第24卷 第2期2006年4月
江 西 科 学
Vol . 24No . 2
Ap r . 2006
文章编号:1001-3679(2006) 02-0205-05
分形理论及其应用
刘 莹, 胡 敏, 余桂英, 李小兵, 刘晓林
(南昌大学机电工程学院, 江西南昌 330029)
摘要:分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支, 。介绍了分形理论的基本概念, 给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。论在从自然科学到社会科学的各个领域, 如工程技术、物理、化学、、经济管理、计算机图形学等学科领域的应用及其最新的进展情况。最后, 提出分形理论将面临和有待解决的问题。关键词:分形理论; 分形维数; 应用状况
中图分类号:T B11; T H3; N32 :A
Fract a l and its Appli ca ti on s
L I U Ying, HU M in, Y U Gui 2ying, L I Xiao 2bing, L I U Xiao 2lin
(Mechanical and Electr onic Engineering School, Nanchang University, J iangxi Nanchang 330029PRC )
Abstract:Fractal theory is a branch of nonlinear science and an i m portant means f or science re 2search . This paper intr oduces the basic concep t and several calculating methods of fractal di m ensi on as a main para meter of fractal theory . Pri m arily, it is su mmarized that fractal theory have been used in vari ous fields fr om nature science t o s ocial science such as engineering, physics, che m istry, bi o medi 2cine, material science, astr onomy and geography, economy and manage ment, computer graphics, etc . I n the end, the f oregr ound and devel opmental orientati on of fractal theory is p r os pected, and p r oble m s in face of fractal theory is advanced .
Key words:Fractal theory, Fractal di m ensi on, App licati on
分形理论作为一种新的概念和方法, 正在许
多领域开展应用探索。80年代初国外开始的“分形热”经久不息, 并且在各个领域发挥重要的作用。美国著名物理学家惠勒说过:“今后谁不熟悉分形, 谁就不能被称为科学上的文化人。”
[1]
B. Mandelbr ot ) 由拉丁语Frangere 一词创造而
成的, 其原意具有不规则、支离破碎等意义, 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的, 因此分形几何又称为描述大自然的几何学。但目前分形还没有一个确切的定义, 分形是对没有特征长度但有某种意义下的自相似性的形体和结构的总称。
112 分形的判定方法
1 分形理论的介绍
111 分形的定义
分形(Fractal ) 一词, 是1973年曼德勃罗(B.
收稿日期:2005-07-04; 修订日期:2006-02-22
作者简介:刘 莹(1957-) , 女, 江西南昌人, 博士生导师, 教授, 主要从事微机械与微摩擦学研究。基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275071) ; 南昌大学科研基金项目(z02879) 。
