数字信号处理作业
DFT 习题
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1. 如果x (n ) 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把x (n ) 看作周期为N 的周期序列，令X 1(k ) 表示x (n ) 的离散傅里叶级数之系数，再把x (n ) 看作周期为2N 的周期序列，再令X 2(k ) 表示x (n ) 的离散傅里叶级数之系数。当然，X 1(k ) 是周期性的，周期为N ，而X 2(k ) 也是周期性的，周期为2N 。试利用X 1(k ) 确定X 2(k ) 。（76-4）
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2. 研究两个周期序列x (n ) 和y (n ) 。x (n ) 具有周期N , 而y (n ) 具有周期M 。序列
w (n ) 定义为w (n ) =x (n ) +y (n ) 。
a. 证明w (n ) 是周期性的，周期为MN 。
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b. 由于x (n ) 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数X (k ) 的周期也是N 。类似地，
由于y (n ) 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数Y (k ) 的周期也是M 。w (n ) 的离散傅里叶级数之系数W (k ) 的周期为MN 。试利用X (k ) 和Y (k ) 求W (k ) 。（76-5）
3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）:
a. x (n ) =δ(n ) b ．x (n ) =δ(n -n 0) c ．x (n ) =a n
0
0≤n ≤N -1（78-7）
4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）
5. 令X (k ) 表示N 点序列x (n ) 的N 点离散傅里叶变换
(a） 证明如果x (n ) 满足关系式：x (n ) =-x (N -1-n ) ，则X (0) =0。 (b） 证明当N 为偶数时，如果x (n ) =x (N -1-n ) ，则X (N /2) =0。（80-14）
6. 令X (k ) 表示N 点序列x (n ) 的N 点离散傅里叶变换，X (k ) 本身也是一个N 点序列。如果计算X (k ) 的离散傅里叶变换得到一序列x 1(n ) ，试用x (n ) 求x 1(n ) 。（82-15）
7. 若x (n ) 为一个N 点序列，而X (k ) 为其N 点离散傅里叶变换，证明：
N -1
∑
n =0
x (n )
2
=
∑N
1
N -1
X (k )
2
，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。（82-16）
k =0
8. 长度为8的一个有限时宽序列具有8点离散傅里叶变换X (k ) ，如图所示。长度为16的
一个新的序列y (n ) 定义为：
⎧n
⎪x () n 为偶数
，试画出相当于y (n ) =⎨2
⎪⎩0n 为奇数
（86y (n ) 的16点离散傅里叶变换的略图。页-18）
k
0 1 2 3 4 5 6
7
9. 令x (n ) 表示z 变换为X (z ) 的无限时宽序列，而x 1(n ) 表示长度为N 的有限时
宽序列，其N 点离散傅立叶变换用X 1(k ) 表示。如果X (z ) 和X 1(k ) 有如下关系：X 1(k ) =X (z ) |z =W , k =0,1, 2, , N -1
-k N
式中W N =e
-j
2πN
。试求x (n ) 和x 1(n ) 之间的关系。（93-22）
10. 令X (e j ω) 表示序列x (n ) =(1/2) n u (n ) 的傅里叶变换，并令y (n ) 表示长度为10的一个
有限时宽序列，即n 10时，y (n ) =0，y (n ) 的10点离散傅里叶变换用Y (k ) 表示，它相当于X (e j ω) 的10个等间隔取样，即Y (k ) =X (e 求y (n ) （94-23）
j 2πk /10
) ，试
