第一章 基本电磁理论
1-1 利用Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell 方程导出其频域形式。（作1-2—1-3） 解：付氏变换和付氏逆变换分别为：
∞
F (ω) =
⎰
-∞
f (t ) e
j ωt
dt f (t ) =
12π
∞
⎰
-∞
F ω(e )
-j ωt
d ω
麦氏方程：
∂D ∇⨯H =J +
∂t
∇⨯E =-
∂B ∂t
∇⋅B =0
∇⋅D =ρ
对第一个方程进行付氏变换：
∞
左端=
⎰
-∞
j ωt
∇⨯H （r , t ) e dt =∇⨯
∞
⎰
-∞
j ωt
H (r , t ) e dt =∇⨯H (r , ω)
∞
∂D (r , t ) j ωt
右端=⎰[（J r , t ) +]e dt =J (r , ω) +
∂t -∞
=J (r , ω) +j ωD (r , ω)
∞
⎰
-∞
j ωt j ωD (r , t ) e dt
（时谐电磁场）
∴∇⨯H (r , ω) =J (r , ω) +j ωD (r , ω)
同理可得：
∇⨯H (r , ω)=-j ωB (r , ω)
∇⋅B (r , ω)=0 ∇⋅D (r , ω)=ρ(r , ω)
上面四式即为麦式方程的频域形式。 1-2 设各向异性介质的介电常数为
ε=ε0
⎡7⎢2⎢⎢⎣0
240
0⎤
⎥0 ⎥3⎥⎦
当外加电场强度为
(1) E 1=e x E 0；(2) E 2=e y E 0；(3) E 3=e z E 0；
(4) E 4=E 0(e x +2e y ) ；(5)
解： D (r , t )=⋅E (r , t )
E 5=E 0(2e x +e y )
求出产生的电通密度。（作1-6）
⎡D x ⎤⎡ε11⎢⎥⎢即D y =ε21⎢⎥⎢⎢⎣D z ⎥⎦⎢⎣ε31
ε12ε22ε32
ε13⎤ε23⎥
⎥ε33⎥⎦
⎡E x ⎤
⎢⎥E y ⎢⎥⎢⎣E z ⎦
将E 分别代入，得：
⎡D 1x ⎤⎡7
⎢⎥⎢D 1y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 1z ⎥⎦⎣0
⎡D 2x ⎤⎡7⎢⎥⎢D 2y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 3z ⎥⎦⎣0⎡D 3x ⎤⎡7⎢⎥⎢D 3y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 3z ⎥⎦⎣0⎡D 4x ⎤⎡7⎢⎥⎢ D 4y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 4z ⎥⎦⎣0⎡D 5x ⎤⎡7⎢⎥⎢D 5y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 5z ⎥⎦⎣0
[1**********]0
240
0⎤⎡E 0⎤⎡7⎤
⎥⎢⎥⎢⎥ 00=ε0E 02 D =εE (7ˆx ˆy ) +2⎥⎢⎥⎢⎥100
⎢3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎣0⎥⎦
0⎤⎡0⎤⎡2⎤
⎥⎢⎥⎢⎥ˆy ) 2ˆx +40E 0=ε0E 04 D 2=ε0E (0⎥⎢⎥⎢⎥
⎢3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎣0⎥⎦0⎤⎡0⎤⎡0⎤
⎥⎢⎥⎢⎥
ˆz 00=ε0E 00 D 3=3ε0E 0
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢3⎥⎦⎢⎣E 0⎥⎦⎣3⎥⎦0⎤⎡E 0⎤⎡11⎤
⎥⎢⎥⎢⎥ˆx 11+02E 0=ε0E 010 D 4=ε0E (0⎥⎢⎥⎢⎥
⎢3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎣0⎥⎦0⎤⎡2E 0⎤⎡16⎤
⎥⎢⎥⎢⎥ˆx 16+0E 0=ε0E 08 D 5=ε0E (0⎥⎢⎥⎢⎥
⎢3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎣0⎥⎦
1ˆ0y )
ˆy ) 8
1-3 设各向异性介质的介电常数为
⎡4⎢ε=ε02
⎢⎢⎣2
242
2⎤
⎥2 ⎥4⎥⎦
试求：(1) 当外加电场强度E =E 0(e x +e y +e z ) 时，产生的电通密度D ；
(2) 若要求产生的电通密度D =e x 4ε0E 0，需要的外加电场强度E 。（作1-7—1-8）
22⎤⎡1⎤⎡8⎤⎡1⎤
解：1. D =εE ⎡D ⇒⎢x ⎤⎡4⎥⎢
⎢D y ⎥=εo ⎢2
42⎥⎥E ⎢⎢1⎥⎥=ε⎢⎥⎢⎥o o E o ⎢8⎥=8εo E εo ⎢1⎥
⎢⎣D z ⎥⎦⎢⎣2
2
4⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎢⎣8⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
∴D
=8εo E o (x
ˆ+y ˆ+z ˆ) 2. D =E
⇒⎡3⎢-18
-1⎤
⎡3⎤
8⎥⎡1⎤⎢8⎥
E =-1D =
1⎢
8⎢3⎢⎢⎥
⎡3⎤ε-1o ⎢⎢
8
8-1⎥⎥8⎥4εo E 0
0⎥
=4E ⎢1E 0⎢⎥ ⎢⎥0⎢-⎥8⎥=2⎢-1⎥⎢⎢1⎣0⎥⎦⎢⎢--13⎥⎥⎢⎣8
8
8⎥-1
⎥⎢⎥⎣-1⎥⎦⎦⎢⎣8⎥⎦
即：E =E 02
(3x
-y -z ).
-1
附：ε的求解过程：
[1**********]020-21242010~
02-201-1~
02-202240
12
24001
22
40
20-210-120-210-1~
02-201-1~
02-201-1026
-10200
8
-1-133
-13200
44-14100
8-118
-8~
020-13-10-130
8
4
44
~
01-1-1
3
188-18-
18-18
-38 又
⎡4
22⎤ε=ε⎢
0⎢2
42⎥⎥ ⎢⎣2
2
4⎥⎦
所以
⎡3⎢8-1-
1⎤8
8⎥-1
ε
=
1⎢3
1⎥ε⎢-10⎢88-8⎥ ⎢⎢-1-1⎣8
8
-3⎥⎥8⎥⎦0-11-10
1
1-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为
D =D 0(e x +2e y +2e z ) H =H 0(2e x -2e y +e z )
试求该点表面电荷及电流密度。
解：由已知条件，理想导体表面某点：
D =D 0(e x +2e y +2e z ) (1-6-1)
H =H 0(2e x -2e y +e z ) (1-6-2)
D |D |
D (e +2e +2e ) 知该点处的法向单位矢量为：e n =
==
13
e x +
23
e y +
23
e z (1-6-3)
理想导体表面上的电磁场满足边界条件：
e n ⨯H =J s (1-6-4)
e n ⋅D =ρs (1-6-5) 将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为：
22⎛1
J s =e n ⨯H = e x +e y +e z
33⎝3
⎫
⎤⎪⨯⎡⎣H 0(2e x -2e y +e z ) ⎦=H 0(2e x +e y -2e z ) (1-6-6)
⎭
将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为：
22⎫⎛1
ρs =e n D = e x +e y +e z ⎪ ⎡D 0(e x +2e y +2e z ) ⎤⎦=3D 0 (1-6-7) 33⎭⎣⎝3
1-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为 ε, 试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程:
∇ε22
∇E +k E =-∇(E ⋅) （作1-9）
ε
证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足
∇⨯H (r )=j ωεE (r ) (1-9-1)
∇⨯E =-j ωμH (1-9-2)
对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得
∇⨯(∇⨯E )=-j ω∇⨯(μH
)=-j ωμ∇⨯H
2
=ωμεE
2
E )又 ∇⨯(∇⨯
2
2
=(∇∇E )⋅
-E ∇
所以 ∇E +ωμεE =∇(∇⋅E ) (1-9-3) ⋅+E ⋅ε∇0= 又在非均匀各向同性介质中 ∇⋅(εE )=ε∇E
即 ∇⋅E =-
E ⋅∇ε
ε
将(1-9-4)代入(1-9-3)，得
(1-9-4)
⎛E ⋅∇ε⎫22
∇E +ωμεE =-∇ ⎪
⎝ε⎭
即 ∇2E +k 2E =-∇
⎛E ⋅∇ε⎫
⎪
⎝ε⎭
第二章 平面电磁波
2-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。
解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell 方程组为
∇⨯H =J +jωεE (2-1-1)
∇⨯E =-j ωμH (2-1-2)
∇⋅(μH )=0 (2-1-3)
∇⋅(εE )=ρ (2-1-4) 对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得
∇⨯∇⨯E =-j ω∇⨯(μH )=-j ω∇μ⨯H -j ωμ∇⨯H =-j ω∇μ⨯H -j ωμ(J +jωεE )
=-j ω∇μ⨯H -j ωμJ +ωμεE
2
即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得
∇⨯∇⨯H =∇⨯J +jω∇⨯(εE )=∇⨯J +jω∇ε⨯E +j ωε∇⨯E =∇⨯J +jω∇ε⨯E +ωεμH
2
所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为
∇⨯∇⨯E -ωμεE =-j ω∇μ⨯H -j ωμJ (2-1-5) ∇⨯∇⨯H -ωεμH =∇⨯J +jω∇ε⨯E (2-1-6)
2
2
⋅+E ⋅ε∇=ρ由(2-1-4)式得 ∇⋅(εE )=ε∇E 即∇⋅E =
ρ-E ⋅∇ε
εH ⋅∇μ
(2-1-7)
由(2-1-3)式得 ∇⋅(μH )
=μ∇H ⋅+H ⋅μ∇0= 即∇⋅H =-
μ
(2-1-8)
利用矢量关系式∇⨯(∇⨯A )=∇(∇⋅A )-∇A ，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥
2
姆霍兹方程为
⎛E ⋅∇ε⎫⎛ρ⎫22
∇E +ωμεE =j ω∇μ⨯H +j ωμJ -∇ +∇⎪ ⎪ (2-1-9)
⎝ε⎭⎝ε⎭
⎛H ⋅∇μ⎫22
∇H +ωμεH =-∇⨯J -j ω∇ε⨯E -∇ ⎪ (2-1-10)
μ⎝⎭
均匀介质中，∇ε=∇μ=0
⎛ρ⎫2
∇E +k E =j ωμJ +∇ ⎪
⎝ε⎭
2
2
∇H +k H =-∇⨯J
2
k =ω无源区中
22
∇E +k E =0
22
∇H +k H =0
2-4 推导式（2-2-8）。
解：已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中，无源区的正弦电磁场满足齐次矢量Helmholtz 方程：
∇E (r )+k c E (r )=0
2
2
∇H (r )+k H (r )=0
2
2c
其中
k c =， εe =ε-j
