数列综合练习题

Ⅰ题型归类

log n (2a

)

练习1．已知等比数列{a n }，a 1=2，且a 5⋅a 2n -5=22n (n ≥3) ，试求

log (1+) log ) +2a 2a (2+

例1．数列

, 4成等比数列，求-1, a 1, a 2, -4成等差数列，-1, b 1, b 2, b 3-

a -a 。 2

练习1．等比数列{b n }中，b n

练习2．等比数列{b n }前n 项和S n ，若S 4=2S 2，求{b n }公比。

>0，b 2b 4+2b 3b 5+b 4b 6=36，求b 3+b 5。

二、求数列通项

例1．数列{a n }满足S n =2a n +1(n ≥1) ，求a n 。

练习1．数列{a n }满足a 1=1，且a n +S n ⋅S n -1=0(n ≥2) ，试求a n 。

类型3．a n +1=a n +求解

f (n ) ⇒a n +1-a n =f (n ) ⇒利用累加法(逐差相加法)

例3．已知数列{a n }满足

a 1=1，a n +1=a n +1，求a n 。

练习3．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=a n +n 2+n ，求a n 。

类型4．a n +1=

f (n ) ⨯a n ⇒

a =f (n ) ⇒利用累乘法(逐商相乘法) 求解 n

例4．已知数列{a n }满足a 1=

2，(n +1) a =na ，求a 。

n n n +1练习4．已知数列{a n }满足a 1=3，(4n +3) a n +1=(4n -1) a n ，求a n 。

类型5．a n +1=

pa n +q (其中p,q 为常数, pq (p -1) ≠0) ⇒ 待定系数法

例5．已知数列{a n }中，满足a 1=2，a n +1=2a n +1，求a n 。

解：由条件得：a n +1+t =2⨯(a n +t )

⇒ t =1

⇒a n +1+1=2⨯(a n +1) ⇒ 令b n =a n +1，则{b n }是以b 1=a 1+1=3

⇒ b n =3⨯2n -1 ⇒ a n =3⨯2n -1-1

练习5．已知数列{a n }中，满足a 1=1，a n +1=+2，求a n 。

为首项，2为公比的等比数列

类型6．a n +1=

pa n +q n (其中p,q 均为常数，pq (p -1)(q -1) ≠0) 。

1 ⇒ 引入辅助数

=p ⨯a +a n +1一般在原递推公式两边同除以q ，得：q

列{b n }(其中b n

p 1 ⇒ 待定系数法求解

⇒) =a b =⨯b +n n +1例6．已知数列{a n }中，满足a 1=5，a n +1=3a n -2n ，求a n 。

a 3a 1a ⇒ b =3b -1

解：由条件得：，令b n ==⨯-n +1n 222⇒ 待定系数法求得b n =(2) n +1 ⇒ a n =2n +3n

练习6．已知数列{a n }中，满足a 1=

5，a =1a +(1) n +1，求a 。

n n +1n 三、求数列前n 项和

类型1．裂项求和

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

例1．{a n }为等差数列，b n

解

：

由

条

1，求数列{b }的前n 项和S 。 n n

n ⋅n +1

知

：

件

1) 1

b n =1⨯(-

n n +1

⇒

n S n =b 1+b 2+ +b n =1⨯(1-1) =

1n +11⋅1练习1．求和1+

类型2．错位相减

⎧a n ⎫⎨⎬b

若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，求数列{a n b n }或数列⎩n ⎭的前n

1+1+ +1。

项和，则用错位想减法。例1．试求S n

=1+2x +3x 2+ +nx n -1

⇒

⎧S =1+2x +3x 2+4x 3+ +nx n -1

⎪n

解：由条件得：⎨

23n -1n x +2x +3x + +(n -1) x +nx ⎪⎩x ⋅S n =

两式相减得：(1-x ) S n

=1+x +x 2+x 3+ +x n -1-nx n ⇒

n ) n (1-x n (n +1) nx -x ≠1时，S n =x =1; ，S =1+2+3+ +n =n

(1-x ) 练习1．试求S n

=1+3x +5x 2+7x 3+ +(2n -1) x n -1

类型2．数列与不等式

例1．已知数列{a n }的前n 项和S n

=n 2-9n +2008，求满足5

值。

⎧a =S =2000⎪11

解：由题知：⎨

a =S n -S n -1=2n -10(n ≥2) ⎪⎩n

⇒ 5

⇒ k=8

练习1．数列{a n }的通项公式是关于x 的不等式x 2-x

Ⅱ趁热打铁

1．等差数列{a n }中，a 7+a 9=16，a 4=1，则a 12=_________。 2．等差数列{a n }中，a 10

=5，d =2，求通项公式a n =________。

3．求数列1,1+2,1+2+22, ,1+2+22+ +2n -1, 前n 项和。

(4．{a n }前n 项和为S n ，且a n +2S n ⋅S n -1=0

项公式。

5．已知数列{a n }的前n 项和S n

n ≥2)

，又a 1=

1，

求{a n }通=(p -2) +pa n , n ∈N *, p >1且p ≠2

(1)证明：数列{a n }是等比数列；

(2)对一切n ∈N *, a n +1>a n ，求实数p 的取值范围。

Ⅲ温故·强化

1．等比数列{a n }中，已知a 1+a n

A. 5

B. 6

C. 10

=66, a 2⋅a n -1=128, S n =126，则n=( )

D. 12

2．若正数等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3, a 5, a 6成等差数列，则

a +a 5

=( )

1 C.

1 D. 不确定

3．设有数列{a n }，a 1=

5，若以数列中的项a , a 为系数的一元二次方程

n n -1a n -1x 2-a n x -1=0都有实根α, β，且满足3α+αβ+3β=1。

(1)求{a n }的通项公式； (2)求{a n }的前n 项和S n 。

54．已知{a n }是整数组成的数列，a 1=

1，且点a n +1)(n ∈N *) 在函数

y =x 2+1的图像上：

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b 1=1, b n +1=b n +2n ，求证：b n ⋅b n +2