・206・江 西 科 学
维数。
2006年第24卷
目前, 判断分形与非分形, 尚无确定的方法,
国内外学者所采用的方法大致有:(1) 人工判定法; (2) 相关系数检验法; (3) 强化系数法; (4) 拟合误差法; (5) 分维值误差法; (6) 总体拟合法等。113 分形维数的定义
分形维数是描述分形的重要参数, 能够反映分形的基本特征, 但由于侧重面不同, 有多种定义和计算方法。常见的有相似维数、豪斯道夫维数、容量维数、计盒维数等, 它们有各自不同的应用。
[2]
以下介绍几种常见的定义。1. 3. 1 相似维数D S 一般来说, 如果某图形是由把原图缩小为1/r 的相似的N 个图形组成, 则有:
D
(1) r =N , D S =l og N /l og r
的关系成立, 则指数D 称为相似维数, D 可以是整数, 也可以是分数。相似维数, 通常被定义为具有严格自相似性的维数。1. 3. 2 容量维数D C 数, 。
ε的小球为标准去覆盖S, 所需的小球的最小数量为N (ε) , 则
S 的容量维数为:
1. 3. 5 计盒维数D b 将用边长为1/2的封闭
n
正方盒子覆盖S, 若S 中包含的小方盒数量M (n ) , 则计盒维数为:
D b =li ()
n →∞n l og2
(5)
除上述定义的几种分形维数外, 还有谱维数、模糊维数、拓扑维数、广义维数、微分维数、分配维
数、质量维数、填充维数等。
2 分形理论的应用
分形理论自从它诞生那一天开始就和应用研究密不可分, , 从大分子到宇宙星系, , 。112. . 1 分形理论在摩擦学中的应用 分形理论
在摩擦学中主要用于粗糙表面的表征、接触模型分析、磨合磨损预测、摩擦温度分布以及磨屑的定量分析等领域。粗糙表面接触的分形模型有由Maju mdar 和Bhushan 等基于W -M 分形函数提
出的M -B 分形模型以及由W arren 和Thomas 等
(2)
D C =li ε→0l ε) og (1/
以Cant or 集抽象近似提出接触模型
[3]
。
2. 1. 2 分形理论在疲劳断裂分析中的应用 在
1. 3. 3 豪斯道夫(Hausdorff ) 维数D H 设一个整
体S 划分为N 个大小和形态完全相同的小图形,
每一个小图形的线度是原图形的r 倍, 则豪斯道夫维数为:
D H =li r →0
疲劳裂纹的断裂分析中, 通常假定裂纹是平直扩
展的。然而大量实测表明, 疲劳裂纹扩展路径通常是不规则的, 产生粗糙断裂表面裂纹的不规则扩展导致疲劳断裂行为(有效应力强度和有效裂纹扩展速率) 显著的变化。应用分形几何实现定量描述疲劳裂纹扩展路径, 建立裂纹扩展的分形模型
[9]
l og (1/r )
(3)
豪斯道夫维数和容量维数都是基于包覆的, 其不同点在于容量维数是用相同大小形状的球或立方体去作包覆定义维数, 而豪斯道夫维数是用最有效的包覆来定义的维数。1. 3. 4 信息维数D i 将空间作等分分割, 然后根据进入这些子空间中点的概率来定义的维数, 称为信息维数。
若考虑在豪斯道夫维数中每个覆盖S 中所含分形集元素的多少, 并设P i 表示分形集的元素属于覆盖S 中的概率, 则信息维数为:
D i =li ε→0
, 可以更好地探讨裂纹扩展对疲劳行为的
影响, 研究表明, 分形裂纹扩展使应力强度范围低于外加应力强度范围, 实际裂纹扩展速率大于表观裂纹扩展速率
[4]
。
2. 1. 3 分形理论在故障诊断中的应用 目前, 将
分形理论应用于故障诊断主要有2个途径:一是提取磨屑的分形特征, 根据磨屑的分形维数, 间接
获得机器的磨损率, 为机器在线故障诊断、预测磨损状态提供依据; 二是测量机器运行的特征信号, 从中提取信号的分形特征(分维数) , 基于分维数分析机器的故障状态。分形几何在机械故障诊断的以下几个方面值得探讨:(1) 机械运行状态的异常判别; (2) 机械故障的分类与诊断; (3) 反映
∑P i l og P i
εl og
N
(4)
在等概率的情况下, 信息维数等于豪斯道夫
第2期 刘 莹等:分形理论及其应用
[5]
・207・
机械运行状态的特征参数个数的选取。