σω
22
设复传播常数k c =k '-j k ''，则由k c =ωμεe 得
(k '-
σ⎫2⎛2222
j k '')=ωμ ε-j ⎪ 即 k '-k ''-2j k 'k ''=ωμ
ω⎭⎝σ⎫⎛
ε-j ⎪
ω⎝⎭
所以由等号两边实部和虚部对应相等得
2
⎧k '2-k ''2=ωμε ⎨
⎩2k 'k ''=ωμσ
解以上方程组得
k '=
k ''=ω
2-6 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。
证：任一椭圆极化平面波可写为 E =e x E x +j e y E y
1⎡1⎤
E =e x E x +j e y E y =e x ⎢(E x +E y )+(E x -E y )⎥+j e y
2⎣2⎦=e x
1212
1⎡1⎤
E +E -E -E ()()x y x y ⎢2⎥2⎣⎦ 12
(E x +E y )+j e y (E
x
12
(E x +E y )+e x
12
12
(E x -E y )-j e y (E
x
-E y )
令E 1=
+E y )，E 2=(E
x
-E y )，则上式变为
E =(e x E 1+j e y E 1)+(e x E 2-j e y E 2)
上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和，因此证明了一个椭圆极化平面波可以分解为两
个旋转方向相反的圆极化平面波。
2-7 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
解：圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为：
E (z , t ) =e x E 0cos(ωt -kz ) +e y E 0cos(ωt -kz +
π
2
)
上式等价于
E (z , t ) =e x E 0cos(ωt -kz ) -e y E 0sin(ωt -kz ) 磁场强度的瞬时值表达式为： H (z , t ) =e y
E 0Z
cos(ωt -kz ) +e x
E 0Z
sin(ωt -kz )
其中 Z 表示波阻抗。
因此能流密度的瞬时值表达式为：
S (z , t ) =E (z , t ) ⨯H (z , t )
⎤⨯e y 0cos(ωt -kz ) +e x 0sin(ωt -kz ) =⎡e E cos(ωt -kz ) -e E sin(ωt -kz ) x 0y 0⎣⎦⎢⎥Z Z ⎣⎦
22
⎡E 02⎤E 0E 022
=e z ⎢cos (ωt -kz ) +sin (ωt -kz ) ⎥=e z
Z Z Z ⎣⎦
⎡E E ⎤
因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
2-8 设真空中圆极化平面波的电场强度为
E (x ) =100(e y +j e z ) e
-j 2πx
V/m
试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。
解：由真空中圆极化平面波的电场强度表达式
E (x ) =100(e y +j e z ) e
-j2πx
V/m
知传播常数k =2πrad/m，所以 波长：λ=频率：f =
2πk c
=1m =3⨯10
8
λ
Hz
因为此圆极化平面波的传播方向为+x 方向，且电场强度z 分量相位超前y 分量相位左旋圆极化平面波。 磁场强度可写为
H (x ) =
1Z 0
e x ⨯E (x ) =
100Z 0
(e z -j e y ) e
-j2πx
π
2
，因此为
A/m
能流密度为：
S =E ⨯H
*
-j
=⎡⎣100(e y +j e z ) e
*
⎡1002πx -
⎤⨯⎢(e z -j e y ) e ⎦
⎣Z 0⎤200001000j π2x 2
=e ≈e W /m2-9 ⎥x x
Z 06π⎦
设真空中z =0平面上分布的表面电流J S =e x J S 0cos ω t ，式中J S 0为常数。试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。
解：z =0平面上分布的表面电流将产生向+z和-z 方向传播的两个平面波。设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为E 1(z , t ) 和H 1(z , t ) ，向-z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为
E 2(z , t ) 和H 2(z , t ) 。由电磁场在z=0平面处满足的边界条件可得：
e z ⨯[H 1(0,t ) -H 2(0,t ) ]=J s (2-9-1) E 1(0,t ) =E 2(0,t ) (2-9-2)
=Z 0[H 又 E 1(z , t )
1
(z , ⨯t e ) z ]，E 2(z , t ) =Z 0[H 2(z , t ) ⨯(-e z ) ]
Z H (0,t ) +H (0,t ) ⨯e 所以 0[1]z =0 2
即 H 2(0,t ) =-H 1(0,t ) (2-9-3) 将(2-9-3)代入(2-9-1)得：
e z ⨯H 1(0,t ) =
12J s
) 得 H 1(0t , =
12
J s ⨯e z =1
12
e x J
0s
c ωo s ⨯t e =z -
1
e 2
J y 0
s
ωc o t s (2-9-4)
所以 H 1(z , t ) =-e y J s 0cos (ωt -kz ) , z>0 (2-9-5)
2
E 1(z , t ) =-同理 H 2(z , t ) =
E 2(z , t ) =-
12
Z 02
e x J s 0cos (ωt -kz ) ， z>0 (2-9-6)
e y J s 0cos (ωt +kz ) ， z
Z 02
其中Z 0为真空波阻抗。 能流密度：
S 1(z , t ) =E 1(z , t ) ⨯H 1(z , t ) =
Z 04
22
e z J s 0cos (ωt -kz ) ， z>0
S 2(z , t ) =E 2(z , t ) ⨯H 2(z , t ) =-
Z 04
e z J s 0cos (ωt +kz ) , z
22
2-10 若在上题中有一个无限大的理想导电表面位于z = d 平面，再求解其结果。
解：由2-9题知，z =0平面上分布的表面电流e x J s 0cos ωt 将产生x 方向极化向+z 和-z 方向传播的两个平面波。为计算方便，本题均采用复矢量表示形式。
图 2-10
如图2-10所示，设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为
E (z ) =e x E e
i 1
i 10
-j kz
H (z ) =e y i 1
E 10Z 0
i
e
-j kz
向-z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为
E 2(z ) =e x E 20e
j kz
H 2(z ) =-e y
E 20Z 0
e
j kz
假设理想导电平面位于z =d >0处，则表面电流向+z方向传播的平面波在理想导体表面产生反射。
设反射波的电场和磁场分别为：
E (z ) =e x E e
r 1
r 10
j kz
H (z ) =-e y r 1
E 10Z 0
r
e
j kz
由电场在理想导体表面处切向分量为零的边界条件，得
E 10e
i
-j kd
+E 10e
r j kd
=0 （1）
由z=0处电场和磁场满足的边界条件，得：
E 10+E 10=E 20 （2）
i r
⎡E 10E 10E ⎤e z ⨯⎢e y -e y +e y 20⎥=e x J s 0
Z 0Z 0Z 0⎦⎣i
r
i
r
即 -
E 10Z 0
+
E 10Z 0
-
E 20Z 0
=J s 0 （3）
联立解（1）（2）（3）得：
i E 10=
1212
Z 0J S 0 ， Z 0J S 0e
j2kd
E 10=-E 20=
12
r
，
j2kd
Z 0J S 0(1-e
)
-j kz
所以 E 1i (z ) =e x
12
Z 0J S e 0
12Z 0J S 12
， H 1i (z ) =e y
(-1e
k j
j 2k d
j k z
12
J S 0e
-j kz
12
J S 0(1-e
k j
(z d +2
j2kd
E 2(z , t ) =e x
e ) ，H 2(z ) =-e y
)
， H 1r (z ) =e y
) e
j kz
E 1r (z , t ) =-e x 在0
Z 0J S e 0
(z +2d
12
J S 0e
)
E 1(z ) =E 1(z ) +E 1(z ) =e x
i
r
i r
12
Z 0J S 0e 12J S 0e
-j kz
⎡1-e j2k (z +d ) ⎤ ⎣⎦
H 1(z ) =H 1(z ) +H 1(z ) =e y
-j kz
⎡1+e j2(z+d ) ⎤ ⎣⎦
在z
E 2(z , t ) =e x
12
Z 0J S 0(1-e
j2kd
) e
j kz
，H 2(z ) =-e y
12
J S 0(1-e
j2kd
) e
j kz
在z >d 区域：电磁场为零。
复能流密度：
S 1(z , t ) =
12
E 1(z ) ⨯H 1(z ) =e z
14
2
*
18
Z 0J S 0e
-j kz
⎡1-e j2k (z +d ) ⎤⨯J S 0e j kz ⎡1+e -j2(z+d ) ⎤⎣⎦⎣⎦
=-e z Z 0J S 0sin 2k (z +d )
（z>0）
S 2(z ) =
12
E 2(z ) ⨯H 2(z ) =-e z
*
18
Z 0J S 0(1-e
j2kd
) e
j kz
⨯J S 0(1-e
-j2kd
) e
-j kz
=-e z
14
Z 0J S 0(1-cos 2kd )
2
（z
2-13 当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为1V/m，入射角为60︒，介质的电磁参数为εr =3, μr =1，试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波及折射波的电场振幅。
解：在真空中：波阻抗为Z 1=Z 0=
k 1=ω
介质中的波阻抗为Z 2=
︒
=
Z
，传播常数为k 2=设折射角为θt ，则
所以 s i n θt =
1
sin 60sin θt
=
k 2k 1
=
=
2
(1) 对于平行极化波，有
， 即 θt =30︒
Z 0
反射系数 R //=
=Z 0Z 1cos θi +Z 2cos θt
2
2Z 2cos θi
Z 1cos θi +Z 2cos θt
Z 1cos θi -Z 2cos θt
-+
Z 0
=0
Z 02
3
透射系数
T =
=
02+02
=
可见此时平面波发生无反射现象，折射波的电场振幅为(2) 对于垂直极化波，有
3
V /m；
反射系数
R ⊥=
Z 2cos θi -Z 1cos θt Z 2cos θi +Z 1cos θt
=
=-0.5
透射系数
T ⊥=
2Z 2cos θi
Z 2cos θi +Z 1cos θt
=
=0.5
因此反射波和折射波的电场振幅均为0.5V/m。
-j 2πz
2-16 已知电场强度为E (z ) =e x 10e 的平面波向三层介质边界正投射，三种介质的参数为
εr 1=1，εr 2=4，εr 3=16, μ1=μ2=μ3=μ0，中间介质夹层厚度d =0. 5m ，试求各区域
中电场强度及磁场强度。
解答：