11. 讨论一个长度为N 的有限时宽序列x (n ) ，n N -1时，x (n ) =0，我们要求
计算其z 变换X (z ) 在单位圆的M 个等间隔点上的取样。取样数M 小于序列的时宽N ；即M ≤N ，试求一种得到X (z ) 的M 个取样的方法，它只要计算一次M 点序列（这个序列是由x (n ) 得来的）的M 点离散傅里叶变换。（96-25）
12. 研究两个n
x (n ) =0y (n ) =0
当n ≥8时当n ≥20时
，将每一个序列的20点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变
换，令r (n ) 表示它的离散傅里叶反变换，指出r (n ) 的哪些点相当于x (n ) 与y (n ) 线性卷积中的点。（96-26）
FFT 习题
1. 假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序：
N -1
X (k ) =
∑x (n ) e
n =0
-j (2π/N ) kn
k =0, 1,..., N -1，试指出如何用此程序来计算如下反变换：
x (n ) =
1N
N -1
∑X (k ) e
k =0
-j (2π/N ) kn
n =0, 1,..., N -1（193-8）
2. 在计算实序列的离散傅里叶变换时，利用序列是实序列这一特点有可能减少计算量，本
题中讨论了两种减少计算量的途径：
a. 研究两个分别具有离散傅里叶变换X 1(k ) 和X 2(k ) 的实序列x 1(n ) 和x 2(n ) ，令
g (n ) 为一个复序列，g (n ) =x 1(n ) +jx 2(n ) ，G (k ) 为其离散傅里叶变换。令G O R (k ) 、G ER (k ) 、G O I (k ) 、G EI (k ) 分别表示G (k ) 的实部的奇数部分、实部的偶
数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分，试利用G O R (k ) 、G ER (k ) 、G O I (k ) 和
G EI (k ) 表示X 1(k ) 和X 2(k ) 。
b. 假设x (n ) 是一个N 点的实序列，且N 可以被2整除，令x 1(n ) 和x 2(n ) 为两个N /2
点序列，其定义为：
x 1(n ) =x (2n ), n =0,1, 2,..., N /2-1， x 2(n ) =x (2n +1), n =0,1, 2,..., N /2-1
试利用X 1(k ) 和X 2(k ) 求X (k ) 。（198-10）
3. 研究一个有限长度序列x (n ) ，并且n N -1+n 0时，x (n ) =0。假设我们想
要计算在z 平面内下列各点上x (n ) 的z 变换之取样：
z k =re
j (θ+(2π/M ) k )
，k =0, 1, 2,..., M -1，式中M
（199页-11）
X (z ) 的有效方法。
4. 研究一个长度为M 的有限时宽序列x (n ) ，并且n M 时，x (n ) =0。我们希
N -1
望计算z 变换X (z ) =
∑x (n ) z
n =0
-n
在单位圆上N 个等间隔点上的取样，即在
z =e
j (2π/N ) k
，k =0, 1, 2,..., N -1上的取样，试找出对下列情况只用一个N 点离散傅里
叶变换就能计算X (z ) 的N 个取样的方法，并证明之。 （a ） N ≤M
（b ） N >M （200-12）
5.
X (e
j ω
) 表示长度为10的有限时宽序列x (n ) 的傅里叶变换，我们希望计算X (e
j ω
) 在频
2
率ωk =(2πk /100)(k =0, 1,... 9) 时的10个取样。计算时不能采取先算出比要求多的取
样，然后再丢掉一些的办法。讨论采用下列各方法的可行性： (a) 直接利用10点快速傅里叶变换算法。 (b) 利用线性调频z 变换算法。（201-13）
6. 在下列说法中选择正确的结论并加以证明。线性调频z 变换可以用来计算一个有限时宽序列h (n ) 在z 平面实z 轴上诸点{z k }的z 变换H (z ) ，使
a) z k =a k , k =0,1,..., N -1, a 为实数,a ≠±1; b) z k =a k , k =0,1,..., N -1, a 为实数,a ≠0 c) a) 和b) 两者都行；
d) a) 和b) 都不行，即线性调频z 变换不能计算H (z ) 在z 为实数时的取样。（203-15）
Hilbert 变换习题