2. 1. 4 其它方面 分形在复杂产品的分形设计、有限元网格划分的递推模型、制造决策映射建模等方面也有应用。212 在物理学中的应用物理系统本质上是非线性的, 但当今的牛顿力学和量子力学对于非线性问题还是无能为力。分形学的问世给物理学的研究注入了新的活力, 因而分形在物理学中得到了广泛的应用, 其中比较成功的应用包括以下方面。
在分形凝聚方面, 人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DLA ) 模型和动力学集团凝聚(KCA ) 模型, 如悬浮于气体中的固体颗粒或液体颗粒的凝聚、电解液中金属的电沉积、准晶体的生成、流体在多孔介质中的渗流等。在固体物理方面, 用于准晶态的扩散等。用于薄膜的研究, 如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、晶体生长、, 、各种薄膜生[7]
膜) 生长的研究之中。用于湍流的研究, 分子光谱(分子线谱和分子能量状态具有分形结构) , 电磁散射(由于粗糙分形表面引起的) , 材料断裂表面和边界、以及碎块的大小和频度具有分形规律, 材料力学行为和材料弹塑性断裂研究。在粒子物理中的应用, 高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形结构, 分形理论用于解释碰撞的机制, 为粒子物理打开一个新的领域。
在流体粘性指进现象中的应用, 粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇时, 在其界面形成的具有分形结构的奇特形状, 该形状与受限扩散凝聚(DLA ) 模型相似。在放电式样研究中的应用、相变分析。超微粒及其聚集体, 及其在粒径、熔化、磁性、电导及生长过程中均具有分形特征。在非线性光学中, 如在激光非线性薛定谔方程、相干态、波色及光场理论、可积系统理论、不可积哈密顿系统中的随机层、随机海和随机网等领域取得了很多成果。
另外, 有人对超导现象研究后发现, 材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关。分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域。
[6]
以上方面是分形在物理学有关领域的应用概
况。分形在物理学中的应用包括理论研究和实际应用两方面。目前, 理论研究已逐渐成熟起来, 人们更加注重把理论研究成果用于各门工程技术中。例如电磁散射应用于远航通讯、雷达回波中。分形在超导体研究、各种薄膜研究、包括纳米材料在内的新材料研制等方面将会发挥更大的作用。213 在化学中的应用
在多相催化体系中的应用, 催化剂颗粒是一个分形体, 不仅疏松的衬底和分布在其上作为催化物质的颗粒表面可以用分维表征, 而且起主要。反应前后, , 可以通过测。, 。这说明, 分维D 、活性及活性位置在催。此外, 分形理论还在生
[8]
物催化方面有应用。
[9]
在宏观化学动力学方面, 远离平衡态的化学过程往往产生具有分数维的表面结构, 其中研究得比较详尽的就是扩散控制沉积模型(简称DLA 模型) , 提出了一些相应的简化模型, 用来模
[10]
拟传热, 传质以及界面生长等过程。李后强等提出了“酶分形动力学”概念, 并建立了相应的理论体系。
在颜料表面改性方面的应用, 颜料粒子的表面形貌是一个影响颜料性能的很重要的因素, 研究结果表明, 表面分形维数、粒子表面形貌与颜料某些性能之间确实存在很好的对应关系, 从而使得颜料粒子表面形貌得以量化表征, 并使颜料粒子表面分形维数与颜料的某些性能相关联成为可能。
目前, 分数维方法在化学中各个领域的应用也正在开展之中。例如:沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面, 也有少数学者开始研究小分子运动以及大分子构象等问题。此外, 薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚集体分形等领域的研究已日趋活跃, 在准晶和非晶态固体的描述、气固反应模型等也有应用。
214 在生物医药中的应用
2. 4. 1 药学 分形学在药学领域的应用以药剂
