与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案
姓名
1. 在坐标系中，点A 的坐标为(3，0) ，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一
点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是____ _____． 2. 如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径
作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC =a ，AC =b． （1）求证：AE =b +
a ；
（2）求a +b 的最大值； （3）若m 是关于x 的方程：x +求m 的取值范围．
3. 如图，∠BAC =60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，P A 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A ．3 B ．6 C
1
2
ax =b +
2
ab 的一个根，
D
．
4. 如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n +m 的最大值．
5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 是平面内的一个动点，且AD =2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .
6. 如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径AB =5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠CAB =．其运动过程是：点P 在弧AB 上滑
动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ． （1）当PC = 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ = ． （2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； （3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．
（4）在点P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为 。
2
7. 如图，△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =45°，AB
=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．
8. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD =3，AB =8，则PM 长度的最大值是 ．
9．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接P A 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x = 时，PD •CD 的值最大，且最大值是为 .
3
10．如图，线段AB =4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ). A.4
11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .
12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .
13．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .
D. 2
4
14．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为（ ）A ．
B．
C ．3
D ．2
15. （2015•济南）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），交y 轴于点C ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；
（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．
5
16. 如图，已知A 、B 是⊙O 与x 轴的两个交点，⊙O 的半径为1，P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线P A 、PB 分别交直线x =2于C 、D 两点，E 为线段CD 的中点． （1）判断直线PE 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）求线段CD 长的最小值；
（3）若E 点的纵坐标为m ，则m 的范围为 ．
17．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为( ). (A )4 (B )
B
213517 (C ) (D ) 584
6
18．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ). A ．
19．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．
20．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为(
).
B. C. 3 D.4
19
4
B ．
24 5
C ．5
D ．21．在平面直角坐标系中，M （3，4），P 是以M 为圆心，2为半径的⊙M 上一动点，A （-1，0）、B （1，0），连接P A 、PB ，则P A 2+PB 2最大值是 .
7
参考答案
引例1. 解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，AC =2，OA =3，由勾股定理得：OC =
，∵∠BOA =∠ACO =90°，
∴∠BOC +∠AOC =90°，∠CAO +∠AOC =90°，∴∠BOC =∠OAC ，tan ∠BOC =tan ∠OAC ==
，
随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠BOC ＜90°， ∴tan ∠BOC ≥
，故答案为：m ≥
．
引例1图
引例
2. a +b ≤
引例2图
原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC =a ，AC =b． （1）求证：AE =b +
a ；
（2）求a +b 的最大值； （3）若m 是关于x 的方程：x +
2
ax =b +
2
ab 的一个根，求m 的取值范围．
【考点】圆的综合题．
8
【分析】（1）首先连接BE ，由△OAB 为等边三角形，可得∠AOB =60°，又由圆周角定理，可求得∠E 的度数，又由AB 为⊙D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE =b +
a ；
2
（2）首先过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =1，可得（a +b ） = a +b +2ab =1+2ab =1+2CH •AB =1+2CH ≤1+2AD =1+AB =2，即可求得答案； （3）由x +
2
2
2
ax =b +
2
ab ，可得（x ﹣b ）（x +b +a ）=0，则可求得x 的值，继而可求得
m 的取值范围．
【解答】解：（1）连接BE ，∵△OAB 为等边三角形，∴∠AOB =60°，∴∠AEB =30°，
∵AB 为直径，∴∠ACB =∠BCE =90°，∵BC =a ，∴BE =2a ，CE =a ，∵AC =b ，∴AE =b +
a ；
2
2
（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =1，∴a +b =1， ∵S △ABC =AC •BC =AB •CH ，∴AC •BC =AB •CH ，
∴（a +b ） =a +b +2ab =1+2ab =1+2CH •AB =1+2CH ≤1+2AD =1+AB =2，∴a +b ≤故a +b 的最大值为（3）∵x +=0，
∴（x ﹣b ）（x +b +
a ）=0，∴x =b 或x =﹣（b +
a ），
22
2
2
，
，
2
ax =b +ab ，∴x ﹣b +
22
ax ﹣ab =0，∴（x +b ）（x ﹣b ）+a （x ﹣b ）
当m =b 时，m =b =AC ＜AB =1，∴0＜m ＜1， 当m =﹣（b +
a ）时，由（1）知AE =﹣m ，又∵AB ＜AE ≤2AO =2，∴1＜﹣m ≤2，
∴﹣2≤m ＜﹣1，∴m 的取值范围为0＜m ＜1或﹣2≤m ＜﹣1．
【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
引例3. 解：连接EP ，DP ，过P 点作PM 垂直DE 于点M ，过O 做OF ⊥AC 与F ，连接AO ，如图，∵∠BAC =60°，∴∠DPE =120°．∵PE =PD ，PM ⊥DE ，∴∠EPM =60°， ∴ED =2EM =2EP •sin 60°=
EP =
P A ．当P 与A 、O 共线时，且
在O 点右侧时，⊙P 直径最大．
∵⊙O 与∠BAC 两边均相切，且∠BAC =60°，∴∠OAF =30°，OF =1， ∴AO =
=2，AP =2+1=3，∴DE =
P A =3
．故答案为：D 。
9
【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE 与AP 之间的关系，再解决切线的性质来解决问题．本题属于中等难度题，难点在于找到DE 与半径AP 之间的关系，只有找到DE 与AP 之间的关系，才能说明当A 、O 、P 三点共线时DE 最大．
引例3图
例一、斜率运用
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【专题】探究型．
【分析】设m +n =k ，则点P （m ，n ）在直线x +y =k 上，易得直线y =﹣x +k 与y 轴的交点坐标为（0，k ），于是可判断当直线y =﹣x +k 与⊙A 在上方相切时，k 的值最大；直线y =﹣x +k 与x 轴交于点C ，切⊙A 于P ，作PD ⊥x 轴于D ，AE ⊥PD 于E ，连接AB ，如图，则C （k ，0），利用直线y =﹣x +k 的性质易得∠PCD =45°，则△PCD 为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得AB ⊥OB ，AP ⊥PC ，AP =AB =1，CP =CB =k +2，所以四边形ABDE 为矩形，∠APE =45°，则DE =AB =1，PE =
