必修一复习题
姓名 学号
一．填空题
1．设集合A ＝{x │3x ＜35}，B ＝{ x│x 2－4x ＋3≥0}，则集合P ＝{x │x ∈A 且x ∉A ∩B }＝ ．(1，3) 2．集合{ x│x 2＋x －2≤0，x ∈Z }中所有元素的乘积为 ．0
1
3．已知偶函数f (x ) 在[1，4]上是单调增函数，则f (－π(log2) ．（填“＞”或“＜” 或“＝”）
8
4．方程log 3(x 2－10) ＝1＋log 3x 的解为 5
5．已知定义域为R 的函数f (x ) 满足f (－x ) ＝－f (x ＋4) ，当x ＞2时，f (x ) 单调递增．如果 x 1＋x 2＜4且(x 1－2)(x 2－2) ＜0，则f (x 1) ＋f (x 2．
6．已知方程x 3－2x －5＝0在区间(2，3) 上恰有一个解．现用二分法求该方程在区间(2，3) 上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为 ．(2，2.5)
k -2x 7．若函数f (x ) ＝（k 为常数）在定义域上为奇函数，则k ＝ ．±1
1+k ⋅2x
1
8．设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞) 上是增函数，f () ＝0，则不等式
3
f (log0.125x ) ＞0的解集为．
⎧31-x ， x ≥0，⎪
9．已知f (x ) ＝⎨2则方程f (x ) ＝2的实数根的个数是 ． 3
x +4x +3，x
⎧(3a -1) x +4a (x
10．已知f (x ) ＝⎨是(－∞，＋∞) 上的减函数，那么a 的取值范围是 ．[，)
73(x ≥1) ⎩log a x
11．在以下三个函数：①y ＝－x 2，②y ＝x ，③y ＝2x 中，能使其定义域内任意两个相异的自变量的值
f (x 1) +f (x 2) ⎛x +x 2⎫
x 1，x 2，均有f 1＜成立的函数是 ．（把你认为正确的函数序号都填上）③ ⎪
2⎝2⎭
12．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元) 分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其
中x 为销售量(单位：辆) ．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ． 解：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x ) 辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x ) ＝
－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0) ．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元) ．
13．对于区间[a ，b ]上有定义的两个函数f (x ) 和g (x ) ，若对于x ∈[a ，b ]，均有│f (x ) －g (x ) │≤1，则称
f (x ) 和g (x ) 在[a ，b ]上是接近的．已知函数f (x ) ＝log 2(tx ＋1) 和g (x ) ＝log 2x 在区间[1，2]上是接近的，那么t 的取值范围是 ．[0，1]
14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气
中的含药量y (毫克) 与时间t (小时) 成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系1－
式为y ＝t a (a 为常数) ，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
16（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克) 与时间t (小时) 之间
的函数关系为 ；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25
毫克以下时，学生方可进教室，那么从药
物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
解：(1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kx 过点(0.1，1) ，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1) ；
1－1－1－
由y ＝) t a 过点(0.1，1) 得1＝() 0.1a ，a ＝0.1，∴y ＝t 0.1(t ＞0．1) ．
161616
⎧10t , 0≤t ≤0.1
1t －0.11⎪(2)由() ≤0.25t ≥0.6，故至少需经过0.6小时．答案：(1)y ＝⎨1t -0.1， (2)0.6．
164() , t >0.1⎪⎩16二．解答题