学最吸引人。在药物剂型设计、剂型定性、生产中
・208・江 西 科 学2006年第24卷
的单元操作和药物释放性能等方面均有成功应
用。如用分形维数表征粉粒状药物、多孔固体制剂、混悬剂和乳剂、气溶胶、微乳剂等结果, 可更好地研究药剂表面结构与药物性能的关系。在生物药剂学和药物动力学也有许多潜在用途, 如用分形表示药物溶出动力学曲线、分形反应维数在药物膜通透速率中的应用、吸附剂表面吸附程度以
[11]
及血药水平和尿排泄曲线等。2. 4. 2 医学 生理学方面, 各种组织和器官在微观结构上是分形的, 同样组织中发生的功能性事件也具有非线性动力学特征, 即是混沌的。混沌是一种有限制的随机, 与分形几何学相关。分形和非线性动力学的概念提供了一种描述由于疾病或药物毒性导致的功能失调以及药理学中常遇到的许多现象的灵敏方法。如药物-受体相互作用、细胞膜表面的分形维数及离子通道动力学模
[12]
型、跨膜转运、神经系统和功能、生物反应器2. 4. 3 食品科学与工程 物的选用、凝聚、分级、食品相领域的应用。2. 4. 4 植物学 植物中树、枝、叶、茎、花、草、蕨、花椰菜等是自然界中最先被认知具有分形维数的物体。此外, 在农林业中, 如生态学、林火初期蔓延、树木动态过程分析、木材科学及工艺、冠层结构特征描述、林业遥感图像中的文理分析、植物形
[14]
态模拟、树木特征数据库的建立等相关研究。215 在材料科学中的应用
分形可以用于材料制备和材料断裂行为等研[15, 16]究。用于材料磨损表面、材料断裂表面、材料烧结与氧化过程、薄膜材料等方面的分析研究。分形学用于描述断口的特征, 研究表明断口的分形维数是与宏观力学的某些参量密切相关, 材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关。可以用分形维数的大小来区分材料的加热程度, 晶体和非晶体的表面都可以用分形表面来描述。216 在水文、地理学中的应用
[13]
的形状特征。
[19, 20]
在地貌学领域, 运用分形理论研究地表面的起伏, 例如山川、地形、地貌的形态, 以及它们产生、发展、分布的规律等, 已经形成了分形地貌学(fractal geomor phol ogy ) 这一地貌学新的分支, 它不仅以分形理论为基础对地表面(特别是山地表面) 的形态进行了描述, 进而以分维为中介参数建立山地起伏等地貌现象与其内部机制之间的联系。除此之外, 分形地貌学还大量探讨了山系、断层系的空间展布以及喀斯特洼地、滑坡的稳定性、地表水系、地下渗流、海岸线、湖泊、湖岸线等的分形性质。同时, 生成逼真景物的方法, 线、, 分形理论可以用于研、城市等级体系、城、城市引力模型以及区域差异等的分形特征; 另外, 城市道路网的分布和交通控制、城市商业网点的布局、城市人口的分布以及城镇土地利用类型的空间展布等, 也都表明具有分形性质。此外, 分形理论还在沙漠定量化研究、长江水系沉积物重金属含量空间分布特征、旅游景观的设计布局以及与矿床分布、油田井位的位置和储量的确定等方面也做出了实际性的探索和应用。此外, 在灾害学领域, 滑坡、泥石流等山地灾害的发生、旱涝灾害的发生、地震的发生时间和强度、灾害性海潮的发生、历代灾害造成的伤亡人数、受灾地区的分布及面积大小、灾害造成的经济损失等都被揭示出是具有分形性质的。217 在经济管理学中的应用分形学在经济和管理学领域的应用, 已经形成了分支学科—非线性经济学。
[22, 23]
在股票、证券市场的应用, 如用于分形市场假设、股票证券价格和收益的波动规律、证券市场交易数据的变化趋势等分析。
在管理科学中有许多应用, 如在企业管理学、城市管理学、分形管理学等方面。此外, 在经济弹性、国民收入、资本和财产的分布、经济刺痛变化趋势预测、经济混沌及经济奇异吸引子的分维测度、经济时序动力系统、人口学等方面也有应用。218 在计算机图形学中的应用
分形在计算机图形学中的应用广泛。如迭代
[24]
[21]
分形理论已广泛用于解释和分析复杂的天文、水文、地质、地理等领域。
[17]
在气象学领域, 分形用于研究云系的形状、气象卫星云图的特征和数据压缩, 降水的模式和强度, 降水量在土壤中的渗透模式等。
[18]
在水文领域, 用于研究河流形态、洪涝干旱序列、水文过程线(如水位、流量、含沙量等) 等