图2-16
2πk 1
=1m 。
由电场强度E (z ) =
e x 10e -j2πz 知，传播常数k 1=2πrad/m，波长λ1=
2π
在中间介质中的波长为λ2==0.5m ，传播常数k 2=
λ2
=4πrad/m。
介质三中的波长为λ3=
=0.25m ，传播常数k 3=
2π
λ3
=8πrad/m。
三种介质中的波阻抗分别为：Z 1=
0=Z 0，Z 2=
0=
12
Z 0，Z 3=
0=
14
Z 0
介质一（z ≤0）中入射波电场和磁场强度为E 1i (z ) =e x 10e -j2πz ，H 1i (z ) =e y
10Z 0
e
-j2πz
，
令反射电场和磁场强度为E (z ) =e x E e r 1r 10
j2πz
，H (z ) =-e y r 1
E 10Z 1
r
e
j2πz
介质二(0
E (z ) =e x E e
i 2
r 20
-j4πz
，H (z ) =e y i 2
E 20Z 2E 20Z 2
r
i
e
-j4πz
E (z ) =e x E e
r 2r 20
j4πz
，H (z ) =-e y r 2
e
j4πz
i -j8π(z -d ) e 介质三（z>d）中，令入射波的电场强度为 E 3i (z ) =e x E 30。
则在z =0和z =d 处有电场和磁场切向分量连续得：
10+E 10=E 20+E 20 E 20e
i
-j4πd
r
i
r
+E 20e
r j4πd
=E 30
i
r
i
r
10Z 1
-
E 10Z 1
=
E 20Z 2
-
E 20Z 2
E 20Z 2
i
e
-j4πd
-
E 20Z 2
r
e
j4πd
=
E 30Z 3
i
由以上四式可解得
r r
E 10=-6, E 20=6，E 20=-2，E 30=4
i
i
则各区域的电场和磁场强度为：
E 1(z ) =e x 10e
i
-j2πz
，H 1i (z ) =e y
10Z 06Z 012Z 04Z 0
e
-j2πz
E 1(z ) =-e x 6e
r j2πz
，H 1r (z ) =e y
e
j2πz
E 2(z ) =e x 6e
i -j4πz
，H 2i (z ) =e y
e
-j4πz
E 2(z ) =-e x 2e
r j4πz
，H 2r (z ) =e x
e
j4πz
E 3(z ) =e x 4e
i -j8π(z -d )
，H 3i (z ) =e x
16Z 0
e
-j8π(z -d )
第三章 辅助函数
3-1. 由Lorentz 条件导出电荷守恒定律。 解答：
已知矢量磁位A (r ) 和标量电位Φ(r ) 分别满足：
∇A (r ) +ωμεA (r ) =-μJ (r ) (3-1-1) ∇Φ(r ) +ωμεΦ(r ) =-
2
2
22
ρ(r ) ε
2
(3-1-2)
2
由(3-1-1)得 J (r ) =-所以
∇ J (r ) =-
1
2
1
μ
∇A (r ) +ωμεA (r ) (3-1-3)
μ
⎤∇ ⎡⎣∇A (r ) +ωμεA (r ) ⎦=-
2
1
⎡∇ ∇2A (r ) +ω2με∇ A (r ) ⎤=-⎡∇2∇ A (r )) +ω2με∇ A (r ) ⎤
⎦⎦μ⎣μ⎣
1
将Lorentz 条件∇ A (r ) =-j ωμεΦ(r ) 代入上式得：
22
⎤∇ J (r ) =j ωε⎡⎣∇Φ(r ) +ωμεΦ(r ) ⎦=-j ωρ(r )
电荷守恒定律得证。
3-3 已知在圆柱坐标系中，矢量磁位A (r ) =e z A z (r ) e -j kz ，式中r =强度和磁场强度。
解：
已知A (r ) =e z A z (r ) e -j kz (3-3-1)
H (r ) =
1
∇⨯A (r ) (3-3-2)
∇∇ A (r )
22
x +y 。试求对应的电场
μ
E (r ) =-j ωA (r ) -j
ωμε
(3-3-3)
将(3-3-1)式代入(3-3-2)、(3-3-3)式，并在圆柱坐标系下展开得
-j kz
⎤1∂⎡1⎣A z (r ) e ⎦-j kz
H (r ) =∇⨯A (r ) =-e ϕ=-e ϕA z '(r ) e
μμ∂r μ
1
E (r ) =-j ωA (r ) -j
∇∇ A (r )
ωμε
-j kz
=-e z j ωA z (r ) e ∇{A z (r ) e
-j kz
-j kz
-
⎧∂⎫
⎡A z (r ) e -j kz ⎤⎬∇⎨⎦ωμε⎩∂z ⎣⎭j ωA z (r ) e z
-j kz
j
=-e z j ωA z (r ) e =-
k
A z '(r ) e
-
e r
k
ωμε
}=-e
-
A '(r ) e {ωμε
z
k
-j kz
e r -j kA z (r ) e
-j kz
e z }
-j kz
ωμε
3-4 使用H ertz 矢量求解电流元Il 和磁流元I m l 产生的电磁场。（作3-7—3-12）
解：设电流元I l 和磁流元I l 均沿z 轴放置于原点。
电流元I l 产生的电Hertz 位和磁流元I l 产生的磁Hertz 位分别满足
P (r )
e
m
m
∇Π(r ) +k Π(r ) =-
2e 2e
ε
m
∇Π
2m
(r ) +k Π
2m
(r ) =-
P (r )
μ
由以上两式求得(参见戴书p23)
Π(r ) =
e
⎰
P (r )
e
e
-j k |r -r '|
V
ε
m
4π|r -r '|e
-j k |r -r '|
dV '=e z
1j ωε1
⎰
Ie
l
-j k |r -r '|
4π|r -r '|I e
l
m
-j k |r -r '|
dz '≈e z
1Il
j ωε4πr 1
m
e
-j kr
Π
m
(r ) =
⎰
P (r )
V
μ4π|r -r '|
dV '=e z
j ωμ
⎰
4π|r -r '|
dz '≈e z
I l
j ωμ4πr
e
-j kr
-j kr
⎛e -j kr ⎫⎛1Il ⎫Il e
H (r ) =j ωε∇⨯Π(r ) =j ωε∇⨯ e z =∇⨯e cos θ-e sin θ r ⎪θ⎪
j ωε4πr 4πr r ⎝⎭⎝⎭e
e
=e φ
k Il sin θ⎛j 1
+ 22
4π⎝kr k r ∇⨯H (r )
j ωε
e
3
2
⎫-j kr
⎪e ⎭
k Il sin θ⎛1j 1⎫-j kr
e -j e -++θ⎪ 2233
4πωε⎝kr k r k r ⎭
3
E (r ) =
e
k Il cos θ⎛j 1
=-j e r + 2233
2πωε⎝k r k r
⎫-j kr
⎪e ⎭
磁流元I m l 产生的电磁场为 E (r ) =-j ωμ∇⨯Π
2
m
m
m
m m -j kr
⎛⎛e -j kr ⎫1I l -j kr ⎫I l e
(r ) =-j ωμ∇⨯ e z e =-∇⨯e cos θ-e sin θ⎪ r ⎪θ
j ωμ4πr 4πr r ⎝⎭⎝⎭
k I l sin θ⎛j 1⎫-j kr
=-e φ+e 22⎪
4πkr k r ⎝⎭
H
m
(r ) =-
∇⨯E (r )
j ωμ
m
k Il cos θ⎛j 1
=-j e r + 2233
2πωε⎝k r k r
3
k Il sin θ⎛1j 1⎫-j kr
e -j e -++θ⎪ 2233
4πωε⎝kr k r k r ⎭
3
⎫-j kr
⎪e ⎭
3-7 证明式（3-3-4）至式（3-3-7）。
证：无源区域中有
∇⨯H =j ωεE
∇⨯E =-j ωμH
ˆx ∂∂x H x
ˆx ∂∂x E x
即
ˆy
∂∂y H y
ˆy ∂∂y E y
ˆz
∂∂z H z
ˆz ∂∂z E z
ˆ+E y y ˆ+E z z ˆ) =j ωε(E x x
ˆ+H y y ˆ+H z z ˆ) =-j ωε(H x x
由此可得
∂H z ∂y ∂H x ∂z ∂H y ∂x
∂H ∂z ∂H z ∂x ∂H x ∂y
j ωεE x =j ωεE y =j ωεE z =
---
y
(1) (2) (3)
-j ωμH x =-j ωμH y =-j ωμH z =
∂E z ∂y ∂E x ∂z ∂E y ∂x
---
∂E y ∂z ∂E z ∂x ∂E x ∂y
(4) (5) (6)
由（1）（5）两式可得：
1
j ωεE x =
2
∂H z ∂y
-
-j ωμ
∂(
∂E x ∂z ∂z
-
∂E z ∂x
)
k E x =-j ωμ =-j ωμ =-j ωμ∴E x =
1
∂H z ∂y ∂H z ∂y ∂H z ∂y
2
-(
∂E x ∂z
2
z
2
2
-
∂E z ∂x ∂z
2
2
)
+k E x +
2
∂E z ∂x ∂z
∂E z ∂x ]
+k z E x +(-jk z ) ∂E z ∂x
-j ωμ
k -k z
2
[-jk z
∂H z ∂y
式中
∂E x ∂z
2
2
=-k z E x ,
2
∂E x ∂z
=-jk z E x
2
∇E +k E =0
2
∴ ∇E x +k E x =0(∂
222
22
∂x
+
∂
22
∂y
2
+
∂
22
∂z
) E x +(k x +k x +k x ) E x =0
222
∂E x ∂x
22
+k x E x =0+k y E x =0+k z E x =0
22
∂E x ∂y
22
∂E x ∂z
2
∴
∂E x ∂z
2
2
=-k z E x
j (ωt -k z )
2
E x =E x e ∴∂E x ∂z
=-jk z E x
同理可证E y , H x , H y 的表达式。（见讲义p8） 3-20试证式（3-8-16）。
证明：设并矢C =E F ，则
A (B ⨯C ) =A [(B ⨯E ) F ]=[A (B ⨯E ) ]F =[B (E ⨯A ) ]F =-[B (A ⨯E ) ]F =-B [(A ⨯E ) F
=-B [A ⨯(EF ) ]=-B (A ⨯C )
A (B ⨯C ) =A [(B ⨯E ) F ]=⎡⎣A (B ⨯E ) ⎤⎦F =⎡⎣E (A ⨯B ) ⎤⎦F =⎡⎣(A ⨯B ) E ⎤⎦F
=(A ⨯B ) (E F ) =(A ⨯B ) C
]
3-21试证式（3-8-19）至式（3-8-21）。 证明：D =D x e x +D y e y +D z e z
D x =α1e x +α2e y +α3e z D y =β1e x +β2e y +β3e z D z =γ1e x +γ2e y +γ3e z
I =e x e x +e y e y +e z e z
I D =(e x e x +e y e y +e z e z ) (D x e x +D y e y +D z e z )
=e x (D x e x ) e x +e x (D y e x ) e y +e x (D z e x ) e z +e y (D x e y ) e x +e y (D y e y ) e y +e y (D z e y ) e z
+e z (D x e z ) e x +e z (D y e z ) e y +e z (D z e z ) e z
=α1e x e x +β1e x e y +γ1e x e z +α2e y e x +β2e y e y +γ2e y e z +α3e z e x +β3e z e y +γ3e z e z =(α1e x +α2e y +α3e z ) e x +(β1e x +β2e y +β3e z ) e y +(γ1e x +γ2e y +γ3e z ) e z =D x e x +D y e y +D z e z =D
D I =(D x e x +D y e y +D z e z ) (e x e x +e y e y +e z e z )