1． 令x (n ) 为x (n )
∞
X (z ) =
∑
n =0
x (n ) z
-n
上式为变量z -1的泰勒级数，所以它在以z=0为中心的某一圆外部处处收敛于一个解析函数。[收敛区域包括点z=∞，事实上，X (∞) =x (0)]。我们说X (z ) 是解析（在其收敛区域内）的，表示对X 加了苛刻的约束条件，即它的实部和虚部各都满足拉普拉斯方程，且实部和虚部之间满足柯西-黎曼方程。现在我们利用这些性质，根据X (z ) 的实部确定X (z ) ，条件是
x (n ) 为有限值的实因果序列。
令x (n ) 为实（有限值的）因果序列，其z 变换为：
X (z ) =X R (z ) +jX I (z )
式中：X R 和X I 是z 的实函数。 假设z =
ρe
j ω
时，X R 给定为
X R (ρe
j ω
) =
ρ+αcos ω
ρ
（α为实数）
假设除了z=0外，X (z ) 处处解析，试求X (z ) 并表示成z 的显函数。 （建议用时域法解此题）（214-4）
2． 序列x (n ) 的偶部定义为：x e (n ) =
x (n ) +x (-n )
2
，假设x (n ) 是一个有限时宽实序列，定
义为n
（b ）试求出以x (n ) 表示的Re[X (k ) ]的离散傅立叶反变换。（228-15）
3． 研究一个长度N 的有限时宽实序列（即n
N -1
X (k ) =
此
令X R (k ) 表示X (k ) 的实部。
∑
n =0
x (n ) e
-j (2π/M ) nk
表示x (n ) 的M 点的离散傅立叶变换，因
（a ） 试利用N 来求能使X R (k ) 唯一确定X (k ) 的最小M 值（M=1,2除外）。
（b ） 如果M 满足（a ）中所确定的条件，则X (k ) 可以表示为X R (k ) 和序列U (k ) 的循环
卷积。请确定U (k ) 。（228-16）
4． 研究一个复序列x （n ），x(n)=xr(n)+xi(n),其中xr(n)和xi(n)是实序列，序列x(n)的z 变换
X(z)在单位圆的下半部分为零。即，π≤ω≤2π时，X(ejω)=0. x(n)的实部为 ⎧1/2, n =0⎫⎪⎪x r (n)=⎨-1/4, n =±2⎬
⎪⎪⎩0, 其他⎭
试求X(ej ω) 的实部和虚部。
5． 令H[]表示理想希尔伯特变换运算，即
∞
H[x(n)]=∑h (n -k ) x (k )
k=-∞
式中h(n)由（7.48）式给定。试证明下列特性：
（a ） H[H[x(n)]]=-x(n).
∞
（b ） ∑
n=-∞x (n ) H [x (n )]=0. (提示：利用帕斯维尔定理)
（c ） H[x(n)*y(n)]=H[x(n)]*y(n)=x(n)*H[y(n)],式中x(n)和y(n)为任意序列。（233-19）
Walsh 函数
1 a) 时间序列{f (θi )}, θj =0,1,2,….7为{0 0 1 1 0 0 1 1 }将其作离散Walsh 变换 b) 将上述序列Hadamard 变换 2 设输入序列{f (θi )}为{0 0 1 1 0 0 1 1 }, 并将此输入序列作a=3的并元移位，试求{Wz (N)} 3 给定两个时间序列f 1(θj )f (θ)，定义两个序列的并元时间域相关和并元时间域卷积为：j 2
a) 并元时间域相关为：
K 12θ()=f (θ)*f (θ)=j j j 121N ∑f (m )f (m ⊕θ) θj
12
m =0N -1j =0, 1, 2 N -1
b) 并元时间卷积为：
K 12(θ
f 1θ
f 2j j )=f (θ)*f (θ)=j j 121N ∑f (m )f (m ⊕θ) j 12m =0N -1若(){W (m )} (θ){W (m )}1j 2
试证明：
1) 并元相关定理
{K 11θ()}{W j
j 21(m )} 2) 并元时间卷积定理 {K 12(θ)}={W 1(m )}∙{W 2(m )}
提示： a 先证明2)
b 在证明过程中利用 n=(n⊕m) ⊕n 关系式 4 给定时间序列为{f (θ)}={1 2 1 1 3 1 1 2},求快速哈达玛变换系数{Bf (n)}, n=0,1,2….7 i
5 用快速算法求{f (θ)}={1,2,1,1,3,1,1,2}的Walsh 变换 i
6 设（0 1）区间的取样数为N=23求
1) W a l w (4, θj )2) W a l p 4, θ(j )3) W a l H (4, θ) j
