2016年人教版数学必修一 三角函数复习资料
姓 名： 沈金鹏 院 、 系： 数学学院 专 业: 数学与应用数学
2015年10月27日星期二
高中数学三角函数复习专题
一、知识点整理:
1、角的概念的推广：
正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示：
①终边为一射线的角的集合：⇔{x x =2k π+α, k ∈Z }=β|β=α+k ⋅360, k ∈Z
{}
②终边为一直线的角的集合：⇔x x =k π+α, k ∈Z ；
③两射线介定的区域上的角的集合：⇔x 2k π+β
（1） 弧长公式：l =a R R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。
1
（2） 扇形的面积公式：S =lR R 为圆弧的半径，l 为弧长。
2
{}
{}
{x k π+β
（3） 三角函数定义：角α中边上任意一点P 为(x , y ) ，设|OP |=r 则：
22y x y a +b sin α=, cos α=, tan α= r=
r r x
P (r cos α, r sin α)比 反过来，角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：如：公式cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β 的证明
（6）
如图，角α 垂足为M 过点A(1,0)作x （7 tan a =
③平方关系：sin 2a +cos 2a =1
cos a
三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限
三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;
即：函数名改变，符号看象限:
π⎫π⎫⎛⎛π⎫⎛
sin x +⎪=cos -x ⎪=cos x -⎪
4⎭ ⎝4⎭⎝比如⎝4⎭
π⎫⎛⎛π⎫
cos x +⎪=sin -x ⎪
4⎭⎝⎝4⎭
4. 两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：
cos(α±β) =cos a cos β sin a sin β s i n a (±β) =s i n a c o βs ±c o a s s i n β
tan a (a ±β) =
tan a ±tan β
1 tan a tan β
注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．． （2）二倍角公式：
sin 2a =2sin a cos a c o 2s a =c o 2s a -s i n 2a =1-2s i n 2
a =2c o 2s a -1
tan 2a =
2tan a
1-tan 2a
(3)几个派生公式：
①辅助角公式：a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ) =a 2+b 2cos(x -ϕ)
例如：sin α±cos α＝2sin ⎛
π⎫⎛π⎫⎝
α±4⎪⎭＝2cos ⎝α±4⎪⎭．
sin α±3cos α＝2sin ⎛ π⎫⎛
π⎫⎝
α±3⎪⎭＝2cos ⎝α±3⎪⎭等．
②降次公式：
(sinα±cos α) 2=1±sin 2α
cos 2α=
1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α
2
③tan α
+tan β=tan(α+β)(1-tan α⋅tan β)
5
6、. 函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如y =A sin(ωx +ϕ) 图像及性质） （1） 函数y =A sin(ωx +ϕ) 和y =A cos(ωx +ϕ) 的周期都是T =
2π
（2） 函数y =A tan(ωx +ϕ) 和y =A cot(ωx +ϕ) 的周期都是T =
π
（3） 五点法作y =A sin(ωx +ϕ) 的简图，设t =ωx +ϕ，取0、
π3π、π、、2π来求相应x 22
的值以及对应的y 值再描点作图。
（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总
是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①y =f (x ) →y =f (x ±a )(a >0) 将y =f (x ) 图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）
②y =f (x ) →y =f (x ) ±b (b >0) 将y =f (x ) 图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）
函数的伸缩变换：
①y =f (x ) →y =f (wx )(w >0) 将y =f (x ) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的（w >1缩短， 0
②y =f (x ) →y =Af (x )(A >0) 将y =f (x ) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（A >1伸长，0
①y =f (x ) →y =f (-x ) ) 将y =f (x ) 图像沿y 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
②y =f (x ) →y =-f (x ) 将y =f (x ) 图像沿x 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
1倍w
③y =f (x ) →y =f (x ) 将y =f (x ) 图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④y =f (x ) →y =f (x ) 保留y =f (x ) 在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）
7、解三角形
(1)正弦定理：
a sin A =b sin B =c
sin C
=2R ， ⎧b 2+c 2A =-a 2
⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A , ⎪cos ⎪(a 22bc , 22
2)余弦定理：⎪⎨b 22=a 22+c 2
⎪cos B =+c -b ⎪⎩c =a +b 2-2ac cos B , ⇒-2ab cos C . ⎨⎪⎪22ac , 22⎪⎩
cos C =a +b -c 2ab .
