第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影
对于工程制图来说，点、线、面是其构成的基本要素。分析点、线、面的空间位置和投影特性是绘制投影图的基础。深入了解和掌握其原理是房屋建筑制图的依据。
一、 点的三面投影的形成及标注
点的投影仍是点。过空间点A 向投影面H 作垂直投射线，投影面与投射线相交于a ，如图3-1所示，则点a 是空间点A 在H 投影面上的投影。
通过图 3-1所示空间点A 向H 面投影，产生唯一点a ，由一点a 无法得到空间点A 的位置。因为在过点A 的投影线上有无数个点，需要两个或两个以上的投影，才能确定点的空间位置。
a
(a)
图3-1 点的投影
z
X a X
a Z
Y
Y Y H
(b)
H
W
z
a"
Y W
X a X
a Z
Y
W
Y W
Y H
(c)
图3-2 （a ）立体图 （b ）展开图 （c ） 投影图
二、点的三面投影规律
为作图方便和准确，我们经常用数字和字母来表示点、直线和面。空间的点用大写字母表示：如A 、B 、C 、D 、„或大写罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、„；点在投影面上的投影用小写字母表示：如在投影面H 上用a 、b 、c 、d 、„，在投影面V 上用a ˊb ˊc ˊd ˊ„，在投影面W 上用a 〞b 〞c 〞d 〞„。
1、点的三面投影
将空间点A 分别向三个投影面作正投影，如图3-2a 所示，空间点A 向H 、V 、W 面作分别垂直于投影面的投射线得到的投影a 、a ′、a 〞。将三面投影体系展开，V 面保持不动，H 面绕OX 轴向下旋转90°，W 面绕OZ 轴向后旋转90°，如图3-2b 所示，即得到点A 的三面投影图。根据以上分析得出点在三面投影体系中的规律。
点A 在V 面上的投影a ′，它与相邻投影a 连线相交于点a x 且垂直于OX 轴，即aa ′⊥OX 。 点A 在V 面上的投影a ′，它于相邻投影a 〞连线相交于点a z 且垂直于OZ 轴，即a ′a 〞⊥OZ 。 点A 在H 面上的投影到OX 轴的距离等于该点的W 面投影到OZ 轴的距离，即aa x ＝a 〞a z ，该点到V 面的距离。
以上分析可以看出，在三面投影体系中，其中任何两个投影都有一定的联系，只要给出任意一点的两个投影，就可以求处该点的第三个投影。
例 3-1 点A 的H 面、V 面投影a 、a ′，求作点A 的W 面投影。 作图步骤：
（1） 过a ′作OZ 轴的垂直线a ′a z 。
（2） 在a ′a z 的延长线上截取a 〞a z ＝aa x ，如图 3-3b所示，即a 〞为点A 在W 面上的投影。
作45°辅助线如图 3-3c所示也可以求出。
z
X
Y W
X a
Y H
(a)
z
X
a Z
Y W
X a
Y H
(b)
z
X
a Z
Y
H
W
a"
Y W
Y H
(c)
图 3-3 求点的第三面投影
根据已知点的正面投影和侧面投影作水平投影或已知点的侧面投影和水平投影同样可以求出正面投影。
2、点的投影规律
如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则两点在该投影面上的投影必定重合。如图3-4中可以看出，点A 、B 在同一投影面的同一投射线上，沿投射方向朝投影面观看，点A 、B 的H 面投影a 、b 重合于一点，这两点称为重影点。A 点可见，B 点不可见，在投影图中规定，重影点中不可见的点加括号表示—（b ），如图3-4所示。
图3-4 点的投影
三、点的坐标
将H 、V 、W 投影面组成三面投影面体系，如图3-5a 所示，空间的点和投影的位置可以由点的坐标来确定，那么各投影轴就相当于坐标轴，以O 为坐标原点，X 轴、Y 轴、Z 轴为坐标轴，空间点到三个投影面的距离就等于它的坐标。
点A 到H 面的距离为点A 的Z 轴坐标，即Aa ＝Oa z ； 点A 到V 面的距离为点A 的Y 轴坐标，即Aa ′＝Oa y ； 点A 到W 面的距离为点A 的X 轴坐标，即Aa 〞＝Oa x 。