第2期 刘 莹等:分形理论及其应用・209・
函数系统产生无穷多的分形图可以用于图案设
[25]
计、创意制作、计算机动画、实物模拟仿真、装
[26]
饰工程等具有广泛的应用价值, 分形用于压缩
[27]
图像信息时图像信息的提取和识别、纹理图像
[28]
分割, 分形图像编码等方面, 都取得了很好的效果。
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3 分形理论的发展前景
分形学自70年代初创立以来, 国内外发展
很快, 从自然科学到社会科学都有了广泛的应用和研究, 并且取得了一定的效果, 对许多难题做出独特的解释, 给出了解决难题的途径, 所以, 分形学的发展前景是非常光明的。
随着分形理论在各个领域应用不断的发展, 分形理论本身的数学基础也面临着不断发展的问题, 只有将分形理论和其应用相结合, 同步发展, 才能使之逐渐形成一门系统理论。
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摘要:分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支, 。介绍了分形理论的基本概念, 给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。论在从自然科学到社会科学的各个领域, 如工程技术、物理、化学、、经济管理、计算机图形学等学科领域的应用及其最新的进展情况。最后, 提出分形理论将面临和有待解决的问题。关键词:分形理论; 分形维数; 应用状况
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Key words:Fractal theory, Fractal di m ensi on, App licati on
分形理论作为一种新的概念和方法, 正在许
多领域开展应用探索。80年代初国外开始的“分形热”经久不息, 并且在各个领域发挥重要的作用。美国著名物理学家惠勒说过:“今后谁不熟悉分形, 谁就不能被称为科学上的文化人。”
[1]
B. Mandelbr ot ) 由拉丁语Frangere 一词创造而
成的, 其原意具有不规则、支离破碎等意义, 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的, 因此分形几何又称为描述大自然的几何学。但目前分形还没有一个确切的定义, 分形是对没有特征长度但有某种意义下的自相似性的形体和结构的总称。
112 分形的判定方法
1 分形理论的介绍
111 分形的定义
分形(Fractal ) 一词, 是1973年曼德勃罗(B.
收稿日期:2005-07-04; 修订日期:2006-02-22
作者简介:刘 莹(1957-) , 女, 江西南昌人, 博士生导师, 教授, 主要从事微机械与微摩擦学研究。基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275071) ; 南昌大学科研基金项目(z02879) 。
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维数。
2006年第24卷
目前, 判断分形与非分形, 尚无确定的方法,
国内外学者所采用的方法大致有:(1) 人工判定法; (2) 相关系数检验法; (3) 强化系数法; (4) 拟合误差法; (5) 分维值误差法; (6) 总体拟合法等。113 分形维数的定义
分形维数是描述分形的重要参数, 能够反映分形的基本特征, 但由于侧重面不同, 有多种定义和计算方法。常见的有相似维数、豪斯道夫维数、容量维数、计盒维数等, 它们有各自不同的应用。
[2]
以下介绍几种常见的定义。1. 3. 1 相似维数D S 一般来说, 如果某图形是由把原图缩小为1/r 的相似的N 个图形组成, 则有:
D
(1) r =N , D S =l og N /l og r
的关系成立, 则指数D 称为相似维数, D 可以是整数, 也可以是分数。相似维数, 通常被定义为具有严格自相似性的维数。1. 3. 2 容量维数D C 数, 。