=D x (e x ∙e x ) e x +D x (e y ∙e x ) e y +D x (e z ∙e x ) e z +D y (e x ∙e y ) e x +D y (e y ∙e y ) e y
+D y (e z ∙e y ) e z +D z (e x ∙e z ) e x +D z (e y ∙e z ) e y +D z (e z ∙e z ) e z =D x e x +D y e y +D z e z =D
所以 I D =D I =D 设A =A x e x +A y e y +A z e z 则
I A =(e x e x +e y e y +e z e z ) (A x e x +A y e y +A z e z ) =A x e x +A y e y +A z e z =A
A I =(A x e x +A y e y +A z e z ) (e x e x +e y e y +e z e z ) =A x e x +A y e y +A z e z =A
所以 I A =A I =A
∂∂∂⎤∇ (ψI ) =∇ ⎡ψ(e e +e e +e e ) =(ψe ) +(ψe ) +(ψe z ) x x y y z z ⎦x y ⎣∂x ∂y ∂z
=e x
∂ψ∂x
+e y
∂ψ∂y
+e y
∂ψ∂y
=∇ψ
第四章 电磁定理和原理
4-1 利用磁场边界条件, 证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流元及磁流元的镜像关系。
证明：
l
l
I m l
εμ
σ→∞
'l '
εμ
σ→∞
(a)
图 4-1
(b)
(1) 如图4-1(a)所示，在无限大理想导电平面附近放置一垂直电流元I l ，在镜像位置放置一镜像电流元I 'l '，根据电流元产生的电磁场的分布知，I l ，I 'l '在理想导电体表面产生的磁场强度方向均沿导体切向方向，所以满足理想导电体表面磁场法向分量为零的边界条件，且上半空间的源仍为I l 。因此引入镜像源前后上半空间的源和边界条件均未改变，根据唯一性原理知，上半空间的场未改变。
(2) 如图4-1(b)所示（图中有误，垂直磁流源应为负像，H 与l 平行），在无限大理想导电平
m m
面附近放置一垂直磁流元I l ，在镜像位置放置一镜像磁流元I 'l '，则其产生的矢量电位分别
为
A =
m
εI l
4πr
m
e
-j kr
A '=
m
m εI 'l '
4πr '
e
-j kr '
产生的磁场强度分别为 H
m
=-j ωA
m
=-j
ωεI l 4πr
m
e
-kr j
H '=-j ωA '=-j
m
m
m
ωεI 'l '
4πr '
e
-kr j '
若满足I
m
m
=I ', l =-l '，则在理想导电体表面上的磁场强度的法向分量为零，与原来的边界
条件相同，且上半空间源未变，因此上半空间的电磁场与原来相同。
4-3 长度为l ，宽度为w 的裂缝天线位于无限大的理想导电平面，如习题图4-3所示。若缝隙中的电场强度为
2
利用对偶原理，根据对称天线的结果直接导出其空间辐射场。（作4-10—4-14）
E x =E 0sin[k (
l -z )]
解答：
y
m
ˆ⨯y ˆ=2E x z ˆJ s =2E x x =2E 0sin k (
l 2ˆ-|z |)z
对称天线的辐射场为:
e
习题图4-3
1kl cos θ) -cos(
sin θ
1kl )
H φ=e φ
e
l m
ˆ I s =2E 0w sin k (-|z |)z
2
E θ=e θj
60I m
r
cos(e
-j kr
E θ
e
Z 0
=e φj
I m 2πr
cos(e
-j kr
1kl cos θ) -cos(
sin θ
1kl )
由对偶原理知，将以上两式中E 换为H ，H 换为-E ， 可得裂缝天线的辐射场为：
m
E φ=-e φj
I
m m
cos(e
-j kr
1kl cos θ) -cos(
sin θ
1kl ) =-e φj
E 0w
cos(e
-j kr
1kl cos θ) -cos(
sin θ
1kl )
2πr πr
1kl )
H θ=e θj
m
60I r
m m
cos(e
-j kr
11kl cos θ) -cos(
sin θ
11kl )
=e θj kl )
120E 0w
r
cos(e
-j kr
1kl cos θ) -cos(
sin θ
=e θj
Z 0E 0w
cos(e
-j kr
kl cos θ) -cos(
sin θ
πr
4-4 利用矢量Green 定理，导出积分形式的互易定理。
证明：设区域V 中的两组同频源J a ，J a 和J b ，J b 产生的电磁场分别满足
∇⨯H a =J a +j ωεE a (4-4-1) ∇⨯E a =-J a -j ωμH a (4-4-2)
m
m m
及
∇⨯H b =J b +j ωεE b (4-4-3)
∇⨯E b =-J b -j ωμH b (4-4-4)
m
已知第二矢量Green 定理为
⎰
V
⎡⎣Q ⋅(∇⨯∇⨯P )-P ⋅∇⨯∇⨯Q ⎤⎦d V =
⎰(P ⨯∇⨯Q -Q ⨯∇⨯P )⋅d S (4-4-5)
S
令Q =E a , P =E b ，代入上式得
⎰
V
⎡⎣E a ⋅(∇⨯∇⨯E b )-E b ⋅∇⨯∇⨯E a ⎤⎦d V =
⎰(E
S
b
⨯∇⨯E a -E a ⨯∇⨯E b )⋅d S
(4-4-6)
利用(4-4-2)和 (4-4-4)，(4-4-6)式右端化为
⎰(E
S
b
⨯∇⨯E a -E a ⨯∇⨯E b )⋅d S
==
⎰ ⎰
S
⎡E b ⨯(-J a m -j ωμH a )-E a ⨯(-J b m -j ωμH b )⎤⋅d S (4-4-7) ⎣⎦⎡E a ⨯J b m -E b ⨯J a m +jωμ(E a ⨯H b -E b ⨯H a )⎤⋅d S ⎣⎦
S
利用(4-4-1) — (4-4-4)，(4-4-6)式左端化为
⎰
==
V
⎡⎣E a ⋅(∇⨯∇⨯E b )-E b ⋅∇⨯∇⨯E a ⎤⎦d V
⎰
V
{E
a
m m
⋅⎡∇⨯(-J b -j ωμH b )⎤-E b ⋅⎡∇⨯(-J a -j ωμH a )⎤d V ⎣⎦⎣⎦
m
b m b m b m
}
⎰{E ⋅⎡⎣-∇⨯J =⎰{⎡⎣-E ⋅∇⨯J =⎰{⎡⎣-E ⋅∇⨯J
V
a
V
a
V
a
⎡-∇⨯J a m -∇⨯j ωμH a ⎤d V -∇⨯j ωμH b ⎤-E ⋅b ⎦⎣⎦
⎡-E b ⋅∇⨯J a m -j ωμ(E b ⋅J a +j ωεE b ⋅E a )⎤d V -j ωμ(E a ⋅J b +j ωεE a ⋅E b )⎤-⎦⎣⎦⎡-E b ⋅∇⨯J a m -j ωμE b ⋅J a ⎤d V -j ωμE a ⋅J b ⎤-⎦⎣⎦
}
}
}
∇⋅(E {⎡⎣
=⎰{⎡∇⋅(E
⎣
=⎰{⎡∇⋅(E
⎣
=⎰{⎡∇⋅(E
⎣=
⎰
V
a
⨯J b ⨯J b ⨯J b
)-J )+J
m b m b
m m
⋅∇⨯E a -j ωμE a ⋅J b ⎤-⎡∇⋅(E b ⨯J a )-J a ⋅∇⨯E b -j ωμE b ⋅J a ⎤d V
⎦⎣⎦
m
a
m m m
-j ωμH a )-j ωμE a ⋅J b ⎤-⎡∇⋅(E b ⨯J a )-J a ⋅(-J b -j ωμH b )-j ωμE b ⋅J a ⎤d V
⎦⎣⎦
}
m
V
a
)-J ⋅(-J
m
b
m
}
m
V
a
m m m m m m
⋅J a +j ωμJ b ⋅H a -j ωμE a ⋅J b ⎤-⎡∇⋅(E b ⨯J a )+J a ⋅J b +jωμJ a ⋅H b -j ωμE b ⋅J a ⎤d V
⎦⎣⎦
}
V
a m
⨯J b -E b ⨯J a
m
m
)+j ωμ(E
V
b
m m
⋅J a -E a ⋅J b +H a ⋅J b -H b ⋅J a )⎤d V
⎦
}
=
⎰(E
S
a
⨯J b -E b ⨯J a
)⋅d S +j ωμ⎰(E
b
⋅J a -E a ⋅J b +H a ⋅J b -H b ⋅J a
m m
)d V
(4-4-8)
由(4-4-6), (4-4-7), (4-4-8)得
⎰(E
S
a
⨯J b -E b ⨯J a
m
b
m m
)⋅d S +j ωμ⎰(E
V
b
⋅J a -E a ⋅J b +H a ⋅J b -H b ⋅J a
m m
)d V
=
⎰
S
⎡E a ⨯J ⎣
-E b ⨯J +jωμ(E a ⨯H b -E b ⨯H a )⎤⎦⋅d S
m
a
(4-4-9)
因为J a ，J a 和J b ，J b 在表面S 内，因此(4-4-9)式中含有J a ，J a 和J b ，J b 项的面积分为零，所以(4-4-9)式化为
m
m
m
m
⎰(E
V
b
⋅J a -E a ⋅J b +H a ⋅J b -H b ⋅J a
m m
)d V = ⎰(E
S
a
⨯H b -E b ⨯H a )⋅d S
(4-4-10)
上式即为积分形式的的互易定理。 (另证见书p161, 较简单)
4-5 证明位于任意形状理想导电体附近的垂直磁流元的空间辐射场为零。 证明：
b m l b
图 4-5
如图4-5所示，在理想导电体附近放置一垂直于理想导电体表面的磁流源I a m l a ，其在空间某点产
m m
生的磁场强度为H a ，在该点放置另一个与H a 方向相同的同频磁流源I b l b 。则I b l b 在理想导电
m m m
体表面附近产生的磁场强度H b 应平行于理想导电体表面，即垂直于磁流源I a l a 。对I a l a ，I b l b
应用Carson 互易原理 ，得
m m m
H a I b l b =H b I a l a =0 即 H a I b l b =0
m
又 I b l b ≠0，所以H a =0
因为H a 为任意假定的，所以证明任意形状的理想导电体附近的垂直磁流源的空间辐射场为零。
m
4-10 若位于r =a 的球面上的表面电流J S 和表面磁流J S 分别为
(1)J S =-e θ
Il 4π
e
-j ka
⎫1⎫Il z 1⎛j k m -j ka ⎛j ωμ+2⎪sin θ(2) J S =-e ϕe +2+sin θ 2⎪
a ⎭4πa a j ωε a ⎝a ⎝⎭
试证r >a 区域内的电磁场与电流元Il 的电磁场相等，r
证明：沿z 轴放置的电流元I l 产生的电磁场可写为
k Il sin θ⎛j 1
H (r ) =e φ+ 22
4π⎝kr k r
k Il cos θ⎛j 1
E (r ) =-j e r
22+33
2πωε⎝k r k r
3
2
⎫-j kr
⎪e ⎭
k Il sin θ⎛1j 1⎫-j kr
-j e θ+22+33
⎪e -
4πωε⎝kr k r k r ⎭
3
⎫-j kr
⎪e ⎭
假设在r >a 区域的电磁场和电流元I l 产生的电磁场相等，r
J S =e n ⨯(H 2-H 1)
=-e θ
=e r ⨯e φH φ
k Il sin θ⎛j 1⎫-j ka
=-e θ+e 22⎪
4π⎝ka k a ⎭
2
m
r =a
r =a
Il ⎛j k 1⎫-j ka
+e sin θ 2⎪
4π⎝a a ⎭
J
m S
=-e n ⨯(E 2-E 1) r =a =-e r ⨯e θE θ=-e φ
Il ⎛j ωμZ 1
++ 23
4π⎝a a j ωεa
r =a
k Il sin θ⎛1j 1
=j e φ-++ 2233
4πωε⎝ka k a k a
3
⎫-j ka
⎪e ⎭
由以
⎫-j ka
sin θ⎪e ⎭
m
上可见，面等效源电流元J S 和面等效磁流元J S 与题中给出的表面电流和表面磁流恰好相等。因
m 此由唯一性定理知，r =a 表面上的表面电流J S 和表面磁流J S 在r >a 区域产生的电磁场与电