(3)推论：正余弦定理的边角互换功能
① a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ②sin A =a 2R ，sin B =b 2R ，sin C =c
2R
③
a sin A =b sin B =c sin C =a +b +c sin A +sin B +sin C
=2R ④a :b :c =sin A :sin B :sin C (4)面积公式：S=
111
2ab*sinC=2bc*sinA=2
ca*sinB
2016年人教版数学必修一 三角函数复习资料
姓 名： 沈金鹏 院 、 系： 数学学院 专 业: 数学与应用数学
2015年10月27日星期二
高中数学三角函数复习专题
一、知识点整理:
1、角的概念的推广：
正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示：
①终边为一射线的角的集合：⇔{x x =2k π+α, k ∈Z }=β|β=α+k ⋅360, k ∈Z
{}
②终边为一直线的角的集合：⇔x x =k π+α, k ∈Z ；
③两射线介定的区域上的角的集合：⇔x 2k π+β
（1） 弧长公式：l =a R R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。
1
（2） 扇形的面积公式：S =lR R 为圆弧的半径，l 为弧长。
2
{}
{}
{x k π+β
（3） 三角函数定义：角α中边上任意一点P 为(x , y ) ，设|OP |=r 则：
22y x y a +b sin α=, cos α=, tan α= r=
r r x
P (r cos α, r sin α)比 反过来，角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：如：公式cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β 的证明
（6）
如图，角α 垂足为M 过点A(1,0)作x （7 tan a =
③平方关系：sin 2a +cos 2a =1
cos a
三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限
三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;
即：函数名改变，符号看象限:
π⎫π⎫⎛⎛π⎫⎛
sin x +⎪=cos -x ⎪=cos x -⎪
4⎭ ⎝4⎭⎝比如⎝4⎭
π⎫⎛⎛π⎫
cos x +⎪=sin -x ⎪
4⎭⎝⎝4⎭
4. 两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：
cos(α±β) =cos a cos β sin a sin β s i n a (±β) =s i n a c o βs ±c o a s s i n β
tan a (a ±β) =
tan a ±tan β
1 tan a tan β
注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．． （2）二倍角公式：
sin 2a =2sin a cos a c o 2s a =c o 2s a -s i n 2a =1-2s i n 2
a =2c o 2s a -1
tan 2a =
2tan a
1-tan 2a
(3)几个派生公式：
①辅助角公式：a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ) =a 2+b 2cos(x -ϕ)
例如：sin α±cos α＝2sin ⎛
π⎫⎛π⎫⎝
α±4⎪⎭＝2cos ⎝α±4⎪⎭．
sin α±3cos α＝2sin ⎛ π⎫⎛
π⎫⎝
α±3⎪⎭＝2cos ⎝α±3⎪⎭等．
②降次公式：
(sinα±cos α) 2=1±sin 2α
cos 2α=
1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α
2
③tan α
+tan β=tan(α+β)(1-tan α⋅tan β)
5
6、. 函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如y =A sin(ωx +ϕ) 图像及性质） （1） 函数y =A sin(ωx +ϕ) 和y =A cos(ωx +ϕ) 的周期都是T =
2π
（2） 函数y =A tan(ωx +ϕ) 和y =A cot(ωx +ϕ) 的周期都是T =
π
（3） 五点法作y =A sin(ωx +ϕ) 的简图，设t =ωx +ϕ，取0、
π3π、π、、2π来求相应x 22
的值以及对应的y 值再描点作图。
（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总
是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①y =f (x ) →y =f (x ±a )(a >0) 将y =f (x ) 图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）
②y =f (x ) →y =f (x ) ±b (b >0) 将y =f (x ) 图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）
函数的伸缩变换：
①y =f (x ) →y =f (wx )(w >0) 将y =f (x ) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的（w >1缩短， 0
②y =f (x ) →y =Af (x )(A >0) 将y =f (x ) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（A >1伸长，0
①y =f (x ) →y =f (-x ) ) 将y =f (x ) 图像沿y 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
②y =f (x ) →y =-f (x ) 将y =f (x ) 图像沿x 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
1倍w
③y =f (x ) →y =f (x ) 将y =f (x ) 图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④y =f (x ) →y =f (x ) 保留y =f (x ) 在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）
7、解三角形
(1)正弦定理：
a sin A =b sin B =c
sin C
=2R ， ⎧b 2+c 2A =-a 2
⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A , ⎪cos ⎪(a 22bc , 22
2)余弦定理：⎪⎨b 22=a 22+c 2
⎪cos B =+c -b ⎪⎩c =a +b 2-2ac cos B , ⇒-2ab cos C . ⎨⎪⎪22ac , 22⎪⎩
cos C =a +b -c 2ab .
(3)推论：正余弦定理的边角互换功能
① a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ②sin A =a 2R ，sin B =b 2R ，sin C =c
2R
③
a sin A =b sin B =c sin C =a +b +c sin A +sin B +sin C
=2R ④a :b :c =sin A :sin B :sin C (4)面积公式：S=
111
2ab*sinC=2bc*sinA=2
ca*sinB