ε的小球为标准去覆盖S, 所需的小球的最小数量为N (ε) , 则
S 的容量维数为:
1. 3. 5 计盒维数D b 将用边长为1/2的封闭
n
正方盒子覆盖S, 若S 中包含的小方盒数量M (n ) , 则计盒维数为:
D b =li ()
n →∞n l og2
(5)
除上述定义的几种分形维数外, 还有谱维数、模糊维数、拓扑维数、广义维数、微分维数、分配维
数、质量维数、填充维数等。
2 分形理论的应用
分形理论自从它诞生那一天开始就和应用研究密不可分, , 从大分子到宇宙星系, , 。112. . 1 分形理论在摩擦学中的应用 分形理论
在摩擦学中主要用于粗糙表面的表征、接触模型分析、磨合磨损预测、摩擦温度分布以及磨屑的定量分析等领域。粗糙表面接触的分形模型有由Maju mdar 和Bhushan 等基于W -M 分形函数提
出的M -B 分形模型以及由W arren 和Thomas 等
(2)
D C =li ε→0l ε) og (1/
以Cant or 集抽象近似提出接触模型
[3]
。
2. 1. 2 分形理论在疲劳断裂分析中的应用 在
1. 3. 3 豪斯道夫(Hausdorff ) 维数D H 设一个整
体S 划分为N 个大小和形态完全相同的小图形,
每一个小图形的线度是原图形的r 倍, 则豪斯道夫维数为:
D H =li r →0
疲劳裂纹的断裂分析中, 通常假定裂纹是平直扩
展的。然而大量实测表明, 疲劳裂纹扩展路径通常是不规则的, 产生粗糙断裂表面裂纹的不规则扩展导致疲劳断裂行为(有效应力强度和有效裂纹扩展速率) 显著的变化。应用分形几何实现定量描述疲劳裂纹扩展路径, 建立裂纹扩展的分形模型
[9]
l og (1/r )
(3)
豪斯道夫维数和容量维数都是基于包覆的, 其不同点在于容量维数是用相同大小形状的球或立方体去作包覆定义维数, 而豪斯道夫维数是用最有效的包覆来定义的维数。1. 3. 4 信息维数D i 将空间作等分分割, 然后根据进入这些子空间中点的概率来定义的维数, 称为信息维数。
若考虑在豪斯道夫维数中每个覆盖S 中所含分形集元素的多少, 并设P i 表示分形集的元素属于覆盖S 中的概率, 则信息维数为:
D i =li ε→0
, 可以更好地探讨裂纹扩展对疲劳行为的
影响, 研究表明, 分形裂纹扩展使应力强度范围低于外加应力强度范围, 实际裂纹扩展速率大于表观裂纹扩展速率
[4]
。
2. 1. 3 分形理论在故障诊断中的应用 目前, 将
分形理论应用于故障诊断主要有2个途径:一是提取磨屑的分形特征, 根据磨屑的分形维数, 间接
获得机器的磨损率, 为机器在线故障诊断、预测磨损状态提供依据; 二是测量机器运行的特征信号, 从中提取信号的分形特征(分维数) , 基于分维数分析机器的故障状态。分形几何在机械故障诊断的以下几个方面值得探讨:(1) 机械运行状态的异常判别; (2) 机械故障的分类与诊断; (3) 反映
∑P i l og P i
εl og
N
(4)
在等概率的情况下, 信息维数等于豪斯道夫
第2期 刘 莹等:分形理论及其应用
[5]
・207・
机械运行状态的特征参数个数的选取。
2. 1. 4 其它方面 分形在复杂产品的分形设计、有限元网格划分的递推模型、制造决策映射建模等方面也有应用。212 在物理学中的应用物理系统本质上是非线性的, 但当今的牛顿力学和量子力学对于非线性问题还是无能为力。分形学的问世给物理学的研究注入了新的活力, 因而分形在物理学中得到了广泛的应用, 其中比较成功的应用包括以下方面。
在分形凝聚方面, 人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DLA ) 模型和动力学集团凝聚(KCA ) 模型, 如悬浮于气体中的固体颗粒或液体颗粒的凝聚、电解液中金属的电沉积、准晶体的生成、流体在多孔介质中的渗流等。在固体物理方面, 用于准晶态的扩散等。用于薄膜的研究, 如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、晶体生长、, 、各种薄膜生[7]