AP =
，所以PD =PE +DE =PD 得到2+k =
﹣1．
（
+1，然后在+1），解得k =
﹣
Rt △PCD 中，利用PC =
1，从而得到n +m 的最大值为
【解答】解：设m +n =k ，则点P （m ，n ）在直线x +y =k 上，当x =0时，y =k ，即直线y =﹣x +k 与y 轴的交点坐标为（0，k ），所以当直线y =﹣x +k 与⊙A 在上方相切时，k 的值最大， 直线y =﹣x +k 与x 轴交于点C ，切⊙A 于P ，作PD ⊥x 轴于D ，AE ⊥PD 于E ，连接AB ，如图，
当y =0时，﹣x +k =0，解得x =k ，则C （k ，0），∵直线y =﹣x +k 为直线y =﹣x 向上平移k 个单位得到，∴∠PCD =45°，∴△PCD 为等腰直角三角形，∵CP 和OB 为⊙A 的切线，∴AB ⊥OB ，AP ⊥PC ，AP =AB =1，CP =CB =k +2，∴四边形ABDE 为矩形，∠APE =45°，∴DE =AB =1， ∵△APE 为等腰直角三角形，∴PE =∵PC =
PD ，∴2+k =
（
AP =
，∴PD =PE +DE =
+1，在Rt △PCD 中，
﹣1．
+1），解得k =﹣1，∴n +m 的最大值为
10
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定直线y =﹣x +k 与⊙A 相切时n +m 的最大值．
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1. 解：作AB 的中点E ，连接EM 、CE ．在直角△ABC 中，AB =
==5，
∵E 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，∴CE =AB =．∵M 是BD
的中点，E 是AB 的中点，∴ME =AD =1．∴在△CEM 中，﹣1≤CM ≤+1，即≤CM ≤．故答案是：≤CM ≤．
2. （1
）
）2+
变式题：（2011•邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径AB =5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠CAB =．其运动过程是：点P 在弧AB 上滑动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．
（1）当PC = 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ = ．
（2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；
（3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】（1）当CQ 为圆O 的切线时，CQ 为圆O 的切线，此时CP 为圆的直径，由CQ 垂直于直径CP ，得到CQ 为切线，即可得到CP 的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ 中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ 的长；
（2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，如图1所示，此时CP ⊥AB 于D ，由AB 为圆O 的直径，得到∠ACB 为直角，在直角三角形ACB 中，由tan ∠CAB 与AB 的长，利用锐角三角函数定义求出AC 与BC 的长，再由三角形ABC 的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD 的一半来求，求出CD 的长，得到CP 的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tan ∠CPB 的值，由CP 的长即可求出CQ ；
（3）当点P 运动到弧AB 的中点时，如图2所示，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，由P 是弧AB 的中点，得到∠PCB =45°，得到三角形EBC 为等腰直角三角形，由CB 的长，求出CE 与BE 的长，在直角三角形EBP 中，由∠CPB =∠CAB ，得到tan ∠CPB =tan ∠CAB ，利用三角函数定义求出PE 的长，由CP +PE 求出CP 的长，即可求出CQ 的长．
【解答】解：（1）当CP 过圆心O ，即CP 为圆O 的直径时，CQ 与⊙O 相切，理由为： ∵PC ⊥CQ ，PC 为圆O 的直径，∴CQ 为圆O 的切线，此时PC =5；∵∠CAB =∠CPQ ， ∴tan ∠CAB =tan ∠CPQ =，∴tan ∠CPQ ===，则CQ =；故答案为：5；；
（2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，如图1所示，此时CP ⊥AB 于D ，
图1图2
又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AB =5，tan ∠CAB =，∴BC =4，AC =3， 又∵S △ABC =AC •BC =AB •CD ，∴AC •BC =AB •CD ，即3×4=5CD ，∴CD =
，
在Rt △PCQ 中，∠PCQ =90°，∠CPQ =∠CAB ，∴CQ =PCtan ∠CPQ =PC ，∴CQ =×
（3）当点P 运动到弧AB 的中点时，如图2所示，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，
∵P 是弧AB 的中点，∠PCB =45°，∴CE =BE =2
∴tan ∠CPB =tan ∠CAB =
=， =，∴PE =，又∠CPB =∠CAB ，=BE =，∴PC =CE +PE =2+=； ，∴PC =2CD =
由（2）得，CQ =PC =．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
再变式：如图3时，CQ 最长。
图3
例三、正弦定理
1. EF 的长度由圆O 的半径决定。
解：由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，
如图，连接OE ，OF ，过O 点作OH ⊥EF ，垂足为H ，∵在Rt △ADB 中，∠ABC =45°，AB =2
∴AD =BD =2，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知∠EOH =∠EOF =∠BAC =60°，∴在Rt △EOH 中，EH =OE •sin ∠EOH =1×=，由垂径定理可知EF =2EH =，故答案为：．
例三1答图
2. 【考点】垂径定理；三角形中位线定理． 例三2答图
【分析】当CD ∥AB 时，PM 长最大，连接OM ，OC ，得出矩形CPOM ，推出PM =OC ，求出OC 长即可．
【解答】解：法①：如图：当CD ∥AB 时，PM 长最大，连接OM ，OC ，
∵CD ∥AB ，CP ⊥CD ，∴CP ⊥AB ，∵M 为CD 中点，OM 过O ，∴OM ⊥CD ，
∴∠OMC =∠PCD =∠CPO =90°，∴四边形CPOM 是矩形，∴PM =OC ，
∵⊙O 直径AB =8，∴半径OC =4，即PM =4，故答案为：4．
法②：连接CO ，MO ，根据∠CPO =∠CM 0=90°，所以C ，M ，O ，P ，四点共圆，且CO 为直径．连接PM ，则PM 为⊙E 的一条弦，当PM 为直径时PM 最大，所以PM =CO =4时PM 最大．即PM max =4
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD 的位置，题目比较好，但是有一定的难度．
例四、柯西不等式、配方法
1. 过O 作OE ⊥PD ，垂足为E ，∵PD 是⊙O 的弦，OE ⊥PD ，∴PE =ED ，
又∵∠CEO =∠ECA =∠OAC =90°，∴四边形OACE 为矩形，∴CE =OA =2，又PC =x ，
∴PE =ED =PC ﹣CE =x ﹣2，∴PD =2（x ﹣2），∴CD =PC ﹣PD =x ﹣2（x ﹣2）=x ﹣2x +4=4﹣x ， ∴PD •CD =2（x ﹣2）•（4﹣x ）=﹣2x +12x ﹣16=﹣2（x ﹣3）+2，∵2＜x ＜4，∴当x =3时，PD •CD 的值最大，最大值是2． 22
第1题答图
2. 解：如图，分别作∠A 与∠B 角平分线，交点为P ． 第2题答图
∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AP 与BP 为CD 、CE 垂直平分线．
又∵圆心O 在CD 、CE 垂直平分线上，则交点P 与圆心O 重合，即圆心O 是一个定点． 连接O C ．若半径OC 最短，则OC ⊥A B ．又∵∠OAC =∠OBC =30°，AB =4，∴OA =OB ， ∴AC =BC =2，∴在直角△AOC 中，OC =AC •tan ∠OAC =2×tan 30°=
3. 解：（1）线段AB 长度的最小值为4，理由如下：连接OP ，
∵AB 切⊙O 于P ，∴OP ⊥AB ，取AB 的中点C ，∴AB =2OC ；
当OC =OP 时，OC 最短，
即AB 最短，此时AB =4．故答案为：4．
（3题答图）
．故选：B ．
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
1. 求CE 最小值，就是求半径OD 的最小值，当OD ⊥AB 时OD 最短。
≤OA ≤； 3. 【考点】切线的性质．【专题】压轴题．
【分析】因为PQ 为切线，所以△OPQ 是Rt △．又OQ 为定值，所以
当OP 最小时，PQ 最小．根据垂线段最短，知OP =3时PQ 最小．根
据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴∠OQP =90°，∴PQ =OP ﹣OQ ，而OQ =2，∴PQ =OP ﹣4，即PQ =22222，当OP 最小时，PQ 最小，∵点O 到直线l 的距离为3，∴OP 的
=．故选B ． 最小值为3，∴PQ 的最小值为
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ 最小时点P 的位置是解题的关键，难度中等偏上．