流元I l 产生的电磁场相等，在r
第一章 基本电磁理论
1-1 利用Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell 方程导出其频域形式。（作1-2—1-3） 解：付氏变换和付氏逆变换分别为：
∞
F (ω) =
⎰
-∞
f (t ) e
j ωt
dt f (t ) =
12π
∞
⎰
-∞
F ω(e )
-j ωt
d ω
麦氏方程：
∂D ∇⨯H =J +
∂t
∇⨯E =-
∂B ∂t
∇⋅B =0
∇⋅D =ρ
对第一个方程进行付氏变换：
∞
左端=
⎰
-∞
j ωt
∇⨯H （r , t ) e dt =∇⨯
∞
⎰
-∞
j ωt
H (r , t ) e dt =∇⨯H (r , ω)
∞
∂D (r , t ) j ωt
右端=⎰[（J r , t ) +]e dt =J (r , ω) +
∂t -∞
=J (r , ω) +j ωD (r , ω)
∞
⎰
-∞
j ωt j ωD (r , t ) e dt
（时谐电磁场）
∴∇⨯H (r , ω) =J (r , ω) +j ωD (r , ω)
同理可得：
∇⨯H (r , ω)=-j ωB (r , ω)
∇⋅B (r , ω)=0 ∇⋅D (r , ω)=ρ(r , ω)
上面四式即为麦式方程的频域形式。 1-2 设各向异性介质的介电常数为
ε=ε0
⎡7⎢2⎢⎢⎣0
240
0⎤
⎥0 ⎥3⎥⎦
当外加电场强度为
(1) E 1=e x E 0；(2) E 2=e y E 0；(3) E 3=e z E 0；
(4) E 4=E 0(e x +2e y ) ；(5)
解： D (r , t )=⋅E (r , t )
E 5=E 0(2e x +e y )
求出产生的电通密度。（作1-6）
⎡D x ⎤⎡ε11⎢⎥⎢即D y =ε21⎢⎥⎢⎢⎣D z ⎥⎦⎢⎣ε31
ε12ε22ε32
ε13⎤ε23⎥
⎥ε33⎥⎦
⎡E x ⎤
⎢⎥E y ⎢⎥⎢⎣E z ⎦
将E 分别代入，得：
⎡D 1x ⎤⎡7
⎢⎥⎢D 1y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 1z ⎥⎦⎣0
⎡D 2x ⎤⎡7⎢⎥⎢D 2y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 3z ⎥⎦⎣0⎡D 3x ⎤⎡7⎢⎥⎢D 3y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 3z ⎥⎦⎣0⎡D 4x ⎤⎡7⎢⎥⎢ D 4y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 4z ⎥⎦⎣0⎡D 5x ⎤⎡7⎢⎥⎢D 5y =ε02⎢⎥⎢⎢⎢⎣D 5z ⎥⎦⎣0
[1**********]0
240
0⎤⎡E 0⎤⎡7⎤
⎥⎢⎥⎢⎥ 00=ε0E 02 D =εE (7ˆx ˆy ) +2⎥⎢⎥⎢⎥100
⎢3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎣0⎥⎦
0⎤⎡0⎤⎡2⎤
⎥⎢⎥⎢⎥ˆy ) 2ˆx +40E 0=ε0E 04 D 2=ε0E (0⎥⎢⎥⎢⎥
⎢3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎣0⎥⎦0⎤⎡0⎤⎡0⎤
⎥⎢⎥⎢⎥
ˆz 00=ε0E 00 D 3=3ε0E 0
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢3⎥⎦⎢⎣E 0⎥⎦⎣3⎥⎦0⎤⎡E 0⎤⎡11⎤
⎥⎢⎥⎢⎥ˆx 11+02E 0=ε0E 010 D 4=ε0E (0⎥⎢⎥⎢⎥
⎢3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎣0⎥⎦0⎤⎡2E 0⎤⎡16⎤
⎥⎢⎥⎢⎥ˆx 16+0E 0=ε0E 08 D 5=ε0E (0⎥⎢⎥⎢⎥
⎢3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎣0⎥⎦
1ˆ0y )
ˆy ) 8
1-3 设各向异性介质的介电常数为
⎡4⎢ε=ε02
⎢⎢⎣2
242
2⎤
⎥2 ⎥4⎥⎦
试求：(1) 当外加电场强度E =E 0(e x +e y +e z ) 时，产生的电通密度D ；
(2) 若要求产生的电通密度D =e x 4ε0E 0，需要的外加电场强度E 。（作1-7—1-8）
22⎤⎡1⎤⎡8⎤⎡1⎤
解：1. D =εE ⎡D ⇒⎢x ⎤⎡4⎥⎢
⎢D y ⎥=εo ⎢2
42⎥⎥E ⎢⎢1⎥⎥=ε⎢⎥⎢⎥o o E o ⎢8⎥=8εo E εo ⎢1⎥
⎢⎣D z ⎥⎦⎢⎣2
2
4⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎢⎣8⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
∴D
=8εo E o (x
ˆ+y ˆ+z ˆ) 2. D =E
⇒⎡3⎢-18
-1⎤
⎡3⎤
8⎥⎡1⎤⎢8⎥
E =-1D =
1⎢
8⎢3⎢⎢⎥
⎡3⎤ε-1o ⎢⎢
8
8-1⎥⎥8⎥4εo E 0
0⎥
=4E ⎢1E 0⎢⎥ ⎢⎥0⎢-⎥8⎥=2⎢-1⎥⎢⎢1⎣0⎥⎦⎢⎢--13⎥⎥⎢⎣8
8
8⎥-1
⎥⎢⎥⎣-1⎥⎦⎦⎢⎣8⎥⎦
即：E =E 02
(3x
-y -z ).
-1
附：ε的求解过程：
[1**********]020-21242010~
02-201-1~
02-202240
12
24001
22
40
20-210-120-210-1~
02-201-1~
02-201-1026
-10200
8
-1-133
-13200
44-14100
8-118
-8~
020-13-10-130
8
4
44
~
01-1-1
3
188-18-
18-18
-38 又
⎡4
22⎤ε=ε⎢
0⎢2
42⎥⎥ ⎢⎣2
2
4⎥⎦
所以
⎡3⎢8-1-
1⎤8
8⎥-1
ε
=
1⎢3
1⎥ε⎢-10⎢88-8⎥ ⎢⎢-1-1⎣8
8
-3⎥⎥8⎥⎦0-11-10
1
1-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为
D =D 0(e x +2e y +2e z ) H =H 0(2e x -2e y +e z )
试求该点表面电荷及电流密度。
解：由已知条件，理想导体表面某点：
D =D 0(e x +2e y +2e z ) (1-6-1)
H =H 0(2e x -2e y +e z ) (1-6-2)
D |D |
D (e +2e +2e ) 知该点处的法向单位矢量为：e n =
==
13
e x +
23
e y +
23
e z (1-6-3)
理想导体表面上的电磁场满足边界条件：
e n ⨯H =J s (1-6-4)
e n ⋅D =ρs (1-6-5) 将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为：
22⎛1
J s =e n ⨯H = e x +e y +e z
33⎝3
⎫
⎤⎪⨯⎡⎣H 0(2e x -2e y +e z ) ⎦=H 0(2e x +e y -2e z ) (1-6-6)
⎭
将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为：
22⎫⎛1
ρs =e n D = e x +e y +e z ⎪ ⎡D 0(e x +2e y +2e z ) ⎤⎦=3D 0 (1-6-7) 33⎭⎣⎝3
1-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为 ε, 试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程:
∇ε22
∇E +k E =-∇(E ⋅) （作1-9）
ε
证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足
∇⨯H (r )=j ωεE (r ) (1-9-1)
∇⨯E =-j ωμH (1-9-2)
对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得
∇⨯(∇⨯E )=-j ω∇⨯(μH
)=-j ωμ∇⨯H
2
=ωμεE
2
E )又 ∇⨯(∇⨯
2
2
=(∇∇E )⋅
-E ∇
所以 ∇E +ωμεE =∇(∇⋅E ) (1-9-3) ⋅+E ⋅ε∇0= 又在非均匀各向同性介质中 ∇⋅(εE )=ε∇E
即 ∇⋅E =-
E ⋅∇ε
ε
将(1-9-4)代入(1-9-3)，得
(1-9-4)
⎛E ⋅∇ε⎫22
∇E +ωμεE =-∇ ⎪
⎝ε⎭
即 ∇2E +k 2E =-∇
⎛E ⋅∇ε⎫
⎪
⎝ε⎭
第二章 平面电磁波
2-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。
解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell 方程组为
∇⨯H =J +jωεE (2-1-1)
∇⨯E =-j ωμH (2-1-2)
∇⋅(μH )=0 (2-1-3)
∇⋅(εE )=ρ (2-1-4) 对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得
∇⨯∇⨯E =-j ω∇⨯(μH )=-j ω∇μ⨯H -j ωμ∇⨯H =-j ω∇μ⨯H -j ωμ(J +jωεE )
=-j ω∇μ⨯H -j ωμJ +ωμεE
2
即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得
∇⨯∇⨯H =∇⨯J +jω∇⨯(εE )=∇⨯J +jω∇ε⨯E +j ωε∇⨯E =∇⨯J +jω∇ε⨯E +ωεμH
2
所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为
∇⨯∇⨯E -ωμεE =-j ω∇μ⨯H -j ωμJ (2-1-5) ∇⨯∇⨯H -ωεμH =∇⨯J +jω∇ε⨯E (2-1-6)
2
2
⋅+E ⋅ε∇=ρ由(2-1-4)式得 ∇⋅(εE )=ε∇E 即∇⋅E =
ρ-E ⋅∇ε
εH ⋅∇μ
(2-1-7)
由(2-1-3)式得 ∇⋅(μH )
=μ∇H ⋅+H ⋅μ∇0= 即∇⋅H =-
μ
(2-1-8)
利用矢量关系式∇⨯(∇⨯A )=∇(∇⋅A )-∇A ，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥
2
姆霍兹方程为
⎛E ⋅∇ε⎫⎛ρ⎫22
∇E +ωμεE =j ω∇μ⨯H +j ωμJ -∇ +∇⎪ ⎪ (2-1-9)
⎝ε⎭⎝ε⎭
⎛H ⋅∇μ⎫22
∇H +ωμεH =-∇⨯J -j ω∇ε⨯E -∇ ⎪ (2-1-10)
μ⎝⎭
均匀介质中，∇ε=∇μ=0
⎛ρ⎫2
∇E +k E =j ωμJ +∇ ⎪
⎝ε⎭
2
2
∇H +k H =-∇⨯J
2
k =ω无源区中
22
∇E +k E =0
22
∇H +k H =0
2-4 推导式（2-2-8）。
解：已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中，无源区的正弦电磁场满足齐次矢量Helmholtz 方程：
∇E (r )+k c E (r )=0
2
2
∇H (r )+k H (r )=0
2
2c
其中
k c =， εe =ε-j
σω