膜) 生长的研究之中。用于湍流的研究, 分子光谱(分子线谱和分子能量状态具有分形结构) , 电磁散射(由于粗糙分形表面引起的) , 材料断裂表面和边界、以及碎块的大小和频度具有分形规律, 材料力学行为和材料弹塑性断裂研究。在粒子物理中的应用, 高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形结构, 分形理论用于解释碰撞的机制, 为粒子物理打开一个新的领域。
在流体粘性指进现象中的应用, 粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇时, 在其界面形成的具有分形结构的奇特形状, 该形状与受限扩散凝聚(DLA ) 模型相似。在放电式样研究中的应用、相变分析。超微粒及其聚集体, 及其在粒径、熔化、磁性、电导及生长过程中均具有分形特征。在非线性光学中, 如在激光非线性薛定谔方程、相干态、波色及光场理论、可积系统理论、不可积哈密顿系统中的随机层、随机海和随机网等领域取得了很多成果。
另外, 有人对超导现象研究后发现, 材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关。分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域。
[6]
以上方面是分形在物理学有关领域的应用概
况。分形在物理学中的应用包括理论研究和实际应用两方面。目前, 理论研究已逐渐成熟起来, 人们更加注重把理论研究成果用于各门工程技术中。例如电磁散射应用于远航通讯、雷达回波中。分形在超导体研究、各种薄膜研究、包括纳米材料在内的新材料研制等方面将会发挥更大的作用。213 在化学中的应用
在多相催化体系中的应用, 催化剂颗粒是一个分形体, 不仅疏松的衬底和分布在其上作为催化物质的颗粒表面可以用分维表征, 而且起主要。反应前后, , 可以通过测。, 。这说明, 分维D 、活性及活性位置在催。此外, 分形理论还在生
[8]
物催化方面有应用。
[9]
在宏观化学动力学方面, 远离平衡态的化学过程往往产生具有分数维的表面结构, 其中研究得比较详尽的就是扩散控制沉积模型(简称DLA 模型) , 提出了一些相应的简化模型, 用来模
[10]
拟传热, 传质以及界面生长等过程。李后强等提出了“酶分形动力学”概念, 并建立了相应的理论体系。
在颜料表面改性方面的应用, 颜料粒子的表面形貌是一个影响颜料性能的很重要的因素, 研究结果表明, 表面分形维数、粒子表面形貌与颜料某些性能之间确实存在很好的对应关系, 从而使得颜料粒子表面形貌得以量化表征, 并使颜料粒子表面分形维数与颜料的某些性能相关联成为可能。
目前, 分数维方法在化学中各个领域的应用也正在开展之中。例如:沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面, 也有少数学者开始研究小分子运动以及大分子构象等问题。此外, 薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚集体分形等领域的研究已日趋活跃, 在准晶和非晶态固体的描述、气固反应模型等也有应用。
214 在生物医药中的应用
2. 4. 1 药学 分形学在药学领域的应用以药剂
学最吸引人。在药物剂型设计、剂型定性、生产中
・208・江 西 科 学2006年第24卷
的单元操作和药物释放性能等方面均有成功应
用。如用分形维数表征粉粒状药物、多孔固体制剂、混悬剂和乳剂、气溶胶、微乳剂等结果, 可更好地研究药剂表面结构与药物性能的关系。在生物药剂学和药物动力学也有许多潜在用途, 如用分形表示药物溶出动力学曲线、分形反应维数在药物膜通透速率中的应用、吸附剂表面吸附程度以
[11]
及血药水平和尿排泄曲线等。2. 4. 2 医学 生理学方面, 各种组织和器官在微观结构上是分形的, 同样组织中发生的功能性事件也具有非线性动力学特征, 即是混沌的。混沌是一种有限制的随机, 与分形几何学相关。分形和非线性动力学的概念提供了一种描述由于疾病或药物毒性导致的功能失调以及药理学中常遇到的许多现象的灵敏方法。如药物-受体相互作用、细胞膜表面的分形维数及离子通道动力学模
[12]