数字信号处理作业
DFT 习题
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1. 如果x (n ) 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把x (n ) 看作周期为N 的周期序列，令X 1(k ) 表示x (n ) 的离散傅里叶级数之系数，再把x (n ) 看作周期为2N 的周期序列，再令X 2(k ) 表示x (n ) 的离散傅里叶级数之系数。当然，X 1(k ) 是周期性的，周期为N ，而X 2(k ) 也是周期性的，周期为2N 。试利用X 1(k ) 确定X 2(k ) 。（76-4）
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2. 研究两个周期序列x (n ) 和y (n ) 。x (n ) 具有周期N , 而y (n ) 具有周期M 。序列
w (n ) 定义为w (n ) =x (n ) +y (n ) 。
a. 证明w (n ) 是周期性的，周期为MN 。
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b. 由于x (n ) 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数X (k ) 的周期也是N 。类似地，
由于y (n ) 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数Y (k ) 的周期也是M 。w (n ) 的离散傅里叶级数之系数W (k ) 的周期为MN 。试利用X (k ) 和Y (k ) 求W (k ) 。（76-5）
3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）:
a. x (n ) =δ(n ) b ．x (n ) =δ(n -n 0) c ．x (n ) =a n
0
0≤n ≤N -1（78-7）
4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）
5. 令X (k ) 表示N 点序列x (n ) 的N 点离散傅里叶变换
(a） 证明如果x (n ) 满足关系式：x (n ) =-x (N -1-n ) ，则X (0) =0。 (b） 证明当N 为偶数时，如果x (n ) =x (N -1-n ) ，则X (N /2) =0。（80-14）
6. 令X (k ) 表示N 点序列x (n ) 的N 点离散傅里叶变换，X (k ) 本身也是一个N 点序列。如果计算X (k ) 的离散傅里叶变换得到一序列x 1(n ) ，试用x (n ) 求x 1(n ) 。（82-15）
7. 若x (n ) 为一个N 点序列，而X (k ) 为其N 点离散傅里叶变换，证明：
N -1
∑
n =0
x (n )
2
=
∑N
1
N -1
X (k )
2
，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。（82-16）
k =0
8. 长度为8的一个有限时宽序列具有8点离散傅里叶变换X (k ) ，如图所示。长度为16的
一个新的序列y (n ) 定义为：
⎧n
⎪x () n 为偶数
，试画出相当于y (n ) =⎨2
⎪⎩0n 为奇数
（86y (n ) 的16点离散傅里叶变换的略图。页-18）
k
0 1 2 3 4 5 6
7
9. 令x (n ) 表示z 变换为X (z ) 的无限时宽序列，而x 1(n ) 表示长度为N 的有限时
宽序列，其N 点离散傅立叶变换用X 1(k ) 表示。如果X (z ) 和X 1(k ) 有如下关系：X 1(k ) =X (z ) |z =W , k =0,1, 2, , N -1
-k N
式中W N =e
-j
2πN
。试求x (n ) 和x 1(n ) 之间的关系。（93-22）
10. 令X (e j ω) 表示序列x (n ) =(1/2) n u (n ) 的傅里叶变换，并令y (n ) 表示长度为10的一个
有限时宽序列，即n 10时，y (n ) =0，y (n ) 的10点离散傅里叶变换用Y (k ) 表示，它相当于X (e j ω) 的10个等间隔取样，即Y (k ) =X (e 求y (n ) （94-23）
j 2πk /10
) ，试