V
A
Z a z
X
X
（a ） （b ）
图3-5 点的坐标与投影关系
如图3-5a 所示，空间点A 的坐标为A （x ，y ，z ），点A 的三面投影的坐标分别为a （x ，y ，o ）、a ′（x ，o ，z ）、a 〞（o ，y ，z ）。将三个投影面展开，我们可以看到点A 的X 、Y 坐标可以确定点A 的水平投影；点A 的X 、Z 坐标可以确定点A 的正投影；点A 的Y 、Z 坐标可以确定侧投影。即已知点的三面投影，可以得到点的三个坐标；反之，已知点的三个坐标也可以得到点的三面投影，
例3-2 已知点A 的坐标为A （15，10，20），求点A 的三面投影。 作图步骤：
（1） 设单位为5，
（2） 在OX 轴上取Oa x ＝15。
（3） 过a ′作OX 轴的垂直线a ′a ，aa x ＝10。
（4） 过a ′作OZ 轴的垂直线，截取a 〞a z ＝10，求得侧面投影a 〞。
如图3-6所示，通过已知点A 的三个坐标，求得它的三面投影，当空间点位于投影轴上时，它的两个坐标为零，即该点的两投影与点本身重合，第三个投影与原点重合；当空间点在一个投
影面内时，它的三个坐标中必有一个为零；在投影面或投影轴上的点，称为特殊位置点。
Z a z
O
Y W
X
a x a
Y
Z a z
O
a"
X
a x Y W
Y
（a ） （b ） （c ）
图3-6 已知点的两投影作第三投影
四、两点的相对位置及重影
1、两点的相对位置
空间两点的相对位置可以根据两点的三面投影和坐标差来判断。
空间两点的相对位置在投影图中：沿OX 方向为左右，沿OY H 或OY W 方向为前后，沿OZ 方向为上下；也可利用V 面投影判断两点的上下、左右，H 面投影判断两点的前后、左右位置，W 面投影判断两点的前后、上下关系。
已知A 、B 两点的三面投影。由H 面投影得知A 点在B 点的右后方，由V 面投影得知A 点在B 点的右、后、上方，由此可知，确定两点的相对位置只要相邻的一组投影即可。
a' Z O a b
a"
b" Y W
X
图3-7 判断两点的相对位置
Y H
2、重影点
如果两点位于同一投影面的同一投射线上，则两点在该投影面上必定重合，该两点称为重影点。我们把两点重合的性质叫重影性。
如图3-8a 所示，两点A 、B 在同一投射线上，因此它们的水平投影重合，投影点a 、b 为水平面H 的重影点。根据H 面或W 面投影可以看出，A 在B 的正前方，点A 可见，点B 不可见，A 遮挡B 。表明a ′（b ′）为V 面投影的重合点；如图3-8b 所示，根据V 面或W 面看出，点C 在点D 的正上方，C 点可见，D 点不可见，c （d ）为H 面上的重影点；同理E 、F 的侧投影e 〞（f 〞）为W 面的重影点，且E 点可见，F 点不可见，如图3-8c 所示。
以上分析表明，两点在同一投影面的同一投射线上时，就会产生判断可见和不可见的问题，可见性是相对于一个投影面来说的，坐标大者可见，坐标小者不可见。
Z
a'(b')
X
Z
a'(b')X
b a
Y H b" a" Y W
X
Y
H
X
Z d"
Y
Z
c' d' c(d)
Y W
X
Y H
e' f'
X
e'
f'
F
Z Y
Z e"(f")Y W
Y H
（a ） （b ） （c ）
图3-8 重影点的投影
第二节 直线的投影
一、直线的表示法及直线投影的形成
按照几何条件“两点决定一条直线”的原则，可以在作出直线的两点的投影后，将两点的投影连接起来，就是直线的投影。即求作空间直线的投影，只要作出直线上两点的投影，并 将两点连线即可。如图3-9所示。
B
图3-9 直线投影的形成
在投影图中，可见的直线的投影均用粗实线表示，同细实线所绘制的其它作图线
一、各种位置直线的投影特性
1、 一般位置直线
分别倾斜于三个投影面的直线，称为一般位置直线。一般位置直线与三个投影面H 、V 、W 的倾角用α、β、γ表示，且一般位置直线在投影面上的投影都不反映实长，如图3-10a
所示，三个面的投影与投影轴的夹角亦不反映真实大小。
X
W
（a ）
（b ）
图3-10一般直线的倾角和投影