15．设a ＜b ，c ＜d ，按a ，b ，c ，d 的各种大小关系，[a ，b ]∩[c ，d ]有不同的答案． （1）下列答案：①∅；②[c ，b ]；③[a ，b ]分别对应于什么条件？ （2）写出其他所有可能的答案（只写答案）． 解：（1）①当b ＜c 或d ＜a 时，[a ，b ]∩[c ，d ]＝∅；
②当a ≤c ＜b ≤d 时，[a ，b ]∩[c ，d ]＝[c ，b ]； ③当c ≤a ＜b ≤d 时，[a ，b ]∩[c ，d ]＝[a ，b ]．
（2）[a ，b ]∩[c ，d ]其他所有可能的答案有：[a ，d ]；{a }（或{d }）；{b }（或{c }）；[c ，d ]． (说明：第（1）小题中条件无等号的，各扣1分；第（2）小题少一个答案，扣2分；若答成“{x a ≤x ≤d }；，不扣分) {x c ≤x ≤d }”
16．对于函数f (x ) ＝log 0．5(x 2－2ax ＋3) ，解答下列问题: （1）若f (x ) 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若f (x ) 的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（3）若函数f (x ) 在[－1，＋∞) 内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数f (x ) 的定义域为(－∞，1) ∪(3，＋∞) ，求实数a 的值； （5）若函数f (x ) 的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； （6）若函数f (x ) 在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．
2x -117．已知函数f (x ) ＝x ，（1）判断函数f (x ) 的奇偶性；（2）求证：f (x ) 在R 为增函数；（3）求证：
2+1
方程f (x ) －ln x ＝0至少有一根在区间(1，3) 内．
a a
18．已知函数f (x ) ＝x ，g (x ) ＝x －a ＜2 －3．
x x
（1）求证：函数f (x ) 在(0，1]上单调递增；
（2）函数g (x ) 在（0，1]上单调递减，求a 的取值范围．
a
解：设0＜x 1＜x 2≤1，（1）∵a ＜0，∴f (x 1) － f (x 2) ＝( x1－x 2)(1－＜0，∴f (x ) 在(0，1) 上递增．
x 1x 2
a a
（2）∵g (x 1) － g (x 2) ＝( x1－x 2)(1－) ＞0，∴1＋0，a ＜－x 1x 1，而－x 1x 1→－1，
x 1x 2 x 1x 2
∴ a ≤－1．
19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为了鼓励销售商订购，
决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，多订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x ) 的表达式．
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是
多少元？
解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则
60－51
x 0＝100＝550．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51
0.02
元．
x
(2)当0＜x ≤100时，P ＝60；当100＜x ＜550时，P ＝60－0．02(x －100) ＝62；
50
(0
⎪x ⎪
当x ≥550时，P ＝51．所以P ＝f (x ) ＝⎨62-(100
50⎪⎪(x ≥550), ⎩51
(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则
(0
⎪
x 2⎪
L ＝(P －40) x ＝⎨22x -(100
50⎪
⎪(x ≥550), ⎩11x
当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．
b c 1
20．设函数f (x ) ＝ax －3，g (x ) ＝+2(a ，b ∈R ) 满足f (0)＋g (1)－g (－) ＝0．
2x x
（1）求g (－1) 的值； （2）若b ＝1，且函数F (x ) ＝ f (x ) ＋g (x ) 在[
1
，＋∞) 上是单调增函数，求a 的取值范围． 2
解：（1）因为f (0)+g (1)-g -1=0，所以-3+(b +c ) -(-2b +4c ) =0，即b -c -1=0．
2
所以g (-1) =-b +c =-1.
（2）若b ＝1，则c ＝0，于是g (x ) =1．所以F (x ) =f (x ) +g (x ) =ax 1-3．若a ≤0，则
x x
F (x ) =ax +1-3在⎡+∞上是单调减函数，所以a >0.