11. 讨论一个长度为N 的有限时宽序列x (n ) ，n N -1时，x (n ) =0，我们要求
计算其z 变换X (z ) 在单位圆的M 个等间隔点上的取样。取样数M 小于序列的时宽N ；即M ≤N ，试求一种得到X (z ) 的M 个取样的方法，它只要计算一次M 点序列（这个序列是由x (n ) 得来的）的M 点离散傅里叶变换。（96-25）
12. 研究两个n
x (n ) =0y (n ) =0
当n ≥8时当n ≥20时
，将每一个序列的20点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变
换，令r (n ) 表示它的离散傅里叶反变换，指出r (n ) 的哪些点相当于x (n ) 与y (n ) 线性卷积中的点。（96-26）
FFT 习题
1. 假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序：
N -1
X (k ) =
∑x (n ) e
n =0
-j (2π/N ) kn
k =0, 1,..., N -1，试指出如何用此程序来计算如下反变换：
x (n ) =
1N
N -1
∑X (k ) e
k =0
-j (2π/N ) kn
n =0, 1,..., N -1（193-8）
2. 在计算实序列的离散傅里叶变换时，利用序列是实序列这一特点有可能减少计算量，本
题中讨论了两种减少计算量的途径：
a. 研究两个分别具有离散傅里叶变换X 1(k ) 和X 2(k ) 的实序列x 1(n ) 和x 2(n ) ，令
g (n ) 为一个复序列，g (n ) =x 1(n ) +jx 2(n ) ，G (k ) 为其离散傅里叶变换。令G O R (k ) 、G ER (k ) 、G O I (k ) 、G EI (k ) 分别表示G (k ) 的实部的奇数部分、实部的偶
数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分，试利用G O R (k ) 、G ER (k ) 、G O I (k ) 和
G EI (k ) 表示X 1(k ) 和X 2(k ) 。
b. 假设x (n ) 是一个N 点的实序列，且N 可以被2整除，令x 1(n ) 和x 2(n ) 为两个N /2
点序列，其定义为：
x 1(n ) =x (2n ), n =0,1, 2,..., N /2-1， x 2(n ) =x (2n +1), n =0,1, 2,..., N /2-1
试利用X 1(k ) 和X 2(k ) 求X (k ) 。（198-10）
3. 研究一个有限长度序列x (n ) ，并且n N -1+n 0时，x (n ) =0。假设我们想
要计算在z 平面内下列各点上x (n ) 的z 变换之取样：
z k =re
j (θ+(2π/M ) k )
，k =0, 1, 2,..., M -1，式中M
（199页-11）
X (z ) 的有效方法。
4. 研究一个长度为M 的有限时宽序列x (n ) ，并且n M 时，x (n ) =0。我们希
N -1
望计算z 变换X (z ) =
∑x (n ) z
n =0
-n
在单位圆上N 个等间隔点上的取样，即在
z =e
j (2π/N ) k
，k =0, 1, 2,..., N -1上的取样，试找出对下列情况只用一个N 点离散傅里
叶变换就能计算X (z ) 的N 个取样的方法，并证明之。 （a ） N ≤M
（b ） N >M （200-12）
5.
X (e
j ω
) 表示长度为10的有限时宽序列x (n ) 的傅里叶变换，我们希望计算X (e
j ω
) 在频
2
率ωk =(2πk /100)(k =0, 1,... 9) 时的10个取样。计算时不能采取先算出比要求多的取
样，然后再丢掉一些的办法。讨论采用下列各方法的可行性： (a) 直接利用10点快速傅里叶变换算法。 (b) 利用线性调频z 变换算法。（201-13）
6. 在下列说法中选择正确的结论并加以证明。线性调频z 变换可以用来计算一个有限时宽序列h (n ) 在z 平面实z 轴上诸点{z k }的z 变换H (z ) ，使
a) z k =a k , k =0,1,..., N -1, a 为实数,a ≠±1; b) z k =a k , k =0,1,..., N -1, a 为实数,a ≠0 c) a) 和b) 两者都行；
d) a) 和b) 都不行，即线性调频z 变换不能计算H (z ) 在z 为实数时的取样。（203-15）