22
设复传播常数k c =k '-j k ''，则由k c =ωμεe 得
(k '-
σ⎫2⎛2222
j k '')=ωμ ε-j ⎪ 即 k '-k ''-2j k 'k ''=ωμ
ω⎭⎝σ⎫⎛
ε-j ⎪
ω⎝⎭
所以由等号两边实部和虚部对应相等得
2
⎧k '2-k ''2=ωμε ⎨
⎩2k 'k ''=ωμσ
解以上方程组得
k '=
k ''=ω
2-6 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。
证：任一椭圆极化平面波可写为 E =e x E x +j e y E y
1⎡1⎤
E =e x E x +j e y E y =e x ⎢(E x +E y )+(E x -E y )⎥+j e y
2⎣2⎦=e x
1212
1⎡1⎤
E +E -E -E ()()x y x y ⎢2⎥2⎣⎦ 12
(E x +E y )+j e y (E
x
12
(E x +E y )+e x
12
12
(E x -E y )-j e y (E
x
-E y )
令E 1=
+E y )，E 2=(E
x
-E y )，则上式变为
E =(e x E 1+j e y E 1)+(e x E 2-j e y E 2)
上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和，因此证明了一个椭圆极化平面波可以分解为两
个旋转方向相反的圆极化平面波。
2-7 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
解：圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为：
E (z , t ) =e x E 0cos(ωt -kz ) +e y E 0cos(ωt -kz +
π
2
)
上式等价于
E (z , t ) =e x E 0cos(ωt -kz ) -e y E 0sin(ωt -kz ) 磁场强度的瞬时值表达式为： H (z , t ) =e y
E 0Z
cos(ωt -kz ) +e x
E 0Z
sin(ωt -kz )
其中 Z 表示波阻抗。
因此能流密度的瞬时值表达式为：
S (z , t ) =E (z , t ) ⨯H (z , t )
⎤⨯e y 0cos(ωt -kz ) +e x 0sin(ωt -kz ) =⎡e E cos(ωt -kz ) -e E sin(ωt -kz ) x 0y 0⎣⎦⎢⎥Z Z ⎣⎦
22
⎡E 02⎤E 0E 022
=e z ⎢cos (ωt -kz ) +sin (ωt -kz ) ⎥=e z
Z Z Z ⎣⎦
⎡E E ⎤
因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
2-8 设真空中圆极化平面波的电场强度为
E (x ) =100(e y +j e z ) e
-j 2πx
V/m
试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。
解：由真空中圆极化平面波的电场强度表达式
E (x ) =100(e y +j e z ) e
-j2πx
V/m
知传播常数k =2πrad/m，所以 波长：λ=频率：f =
2πk c
=1m =3⨯10
8
λ
Hz
因为此圆极化平面波的传播方向为+x 方向，且电场强度z 分量相位超前y 分量相位左旋圆极化平面波。 磁场强度可写为
H (x ) =
1Z 0
e x ⨯E (x ) =
100Z 0
(e z -j e y ) e
-j2πx
π
2
，因此为
A/m
能流密度为：
S =E ⨯H
*
-j
=⎡⎣100(e y +j e z ) e
*
⎡1002πx -
⎤⨯⎢(e z -j e y ) e ⎦
⎣Z 0⎤200001000j π2x 2
=e ≈e W /m2-9 ⎥x x
Z 06π⎦
设真空中z =0平面上分布的表面电流J S =e x J S 0cos ω t ，式中J S 0为常数。试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。
解：z =0平面上分布的表面电流将产生向+z和-z 方向传播的两个平面波。设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为E 1(z , t ) 和H 1(z , t ) ，向-z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为
E 2(z , t ) 和H 2(z , t ) 。由电磁场在z=0平面处满足的边界条件可得：
e z ⨯[H 1(0,t ) -H 2(0,t ) ]=J s (2-9-1) E 1(0,t ) =E 2(0,t ) (2-9-2)
=Z 0[H 又 E 1(z , t )
1
(z , ⨯t e ) z ]，E 2(z , t ) =Z 0[H 2(z , t ) ⨯(-e z ) ]
Z H (0,t ) +H (0,t ) ⨯e 所以 0[1]z =0 2
即 H 2(0,t ) =-H 1(0,t ) (2-9-3) 将(2-9-3)代入(2-9-1)得：
e z ⨯H 1(0,t ) =
12J s
) 得 H 1(0t , =
12
J s ⨯e z =1
12
e x J
0s
c ωo s ⨯t e =z -
1
e 2
J y 0
s
ωc o t s (2-9-4)
所以 H 1(z , t ) =-e y J s 0cos (ωt -kz ) , z>0 (2-9-5)
2
E 1(z , t ) =-同理 H 2(z , t ) =
E 2(z , t ) =-
12
Z 02
e x J s 0cos (ωt -kz ) ， z>0 (2-9-6)
e y J s 0cos (ωt +kz ) ， z
Z 02
其中Z 0为真空波阻抗。 能流密度：
S 1(z , t ) =E 1(z , t ) ⨯H 1(z , t ) =
Z 04
22
e z J s 0cos (ωt -kz ) ， z>0
S 2(z , t ) =E 2(z , t ) ⨯H 2(z , t ) =-
Z 04
e z J s 0cos (ωt +kz ) , z
22
2-10 若在上题中有一个无限大的理想导电表面位于z = d 平面，再求解其结果。
解：由2-9题知，z =0平面上分布的表面电流e x J s 0cos ωt 将产生x 方向极化向+z 和-z 方向传播的两个平面波。为计算方便，本题均采用复矢量表示形式。
图 2-10
如图2-10所示，设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为
E (z ) =e x E e
i 1
i 10
-j kz
H (z ) =e y i 1
E 10Z 0
i
e
-j kz
向-z 方向传播的电磁波的电场和磁场分别为
E 2(z ) =e x E 20e
j kz
H 2(z ) =-e y
E 20Z 0
e
j kz
假设理想导电平面位于z =d >0处，则表面电流向+z方向传播的平面波在理想导体表面产生反射。
设反射波的电场和磁场分别为：
E (z ) =e x E e
r 1
r 10
j kz
H (z ) =-e y r 1
E 10Z 0
r
e
j kz
由电场在理想导体表面处切向分量为零的边界条件，得
E 10e
i
-j kd
+E 10e
r j kd
=0 （1）
由z=0处电场和磁场满足的边界条件，得：
E 10+E 10=E 20 （2）
i r
⎡E 10E 10E ⎤e z ⨯⎢e y -e y +e y 20⎥=e x J s 0
Z 0Z 0Z 0⎦⎣i
r
i
r
即 -
E 10Z 0
+
E 10Z 0
-
E 20Z 0
=J s 0 （3）
联立解（1）（2）（3）得：
i E 10=
1212
Z 0J S 0 ， Z 0J S 0e
j2kd
E 10=-E 20=
12
r
，
j2kd
Z 0J S 0(1-e
)
-j kz
所以 E 1i (z ) =e x
12
Z 0J S e 0
12Z 0J S 12
， H 1i (z ) =e y
(-1e
k j
j 2k d
j k z
12
J S 0e
-j kz
12
J S 0(1-e
k j
(z d +2
j2kd
E 2(z , t ) =e x
e ) ，H 2(z ) =-e y
)
， H 1r (z ) =e y
) e
j kz
E 1r (z , t ) =-e x 在0
Z 0J S e 0
(z +2d
12
J S 0e
)
E 1(z ) =E 1(z ) +E 1(z ) =e x
i
r
i r
12
Z 0J S 0e 12J S 0e
-j kz
⎡1-e j2k (z +d ) ⎤ ⎣⎦
H 1(z ) =H 1(z ) +H 1(z ) =e y
-j kz
⎡1+e j2(z+d ) ⎤ ⎣⎦
在z
E 2(z , t ) =e x
12
Z 0J S 0(1-e
j2kd
) e
j kz
，H 2(z ) =-e y
12
J S 0(1-e
j2kd
) e
j kz
在z >d 区域：电磁场为零。
复能流密度：
S 1(z , t ) =
12
E 1(z ) ⨯H 1(z ) =e z
14
2
*
18
Z 0J S 0e
-j kz
⎡1-e j2k (z +d ) ⎤⨯J S 0e j kz ⎡1+e -j2(z+d ) ⎤⎣⎦⎣⎦
=-e z Z 0J S 0sin 2k (z +d )
（z>0）
S 2(z ) =
12
E 2(z ) ⨯H 2(z ) =-e z
*
18
Z 0J S 0(1-e
j2kd
) e
j kz
⨯J S 0(1-e
-j2kd
) e
-j kz
=-e z
14
Z 0J S 0(1-cos 2kd )
2
（z
2-13 当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为1V/m，入射角为60︒，介质的电磁参数为εr =3, μr =1，试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波及折射波的电场振幅。
解：在真空中：波阻抗为Z 1=Z 0=
k 1=ω
介质中的波阻抗为Z 2=
︒
=
Z
，传播常数为k 2=设折射角为θt ，则
所以 s i n θt =
1
sin 60sin θt
=
k 2k 1
=
=
2
(1) 对于平行极化波，有
， 即 θt =30︒
Z 0
反射系数 R //=
=Z 0Z 1cos θi +Z 2cos θt
2
2Z 2cos θi
Z 1cos θi +Z 2cos θt
Z 1cos θi -Z 2cos θt
-+
Z 0
=0
Z 02
3
透射系数
T =
=
02+02
=
可见此时平面波发生无反射现象，折射波的电场振幅为(2) 对于垂直极化波，有
3
V /m；
反射系数
R ⊥=
Z 2cos θi -Z 1cos θt Z 2cos θi +Z 1cos θt
=
=-0.5
透射系数
T ⊥=
2Z 2cos θi
Z 2cos θi +Z 1cos θt
=
=0.5
因此反射波和折射波的电场振幅均为0.5V/m。
-j 2πz
2-16 已知电场强度为E (z ) =e x 10e 的平面波向三层介质边界正投射，三种介质的参数为
εr 1=1，εr 2=4，εr 3=16, μ1=μ2=μ3=μ0，中间介质夹层厚度d =0. 5m ，试求各区域
中电场强度及磁场强度。
解答：
图2-16
2πk 1
=1m 。
由电场强度E (z ) =