如图3-10b 所示，一般位置直线的投影规律为：一般位置直线的投影不反映实长，比实长小。 2、 特殊位置直线
我们通常把投影面的平行线和投影面垂直线称为特殊位置直线。 （1）、投影面平行线
平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。对于三个投影面来说，投影面平行线又可分为：水平线—平行于H 面，倾斜于V 、W 面；正平线—平行于V 面，倾斜于H 、W 面；侧平线—平行于W 面，倾斜于H 、V 面。
表3-1 投影面平行线的投影特性
如表3-1可以看出，平行于投影面的直线的投影特性为：平行于投影面的直线反映实长，在其它两个投影面上分别平行于投影轴。
（2）、投影面垂直线
直线垂直于一个投影面而平行于另外两个投影面，我们称为投影面的垂直线。对于三个投影面来说，投影面垂直线又可分为：铅垂线—垂直于H 面，平行于V 、W 面；正垂线—垂直于V 面，平行于H 、W 面；侧垂线—垂直于W 面，平行于H 、V 面。
表3-2 投影面垂直线的投影特性
如表3-2可以看出，投影面的垂直线的投影特性为：垂直于一个投影面的直线在投影面上反映为一点，在其它两个投影面上分别平行于投影轴的实长直线。 （3）、直线上的点
直线是由直线上无数个点的集合组成。也就是说直线上的点的投影，必定在直线的同面投影上，反之，一点的投影都在直线的各个投影面的同面投影上，则点必定在直线上。由此可以断定一点是否在一条直线上，如图3-11所示。
根据图3-11所示，可以说明直线上点的投影特性如下：
直线上点的各面投影必定在直线的同面投影上，且符合点的投影规律。
如图3-11a 所示，假假设点C 在直线AB 上，过点C 分别作H 、V 面投影，点C 的H 面投影c 在直线AB 的H 面投影ab 上，点C 的V 面投影c ′在直线AB 的V 面投影a ′b ′上，所以点C 在直线AB 上。反之点C 则不在直线AB 上。
如果点分割的直线段成比例，则点的投影同比例分割同面直线段的投影。 如图3-11所示，根据平面几何关系得知：直线被C 点分割后的比例以及在各投影面的投影的比例不变，点C 把直线AB 分割成BC 、CA 两条线段，两条线段的比和V 面投影b ′c ′、c ′a ′的比
值相等，和H 面的投影bc 、ca 的比值相等，即BC ：CA ＝b ′c ′：c ′a ′＝bc ：ca 。
X
X
（a ） (b)
图3-11 直线上点的投影
例3-3 直线AB 的投影如图3-12所示，如果将直线AB 按2：3进行分割，求作分割后直线AB 的投影。
作图步骤： （1）、过点a 作一条直线ab 0，并把直线ab 0分成5等份。 （2）、找出直线投影ab 上的分割点c 使ac ：cb ＝2：3。
（3）、过点c 作垂直线交于点c ′即点c 、c ′为分割点C 的投影。
X
X
X
(a)(b)(c)
图3-12 求直线AB 上分割点C 的投影
第三节 平面的投影
一、平面的表示法及平面投影的形成
1、平面的表示法
由几何学知识可知，平面的表示方法有以下几种： （1）、不在一条直线上的三个点。（如图3-13a ） （2）、一条直线和线外一点。（如图3-13b ） （3）、两条相交的直线。（如图3-13c ）
（4）、两条平行的直线。（如图3-13d ） （5）、任一平面。（如图3-13e ）
这五种表示方法叫平面的几何表元素示法。前面四种是无界的，第五种是有界的。这几种表示法可以互相转换。（平面图形属于有界的表示法）
X
c
(a)
c' O
X
(b)
X
(c)
X
(d)
X
(e)
图3-13 平面的表示法（几何元素表示法）
2、平面的投影
平面相对空间位置来说，有三种位置平面：垂直于投影面的平面、平行于投影面的平面和倾斜于投影面的平面，前两种统称为特殊位置平面。
平面垂直于投影面时，平面图形在该投影面积聚为一条直线如图3-14（a ）所示，当平面平行于投影面时，平面图形在该投影面反映实形如图3-14（b ）所示，当平面倾斜于投影面时，平面图形在该投影面上的投影为原形，但比实形小如图
3-14（c ）所示。
(a)(b)
