. 22⨯4. 70⨯1. 2552=9. 850(m 4)
L i 319. 9282Ω22+∑t i =+⨯2. 40⨯0. 223=8. 069(m 4) 截面抗扭惯性矩：I d =
ds 349. 320443t
截面约束扭转系数（翘曲系数）：μ=1-
I d 8. 069=1-=0. 1808 I ρ9. 850
截面主扇性惯性矩I = I =
2
tds 由主扇性坐标A (s ) 图乘可得，即
∑
i
n
L ij t ij 6
[(2+) +(+2) ]=∑
i
i
j
j
i
j
i
n
L ij t ij 3
2
i
+i j +j 2
]
即I =2. 3668(m ) （注：比ANSYS 计算结果偏小约7%）。 2）约束扭转内力及应力计算
闭口截面约束扭转微分方程如下：
θ' ' ' ' (z ) -k 2θ' ' (z ) =-μ
6
m t
EI GJ d 1. 445⨯1010⨯8. 069-2-1
其中k =μ=0. =0. 262(m ), k =0. 51186(m ) 。 10
EI 3. 40⨯10⨯2. 3668
2
该方程解为θ(z ) =C 1+C 2z +C 3chkz +C 4shkz -边界条件：
μm t
2k 2EI z 2。
θz =0=0（截面无约束扭转变形），B , z =0=0（截面可自由翘曲）。
简支梁跨中截面位置作用集中扭矩M k 时，跨中截面的约束扭转角与双力矩分别为：
θ z =⎪=
⎛⎝l ⎫2⎭M k l 2GI d ⎛1μ⎛kl ⎫⎫⎛
，-tanh B ⎪ ⎪ z = 2kl ⎪2⎝⎝⎭⎭⎝
l ⎫μM k ⎛kl ⎫
tanh ⎪ ⎪=
2⎭2k ⎝2⎭
（1）跨中截面约束扭转正应力
跨中截面约束扭转位移：
⎛1μ⎛kl ⎫⎫
-tanh ⎪⎪ 2kl ⎪
⎝2⎭⎭⎝
1060000⨯40. 00. 18080. 51186⨯40⎫⎛1-5
=- ⎪=8. 9306⨯10(rad ) 10
22⨯1. 445⨯10⨯8. 069⎝20. 51186⨯40⎭
θ z =⎪=
⎛
⎝l ⎫2⎭M k l 2GI d
跨中截面翘曲双力矩为：
⎛B z =⎝
l ⎫μM k ⎛kl ⎫0. 1808⨯1060⎛0. 51186⨯40⎫
tanh ⎪=tanh ⎪=⎪=187. 207(kN ⋅m )
2⎭2k 22⨯0. 511862⎝⎭⎝⎭
B (z =0. 5l )
A =0. A (MPa ) ，对应的截面翘曲
I 箱梁截面扇性正应力为：σ=
正应力结果如图11所示。
0.1301
0.1081
2'
3' -0.1081
5'
s
42
1
x
-0.0601
-0.0601
6'
7
6
图11 箱梁截面约束扭转正应力σ（单位：MPa ）
（2）跨中截面约束扭转剪应力
简支梁在跨中作用集中力矩时，任意截面（z ≤l /2）时双力矩为
l
μM k sinh kz （z ≤l /2） B =
k sinh kl
l sinh k
cosh kz 弯扭力矩为：M ==μM k dz sinh kl
l sinh k
cos k l =μM k =0. 1808⨯1060=95. 824(kN ⋅m ) 当z =l /2，M =μM k
sinh kl 222
sinh k
对应的跨中截面约束扭转剪应力为
τ=-
M (s ) 0. 040487
=-(s )(MPa )
I t t
对应的跨中截面约束扭转剪应力如图12所示。
0.09515
0.05144
0.0650
0.0204
-0.0928
0.06500.0204
0.09515
0.05144
-0.0173
-0.0311
图12 箱梁截面约束扭转剪切应力τ（单位：MPa ）
【作业4】采用有限元方法对教材P31页算例进行计算，具体分两个工况进行：
（1）跨中截面腹板位置作用一对对称集中竖向荷载，荷载大小为P/2=225.5kN； （2）跨中截面腹板位置作用一对反对称集中竖向荷载，荷载大小为P/2=225.5kN.