例五、其他几何知识的运用
1. 解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线的解析式得：
∴抛物线得解析式为y =x ﹣6x +4．
（2）如图所示：
设点P 的坐标为P （m ，m ﹣6m +4），∵平行四边形的面积为30，
∴S △CBP =15，即：S △CBP =S 梯形CEDP ﹣S △CEB ﹣S △PB D ．
∴m （5+m ﹣6m +4+1）﹣×5×5﹣（m ﹣5）（m ﹣6m +5）=15．
化简得：m ﹣5m ﹣6=0，解得：m =6，或m =﹣1．∵m ＞0，∴点P 的坐标为（6，4）．
（3）连接AB 、E B ．∵AE 是圆的直径，∴∠ABE =90°．∴∠ABE =∠MBN ．
又∵∠EAB =∠EMB ，∴△EAB ∽△NM B ．∵A （1，﹣1），B （5，﹣1），∴点O 1的横坐标为3，
22222，解得：．
将x =0代入抛物线的解析式得：y =4，∴点C 的坐标为（0，4）．设点O 1的坐标为（3，m ），∵O 1C =O 1A ，∴
得：m =2，∴点O 1的坐标为（3，2），
∴O 1A =
定理得：BE ==，在Rt △ABE 中，由勾股=6，∴点，解
E 的坐标为（5，5）．∴AB =4，BE =6．
∵△EAB ∽△NMB ，∴．∴．∴NB =．
，∴NB ==3． ∴当MB 为直径时，MB 最大，此时NB 最大．∴MB =AE =2
2. 【考点】圆的综合题．【专题】综合题．
【分析】（1）连接OP ，设CD 与x 轴交于点F ．要证PE 与⊙O 相切，只需证∠OPE =90°，只需证∠OPB +∠EPD =90°，由OP =OB 可得∠OPB =∠OBP =∠FBD ，只需证∠EPD =∠EDP ，只需证EP =ED ，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题．
（2）连接OE ，由于PE =CD ，要求线段CD 长的最小值，只需求PE 长的最小值，在Rt △OPE 中，OP 已知，只需求出OE 的最小值就可．
（3）设⊙O 与y 轴的正半轴的交点为Q ，由图可知：点P 从点Q 向点B 运动的过程中，点E 的纵坐标越来越小，而点P 在点Q 时，点E 的纵坐标为1，由此就可得到m 的范围．
【解答】解：（1）直线PE 与⊙O 相切．
证明：连接OP ，设CD 与x 轴交于点F ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =∠CPD =90°． ∵E 为CD 的中点，∴PE =CE =DE =CD ，∴∠EPD =∠EDP ．∵OP =OB ，
∴∠OPB =∠OBP =∠DBF ．
∵∠DBF +∠EDB =90°，∴∠OPB +∠EPD =∠OPE =90°，∴EP ⊥OP ．∵OP 为⊙O 的半径， ∴PE 是⊙O 的切线．
（2）连接OE ，∵∠OPE =90°，OP =1，∴PE =OE ﹣OP =OE
22222﹣1．∵当OE ⊥CD 时，OE =OF =2，此时OE 最短，∴PE 最小
值为3，即PE 最小值为
值为2． ，∵PE =CD ，∴线段CD 长的最小
（3）设⊙O 与y 轴的正半轴的交点为Q ，
由图可知：点P 从点Q 向点B 运动的过程中，点E 的纵坐标越来越小，当点P 在点Q 时，由PE ⊥OP 可得点E 的纵坐标为1．∵点P 是圆上第一象限内的一个动点，∴m 的范围为m ＜1．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE 的最小值转化为求OE 的最小值是解决第（2）小题的关键．
【题型训练】
1. 解：连接O B ．如图1，∵AB 切⊙O 于B ，OA ⊥AC ，∴∠OBA =∠OAC =90°， ∴∠OBP +∠ABP =90°，∠ACP +∠APC =90°，∵OP =OB ，∴∠OBP =∠OPB ，
∵∠OPB =∠APC ，∴∠ACP =∠ABC ，∴AB =AC ，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，如图2，∴OE =AC =AB =
≤r ，∴
线l 与⊙O 相离，
∴r ＜10，∴2≤r ＜10．故答案为：2≤r ＜10． ，又∵圆O 与直线MN 有交点，∴OE =≤2r ，即：100﹣r ≤4r ，∴r ≥20，∴r ≥2222．∵OA =10，直
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．
2. 原题：（2004•无锡）已知：如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，BC =6cm ．点O 从A 点出发，沿AB 以每秒cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒（t ＞0）时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点．过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G ．
（1）若E 与B 不重合，问t 为何值时，△BEG 与△DEG 相似？
（2）问：当t 在什么范围内时，点G 在线段BC 上？当t 在什么范围内时，点G 在线段BC 的延长线上？
（3）当点G 在线段BC 上（不包括端点B 、C ）时，求四边形CDEG 的面积S （cm ）关于时间t （秒）的函数关系式，并问点O 运动了几秒钟时，S 取得最大值最大值为多少？ 2
【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定．
【专题】综合题；压轴题；分类讨论．
【分析】（1）连接OD ，DF ．那么OD ⊥AC ，则∠AOD =60°，∠AED =30°．由于∠DEG =90°，因此∠BEG =60°，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当∠EDG =60°，∠DGE =30°时，∠BGD =∠BGE +∠EGD =60°．这样∠BGD 和∠ACB 相等，那么G 和C 重合．
②当∠DGE =60°时，可在直角△AOD 中，根据∠A 的度数和AO 的长表示出AD 的长，也就能表示出CD 的长，由于∠A =∠AED =30°，那么AD =DE ，可在直角△DEG 中，用AD 的长表示出DG ，进而根据DG ∥AB 得出的关于CD ，AD ，DG ，AB 的比例关系式即可求出此时t 的值．
（2）本题可先求出BG 的表达式，然后令BG ＞BC ，即可得出G 在BC 延长线上时t 的取值范围．
（3）由于四边形CGED 不是规则的四边形，因此其面积可用△ABC 的面积﹣△ADE 的面积﹣△BEG 的面积来求得．在前两问中已经求得AD ，AE ，BE ，BG 的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积．据此可求出S ，t 的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S 的最大值及对应的t 的值．
【解答】解：（1）连接OD ，DF ．∵AC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥A C ．在Rt △OAD 中，∠A =30°，OA =t ，∴OD =OF =t ，AD =OA •cosA =．又∵∠FOD =90°﹣30°=60°，∴∠AED =30°，∴AD =ED =．∵DE ⊥EG ，∴∠BEG =60°，△BEG 与△DEG 相似．∵∠B =∠GED =90°，
①当∠EGD =30°，CE =2BE =2（6﹣t ）则
∠BGD =60°=∠ACB ，此时G 与C 重合，
DE ==AD ，CD =12﹣，BE =6
=， ﹣t ，∵△BEG ∽△DEC ，∴
∴=，t =；
②当∠EGD =60°．∴DG ⊥BC ，DG ∥A B ．在Rt △DEG 中，∠DEG =90°，DE =
t ．
在Rt △ABC 中，∠A =30°，BC =6，∴AC =12，AB =6
∴解得t =．答：当t 为或，∴CD =12﹣，∴DG =．∵DG ∥AB ， 时，△BEG 与△EGD 相似；
t ，∴∠AED =30°，
， （2）∵AC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥A C ．在Rt △OAD 中，∠A =30°，OA =∴DE ⊥EG ，∴∠BEG =60°．在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，BC =6，∴AB =6
BE =6﹣t ．Rt △BEG 中，∠BEG =60°，∴BG =BE •tan 60°=18﹣t ．当0≤18﹣t ≤6，即≤t ≤4时，点G 在线段BC 上；当18﹣t ＞6，即0＜t ＜时，点G 在线段BC 的延长线上；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ．在Rt △ADM 中，∠A =30°，∴DM =AD =t ．
∴S =S △ABC ﹣S △AED ﹣S △BEG =36
＜4）．
所以当t =时，s 取得最大值，最大值为． ﹣t ﹣272t =﹣（t ﹣）+2（＜t
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．
3. D ；4. 解：当P 点移动到平行于OA 且与⊙D 相切时，△AOP 面积的最大，如图， ∵P 是⊙D 的切线，∴DP 垂直与切线，延长PD 交AC 于M ，则DM ⊥AC ，
∵在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，∴AC ==5，∴OA =，
=，∵AD =4，CD =3，∵∠AMD =∠ADC =90°，∠DAM =∠CAD ，∴△ADM ∽△ACD ，∴
AC =5，∴DM =
=， ，∴PM =PD +DM =1+=，∴△AOP 的最大面积=OA •PM =××
故选D ．
（4题答图）（5题答图）
【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P 处于什么位置时面积最大；
5. 解：如图，设QP 的中点为F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，则FD ⊥A B ． ∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6，∴AB =10，FC +FD =PQ ，∴FC +FD ＞CD ，∵当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值，∴CD =BC •AC ÷AB =4.8．故选：B ．
6.