e x 10e -j2πz 知，传播常数k 1=2πrad/m，波长λ1=
2π
在中间介质中的波长为λ2==0.5m ，传播常数k 2=
λ2
=4πrad/m。
介质三中的波长为λ3=
=0.25m ，传播常数k 3=
2π
λ3
=8πrad/m。
三种介质中的波阻抗分别为：Z 1=
0=Z 0，Z 2=
0=
12
Z 0，Z 3=
0=
14
Z 0
介质一（z ≤0）中入射波电场和磁场强度为E 1i (z ) =e x 10e -j2πz ，H 1i (z ) =e y
10Z 0
e
-j2πz
，
令反射电场和磁场强度为E (z ) =e x E e r 1r 10
j2πz
，H (z ) =-e y r 1
E 10Z 1
r
e
j2πz
介质二(0
E (z ) =e x E e
i 2
r 20
-j4πz
，H (z ) =e y i 2
E 20Z 2E 20Z 2
r
i
e
-j4πz
E (z ) =e x E e
r 2r 20
j4πz
，H (z ) =-e y r 2
e
j4πz
i -j8π(z -d ) e 介质三（z>d）中，令入射波的电场强度为 E 3i (z ) =e x E 30。
则在z =0和z =d 处有电场和磁场切向分量连续得：
10+E 10=E 20+E 20 E 20e
i
-j4πd
r
i
r
+E 20e
r j4πd
=E 30
i
r
i
r
10Z 1
-
E 10Z 1
=
E 20Z 2
-
E 20Z 2
E 20Z 2
i
e
-j4πd
-
E 20Z 2
r
e
j4πd
=
E 30Z 3
i
由以上四式可解得
r r
E 10=-6, E 20=6，E 20=-2，E 30=4
i
i
则各区域的电场和磁场强度为：
E 1(z ) =e x 10e
i
-j2πz
，H 1i (z ) =e y
10Z 06Z 012Z 04Z 0
e
-j2πz
E 1(z ) =-e x 6e
r j2πz
，H 1r (z ) =e y
e
j2πz
E 2(z ) =e x 6e
i -j4πz
，H 2i (z ) =e y
e
-j4πz
E 2(z ) =-e x 2e
r j4πz
，H 2r (z ) =e x
e
j4πz
E 3(z ) =e x 4e
i -j8π(z -d )
，H 3i (z ) =e x
16Z 0
e
-j8π(z -d )
第三章 辅助函数
3-1. 由Lorentz 条件导出电荷守恒定律。 解答：
已知矢量磁位A (r ) 和标量电位Φ(r ) 分别满足：
∇A (r ) +ωμεA (r ) =-μJ (r ) (3-1-1) ∇Φ(r ) +ωμεΦ(r ) =-
2
2
22
ρ(r ) ε
2
(3-1-2)
2
由(3-1-1)得 J (r ) =-所以
∇ J (r ) =-
1
2
1
μ
∇A (r ) +ωμεA (r ) (3-1-3)
μ
⎤∇ ⎡⎣∇A (r ) +ωμεA (r ) ⎦=-
2
1
⎡∇ ∇2A (r ) +ω2με∇ A (r ) ⎤=-⎡∇2∇ A (r )) +ω2με∇ A (r ) ⎤
⎦⎦μ⎣μ⎣
1
将Lorentz 条件∇ A (r ) =-j ωμεΦ(r ) 代入上式得：
22
⎤∇ J (r ) =j ωε⎡⎣∇Φ(r ) +ωμεΦ(r ) ⎦=-j ωρ(r )
电荷守恒定律得证。
3-3 已知在圆柱坐标系中，矢量磁位A (r ) =e z A z (r ) e -j kz ，式中r =强度和磁场强度。
解：
已知A (r ) =e z A z (r ) e -j kz (3-3-1)
H (r ) =
1
∇⨯A (r ) (3-3-2)
∇∇ A (r )
22
x +y 。试求对应的电场
μ
E (r ) =-j ωA (r ) -j
ωμε
(3-3-3)
将(3-3-1)式代入(3-3-2)、(3-3-3)式，并在圆柱坐标系下展开得
-j kz
⎤1∂⎡1⎣A z (r ) e ⎦-j kz
H (r ) =∇⨯A (r ) =-e ϕ=-e ϕA z '(r ) e
μμ∂r μ
1
E (r ) =-j ωA (r ) -j
∇∇ A (r )
ωμε
-j kz
=-e z j ωA z (r ) e ∇{A z (r ) e
-j kz
-j kz
-
⎧∂⎫
⎡A z (r ) e -j kz ⎤⎬∇⎨⎦ωμε⎩∂z ⎣⎭j ωA z (r ) e z
-j kz
j
=-e z j ωA z (r ) e =-
k
A z '(r ) e
-
e r
k
ωμε
}=-e
-
A '(r ) e {ωμε
z
k
-j kz
e r -j kA z (r ) e
-j kz
e z }
-j kz
ωμε
3-4 使用H ertz 矢量求解电流元Il 和磁流元I m l 产生的电磁场。（作3-7—3-12）
解：设电流元I l 和磁流元I l 均沿z 轴放置于原点。
电流元I l 产生的电Hertz 位和磁流元I l 产生的磁Hertz 位分别满足
P (r )
e
m
m
∇Π(r ) +k Π(r ) =-
2e 2e
ε
m
∇Π
2m
(r ) +k Π
2m
(r ) =-
P (r )
μ
由以上两式求得(参见戴书p23)
Π(r ) =
e
⎰
P (r )
e
e
-j k |r -r '|
V
ε
m
4π|r -r '|e
-j k |r -r '|
dV '=e z
1j ωε1
⎰
Ie
l
-j k |r -r '|
4π|r -r '|I e
l
m
-j k |r -r '|
dz '≈e z
1Il
j ωε4πr 1
m
e
-j kr
Π
m
(r ) =
⎰
P (r )
V
μ4π|r -r '|
dV '=e z
j ωμ
⎰
4π|r -r '|
dz '≈e z
I l
j ωμ4πr
e
-j kr
-j kr
⎛e -j kr ⎫⎛1Il ⎫Il e
H (r ) =j ωε∇⨯Π(r ) =j ωε∇⨯ e z =∇⨯e cos θ-e sin θ r ⎪θ⎪
j ωε4πr 4πr r ⎝⎭⎝⎭e
e
=e φ
k Il sin θ⎛j 1
+ 22
4π⎝kr k r ∇⨯H (r )
j ωε
e
3
2
⎫-j kr
⎪e ⎭
k Il sin θ⎛1j 1⎫-j kr
e -j e -++θ⎪ 2233
4πωε⎝kr k r k r ⎭
3
E (r ) =
e
k Il cos θ⎛j 1
=-j e r + 2233
2πωε⎝k r k r
⎫-j kr
⎪e ⎭
磁流元I m l 产生的电磁场为 E (r ) =-j ωμ∇⨯Π
2
m
m
m
m m -j kr
⎛⎛e -j kr ⎫1I l -j kr ⎫I l e
(r ) =-j ωμ∇⨯ e z e =-∇⨯e cos θ-e sin θ⎪ r ⎪θ
j ωμ4πr 4πr r ⎝⎭⎝⎭
k I l sin θ⎛j 1⎫-j kr
=-e φ+e 22⎪
4πkr k r ⎝⎭
H
m
(r ) =-
∇⨯E (r )
j ωμ
m
k Il cos θ⎛j 1
=-j e r + 2233
2πωε⎝k r k r
3
k Il sin θ⎛1j 1⎫-j kr
e -j e -++θ⎪ 2233
4πωε⎝kr k r k r ⎭
3
⎫-j kr
⎪e ⎭
3-7 证明式（3-3-4）至式（3-3-7）。
证：无源区域中有
∇⨯H =j ωεE
∇⨯E =-j ωμH
ˆx ∂∂x H x
ˆx ∂∂x E x
即
ˆy
∂∂y H y
ˆy ∂∂y E y
ˆz
∂∂z H z
ˆz ∂∂z E z
ˆ+E y y ˆ+E z z ˆ) =j ωε(E x x
ˆ+H y y ˆ+H z z ˆ) =-j ωε(H x x
由此可得
∂H z ∂y ∂H x ∂z ∂H y ∂x
∂H ∂z ∂H z ∂x ∂H x ∂y
j ωεE x =j ωεE y =j ωεE z =
---
y
(1) (2) (3)
-j ωμH x =-j ωμH y =-j ωμH z =
∂E z ∂y ∂E x ∂z ∂E y ∂x
---
∂E y ∂z ∂E z ∂x ∂E x ∂y
(4) (5) (6)
由（1）（5）两式可得：
1
j ωεE x =
2
∂H z ∂y
-
-j ωμ
∂(
∂E x ∂z ∂z
-
∂E z ∂x
)
k E x =-j ωμ =-j ωμ =-j ωμ∴E x =
1
∂H z ∂y ∂H z ∂y ∂H z ∂y
2
-(
∂E x ∂z
2
z
2
2
-
∂E z ∂x ∂z
2
2
)
+k E x +
2
∂E z ∂x ∂z
∂E z ∂x ]
+k z E x +(-jk z ) ∂E z ∂x
-j ωμ
k -k z
2
[-jk z
∂H z ∂y
式中
∂E x ∂z
2
2
=-k z E x ,
2
∂E x ∂z
=-jk z E x
2
∇E +k E =0
2
∴ ∇E x +k E x =0(∂
222
22
∂x
+
∂
22
∂y
2
+
∂
22
∂z
) E x +(k x +k x +k x ) E x =0
222
∂E x ∂x
22
+k x E x =0+k y E x =0+k z E x =0
22
∂E x ∂y
22
∂E x ∂z
2
∴
∂E x ∂z
2
2
=-k z E x
j (ωt -k z )
2
E x =E x e ∴∂E x ∂z
=-jk z E x
同理可证E y , H x , H y 的表达式。（见讲义p8） 3-20试证式（3-8-16）。
证明：设并矢C =E F ，则
A (B ⨯C ) =A [(B ⨯E ) F ]=[A (B ⨯E ) ]F =[B (E ⨯A ) ]F =-[B (A ⨯E ) ]F =-B [(A ⨯E ) F
=-B [A ⨯(EF ) ]=-B (A ⨯C )
A (B ⨯C ) =A [(B ⨯E ) F ]=⎡⎣A (B ⨯E ) ⎤⎦F =⎡⎣E (A ⨯B ) ⎤⎦F =⎡⎣(A ⨯B ) E ⎤⎦F
=(A ⨯B ) (E F ) =(A ⨯B ) C
]
3-21试证式（3-8-19）至式（3-8-21）。 证明：D =D x e x +D y e y +D z e z
D x =α1e x +α2e y +α3e z D y =β1e x +β2e y +β3e z D z =γ1e x +γ2e y +γ3e z
I =e x e x +e y e y +e z e z
I D =(e x e x +e y e y +e z e z ) (D x e x +D y e y +D z e z )
=e x (D x e x ) e x +e x (D y e x ) e y +e x (D z e x ) e z +e y (D x e y ) e x +e y (D y e y ) e y +e y (D z e y ) e z
+e z (D x e z ) e x +e z (D y e z ) e y +e z (D z e z ) e z
=α1e x e x +β1e x e y +γ1e x e z +α2e y e x +β2e y e y +γ2e y e z +α3e z e x +β3e z e y +γ3e z e z =(α1e x +α2e y +α3e z ) e x +(β1e x +β2e y +β3e z ) e y +(γ1e x +γ2e y +γ3e z ) e z =D x e x +D y e y +D z e z =D
D I =(D x e x +D y e y +D z e z ) (e x e x +e y e y +e z e z )