分别计算跨中截面、1/4跨位置截面上的正应力与剪应力分布，并绘制相应的正应力和剪应力分布曲线。（略） 【作业5】教材P143页第6题。（略）
高等桥梁结构理论课程作业参考答案（2014版）
【作业1】
如图1所示薄壁单箱断面，试分别计算：（1）该截面在竖向弯矩M x =100kN ⋅m 作用下的正应力（注：平截面假定成立。）；（2）该截面在竖向剪力Q y =100kN 通过截面中心作用下的剪应力分布。
图1 薄壁单箱断面几何尺寸（单位：cm ）
【参考答案】
由于该截面关于y 轴对称，故需要确定主轴ox 轴的位置，假定ox 轴距离上翼缘中心线为a ，由x =0，得
11
(2. 5+3. 0+2. 5) δ⋅a +2⨯a 2δ-3. 0⨯δ(2-a ) -2⨯(2-a ) 2δ=0
22
即
0. 8a +0. 1a 2-0. 6+0. 3a -0. 4-0. 1a 2+0. 4a =0
1. 5a =1. 0，即a =0. 667m
由ANSYS 计算截面几何特性参数，计算结果如图2所示。具体几何特性计算结果为：
竖向抗弯惯性矩为I x =1. 064⨯108(cm 4) =1. 064(m 4) , 横向抗弯惯性矩为I y =5. 370⨯108(cm 4) =5. 370(m 4) ， 扭转常数为：I y =1. 47⨯108(cm 4) =1. 470(m 4) ， 截面几何中心至顶板中心线距离为a =0. 667(m ) 。
（1）截面在竖向弯矩M x =100kN ⋅m 作用下，由初等梁理论可知，截面正应力分布由下式 计算，即
σz =
M x 100, 000
y =y =93984. 96y （Pa ） （-1. 333m ≤y ≤0. 667m ），具体截面正I x 1. 064
应力分布如图3所示。
Y
Sig1=62688Pa
O Sig2=125282Pa
图2截面在竖向弯矩M x
=100kN ⋅
m 作用下正应力分布图
（2）截面在竖向剪力Q y =100kN
作用下，闭口截面弯曲剪应力计算公式可知，截面剪应力为
⎛
Q y
-S x +q =
I x ⎝⎫ds ⎪⎪ ds ⎪δ⎪⎭
S x
划分薄壁断面各关键节点如图3（a ）所示。将截面在1点处切口，变为开口截面，求S x 、
δ
ds
和
δ
S x
ds 。作y 图如图3（b ）所示。
（a ）薄壁断面节点划分图（单位：cm ）
Y
0.667
O -1.333
（b ）y 图（单位：cm ）1.2862*0.1*3
Y
0.10005
0.1668
9
0.289
0.2668
-0.1668
8
-0.2668
-0.10005
-0.2
X
0.2
0.2
（c ）点1处开口对应的S x 图（以s 绕几何中心逆时针方向为正，单位：cm 3）
Y
-94.03
-156.77
9
-271.62
-250.75
3
8
250.75
94.03
271.62
187.97
4
-187.97
（d ） 闭口截面剪应力图（单位：kPa ）
图3薄壁截面剪应力计算图式（注：剪力流为正时，对应逆时针方向；剪力流为负对应顺时针方向）
187.97
由S x =
⎰
s
ydF 可求出该开口截面各点处的S x （以s 绕截面几何中心逆时针方向为正），即
S x (1) =0，S x (9) =0，S x (10) =0；
S x (2右) =⎰
-b /2
a ⨯δ⨯d (-x ) =
ba δ
=0. 10005(m 3) ； 2
S x (2左) =-⎰a ⨯δ⨯dx =-ad δ=-0. 677⨯2. 5⨯0. 1=-0. 16675(m 3)
d
S x (2下) =⎰
-(d +b /2)
a ⨯δ⨯d (-x ) =a (d +b /2) δ=0. 2668(m 3)
a 2δS x (3) =S x (2下) +⎰y δd (-y ) =S x (2) +=0. 2668+0. 02224445=0. 289(m 3)
a 2S x (4) =S x (3) +⎰