7. 解：若△ABE 的面积最小，则AD 与⊙C 相切，连接CD ，则CD ⊥AD ；
Rt △ACD 中，CD =1，AC =OC +OA =3；由勾股定理，得：AD =2
∴S △ACD =AD •CD =；易证得△AOE ∽△ADC ，∴=（； ）=（2）=， 2即S △AOE =S △ADC =；∴S △ABE =S △AOB ﹣S △AOE =×2×2﹣=2﹣；
另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C ．
（7题答图）
8. 解：当射线AD 与⊙C 相切时，△ABE 面积的最大．连接AC ， （8题答图）
∵∠AOC =∠ADC =90°，AC =AC ，OC =CD ，∴Rt △AOC ≌Rt △ADC ，∴AD =AO =2，
连接CD ，设EF =x ，∴DE =EF •OE ，∵CF =1， 2∴DE =，∴△CDE ∽△AOE ， ∴=，即=，解得x =，S △ABE ===．故选：B ．
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD 与⊙C 相切时，△ABE 面积的最大．
9. 解：当PC ⊥AB 时，PQ 的长最短．在直角△ABC 中，AB =
PC =AB =2
∴PQ =．∵PQ 是⊙C 的切线，∴CQ ⊥PQ ，即∠CQP =90°， ==．故选A ． ==4，
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键．
（9题答图）（10题答图）
10. 解：连接AO 并延长，与ED 交于F 点，与圆O 交于P 点，此时线段ED 最大，
连接OM ，PD ，可得F 为ED 的中点，∵∠BAC =60°，AE =AD ，∴△AED 为等边三角形， ∴AF 为角平分线，即∠F AD =30°，在Rt △AOM 中，OM =1，∠OAM =30°，∴OA =2， ∴PD =P A =AO +OP =3，在Rt △PDF 中，∠FDP =30°，PD =3，∴PF =，根据勾股定理得：FD ==，则DE =2FD =3．同理可得：DE ≤DE ≤
11. 1≤m -n ≤5；12. 0
13. 解：设P （x ，y ），∵P A =（x +1）+y ，PB =（x ﹣1）+y ，
∴P A +PB =2x +2y +2=2（x +y ）+2，∵OP =x +y ，∴P A +PB =2OP +2，当点P 处于OM 与圆的交点上时，OP 取得最值，∴OP 的最大值为OM +PM =5+2=7，∴P A +PB 最大值为100． [***********]22
【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化为求解OP 的最大值，难度较大．
附：1. 如图，直线
直线AB 的另一个交点为D ． 分别与x 、y 轴交于点 A 、B ，以OB 为直径作⊙M ，⊙M 与
（1）求∠BAO 的大小；（2）求点D 的坐标；（3）过O 、D 、A 三点作抛物线，点Q 是抛物线的对称轴l 上的动点，探求：|QO ﹣QD |的最大值．
【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．
【分析】（1）根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠BAO 的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；
（2）连接OD ，过D 作DE ⊥OA 于点E ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDO =90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OD ，直角三角形两锐角互余求出∠DOE =60°，然后解直角三角形求出OE 、DE ，再写出点D 的坐标即可；
（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA 的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q 为OD 与对称轴的交点时|QO ﹣QD |=OD 的值最大，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y =﹣
∴当y =0时，﹣
∴OA =4x +4分别与x 、y 轴交于点A 、B ， ；当x =0时，y =4，∴A （4==，0），B （0，4）． x +4=0，解得x =4，OB =4，在Rt △AOB 中，∵tan ∠BAO =，∴∠BAO =30°；
（2）连接OD ，过D 作DE ⊥OA 于点E ，∵OB 是⊙M 的直径，∴∠BDO =∠ADO =90°， 在Rt △AOD 中，∵∠BAO =30°，∴OD =OA =×4
OE =OD •cos ∠DOE =2
3）；
（3）易知对称轴l 是OA 的垂直平分线，延长OD 交对称轴l 于点Q ，此时|QO ﹣QD |=OD 的值最大，理由：设Q ′为对称轴l 上另一点，连接OQ ′，DQ ′，则在△ODQ ′中，|Q ′O ﹣Q ′D |＜OD ，
∴|QO ﹣QD |的最大值=OD =2．
×==2，∠DOE =60°，在Rt △DOE 中，×=3，∴点D 的坐标为（，，DE =OD •sin ∠DOE =2
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数定义，解直角三角形，二次函数的对称性，三角形的三边关系，（3）判断出点Q 为直线OD 与对称轴的交点是解题的关键．
2. 如图，已知A ，B 两点的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），⊙C 的圆心坐标为（3，0），并与x 轴交于坐标原点O ．若E 是⊙C 上的一个动点，线段AE 与y 轴交于点D ．
（1）线段AE 长度的最小值是 ，最大值是 ；
（2）当点E 运动到点E 1和点E 2时，线段AE 所在的直线与⊙C 相切，求由AE 1、AE 2、弧E 1OE 2所围成的图形的面积；
（3）求出△ABD 的最大值和最小值．
（题图）
【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据动点E 在x 轴上时，AE 取得最小值与最大值解答； （答图）
（2）连接CE 1、CE 2，根据圆的切线的定义可得CE 1⊥AE 1，CE 2⊥AE 2，解直角三角形求出∠ACE 1=60°，过点E 1作E 1F ⊥x 轴于F ，利用∠ACE 1的正弦求出E 1F ，然后利用三角形的面积求出△ACE 1的面积，同理可得△ACE 2的面积，再根据由AE 1、AE 2、弧E 1OE 2所围成的图形的面积=四边形AE 1CE 2的面积﹣扇形CE 1E 2的面积，然后列式计算即可得解；
（3）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAO =30°，利用∠DAO 的正切值求出OD 的长度，根据三角形的面积，点D 在y 轴负半轴时，△ABD 的面积取得最大值，在y 轴正半轴时，△ABD 的面积取得最小值，然后进行计算即可得解，
【解答】解：（1）∵A （﹣3，0），∴OA =3，∵⊙C 的圆心坐标为（3，0），并与x 轴交于坐标原点O ，∴⊙C 的半径为3，∴AE 长度的最小值为3，最大值为3+3×2=9；故答案为：3，9；
（2）如图，连接CE 1、CE 2，∵点E 运动到点E 1和点E 2时，线段AE 所在的直线与⊙C 相切，
∴CE 1⊥AE 1，CE 2⊥AE 2，∵cos ∠ACE 1=
轴于F ，则E 1F =CE 1•sin 60°=3×sin 60°=3×
=，
，∴四边形AE 1CE 2的面积=△ACE 1的面积+△ACE 2的面===，∴∠ACE 1=60°，过点E 1作E 1F ⊥x ，∴△ACE 1的面积=AC •E 1F =×6×同理可得，△ACE 2的面积=
积=+=9，由AE 1、AE 2、弧E 1OE 2所围成的图形的面积=四边形AE 1CE 2的面
﹣，=9﹣3π； 积﹣扇形CE 1E 2的面积，=9
（3）∵∠ACE 1=60°，∴∠DAO =90°﹣ACE 1=90°﹣60°=30°，∴OD =AO •tan ∠DAO =3tan 30°=3×
=，∵点A 到BD 的距离为OA 的长度，不变，
，最大面积为： ∴点D 在y 轴负半轴时，△ABD 的面积取得最大值，此时BD =OB +OD =3+
×（3+）×3=，在y 轴正半轴时，△ABD 的面积取得最小值，
，最小面积为：×（3﹣）×3=． 此时BD =OB ﹣OD =3﹣
【点评】本题是圆的综合题型，主要考查了圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，圆的切线问题，解直角三角形，以及三角形的面积，综合题，但难度不大，（1）（3）确定出最大值与最小值时的点E 的位置是解题的关键，（2）根据对称性求出四边形的面积，并表示出围成图形的表示是解题的关键．
与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案
姓名
1. 在坐标系中，点A 的坐标为(3，0) ，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一
点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是____ _____． 2. 如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径
作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC =a ，AC =b． （1）求证：AE =b +
a ；
（2）求a +b 的最大值； （3）若m 是关于x 的方程：x +求m 的取值范围．
3. 如图，∠BAC =60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，P A 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A ．3 B ．6 C
1
2
ax =b +
2
ab 的一个根，
D
．
4. 如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n +m 的最大值．
5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 是平面内的一个动点，且AD =2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .
6. 如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径AB =5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠CAB =．其运动过程是：点P 在弧AB 上滑
动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ． （1）当PC = 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ = ． （2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； （3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．
（4）在点P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为 。
2
7. 如图，△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =45°，AB
=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．
8. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD =3，AB =8，则PM 长度的最大值是 ．
9．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接P A 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x = 时，PD •CD 的值最大，且最大值是为 .
3
10．如图，线段AB =4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ). A.4
11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .
12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .
13．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .
D. 2
4
14．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为（ ）A ．
B．
C ．3
D ．2
15. （2015•济南）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），交y 轴于点C ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；
（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．
5
16. 如图，已知A 、B 是⊙O 与x 轴的两个交点，⊙O 的半径为1，P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线P A 、PB 分别交直线x =2于C 、D 两点，E 为线段CD 的中点． （1）判断直线PE 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）求线段CD 长的最小值；
（3）若E 点的纵坐标为m ，则m 的范围为 ．
17．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为( ). (A )4 (B )
B
213517 (C ) (D ) 584
6
18．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ). A ．
19．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．
20．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为(
).
B. C. 3 D.4
19
4
B ．
24 5
C ．5
D ．21．在平面直角坐标系中，M （3，4），P 是以M 为圆心，2为半径的⊙M 上一动点，A （-1，0）、B （1，0），连接P A 、PB ，则P A 2+PB 2最大值是 .
7
参考答案
引例1. 解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，AC =2，OA =3，由勾股定理得：OC =
，∵∠BOA =∠ACO =90°，
∴∠BOC +∠AOC =90°，∠CAO +∠AOC =90°，∴∠BOC =∠OAC ，tan ∠BOC =tan ∠OAC ==
，
随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠BOC ＜90°， ∴tan ∠BOC ≥
，故答案为：m ≥
．
引例1图
引例
2. a +b ≤
引例2图
原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC =a ，AC =b． （1）求证：AE =b +
a ；
（2）求a +b 的最大值； （3）若m 是关于x 的方程：x +
2
ax =b +
2
ab 的一个根，求m 的取值范围．
【考点】圆的综合题．
8
【分析】（1）首先连接BE ，由△OAB 为等边三角形，可得∠AOB =60°，又由圆周角定理，可求得∠E 的度数，又由AB 为⊙D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE =b +
a ；
2
（2）首先过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =1，可得（a +b ） = a +b +2ab =1+2ab =1+2CH •AB =1+2CH ≤1+2AD =1+AB =2，即可求得答案； （3）由x +
2
2
2
ax =b +
2
ab ，可得（x ﹣b ）（x +b +a ）=0，则可求得x 的值，继而可求得
m 的取值范围．
【解答】解：（1）连接BE ，∵△OAB 为等边三角形，∴∠AOB =60°，∴∠AEB =30°，
∵AB 为直径，∴∠ACB =∠BCE =90°，∵BC =a ，∴BE =2a ，CE =a ，∵AC =b ，∴AE =b +
a ；
2
2
（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =1，∴a +b =1， ∵S △ABC =AC •BC =AB •CH ，∴AC •BC =AB •CH ，
∴（a +b ） =a +b +2ab =1+2ab =1+2CH •AB =1+2CH ≤1+2AD =1+AB =2，∴a +b ≤故a +b 的最大值为（3）∵x +=0，
∴（x ﹣b ）（x +b +
a ）=0，∴x =b 或x =﹣（b +
a ），
22
2
2
，
，
2
ax =b +ab ，∴x ﹣b +
22
ax ﹣ab =0，∴（x +b ）（x ﹣b ）+a （x ﹣b ）
当m =b 时，m =b =AC ＜AB =1，∴0＜m ＜1， 当m =﹣（b +
a ）时，由（1）知AE =﹣m ，又∵AB ＜AE ≤2AO =2，∴1＜﹣m ≤2，
∴﹣2≤m ＜﹣1，∴m 的取值范围为0＜m ＜1或﹣2≤m ＜﹣1．
【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
引例3. 解：连接EP ，DP ，过P 点作PM 垂直DE 于点M ，过O 做OF ⊥AC 与F ，连接AO ，如图，∵∠BAC =60°，∴∠DPE =120°．∵PE =PD ，PM ⊥DE ，∴∠EPM =60°， ∴ED =2EM =2EP •sin 60°=
EP =
P A ．当P 与A 、O 共线时，且
在O 点右侧时，⊙P 直径最大．
∵⊙O 与∠BAC 两边均相切，且∠BAC =60°，∴∠OAF =30°，OF =1， ∴AO =
=2，AP =2+1=3，∴DE =
P A =3
．故答案为：D 。
9
【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE 与AP 之间的关系，再解决切线的性质来解决问题．本题属于中等难度题，难点在于找到DE 与半径AP 之间的关系，只有找到DE 与AP 之间的关系，才能说明当A 、O 、P 三点共线时DE 最大．
引例3图
例一、斜率运用
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【专题】探究型．
【分析】设m +n =k ，则点P （m ，n ）在直线x +y =k 上，易得直线y =﹣x +k 与y 轴的交点坐标为（0，k ），于是可判断当直线y =﹣x +k 与⊙A 在上方相切时，k 的值最大；直线y =﹣x +k 与x 轴交于点C ，切⊙A 于P ，作PD ⊥x 轴于D ，AE ⊥PD 于E ，连接AB ，如图，则C （k ，0），利用直线y =﹣x +k 的性质易得∠PCD =45°，则△PCD 为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得AB ⊥OB ，AP ⊥PC ，AP =AB =1，CP =CB =k +2，所以四边形ABDE 为矩形，∠APE =45°，则DE =AB =1，PE =
AP =
，所以PD =PE +DE =PD 得到2+k =
﹣1．
（
+1，然后在+1），解得k =
﹣
Rt △PCD 中，利用PC =
1，从而得到n +m 的最大值为
【解答】解：设m +n =k ，则点P （m ，n ）在直线x +y =k 上，当x =0时，y =k ，即直线y =﹣x +k 与y 轴的交点坐标为（0，k ），所以当直线y =﹣x +k 与⊙A 在上方相切时，k 的值最大， 直线y =﹣x +k 与x 轴交于点C ，切⊙A 于P ，作PD ⊥x 轴于D ，AE ⊥PD 于E ，连接AB ，如图，