⎢x ⎣2
是单调减函数，在+∞⎫上是单调增函数: 下证函数F (x ) =ax +1-
3在⎛0
⎪x ⎝⎭
⎛⎫⎛⎫(x -x 2)(ax 1x 2-1)
F (x 1) -F (x 2) = ax 1+1-3⎪- ax 2+1-3⎪=1．
1212⎝⎭⎝⎭
()
)
(x -x )(ax 1x 2-1)
当00；
a x 1x 2(x -x )(ax 1x 2-1)
x 11，所以F (x 1) -F (x 2) =12
x 1x 2⎫
数F (x ) 在⎡，+∞上是单调增函数，所以
⎡1，+∞⊂+∞⎪，
，解得a ≥4．故
⎢⎢2⎣2⎣2⎭
a 的取值范围是[4，+∞)．
))
必修一复习题
姓名 学号
一．填空题
1．设集合A ＝{x │3x ＜35}，B ＝{ x│x 2－4x ＋3≥0}，则集合P ＝{x │x ∈A 且x ∉A ∩B }＝ ．(1，3) 2．集合{ x│x 2＋x －2≤0，x ∈Z }中所有元素的乘积为 ．0
1
3．已知偶函数f (x ) 在[1，4]上是单调增函数，则f (－π(log2) ．（填“＞”或“＜” 或“＝”）
8
4．方程log 3(x 2－10) ＝1＋log 3x 的解为 5
5．已知定义域为R 的函数f (x ) 满足f (－x ) ＝－f (x ＋4) ，当x ＞2时，f (x ) 单调递增．如果 x 1＋x 2＜4且(x 1－2)(x 2－2) ＜0，则f (x 1) ＋f (x 2．
6．已知方程x 3－2x －5＝0在区间(2，3) 上恰有一个解．现用二分法求该方程在区间(2，3) 上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为 ．(2，2.5)
k -2x 7．若函数f (x ) ＝（k 为常数）在定义域上为奇函数，则k ＝ ．±1
1+k ⋅2x
1
8．设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞) 上是增函数，f () ＝0，则不等式
3
f (log0.125x ) ＞0的解集为．
⎧31-x ， x ≥0，⎪
9．已知f (x ) ＝⎨2则方程f (x ) ＝2的实数根的个数是 ． 3
x +4x +3，x
⎧(3a -1) x +4a (x
10．已知f (x ) ＝⎨是(－∞，＋∞) 上的减函数，那么a 的取值范围是 ．[，)
73(x ≥1) ⎩log a x
11．在以下三个函数：①y ＝－x 2，②y ＝x ，③y ＝2x 中，能使其定义域内任意两个相异的自变量的值
f (x 1) +f (x 2) ⎛x +x 2⎫
x 1，x 2，均有f 1＜成立的函数是 ．（把你认为正确的函数序号都填上）③ ⎪
2⎝2⎭
12．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元) 分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其
中x 为销售量(单位：辆) ．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ． 解：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x ) 辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x ) ＝
－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0) ．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元) ．
13．对于区间[a ，b ]上有定义的两个函数f (x ) 和g (x ) ，若对于x ∈[a ，b ]，均有│f (x ) －g (x ) │≤1，则称
f (x ) 和g (x ) 在[a ，b ]上是接近的．已知函数f (x ) ＝log 2(tx ＋1) 和g (x ) ＝log 2x 在区间[1，2]上是接近的，那么t 的取值范围是 ．[0，1]
14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气
中的含药量y (毫克) 与时间t (小时) 成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系1－
式为y ＝t a (a 为常数) ，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
16（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克) 与时间t (小时) 之间
的函数关系为 ；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25
毫克以下时，学生方可进教室，那么从药
物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
解：(1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kx 过点(0.1，1) ，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1) ；
1－1－1－
由y ＝) t a 过点(0.1，1) 得1＝() 0.1a ，a ＝0.1，∴y ＝t 0.1(t ＞0．1) ．
161616
⎧10t , 0≤t ≤0.1
1t －0.11⎪(2)由() ≤0.25t ≥0.6，故至少需经过0.6小时．答案：(1)y ＝⎨1t -0.1， (2)0.6．
164() , t >0.1⎪⎩16二．解答题