S x (5) =S x (4) +⎰
-y x
2
y x δ
y δd (-y ) =S x (3) -=0. 289-0. 08884445=0. 20015(m 3)
2
0b /2
-b /2
(-y x ) δdx =S x (4) -y x δb =0. 20015-1. 333⨯0. 1⨯3. 0=-0. 200(m 3)
2y x δ
S x (6) =S x (5) +⎰y δdy =S x (5) -=-0. 200-0. 08884445=-0. 289(m 3)
-y x
2
S x (7下) =S x (6) +⎰
S x (7左) =-
a
a 2δ
y δdy =S x (6) +=-0. 289+0. 02224445=-0. 2668(m 3)
2
ab
δ=-0. 10005(m 3) 2
S x (7右) =ad δ=0. 16675(m 3)
故在1点处切口对应的开口截面各点处的S x 如图3（c ）所示。现求
δ
S x
ds ，考虑到S x
关于y 轴反对称，故
δ
S x
ds =0，即
S x
ds
=0。即截面在竖向剪力Q y =100kN 作用下
δ
ds
的剪应力为τ=
q
δ
=-
Q y
δI x
S x =-939. 85S x (kPa ) ，具体分布如图3（d ）所示。从图3（d ）
中可以看出，单箱薄壁截面腹板剪应力较大，而翼缘板靠近腹板处剪应力较大，向两侧逐渐减小。
【作业2】
应用ANSYS 软件分析一悬臂薄壁箱梁分别在（工况一）梁端作用集中载和（工况二）梁上作用均布载时箱梁固定端、1/4，1/2和3/4处的顶板、底板正应力分布，并分析顶底板与腹板连接处的剪力滞系数变化规律。（略！）
【作业3】已知某预应力混凝土简支箱梁，计算跨径为40m ，沿梁长等截面。截面尺寸如4所示。采用C40混凝土，剪切模量为G =1. 445⨯10MPa ，弹性模量为E =3. 40⨯10MPa 。荷载为跨中作用一偏心荷载P =451. 0kN ，偏心距为e =2. 35m （计算约束扭转时，可简化为集中力矩M k =1059. 85≈1060. 0kN ⋅m ）
4
4
图4 薄壁预应力混凝土箱梁截面尺寸（单位：cm ）
图5 截面划分及计算尺寸（单位：cm ）
【参考答案】 1）截面几何特性计算 （1）截面几何中心
对顶板中心线取面积矩，即S =4. 73608(m ) ，面积A =4. 96(m ) ； 箱梁截面几何中心距离顶板中心线距离为：e y =S /A =0. 955(m ) ； （2）惯性矩
截面绕x 、y 轴的惯性矩分别为I x =4. 556m 4、I y =25. 365m 4。 （3）广义扇性坐标c (s ) 计算
将以截面几何中心（G.C. ）为极点的扇性坐标记为c ，将以扭转中心A 为极点的扇性坐标记为A 。扇性坐标原点取在y 轴与顶板中心线的交点上，如图5所示。则根据广义扇性坐标定义可知：
3
2
Ωs ds
c (s ) =⎰ρds -⎰00t
t
ds Ω2
=49. 32044， 式中，Ω=ρ(s ) ds =4. 7⨯2. 12⨯2=19. 928m ，=0. 40405；
ds t
t
s
具体截面各节点广义扇性坐标计算公式如下，具体计算结果如表1所示。 ① 箱梁闭口部分：c (s ) =
⎰
s
ρds -0. 40405⎰
s
ds ； t
s 2. 35
② 顶板悬臂部分：左侧c (s ) =c , 3' (s ) +
⎰
s
2. 35
ρds ；右侧c (s ) =c , 3(s ) -⎰ρds 。
表1 薄壁箱梁截面关键节点广义扇性坐标c (s ) 计算汇总
（a ）箱梁截面广义扇性坐标c (s ) （单位：m 2）
4.75
1'
2'
3'
5'
s
21
-4.75
6' -2.35
2.35
x
6
（b ）箱梁截面x 坐标图（单位：m ） 图6 箱梁截面广义扇性坐标与x 坐标图
（4）扭转（剪切）中心的确定