当y =0时，﹣x +k =0，解得x =k ，则C （k ，0），∵直线y =﹣x +k 为直线y =﹣x 向上平移k 个单位得到，∴∠PCD =45°，∴△PCD 为等腰直角三角形，∵CP 和OB 为⊙A 的切线，∴AB ⊥OB ，AP ⊥PC ，AP =AB =1，CP =CB =k +2，∴四边形ABDE 为矩形，∠APE =45°，∴DE =AB =1， ∵△APE 为等腰直角三角形，∴PE =∵PC =
PD ，∴2+k =
（
AP =
，∴PD =PE +DE =
+1，在Rt △PCD 中，
﹣1．
+1），解得k =﹣1，∴n +m 的最大值为
10
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定直线y =﹣x +k 与⊙A 相切时n +m 的最大值．
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1. 解：作AB 的中点E ，连接EM 、CE ．在直角△ABC 中，AB =
==5，
∵E 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，∴CE =AB =．∵M 是BD
的中点，E 是AB 的中点，∴ME =AD =1．∴在△CEM 中，﹣1≤CM ≤+1，即≤CM ≤．故答案是：≤CM ≤．
2. （1
）
）2+
变式题：（2011•邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径AB =5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠CAB =．其运动过程是：点P 在弧AB 上滑动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．
（1）当PC = 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ = ．
（2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；
（3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】（1）当CQ 为圆O 的切线时，CQ 为圆O 的切线，此时CP 为圆的直径，由CQ 垂直于直径CP ，得到CQ 为切线，即可得到CP 的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ 中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ 的长；
（2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，如图1所示，此时CP ⊥AB 于D ，由AB 为圆O 的直径，得到∠ACB 为直角，在直角三角形ACB 中，由tan ∠CAB 与AB 的长，利用锐角三角函数定义求出AC 与BC 的长，再由三角形ABC 的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD 的一半来求，求出CD 的长，得到CP 的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tan ∠CPB 的值，由CP 的长即可求出CQ ；
（3）当点P 运动到弧AB 的中点时，如图2所示，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，由P 是弧AB 的中点，得到∠PCB =45°，得到三角形EBC 为等腰直角三角形，由CB 的长，求出CE 与BE 的长，在直角三角形EBP 中，由∠CPB =∠CAB ，得到tan ∠CPB =tan ∠CAB ，利用三角函数定义求出PE 的长，由CP +PE 求出CP 的长，即可求出CQ 的长．
【解答】解：（1）当CP 过圆心O ，即CP 为圆O 的直径时，CQ 与⊙O 相切，理由为： ∵PC ⊥CQ ，PC 为圆O 的直径，∴CQ 为圆O 的切线，此时PC =5；∵∠CAB =∠CPQ ， ∴tan ∠CAB =tan ∠CPQ =，∴tan ∠CPQ ===，则CQ =；故答案为：5；；
（2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，如图1所示，此时CP ⊥AB 于D ，
图1图2
又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AB =5，tan ∠CAB =，∴BC =4，AC =3， 又∵S △ABC =AC •BC =AB •CD ，∴AC •BC =AB •CD ，即3×4=5CD ，∴CD =
，
在Rt △PCQ 中，∠PCQ =90°，∠CPQ =∠CAB ，∴CQ =PCtan ∠CPQ =PC ，∴CQ =×
（3）当点P 运动到弧AB 的中点时，如图2所示，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，
∵P 是弧AB 的中点，∠PCB =45°，∴CE =BE =2
∴tan ∠CPB =tan ∠CAB =
=， =，∴PE =，又∠CPB =∠CAB ，=BE =，∴PC =CE +PE =2+=； ，∴PC =2CD =
由（2）得，CQ =PC =．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
再变式：如图3时，CQ 最长。
图3
例三、正弦定理
1. EF 的长度由圆O 的半径决定。
解：由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，
如图，连接OE ，OF ，过O 点作OH ⊥EF ，垂足为H ，∵在Rt △ADB 中，∠ABC =45°，AB =2
∴AD =BD =2，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知∠EOH =∠EOF =∠BAC =60°，∴在Rt △EOH 中，EH =OE •sin ∠EOH =1×=，由垂径定理可知EF =2EH =，故答案为：．
例三1答图
2. 【考点】垂径定理；三角形中位线定理． 例三2答图
【分析】当CD ∥AB 时，PM 长最大，连接OM ，OC ，得出矩形CPOM ，推出PM =OC ，求出OC 长即可．
【解答】解：法①：如图：当CD ∥AB 时，PM 长最大，连接OM ，OC ，
∵CD ∥AB ，CP ⊥CD ，∴CP ⊥AB ，∵M 为CD 中点，OM 过O ，∴OM ⊥CD ，
∴∠OMC =∠PCD =∠CPO =90°，∴四边形CPOM 是矩形，∴PM =OC ，
∵⊙O 直径AB =8，∴半径OC =4，即PM =4，故答案为：4．
法②：连接CO ，MO ，根据∠CPO =∠CM 0=90°，所以C ，M ，O ，P ，四点共圆，且CO 为直径．连接PM ，则PM 为⊙E 的一条弦，当PM 为直径时PM 最大，所以PM =CO =4时PM 最大．即PM max =4
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD 的位置，题目比较好，但是有一定的难度．
例四、柯西不等式、配方法
1. 过O 作OE ⊥PD ，垂足为E ，∵PD 是⊙O 的弦，OE ⊥PD ，∴PE =ED ，
又∵∠CEO =∠ECA =∠OAC =90°，∴四边形OACE 为矩形，∴CE =OA =2，又PC =x ，
∴PE =ED =PC ﹣CE =x ﹣2，∴PD =2（x ﹣2），∴CD =PC ﹣PD =x ﹣2（x ﹣2）=x ﹣2x +4=4﹣x ， ∴PD •CD =2（x ﹣2）•（4﹣x ）=﹣2x +12x ﹣16=﹣2（x ﹣3）+2，∵2＜x ＜4，∴当x =3时，PD •CD 的值最大，最大值是2． 22
第1题答图
2. 解：如图，分别作∠A 与∠B 角平分线，交点为P ． 第2题答图
∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AP 与BP 为CD 、CE 垂直平分线．
又∵圆心O 在CD 、CE 垂直平分线上，则交点P 与圆心O 重合，即圆心O 是一个定点． 连接O C ．若半径OC 最短，则OC ⊥A B ．又∵∠OAC =∠OBC =30°，AB =4，∴OA =OB ， ∴AC =BC =2，∴在直角△AOC 中，OC =AC •tan ∠OAC =2×tan 30°=
3. 解：（1）线段AB 长度的最小值为4，理由如下：连接OP ，
∵AB 切⊙O 于P ，∴OP ⊥AB ，取AB 的中点C ，∴AB =2OC ；
当OC =OP 时，OC 最短，
即AB 最短，此时AB =4．故答案为：4．
（3题答图）
．故选：B ．
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
1. 求CE 最小值，就是求半径OD 的最小值，当OD ⊥AB 时OD 最短。
≤OA ≤； 3. 【考点】切线的性质．【专题】压轴题．
【分析】因为PQ 为切线，所以△OPQ 是Rt △．又OQ 为定值，所以
当OP 最小时，PQ 最小．根据垂线段最短，知OP =3时PQ 最小．根
据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴∠OQP =90°，∴PQ =OP ﹣OQ ，而OQ =2，∴PQ =OP ﹣4，即PQ =22222，当OP 最小时，PQ 最小，∵点O 到直线l 的距离为3，∴OP 的
=．故选B ． 最小值为3，∴PQ 的最小值为
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ 最小时点P 的位置是解题的关键，难度中等偏上．
例五、其他几何知识的运用
1. 解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线的解析式得：
∴抛物线得解析式为y =x ﹣6x +4．
（2）如图所示：
设点P 的坐标为P （m ，m ﹣6m +4），∵平行四边形的面积为30，
∴S △CBP =15，即：S △CBP =S 梯形CEDP ﹣S △CEB ﹣S △PB D ．
∴m （5+m ﹣6m +4+1）﹣×5×5﹣（m ﹣5）（m ﹣6m +5）=15．