=D x (e x ∙e x ) e x +D x (e y ∙e x ) e y +D x (e z ∙e x ) e z +D y (e x ∙e y ) e x +D y (e y ∙e y ) e y
+D y (e z ∙e y ) e z +D z (e x ∙e z ) e x +D z (e y ∙e z ) e y +D z (e z ∙e z ) e z =D x e x +D y e y +D z e z =D
所以 I D =D I =D 设A =A x e x +A y e y +A z e z 则
I A =(e x e x +e y e y +e z e z ) (A x e x +A y e y +A z e z ) =A x e x +A y e y +A z e z =A
A I =(A x e x +A y e y +A z e z ) (e x e x +e y e y +e z e z ) =A x e x +A y e y +A z e z =A
所以 I A =A I =A
∂∂∂⎤∇ (ψI ) =∇ ⎡ψ(e e +e e +e e ) =(ψe ) +(ψe ) +(ψe z ) x x y y z z ⎦x y ⎣∂x ∂y ∂z
=e x
∂ψ∂x
+e y
∂ψ∂y
+e y
∂ψ∂y
=∇ψ
第四章 电磁定理和原理
4-1 利用磁场边界条件, 证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流元及磁流元的镜像关系。
证明：
l
l
I m l
εμ
σ→∞
'l '
εμ
σ→∞
(a)
图 4-1
(b)
(1) 如图4-1(a)所示，在无限大理想导电平面附近放置一垂直电流元I l ，在镜像位置放置一镜像电流元I 'l '，根据电流元产生的电磁场的分布知，I l ，I 'l '在理想导电体表面产生的磁场强度方向均沿导体切向方向，所以满足理想导电体表面磁场法向分量为零的边界条件，且上半空间的源仍为I l 。因此引入镜像源前后上半空间的源和边界条件均未改变，根据唯一性原理知，上半空间的场未改变。
(2) 如图4-1(b)所示（图中有误，垂直磁流源应为负像，H 与l 平行），在无限大理想导电平
m m
面附近放置一垂直磁流元I l ，在镜像位置放置一镜像磁流元I 'l '，则其产生的矢量电位分别
为
A =
m
εI l
4πr
m
e
-j kr
A '=
m
m εI 'l '
4πr '
e
-j kr '
产生的磁场强度分别为 H
m
=-j ωA
m
=-j
ωεI l 4πr
m
e
-kr j
H '=-j ωA '=-j
m
m
m
ωεI 'l '
4πr '
e
-kr j '
若满足I
m
m
=I ', l =-l '，则在理想导电体表面上的磁场强度的法向分量为零，与原来的边界
条件相同，且上半空间源未变，因此上半空间的电磁场与原来相同。
4-3 长度为l ，宽度为w 的裂缝天线位于无限大的理想导电平面，如习题图4-3所示。若缝隙中的电场强度为
2
利用对偶原理，根据对称天线的结果直接导出其空间辐射场。（作4-10—4-14）
E x =E 0sin[k (
l -z )]
解答：
y
m
ˆ⨯y ˆ=2E x z ˆJ s =2E x x =2E 0sin k (
l 2ˆ-|z |)z
对称天线的辐射场为:
e
习题图4-3
1kl cos θ) -cos(
sin θ
1kl )
H φ=e φ
e
l m
ˆ I s =2E 0w sin k (-|z |)z
2
E θ=e θj
60I m
r
cos(e
-j kr
E θ
e
Z 0
=e φj
I m 2πr
cos(e
-j kr
1kl cos θ) -cos(
sin θ
1kl )
由对偶原理知，将以上两式中E 换为H ，H 换为-E ， 可得裂缝天线的辐射场为：
m
E φ=-e φj
I
m m
cos(e
-j kr
1kl cos θ) -cos(
sin θ
1kl ) =-e φj
E 0w
cos(e
-j kr
1kl cos θ) -cos(
sin θ
1kl )
2πr πr
1kl )
H θ=e θj
m
60I r
m m
cos(e
-j kr
11kl cos θ) -cos(
sin θ
11kl )
=e θj kl )
120E 0w
r
cos(e
-j kr
1kl cos θ) -cos(
sin θ
=e θj
Z 0E 0w
cos(e
-j kr
kl cos θ) -cos(
sin θ
πr
4-4 利用矢量Green 定理，导出积分形式的互易定理。
证明：设区域V 中的两组同频源J a ，J a 和J b ，J b 产生的电磁场分别满足
∇⨯H a =J a +j ωεE a (4-4-1) ∇⨯E a =-J a -j ωμH a (4-4-2)
m
m m
及
∇⨯H b =J b +j ωεE b (4-4-3)
∇⨯E b =-J b -j ωμH b (4-4-4)
m
已知第二矢量Green 定理为
⎰
V
⎡⎣Q ⋅(∇⨯∇⨯P )-P ⋅∇⨯∇⨯Q ⎤⎦d V =
⎰(P ⨯∇⨯Q -Q ⨯∇⨯P )⋅d S (4-4-5)
S
令Q =E a , P =E b ，代入上式得
⎰
V
⎡⎣E a ⋅(∇⨯∇⨯E b )-E b ⋅∇⨯∇⨯E a ⎤⎦d V =
⎰(E
S
b
⨯∇⨯E a -E a ⨯∇⨯E b )⋅d S
(4-4-6)
利用(4-4-2)和 (4-4-4)，(4-4-6)式右端化为
⎰(E
S
b
⨯∇⨯E a -E a ⨯∇⨯E b )⋅d S
==
⎰ ⎰
S
⎡E b ⨯(-J a m -j ωμH a )-E a ⨯(-J b m -j ωμH b )⎤⋅d S (4-4-7) ⎣⎦⎡E a ⨯J b m -E b ⨯J a m +jωμ(E a ⨯H b -E b ⨯H a )⎤⋅d S ⎣⎦
S
利用(4-4-1) — (4-4-4)，(4-4-6)式左端化为
⎰
==
V
⎡⎣E a ⋅(∇⨯∇⨯E b )-E b ⋅∇⨯∇⨯E a ⎤⎦d V
⎰
V
{E
a
m m
⋅⎡∇⨯(-J b -j ωμH b )⎤-E b ⋅⎡∇⨯(-J a -j ωμH a )⎤d V ⎣⎦⎣⎦
m
b m b m b m
}
⎰{E ⋅⎡⎣-∇⨯J =⎰{⎡⎣-E ⋅∇⨯J =⎰{⎡⎣-E ⋅∇⨯J
V
a
V
a
V
a
⎡-∇⨯J a m -∇⨯j ωμH a ⎤d V -∇⨯j ωμH b ⎤-E ⋅b ⎦⎣⎦
⎡-E b ⋅∇⨯J a m -j ωμ(E b ⋅J a +j ωεE b ⋅E a )⎤d V -j ωμ(E a ⋅J b +j ωεE a ⋅E b )⎤-⎦⎣⎦⎡-E b ⋅∇⨯J a m -j ωμE b ⋅J a ⎤d V -j ωμE a ⋅J b ⎤-⎦⎣⎦
}
}
}
∇⋅(E {⎡⎣
=⎰{⎡∇⋅(E
⎣
=⎰{⎡∇⋅(E
⎣
=⎰{⎡∇⋅(E
⎣=
⎰
V
a
⨯J b ⨯J b ⨯J b
)-J )+J
m b m b
m m
⋅∇⨯E a -j ωμE a ⋅J b ⎤-⎡∇⋅(E b ⨯J a )-J a ⋅∇⨯E b -j ωμE b ⋅J a ⎤d V
⎦⎣⎦
m
a
m m m
-j ωμH a )-j ωμE a ⋅J b ⎤-⎡∇⋅(E b ⨯J a )-J a ⋅(-J b -j ωμH b )-j ωμE b ⋅J a ⎤d V
⎦⎣⎦
}
m
V
a
)-J ⋅(-J
m
b
m
}
m
V
a
m m m m m m
⋅J a +j ωμJ b ⋅H a -j ωμE a ⋅J b ⎤-⎡∇⋅(E b ⨯J a )+J a ⋅J b +jωμJ a ⋅H b -j ωμE b ⋅J a ⎤d V
⎦⎣⎦
}
V
a m
⨯J b -E b ⨯J a
m
m
)+j ωμ(E
V
b
m m
⋅J a -E a ⋅J b +H a ⋅J b -H b ⋅J a )⎤d V
⎦
}
=
⎰(E
S
a
⨯J b -E b ⨯J a
)⋅d S +j ωμ⎰(E
b
⋅J a -E a ⋅J b +H a ⋅J b -H b ⋅J a
m m
)d V
(4-4-8)
由(4-4-6), (4-4-7), (4-4-8)得
⎰(E
S
a
⨯J b -E b ⨯J a
m
b
m m
)⋅d S +j ωμ⎰(E
V
b
⋅J a -E a ⋅J b +H a ⋅J b -H b ⋅J a
m m
)d V
=
⎰
S
⎡E a ⨯J ⎣
-E b ⨯J +jωμ(E a ⨯H b -E b ⨯H a )⎤⎦⋅d S
m
a
(4-4-9)
因为J a ，J a 和J b ，J b 在表面S 内，因此(4-4-9)式中含有J a ，J a 和J b ，J b 项的面积分为零，所以(4-4-9)式化为
m
m
m
m
⎰(E
V
b
⋅J a -E a ⋅J b +H a ⋅J b -H b ⋅J a
m m
)d V = ⎰(E
S
a
⨯H b -E b ⨯H a )⋅d S
(4-4-10)
上式即为积分形式的的互易定理。 (另证见书p161, 较简单)
4-5 证明位于任意形状理想导电体附近的垂直磁流元的空间辐射场为零。 证明：
b m l b
图 4-5
如图4-5所示，在理想导电体附近放置一垂直于理想导电体表面的磁流源I a m l a ，其在空间某点产
m m
生的磁场强度为H a ，在该点放置另一个与H a 方向相同的同频磁流源I b l b 。则I b l b 在理想导电
m m m
体表面附近产生的磁场强度H b 应平行于理想导电体表面，即垂直于磁流源I a l a 。对I a l a ，I b l b
应用Carson 互易原理 ，得
m m m
H a I b l b =H b I a l a =0 即 H a I b l b =0
m
又 I b l b ≠0，所以H a =0
因为H a 为任意假定的，所以证明任意形状的理想导电体附近的垂直磁流源的空间辐射场为零。
m
4-10 若位于r =a 的球面上的表面电流J S 和表面磁流J S 分别为
(1)J S =-e θ
Il 4π
e
-j ka
⎫1⎫Il z 1⎛j k m -j ka ⎛j ωμ+2⎪sin θ(2) J S =-e ϕe +2+sin θ 2⎪
a ⎭4πa a j ωε a ⎝a ⎝⎭
试证r >a 区域内的电磁场与电流元Il 的电磁场相等，r
证明：沿z 轴放置的电流元I l 产生的电磁场可写为
k Il sin θ⎛j 1
H (r ) =e φ+ 22
4π⎝kr k r
k Il cos θ⎛j 1
E (r ) =-j e r
22+33
2πωε⎝k r k r
3
2
⎫-j kr
⎪e ⎭
k Il sin θ⎛1j 1⎫-j kr
-j e θ+22+33
⎪e -
4πωε⎝kr k r k r ⎭
3
⎫-j kr
⎪e ⎭
假设在r >a 区域的电磁场和电流元I l 产生的电磁场相等，r
J S =e n ⨯(H 2-H 1)
=-e θ
=e r ⨯e φH φ
k Il sin θ⎛j 1⎫-j ka
=-e θ+e 22⎪
4π⎝ka k a ⎭
2
m
r =a
r =a
Il ⎛j k 1⎫-j ka
+e sin θ 2⎪
4π⎝a a ⎭
J
m S
=-e n ⨯(E 2-E 1) r =a =-e r ⨯e θE θ=-e φ
Il ⎛j ωμZ 1
++ 23
4π⎝a a j ωεa
r =a
k Il sin θ⎛1j 1
=j e φ-++ 2233
4πωε⎝ka k a k a
3
⎫-j ka
⎪e ⎭
由以
⎫-j ka
sin θ⎪e ⎭
m
上可见，面等效源电流元J S 和面等效磁流元J S 与题中给出的表面电流和表面磁流恰好相等。因
m 此由唯一性定理知，r =a 表面上的表面电流J S 和表面磁流J S 在r >a 区域产生的电磁场与电
流元I l 产生的电磁场相等，在r