设扭转中心与截面几何中心的距离分别为αx 和αy ，具体计算公式为
αx =
I cx I x
(s ) ydA ⎰，α=
A
c
I x
y
=-
I cy I y
(s ) xdA ⎰=-
A
c
I x
考虑到y 轴为对称轴，且广义扇性坐标关于y 轴反对称，则广义扇性坐标c (s ) 与直角坐标y 的惯性积I cx = 扇性惯性积I cy =
⎰(s ) ydA =0，α
A
c A
c
x
=0，即扭转中心在y 上，故只需求αy 。
⎰(s ) xdA 可采用箱梁截面x 坐标图（图6（b ）所示）与广义扇性
坐标c (s ) 图（图6（a ）所示）乘得到，即 I cy =
⎰
A
c (s ) xdA =∑
∆S ij t ij
6
(2x
i
i
+x j ) +j (x i +2x j )
]
扇性惯性积I cy =
⎰(s ) xdA 具体计算结果汇总见表2。
A
c
表2 扇性惯性积I cy =
⎰(s ) xdA 具体计算结果汇总表
A
c
即扭转中心与截面几何中心竖向距离为：
αy =-
I cy I y
=-
2⨯3. 8048
=-0. 3000(m )
25. 365
即扭转中心A 坐标为（0，-0.3000），在截面几何中心的正下方0.3m 处。
图7所示为采用ANSYS 计算得到的该截面的剪切中心位置，从图7中可以看出剪切中心位于几何中心正下方0.29233m ，与本文计算结果比较接近。
图7 薄壁箱梁截面剪切中心ANSYS 计算结果
（5）主扇性坐标A (s ) 计算
将扇性坐标极点从几何中心C 移到剪切中心A 处，按下式进行主扇性坐标计算，即
A (s ) =c (s ) +αy x -αx y +C
其中，C 为积分常数，与广义扇性静矩S c =
⎰
s
c (s ) tds 有关，即C =
S c A
(s ) tds ⎰=。
c
s
A
由于广义扇性坐标c (s ) 关于y 轴反对称，则
C =
S c A
(s ) tds ⎰==0
c
s
A
故A (s ) =c (s ) -0. 3x ，据此可计算得到各节点的主扇性坐标，结果如表3所示。对应的主扇性坐标A (s ) 图如图8所示。
表3 主扇性坐标A (s ) 的计算结果汇总表
图8箱梁截面主扇性坐标A
(s ) （单位：m 2）
（6）广义扇性静矩计算
在计算截面约束扭转剪应力时，需要首先计算闭口截面的广义扇性静矩：
ds =S -
t
S ① 计算主扇性坐标下的扇性静矩S (s ) =
⎰0
s
A
取主扇性坐标零点（4点）为S (s ) (s ) tds ，
计算的起点，即在距离i 点为s 处的广义扇性静矩S , s 按下式计算，即 S , s 在i +1节点处的S , i +1为
S , i +1=S , i +(i +i +1)
t i ⋅s 2
=S , i +i ⋅t i ⋅s +(i +1-i ) 2⋅l i
t i ⋅l i
2
式中，S , i 为板段计算起点的广义扇性静矩。由4点开始依次计算，则各板段起点处的S , s 及S , i +1均可以计算。本算例中各板段的广义扇性静矩具体计算如下： ① 4-3' 段：
S , 3' =0+(0. 0+(-1. 3667))
0. 22⨯2. 351. 3667⨯0. 22⨯2. 35
=-=-0. 353(3m 4)
22
② 3'-1' 段：(2'与3' 之间距离为1.089m)
S , 2'
0. 22⨯1. 0892
=-0. 3533-1. 3667⨯0. 22⨯1. 089+(1. 6453+1. 3667) ⨯=-0. 51701(m 4)
2⨯2. 40. 22⨯2. 42
=-0. 3533-1. 3667⨯0. 22⨯2. 4+(1. 6453+1. 3667) ⨯=-0. 27952(m 4)
2⨯2. 4
S , 1'
③ 3'-6' 段：(3'与6' 之间主扇性坐标0点距离3' 点为1.3624m)
S , 10'
0. 30⨯1. 36242