化简得：m ﹣5m ﹣6=0，解得：m =6，或m =﹣1．∵m ＞0，∴点P 的坐标为（6，4）．
（3）连接AB 、E B ．∵AE 是圆的直径，∴∠ABE =90°．∴∠ABE =∠MBN ．
又∵∠EAB =∠EMB ，∴△EAB ∽△NM B ．∵A （1，﹣1），B （5，﹣1），∴点O 1的横坐标为3，
22222，解得：．
将x =0代入抛物线的解析式得：y =4，∴点C 的坐标为（0，4）．设点O 1的坐标为（3，m ），∵O 1C =O 1A ，∴
得：m =2，∴点O 1的坐标为（3，2），
∴O 1A =
定理得：BE ==，在Rt △ABE 中，由勾股=6，∴点，解
E 的坐标为（5，5）．∴AB =4，BE =6．
∵△EAB ∽△NMB ，∴．∴．∴NB =．
，∴NB ==3． ∴当MB 为直径时，MB 最大，此时NB 最大．∴MB =AE =2
2. 【考点】圆的综合题．【专题】综合题．
【分析】（1）连接OP ，设CD 与x 轴交于点F ．要证PE 与⊙O 相切，只需证∠OPE =90°，只需证∠OPB +∠EPD =90°，由OP =OB 可得∠OPB =∠OBP =∠FBD ，只需证∠EPD =∠EDP ，只需证EP =ED ，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题．
（2）连接OE ，由于PE =CD ，要求线段CD 长的最小值，只需求PE 长的最小值，在Rt △OPE 中，OP 已知，只需求出OE 的最小值就可．
（3）设⊙O 与y 轴的正半轴的交点为Q ，由图可知：点P 从点Q 向点B 运动的过程中，点E 的纵坐标越来越小，而点P 在点Q 时，点E 的纵坐标为1，由此就可得到m 的范围．
【解答】解：（1）直线PE 与⊙O 相切．
证明：连接OP ，设CD 与x 轴交于点F ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =∠CPD =90°． ∵E 为CD 的中点，∴PE =CE =DE =CD ，∴∠EPD =∠EDP ．∵OP =OB ，
∴∠OPB =∠OBP =∠DBF ．
∵∠DBF +∠EDB =90°，∴∠OPB +∠EPD =∠OPE =90°，∴EP ⊥OP ．∵OP 为⊙O 的半径， ∴PE 是⊙O 的切线．
（2）连接OE ，∵∠OPE =90°，OP =1，∴PE =OE ﹣OP =OE
22222﹣1．∵当OE ⊥CD 时，OE =OF =2，此时OE 最短，∴PE 最小
值为3，即PE 最小值为
值为2． ，∵PE =CD ，∴线段CD 长的最小
（3）设⊙O 与y 轴的正半轴的交点为Q ，
由图可知：点P 从点Q 向点B 运动的过程中，点E 的纵坐标越来越小，当点P 在点Q 时，由PE ⊥OP 可得点E 的纵坐标为1．∵点P 是圆上第一象限内的一个动点，∴m 的范围为m ＜1．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE 的最小值转化为求OE 的最小值是解决第（2）小题的关键．
【题型训练】
1. 解：连接O B ．如图1，∵AB 切⊙O 于B ，OA ⊥AC ，∴∠OBA =∠OAC =90°， ∴∠OBP +∠ABP =90°，∠ACP +∠APC =90°，∵OP =OB ，∴∠OBP =∠OPB ，
∵∠OPB =∠APC ，∴∠ACP =∠ABC ，∴AB =AC ，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，如图2，∴OE =AC =AB =
≤r ，∴
线l 与⊙O 相离，
∴r ＜10，∴2≤r ＜10．故答案为：2≤r ＜10． ，又∵圆O 与直线MN 有交点，∴OE =≤2r ，即：100﹣r ≤4r ，∴r ≥20，∴r ≥2222．∵OA =10，直
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．
2. 原题：（2004•无锡）已知：如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，BC =6cm ．点O 从A 点出发，沿AB 以每秒cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒（t ＞0）时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点．过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G ．
（1）若E 与B 不重合，问t 为何值时，△BEG 与△DEG 相似？
（2）问：当t 在什么范围内时，点G 在线段BC 上？当t 在什么范围内时，点G 在线段BC 的延长线上？
（3）当点G 在线段BC 上（不包括端点B 、C ）时，求四边形CDEG 的面积S （cm ）关于时间t （秒）的函数关系式，并问点O 运动了几秒钟时，S 取得最大值最大值为多少？ 2
【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定．
【专题】综合题；压轴题；分类讨论．
【分析】（1）连接OD ，DF ．那么OD ⊥AC ，则∠AOD =60°，∠AED =30°．由于∠DEG =90°，因此∠BEG =60°，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当∠EDG =60°，∠DGE =30°时，∠BGD =∠BGE +∠EGD =60°．这样∠BGD 和∠ACB 相等，那么G 和C 重合．
②当∠DGE =60°时，可在直角△AOD 中，根据∠A 的度数和AO 的长表示出AD 的长，也就能表示出CD 的长，由于∠A =∠AED =30°，那么AD =DE ，可在直角△DEG 中，用AD 的长表示出DG ，进而根据DG ∥AB 得出的关于CD ，AD ，DG ，AB 的比例关系式即可求出此时t 的值．
（2）本题可先求出BG 的表达式，然后令BG ＞BC ，即可得出G 在BC 延长线上时t 的取值范围．
（3）由于四边形CGED 不是规则的四边形，因此其面积可用△ABC 的面积﹣△ADE 的面积﹣△BEG 的面积来求得．在前两问中已经求得AD ，AE ，BE ，BG 的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积．据此可求出S ，t 的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S 的最大值及对应的t 的值．
【解答】解：（1）连接OD ，DF ．∵AC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥A C ．在Rt △OAD 中，∠A =30°，OA =t ，∴OD =OF =t ，AD =OA •cosA =．又∵∠FOD =90°﹣30°=60°，∴∠AED =30°，∴AD =ED =．∵DE ⊥EG ，∴∠BEG =60°，△BEG 与△DEG 相似．∵∠B =∠GED =90°，
①当∠EGD =30°，CE =2BE =2（6﹣t ）则
∠BGD =60°=∠ACB ，此时G 与C 重合，
DE ==AD ，CD =12﹣，BE =6
=， ﹣t ，∵△BEG ∽△DEC ，∴
∴=，t =；
②当∠EGD =60°．∴DG ⊥BC ，DG ∥A B ．在Rt △DEG 中，∠DEG =90°，DE =
t ．
在Rt △ABC 中，∠A =30°，BC =6，∴AC =12，AB =6
∴解得t =．答：当t 为或，∴CD =12﹣，∴DG =．∵DG ∥AB ， 时，△BEG 与△EGD 相似；
t ，∴∠AED =30°，
， （2）∵AC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥A C ．在Rt △OAD 中，∠A =30°，OA =∴DE ⊥EG ，∴∠BEG =60°．在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，BC =6，∴AB =6
BE =6﹣t ．Rt △BEG 中，∠BEG =60°，∴BG =BE •tan 60°=18﹣t ．当0≤18﹣t ≤6，即≤t ≤4时，点G 在线段BC 上；当18﹣t ＞6，即0＜t ＜时，点G 在线段BC 的延长线上；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ．在Rt △ADM 中，∠A =30°，∴DM =AD =t ．
∴S =S △ABC ﹣S △AED ﹣S △BEG =36
＜4）．
所以当t =时，s 取得最大值，最大值为． ﹣t ﹣272t =﹣（t ﹣）+2（＜t
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．
3. D ；4. 解：当P 点移动到平行于OA 且与⊙D 相切时，△AOP 面积的最大，如图， ∵P 是⊙D 的切线，∴DP 垂直与切线，延长PD 交AC 于M ，则DM ⊥AC ，
∵在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，∴AC ==5，∴OA =，
=，∵AD =4，CD =3，∵∠AMD =∠ADC =90°，∠DAM =∠CAD ，∴△ADM ∽△ACD ，∴
AC =5，∴DM =
=， ，∴PM =PD +DM =1+=，∴△AOP 的最大面积=OA •PM =××
故选D ．
（4题答图）（5题答图）
【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P 处于什么位置时面积最大；
5. 解：如图，设QP 的中点为F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，则FD ⊥A B ． ∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6，∴AB =10，FC +FD =PQ ，∴FC +FD ＞CD ，∵当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值，∴CD =BC •AC ÷AB =4.8．故选：B ．
6.
