正方体木块AC1的棱长为1，蜘蛛位于A1B1的中点M处，苍蝇停留在D点，问蜘蛛应采用怎样的最短路线，才能最迅速地抓住苍蝇？
利用正方体的平面展开图形进行分析，问题十分简单。
在展开图中，由于平面上两点间以直线距离为最短，故M至D应取直线段。
因为MND长＝
MgD长＝
MefD长＝
MPD长＝
故MPD长为应采取的最短线路
结论：借助平面几何的知识来解决立体几何中的问题，是处理立体几何问题的最佳方法。要计算空间图形表面两点间的最短距离，只要利用了几何体的展开图形，就能把学生所熟悉的平面图形与立几图形有机地结合起来，使问题化难为易。空间图形求表面上折线段最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系。解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决。
例1、圆锥S—AB的底面半径为R，母线长SA＝3R，D为SA的中点，一个动点自底面圆周上的A点，沿圆锥侧面移动到D点，求这点移动的最短距离。
解：如图，沿圆锥母线SA剪开展成平面图形，则AD最短。
因为∠ASD＝
。所以由余弦定理，得
例2、圆台的上底半径为6 cm，下底半径为12 cm，高为
。下底面内两条半径OA与OB互相垂直，M是母线B1B上一点，且BM：MB1＝2：1，求圆台侧面上A、M两点间的最短行程。
解：如图，在直角梯形OO1B1B中，由公式
，求得
如图，设圆台的侧面展开扇环
的中心角∠
＝θ，
，则θ＝
，解得x＝9 cm，θ＝240°。依题意得，PM＝
＝12cm，∠APB＝
。PA＝PB＝18cm。在△PAM中运用余弦定理得：
故圆台侧面上A、M两点间的最短行程为
例3、设正三棱柱的侧棱长为3，底面边长是1，沿侧面从A点到A1点，当路径AM—MN—NA1最短时，求AM与A1N所成的角。
解：如图5（甲），过A作AP//A1N交B1B于P，则AM与AP所夹锐角（或直角），就是所求的角。沿侧棱AA1把三棱柱
剪开展开，如图5（乙），当路径AM—MN—NA1最短时，显然M、N在线段AA1上，最短路径是AA1，由此可知，CM＝1，BN＝2，故AM＝AP＝
，MP＝
＝
。
所以
，故AM与A1N所成的角为
。
例4、已知圆台的上、下底面半径分别为
厘米和5厘米，母线AB长为10厘米，M为AB的中点，有一绳子从M点出发，沿圆台侧面绕一周达到B点，问绳子最短是多少厘米？若绳子的长为最短时，这绳子和上底面圆周上的点的最短距离是多少？
解：①沿着圆台的母线AB将圆台侧面展开，然后恢复成扇形，如图，连结BM'，则绳子最短，因为
，所以SA＝
，因为SB＝SA＋AB，而AB等于10，所以SA＝10，又因为∠A'SA＝
。所以在△BSM中，利用余弦定理得BM'＝
（cm）。
②过S点作SC⊥BM'，垂足是C。交圆弧AA'于点C'，则C'、C两点间的距离最短。
因为SC＝
（cm）
所以
正方体木块AC1的棱长为1，蜘蛛位于A1B1的中点M处，苍蝇停留在D点，问蜘蛛应采用怎样的最短路线，才能最迅速地抓住苍蝇？
利用正方体的平面展开图形进行分析，问题十分简单。
在展开图中，由于平面上两点间以直线距离为最短，故M至D应取直线段。
因为MND长＝
MgD长＝
MefD长＝
MPD长＝
故MPD长为应采取的最短线路
结论：借助平面几何的知识来解决立体几何中的问题，是处理立体几何问题的最佳方法。要计算空间图形表面两点间的最短距离，只要利用了几何体的展开图形，就能把学生所熟悉的平面图形与立几图形有机地结合起来，使问题化难为易。空间图形求表面上折线段最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系。解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决。
例1、圆锥S—AB的底面半径为R，母线长SA＝3R，D为SA的中点，一个动点自底面圆周上的A点，沿圆锥侧面移动到D点，求这点移动的最短距离。
解：如图，沿圆锥母线SA剪开展成平面图形，则AD最短。
因为∠ASD＝
。所以由余弦定理，得
例2、圆台的上底半径为6 cm，下底半径为12 cm，高为
。下底面内两条半径OA与OB互相垂直，M是母线B1B上一点，且BM：MB1＝2：1，求圆台侧面上A、M两点间的最短行程。
解：如图，在直角梯形OO1B1B中，由公式
，求得
如图，设圆台的侧面展开扇环
的中心角∠
＝θ，
，则θ＝
，解得x＝9 cm，θ＝240°。依题意得，PM＝
＝12cm，∠APB＝
。PA＝PB＝18cm。在△PAM中运用余弦定理得：
故圆台侧面上A、M两点间的最短行程为
例3、设正三棱柱的侧棱长为3，底面边长是1，沿侧面从A点到A1点，当路径AM—MN—NA1最短时，求AM与A1N所成的角。
解：如图5（甲），过A作AP//A1N交B1B于P，则AM与AP所夹锐角（或直角），就是所求的角。沿侧棱AA1把三棱柱
剪开展开，如图5（乙），当路径AM—MN—NA1最短时，显然M、N在线段AA1上，最短路径是AA1，由此可知，CM＝1，BN＝2，故AM＝AP＝
，MP＝
＝
。
所以
，故AM与A1N所成的角为
。
例4、已知圆台的上、下底面半径分别为
厘米和5厘米，母线AB长为10厘米，M为AB的中点，有一绳子从M点出发，沿圆台侧面绕一周达到B点，问绳子最短是多少厘米？若绳子的长为最短时，这绳子和上底面圆周上的点的最短距离是多少？
解：①沿着圆台的母线AB将圆台侧面展开，然后恢复成扇形，如图，连结BM'，则绳子最短，因为
，所以SA＝
，因为SB＝SA＋AB，而AB等于10，所以SA＝10，又因为∠A'SA＝
。所以在△BSM中，利用余弦定理得BM'＝
（cm）。
②过S点作SC⊥BM'，垂足是C。交圆弧AA'于点C'，则C'、C两点间的距离最短。
因为SC＝
（cm）
所以