=-0. 3533-1. 3667⨯0. 30⨯1. 3624+(0. 76+1. 3667) ⨯=-0. 6326(m 4)
2⨯2. 120. 30⨯2. 122
=-0. 3533-1. 3667⨯0. 30⨯2. 12+(0. 76+1. 3667) ⨯=-0. 54623(m 4)
2⨯2. 12
S , 6'
④ 6'-7段：
S , 7=-0. 54623+(0. 76+0. 0) ⨯
⑤ 7-6段：
0. 34⨯2. 35
=-0. 24261(m 4) 20. 34⨯2. 35
=-0. 54623(m 4) 2
S , 6=-0. 24261+(0. 0-0. 76) ⨯
⑥ 6-3段：（主扇性坐标“零”值10距离6点0.7576m ）
S , 10
0. 30⨯0. 75762
=-0. 54623-0. 76⨯0. 30⨯0. 7576+(1. 3667-(-0. 76)) ⨯=-0. 6326(m 4)
2⨯2. 12
0. 30⨯2. 12
=-0. 3533(m 4)
2
S , 3=-0. 54623+(-0. 76+1. 3667) ⨯
⑦ 3-4段：
S , 4=-0. 3533+(1. 3667+0. 0) ⨯
0. 22⨯3. 25
=0. 0(m 4) （验证了计算结果的正确性！） 2
⑧ 3-1段：(2与3之间距离为1.089m ，注：计算该段是为顺时针方向，故S 、L 均应去负值！)
S , 2
0. 22⨯1. 0892
=-0. 3533+1. 3667⨯0. 22⨯(-1. 089) +(-1. 6453-1. 3667) ⨯=-0. 51701(m 4)
2⨯(-2. 4)
0. 22⨯(-2. 4)
=-0. 27975(m 4)
2
S , 1=-0. 3533+(1. 3667-1. 6453) ⨯
对应该截面主扇性静矩如图9所示。
-0.51701
-0.3533
-0.51701
1' 2'
s
42
G.C.
7
-0.24261
-0.54623
-0.54623
x
-0.6326
-0.6326
-0.54623
-0.54623
图9 箱梁截面主扇性静矩S (s ) （单位：m 4）
② 计算S ds t
及
ds t
。
根据图9对S ds
分段进行计算，具体计算过程如下： t
ds n 1l i
S ds S t =∑⎰0
i t i
① 4-3' 段：
12
⨯(-2. 35⨯2⨯0. 3533+⨯2⨯2. 35⨯0. 3533) ⨯0. 22=-1. 2580(m 4) 23⎛1⎝2
2⎫4⨯2. 4⨯0. 19719⎪⨯0. 22=-4. 8860(m ) 3⎭
② 3'-1' 段：- ⨯(0. 3533+0. 27952) ⨯2. 40+③ 3'-6' 段：
- ⨯(0. 3533+0. 54623) ⨯2. 12+
⎛1
⎝22⎫1⨯2. 12⨯0. 155315=-3. 9100(m 4) ⎪⨯3⎭0. 30
④ 6'-7段：
121
⨯(-2. 35⨯2⨯0. 54623+⨯2⨯2. 35⨯0. 30362) ⨯=-2. 3764(m 4) 230. 34
即
S ds ds
=-24. 8608(m 4) ，=49. 32044。 t t
ds
=S +0. 5041，即截面广义扇性静矩如图10所示。故广义扇性静矩为=S - t
S -0.51701
0.1508
0.5041
0.1508
-0.51701
2
0.1285
0.2615
0.1285-0.04213
图10 箱梁截面广义扇性静矩(s ) （单位：m 4）
（7）主扇性惯性矩、极惯性矩、抗扭惯性矩几何特征计算
截面极惯性矩（以剪切中心为极点，仅考虑闭口部分，不计入悬臂翼缘部分。）：
I ρ=ρ2dA =0. 8652⨯0. 34⨯4. 70+2⨯0. 30⨯2. 352⨯2. 12+0. 22⨯4. 70⨯1. 2552=9. 850(m 4)
L i 319. 9282Ω22+∑t i =+⨯2. 40⨯0. 223=8. 069(m 4) 截面抗扭惯性矩：I d =