7. 解：若△ABE 的面积最小，则AD 与⊙C 相切，连接CD ，则CD ⊥AD ；
Rt △ACD 中，CD =1，AC =OC +OA =3；由勾股定理，得：AD =2
∴S △ACD =AD •CD =；易证得△AOE ∽△ADC ，∴=（； ）=（2）=， 2即S △AOE =S △ADC =；∴S △ABE =S △AOB ﹣S △AOE =×2×2﹣=2﹣；
另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C ．
（7题答图）
8. 解：当射线AD 与⊙C 相切时，△ABE 面积的最大．连接AC ， （8题答图）
∵∠AOC =∠ADC =90°，AC =AC ，OC =CD ，∴Rt △AOC ≌Rt △ADC ，∴AD =AO =2，
连接CD ，设EF =x ，∴DE =EF •OE ，∵CF =1， 2∴DE =，∴△CDE ∽△AOE ， ∴=，即=，解得x =，S △ABE ===．故选：B ．
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD 与⊙C 相切时，△ABE 面积的最大．
9. 解：当PC ⊥AB 时，PQ 的长最短．在直角△ABC 中，AB =
PC =AB =2
∴PQ =．∵PQ 是⊙C 的切线，∴CQ ⊥PQ ，即∠CQP =90°， ==．故选A ． ==4，
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键．
（9题答图）（10题答图）
10. 解：连接AO 并延长，与ED 交于F 点，与圆O 交于P 点，此时线段ED 最大，
连接OM ，PD ，可得F 为ED 的中点，∵∠BAC =60°，AE =AD ，∴△AED 为等边三角形， ∴AF 为角平分线，即∠F AD =30°，在Rt △AOM 中，OM =1，∠OAM =30°，∴OA =2， ∴PD =P A =AO +OP =3，在Rt △PDF 中，∠FDP =30°，PD =3，∴PF =，根据勾股定理得：FD ==，则DE =2FD =3．同理可得：DE ≤DE ≤
11. 1≤m -n ≤5；12. 0
13. 解：设P （x ，y ），∵P A =（x +1）+y ，PB =（x ﹣1）+y ，
∴P A +PB =2x +2y +2=2（x +y ）+2，∵OP =x +y ，∴P A +PB =2OP +2，当点P 处于OM 与圆的交点上时，OP 取得最值，∴OP 的最大值为OM +PM =5+2=7，∴P A +PB 最大值为100． [***********]22
【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化为求解OP 的最大值，难度较大．
附：1. 如图，直线
直线AB 的另一个交点为D ． 分别与x 、y 轴交于点 A 、B ，以OB 为直径作⊙M ，⊙M 与
（1）求∠BAO 的大小；（2）求点D 的坐标；（3）过O 、D 、A 三点作抛物线，点Q 是抛物线的对称轴l 上的动点，探求：|QO ﹣QD |的最大值．
【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．
【分析】（1）根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠BAO 的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；
（2）连接OD ，过D 作DE ⊥OA 于点E ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDO =90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OD ，直角三角形两锐角互余求出∠DOE =60°，然后解直角三角形求出OE 、DE ，再写出点D 的坐标即可；
（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA 的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q 为OD 与对称轴的交点时|QO ﹣QD |=OD 的值最大，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y =﹣
∴当y =0时，﹣
∴OA =4x +4分别与x 、y 轴交于点A 、B ， ；当x =0时，y =4，∴A （4==，0），B （0，4）． x +4=0，解得x =4，OB =4，在Rt △AOB 中，∵tan ∠BAO =，∴∠BAO =30°；
（2）连接OD ，过D 作DE ⊥OA 于点E ，∵OB 是⊙M 的直径，∴∠BDO =∠ADO =90°， 在Rt △AOD 中，∵∠BAO =30°，∴OD =OA =×4
OE =OD •cos ∠DOE =2
3）；
（3）易知对称轴l 是OA 的垂直平分线，延长OD 交对称轴l 于点Q ，此时|QO ﹣QD |=OD 的值最大，理由：设Q ′为对称轴l 上另一点，连接OQ ′，DQ ′，则在△ODQ ′中，|Q ′O ﹣Q ′D |＜OD ，
∴|QO ﹣QD |的最大值=OD =2．
×==2，∠DOE =60°，在Rt △DOE 中，×=3，∴点D 的坐标为（，，DE =OD •sin ∠DOE =2
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数定义，解直角三角形，二次函数的对称性，三角形的三边关系，（3）判断出点Q 为直线OD 与对称轴的交点是解题的关键．
2. 如图，已知A ，B 两点的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），⊙C 的圆心坐标为（3，0），并与x 轴交于坐标原点O ．若E 是⊙C 上的一个动点，线段AE 与y 轴交于点D ．
（1）线段AE 长度的最小值是 ，最大值是 ；
（2）当点E 运动到点E 1和点E 2时，线段AE 所在的直线与⊙C 相切，求由AE 1、AE 2、弧E 1OE 2所围成的图形的面积；
（3）求出△ABD 的最大值和最小值．
（题图）
【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据动点E 在x 轴上时，AE 取得最小值与最大值解答； （答图）
（2）连接CE 1、CE 2，根据圆的切线的定义可得CE 1⊥AE 1，CE 2⊥AE 2，解直角三角形求出∠ACE 1=60°，过点E 1作E 1F ⊥x 轴于F ，利用∠ACE 1的正弦求出E 1F ，然后利用三角形的面积求出△ACE 1的面积，同理可得△ACE 2的面积，再根据由AE 1、AE 2、弧E 1OE 2所围成的图形的面积=四边形AE 1CE 2的面积﹣扇形CE 1E 2的面积，然后列式计算即可得解；
（3）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAO =30°，利用∠DAO 的正切值求出OD 的长度，根据三角形的面积，点D 在y 轴负半轴时，△ABD 的面积取得最大值，在y 轴正半轴时，△ABD 的面积取得最小值，然后进行计算即可得解，
【解答】解：（1）∵A （﹣3，0），∴OA =3，∵⊙C 的圆心坐标为（3，0），并与x 轴交于坐标原点O ，∴⊙C 的半径为3，∴AE 长度的最小值为3，最大值为3+3×2=9；故答案为：3，9；
（2）如图，连接CE 1、CE 2，∵点E 运动到点E 1和点E 2时，线段AE 所在的直线与⊙C 相切，
∴CE 1⊥AE 1，CE 2⊥AE 2，∵cos ∠ACE 1=
轴于F ，则E 1F =CE 1•sin 60°=3×sin 60°=3×
=，
，∴四边形AE 1CE 2的面积=△ACE 1的面积+△ACE 2的面===，∴∠ACE 1=60°，过点E 1作E 1F ⊥x ，∴△ACE 1的面积=AC •E 1F =×6×同理可得，△ACE 2的面积=
积=+=9，由AE 1、AE 2、弧E 1OE 2所围成的图形的面积=四边形AE 1CE 2的面
﹣，=9﹣3π； 积﹣扇形CE 1E 2的面积，=9
（3）∵∠ACE 1=60°，∴∠DAO =90°﹣ACE 1=90°﹣60°=30°，∴OD =AO •tan ∠DAO =3tan 30°=3×
=，∵点A 到BD 的距离为OA 的长度，不变，
，最大面积为： ∴点D 在y 轴负半轴时，△ABD 的面积取得最大值，此时BD =OB +OD =3+
×（3+）×3=，在y 轴正半轴时，△ABD 的面积取得最小值，
，最小面积为：×（3﹣）×3=． 此时BD =OB ﹣OD =3﹣
【点评】本题是圆的综合题型，主要考查了圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，圆的切线问题，解直角三角形，以及三角形的面积，综合题，但难度不大，（1）（3）确定出最大值与最小值时的点E 的位置是解题的关键，（2）根据对称性求出四边形的面积，并表示出围成图形的表示是解题的关键．