型、跨膜转运、神经系统和功能、生物反应器2. 4. 3 食品科学与工程 物的选用、凝聚、分级、食品相领域的应用。2. 4. 4 植物学 植物中树、枝、叶、茎、花、草、蕨、花椰菜等是自然界中最先被认知具有分形维数的物体。此外, 在农林业中, 如生态学、林火初期蔓延、树木动态过程分析、木材科学及工艺、冠层结构特征描述、林业遥感图像中的文理分析、植物形
[14]
态模拟、树木特征数据库的建立等相关研究。215 在材料科学中的应用
分形可以用于材料制备和材料断裂行为等研[15, 16]究。用于材料磨损表面、材料断裂表面、材料烧结与氧化过程、薄膜材料等方面的分析研究。分形学用于描述断口的特征, 研究表明断口的分形维数是与宏观力学的某些参量密切相关, 材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关。可以用分形维数的大小来区分材料的加热程度, 晶体和非晶体的表面都可以用分形表面来描述。216 在水文、地理学中的应用
[13]
的形状特征。
[19, 20]
在地貌学领域, 运用分形理论研究地表面的起伏, 例如山川、地形、地貌的形态, 以及它们产生、发展、分布的规律等, 已经形成了分形地貌学(fractal geomor phol ogy ) 这一地貌学新的分支, 它不仅以分形理论为基础对地表面(特别是山地表面) 的形态进行了描述, 进而以分维为中介参数建立山地起伏等地貌现象与其内部机制之间的联系。除此之外, 分形地貌学还大量探讨了山系、断层系的空间展布以及喀斯特洼地、滑坡的稳定性、地表水系、地下渗流、海岸线、湖泊、湖岸线等的分形性质。同时, 生成逼真景物的方法, 线、, 分形理论可以用于研、城市等级体系、城、城市引力模型以及区域差异等的分形特征; 另外, 城市道路网的分布和交通控制、城市商业网点的布局、城市人口的分布以及城镇土地利用类型的空间展布等, 也都表明具有分形性质。此外, 分形理论还在沙漠定量化研究、长江水系沉积物重金属含量空间分布特征、旅游景观的设计布局以及与矿床分布、油田井位的位置和储量的确定等方面也做出了实际性的探索和应用。此外, 在灾害学领域, 滑坡、泥石流等山地灾害的发生、旱涝灾害的发生、地震的发生时间和强度、灾害性海潮的发生、历代灾害造成的伤亡人数、受灾地区的分布及面积大小、灾害造成的经济损失等都被揭示出是具有分形性质的。217 在经济管理学中的应用分形学在经济和管理学领域的应用, 已经形成了分支学科—非线性经济学。
[22, 23]
在股票、证券市场的应用, 如用于分形市场假设、股票证券价格和收益的波动规律、证券市场交易数据的变化趋势等分析。
在管理科学中有许多应用, 如在企业管理学、城市管理学、分形管理学等方面。此外, 在经济弹性、国民收入、资本和财产的分布、经济刺痛变化趋势预测、经济混沌及经济奇异吸引子的分维测度、经济时序动力系统、人口学等方面也有应用。218 在计算机图形学中的应用
分形在计算机图形学中的应用广泛。如迭代
[24]
[21]
分形理论已广泛用于解释和分析复杂的天文、水文、地质、地理等领域。
[17]
在气象学领域, 分形用于研究云系的形状、气象卫星云图的特征和数据压缩, 降水的模式和强度, 降水量在土壤中的渗透模式等。
[18]
在水文领域, 用于研究河流形态、洪涝干旱序列、水文过程线(如水位、流量、含沙量等) 等
第2期 刘 莹等:分形理论及其应用・209・
函数系统产生无穷多的分形图可以用于图案设
[25]
计、创意制作、计算机动画、实物模拟仿真、装
[26]
饰工程等具有广泛的应用价值, 分形用于压缩
[27]
图像信息时图像信息的提取和识别、纹理图像
[28]
分割, 分形图像编码等方面, 都取得了很好的效果。
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3 分形理论的发展前景
分形学自70年代初创立以来, 国内外发展
很快, 从自然科学到社会科学都有了广泛的应用和研究, 并且取得了一定的效果, 对许多难题做出独特的解释, 给出了解决难题的途径, 所以, 分形学的发展前景是非常光明的。
随着分形理论在各个领域应用不断的发展, 分形理论本身的数学基础也面临着不断发展的问题, 只有将分形理论和其应用相结合, 同步发展, 才能使之逐渐形成一门系统理论。
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