15．设a ＜b ，c ＜d ，按a ，b ，c ，d 的各种大小关系，[a ，b ]∩[c ，d ]有不同的答案． （1）下列答案：①∅；②[c ，b ]；③[a ，b ]分别对应于什么条件？ （2）写出其他所有可能的答案（只写答案）． 解：（1）①当b ＜c 或d ＜a 时，[a ，b ]∩[c ，d ]＝∅；
②当a ≤c ＜b ≤d 时，[a ，b ]∩[c ，d ]＝[c ，b ]； ③当c ≤a ＜b ≤d 时，[a ，b ]∩[c ，d ]＝[a ，b ]．
（2）[a ，b ]∩[c ，d ]其他所有可能的答案有：[a ，d ]；{a }（或{d }）；{b }（或{c }）；[c ，d ]． (说明：第（1）小题中条件无等号的，各扣1分；第（2）小题少一个答案，扣2分；若答成“{x a ≤x ≤d }；，不扣分) {x c ≤x ≤d }”
16．对于函数f (x ) ＝log 0．5(x 2－2ax ＋3) ，解答下列问题: （1）若f (x ) 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若f (x ) 的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（3）若函数f (x ) 在[－1，＋∞) 内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数f (x ) 的定义域为(－∞，1) ∪(3，＋∞) ，求实数a 的值； （5）若函数f (x ) 的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； （6）若函数f (x ) 在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．
2x -117．已知函数f (x ) ＝x ，（1）判断函数f (x ) 的奇偶性；（2）求证：f (x ) 在R 为增函数；（3）求证：
2+1
方程f (x ) －ln x ＝0至少有一根在区间(1，3) 内．
a a
18．已知函数f (x ) ＝x ，g (x ) ＝x －a ＜2 －3．
x x
（1）求证：函数f (x ) 在(0，1]上单调递增；
（2）函数g (x ) 在（0，1]上单调递减，求a 的取值范围．
a
解：设0＜x 1＜x 2≤1，（1）∵a ＜0，∴f (x 1) － f (x 2) ＝( x1－x 2)(1－＜0，∴f (x ) 在(0，1) 上递增．
x 1x 2
a a
（2）∵g (x 1) － g (x 2) ＝( x1－x 2)(1－) ＞0，∴1＋0，a ＜－x 1x 1，而－x 1x 1→－1，
x 1x 2 x 1x 2
∴ a ≤－1．
19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为了鼓励销售商订购，
决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，多订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x ) 的表达式．
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是
多少元？
解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则
60－51
x 0＝100＝550．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51
0.02
元．
x
(2)当0＜x ≤100时，P ＝60；当100＜x ＜550时，P ＝60－0．02(x －100) ＝62；
50
(0
⎪x ⎪
当x ≥550时，P ＝51．所以P ＝f (x ) ＝⎨62-(100
50⎪⎪(x ≥550), ⎩51
(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则
(0
⎪
x 2⎪
L ＝(P －40) x ＝⎨22x -(100
50⎪
⎪(x ≥550), ⎩11x
当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．
b c 1
20．设函数f (x ) ＝ax －3，g (x ) ＝+2(a ，b ∈R ) 满足f (0)＋g (1)－g (－) ＝0．
2x x
（1）求g (－1) 的值； （2）若b ＝1，且函数F (x ) ＝ f (x ) ＋g (x ) 在[
1
，＋∞) 上是单调增函数，求a 的取值范围． 2
解：（1）因为f (0)+g (1)-g -1=0，所以-3+(b +c ) -(-2b +4c ) =0，即b -c -1=0．
2
所以g (-1) =-b +c =-1.
（2）若b ＝1，则c ＝0，于是g (x ) =1．所以F (x ) =f (x ) +g (x ) =ax 1-3．若a ≤0，则
x x
F (x ) =ax +1-3在⎡+∞上是单调减函数，所以a >0.
⎢x ⎣2
是单调减函数，在+∞⎫上是单调增函数: 下证函数F (x ) =ax +1-
3在⎛0
⎪x ⎝⎭
⎛⎫⎛⎫(x -x 2)(ax 1x 2-1)
F (x 1) -F (x 2) = ax 1+1-3⎪- ax 2+1-3⎪=1．
1212⎝⎭⎝⎭
()
)
(x -x )(ax 1x 2-1)
当00；
a x 1x 2(x -x )(ax 1x 2-1)
x 11，所以F (x 1) -F (x 2) =12
x 1x 2⎫
数F (x ) 在⎡，+∞上是单调增函数，所以
⎡1，+∞⊂+∞⎪，
，解得a ≥4．故
⎢⎢2⎣2⎣2⎭
a 的取值范围是[4，+∞)．
))