Hilbert 变换习题
1． 令x (n ) 为x (n )
∞
X (z ) =
∑
n =0
x (n ) z
-n
上式为变量z -1的泰勒级数，所以它在以z=0为中心的某一圆外部处处收敛于一个解析函数。[收敛区域包括点z=∞，事实上，X (∞) =x (0)]。我们说X (z ) 是解析（在其收敛区域内）的，表示对X 加了苛刻的约束条件，即它的实部和虚部各都满足拉普拉斯方程，且实部和虚部之间满足柯西-黎曼方程。现在我们利用这些性质，根据X (z ) 的实部确定X (z ) ，条件是
x (n ) 为有限值的实因果序列。
令x (n ) 为实（有限值的）因果序列，其z 变换为：
X (z ) =X R (z ) +jX I (z )
式中：X R 和X I 是z 的实函数。 假设z =
ρe
j ω
时，X R 给定为
X R (ρe
j ω
) =
ρ+αcos ω
ρ
（α为实数）
假设除了z=0外，X (z ) 处处解析，试求X (z ) 并表示成z 的显函数。 （建议用时域法解此题）（214-4）
2． 序列x (n ) 的偶部定义为：x e (n ) =
x (n ) +x (-n )
2
，假设x (n ) 是一个有限时宽实序列，定
义为n
（b ）试求出以x (n ) 表示的Re[X (k ) ]的离散傅立叶反变换。（228-15）
3． 研究一个长度N 的有限时宽实序列（即n
N -1
X (k ) =
此
令X R (k ) 表示X (k ) 的实部。
∑
n =0
x (n ) e
-j (2π/M ) nk
表示x (n ) 的M 点的离散傅立叶变换，因
（a ） 试利用N 来求能使X R (k ) 唯一确定X (k ) 的最小M 值（M=1,2除外）。
（b ） 如果M 满足（a ）中所确定的条件，则X (k ) 可以表示为X R (k ) 和序列U (k ) 的循环
卷积。请确定U (k ) 。（228-16）
4． 研究一个复序列x （n ），x(n)=xr(n)+xi(n),其中xr(n)和xi(n)是实序列，序列x(n)的z 变换
X(z)在单位圆的下半部分为零。即，π≤ω≤2π时，X(ejω)=0. x(n)的实部为 ⎧1/2, n =0⎫⎪⎪x r (n)=⎨-1/4, n =±2⎬
⎪⎪⎩0, 其他⎭
试求X(ej ω) 的实部和虚部。
5． 令H[]表示理想希尔伯特变换运算，即
∞
H[x(n)]=∑h (n -k ) x (k )
k=-∞
式中h(n)由（7.48）式给定。试证明下列特性：
（a ） H[H[x(n)]]=-x(n).
∞
（b ） ∑
n=-∞x (n ) H [x (n )]=0. (提示：利用帕斯维尔定理)
（c ） H[x(n)*y(n)]=H[x(n)]*y(n)=x(n)*H[y(n)],式中x(n)和y(n)为任意序列。（233-19）
Walsh 函数
1 a) 时间序列{f (θi )}, θj =0,1,2,….7为{0 0 1 1 0 0 1 1 }将其作离散Walsh 变换 b) 将上述序列Hadamard 变换 2 设输入序列{f (θi )}为{0 0 1 1 0 0 1 1 }, 并将此输入序列作a=3的并元移位，试求{Wz (N)} 3 给定两个时间序列f 1(θj )f (θ)，定义两个序列的并元时间域相关和并元时间域卷积为：j 2
a) 并元时间域相关为：
K 12θ()=f (θ)*f (θ)=j j j 121N ∑f (m )f (m ⊕θ) θj
12
m =0N -1j =0, 1, 2 N -1
b) 并元时间卷积为：
K 12(θ
f 1θ
f 2j j )=f (θ)*f (θ)=j j 121N ∑f (m )f (m ⊕θ) j 12m =0N -1若(){W (m )} (θ){W (m )}1j 2
试证明：
1) 并元相关定理
{K 11θ()}{W j
j 21(m )} 2) 并元时间卷积定理 {K 12(θ)}={W 1(m )}∙{W 2(m )}
提示： a 先证明2)
b 在证明过程中利用 n=(n⊕m) ⊕n 关系式 4 给定时间序列为{f (θ)}={1 2 1 1 3 1 1 2},求快速哈达玛变换系数{Bf (n)}, n=0,1,2….7 i
5 用快速算法求{f (θ)}={1,2,1,1,3,1,1,2}的Walsh 变换 i
6 设（0 1）区间的取样数为N=23求
1) W a l w (4, θj )2) W a l p 4, θ(j )3) W a l H (4, θ) j