ds 349. 320443t
截面约束扭转系数（翘曲系数）：μ=1-
I d 8. 069=1-=0. 1808 I ρ9. 850
截面主扇性惯性矩I = I =
2
tds 由主扇性坐标A (s ) 图乘可得，即
∑
i
n
L ij t ij 6
[(2+) +(+2) ]=∑
i
i
j
j
i
j
i
n
L ij t ij 3
2
i
+i j +j 2
]
即I =2. 3668(m ) （注：比ANSYS 计算结果偏小约7%）。 2）约束扭转内力及应力计算
闭口截面约束扭转微分方程如下：
θ' ' ' ' (z ) -k 2θ' ' (z ) =-μ
6
m t
EI GJ d 1. 445⨯1010⨯8. 069-2-1
其中k =μ=0. =0. 262(m ), k =0. 51186(m ) 。 10
EI 3. 40⨯10⨯2. 3668
2
该方程解为θ(z ) =C 1+C 2z +C 3chkz +C 4shkz -边界条件：
μm t
2k 2EI z 2。
θz =0=0（截面无约束扭转变形），B , z =0=0（截面可自由翘曲）。
简支梁跨中截面位置作用集中扭矩M k 时，跨中截面的约束扭转角与双力矩分别为：
θ z =⎪=
⎛⎝l ⎫2⎭M k l 2GI d ⎛1μ⎛kl ⎫⎫⎛
，-tanh B ⎪ ⎪ z = 2kl ⎪2⎝⎝⎭⎭⎝
l ⎫μM k ⎛kl ⎫
tanh ⎪ ⎪=
2⎭2k ⎝2⎭
（1）跨中截面约束扭转正应力
跨中截面约束扭转位移：
⎛1μ⎛kl ⎫⎫
-tanh ⎪⎪ 2kl ⎪
⎝2⎭⎭⎝
1060000⨯40. 00. 18080. 51186⨯40⎫⎛1-5
=- ⎪=8. 9306⨯10(rad ) 10
22⨯1. 445⨯10⨯8. 069⎝20. 51186⨯40⎭
θ z =⎪=
⎛
⎝l ⎫2⎭M k l 2GI d
跨中截面翘曲双力矩为：
⎛B z =⎝
l ⎫μM k ⎛kl ⎫0. 1808⨯1060⎛0. 51186⨯40⎫
tanh ⎪=tanh ⎪=⎪=187. 207(kN ⋅m )
2⎭2k 22⨯0. 511862⎝⎭⎝⎭
B (z =0. 5l )
A =0. A (MPa ) ，对应的截面翘曲
I 箱梁截面扇性正应力为：σ=
正应力结果如图11所示。
0.1301
0.1081
2'
3' -0.1081
5'
s
42
1
x
-0.0601
-0.0601
6'
7
6
图11 箱梁截面约束扭转正应力σ（单位：MPa ）
（2）跨中截面约束扭转剪应力
简支梁在跨中作用集中力矩时，任意截面（z ≤l /2）时双力矩为
l
μM k sinh kz （z ≤l /2） B =
k sinh kl
l sinh k
cosh kz 弯扭力矩为：M ==μM k dz sinh kl
l sinh k
cos k l =μM k =0. 1808⨯1060=95. 824(kN ⋅m ) 当z =l /2，M =μM k
sinh kl 222
sinh k
对应的跨中截面约束扭转剪应力为
τ=-
M (s ) 0. 040487
=-(s )(MPa )
I t t
对应的跨中截面约束扭转剪应力如图12所示。
0.09515
0.05144
0.0650
0.0204
-0.0928
0.06500.0204
0.09515
0.05144
-0.0173
-0.0311
图12 箱梁截面约束扭转剪切应力τ（单位：MPa ）
【作业4】采用有限元方法对教材P31页算例进行计算，具体分两个工况进行：
（1）跨中截面腹板位置作用一对对称集中竖向荷载，荷载大小为P/2=225.5kN； （2）跨中截面腹板位置作用一对反对称集中竖向荷载，荷载大小为P/2=225.5kN.
分别计算跨中截面、1/4跨位置截面上的正应力与剪应力分布，并绘制相应的正应力和剪应力分布曲线。（略） 【作业5】教材P143页第6题。（略）