(c)
图3-14 三种位置平面的H 面投影
二、各种位置直线的投影特性
1、一般位置直线
分别倾斜于三个投影面的平面，我们称为一般位置平面。平面倾斜于三个投影面的角度可以用平面的倾角表示，即平面与投影面的夹角，如图3-15（a ）表示，α角为平面P 与H 面的倾角，平面与H 、V 、W 面的倾角用α、β、γ表示。
一般位置平面在各个投影面上的投影均不反映实形，与原形类似且小于原形。如图3-14（a ）（b ）所示。
W
X
(a)(b)(c)
图3-14 平面的倾角和一般位置直线投影
2、特殊位置直线 （1）、平行于投影面的平面
对于三个投影面来说，投影面的平行面分为三种形式
表3-3 平行于投影面的平面
正平面—平行于V 面，垂直于H 、W 面。 水平面—平行于H 面，垂直于V 、W 面。 侧平面—平行于W 面，垂直于H 、V 面。
根据表3-3所示，可以归纳平行于投影面的平面的投影规律： 平行于各个投影面的平面，在它所平行的投影面上反映实形。
平行于投影面的平面在其它两个投影面上积聚为直线，且平行于投影轴。 （2）、垂直于投影面的平面
垂直于投影面的平面分为三种形式。
表
3-4 垂直于投影面的平面
铅垂面—垂直于H 面，倾斜于V 、W 面。
正垂面—垂直于V 面，倾斜于H 、W 面。 侧垂面—垂直于W 面，倾斜于H 、V 面。
根据表3-4所示，可以归纳垂直于投影面的平面的投影规律：
垂直于投影面的平面在垂直的投影面上积聚为一条直线，倾角反映平面对两个投影面的倾角。 垂直于投影面的平面在另两个投影面上的透影为平面，比原形小且与原形类似。
三、平面上的直线和点
1、平面内的直线
如果一条直线通过平面内的两个点，或者直线透过平面内的一个点，且平行于该平面内的一条直线，那么直线在该平面内。
11
(a)(b)
图3-15 平面内的直线
如图3-15（a ）所示，点E 通过直线AB ，直线CD 是平面P 内的一条直线，且直线AB ∥CD ，那么我们可以断定直线AB 在平面P 内；如图3-15（b ）所示，直线AB 的两端点在平面P 内，我们可以断定，直线AB 在平面P 内，反之，直线CD 的一个端点D 未在平面内，我们可以断定直线CD 不在平面P 内。
例3-4 已知四边形ABCD 的正面投影和水平投影如图3-16（a ）所示，求过过A 点的水平线的投影。
作图步骤： （1）、根据水平线的投影“一斜两直”的特性，可以断定过A 点的水平线在V 面的投影为一条直线，过a ′作平行于X 轴的直线交c ′d ′于e ′。 （2）、过e ′向下作垂直于X 轴的直线交于点e 。 （3）、连接ae ，即ae 为所求的水平线。
X
X
X
(a)(b)(c)
图3-16 过A 点求作水平线
2、平面内的点
点在平面内的一条直线上，则该点在平面内。
如图3-17（a ）所示，点C 在直线AB 上，直线AB 在平面内，那么，我们可以断定点C 在平面P 内；如图3-17（b ）所示，点C 我们可以断定在平面内，点D 所在的位置我们无法判定，它即不在直线上，也没在平面内，所以，我们无法判定。
12
(a)(b)
图3-17 平面内的点
例题3-5 已知三角形△ABC 内的一点D ，如图3-18（a ）所示，求作D 点的H 面投影。 作图步骤： （1）、过d ′作直线交a ′c ′、c ′d ′于点e ′、f ′。 （2）、过e ′、f ′作垂直于X 轴的垂线交ac 、cd 于点e 、f 。 （3）、过点d ′作垂线交ef 于点d ，即点d 为所求的水平投影。
X
X
X
(a)
(b)(c)
图3-18 求平面内D 点的水平投影
13
本章小结（采用树状结构，重要内容用阴影）（附小图片，全书一致）
参考文献
1 高远，魏艳平，何国青等，机械工业出版社，2007 2 陆书华，高等教育出版社，2007 3 乐河娜，湖南大学出版社，1987
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第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影
对于工程制图来说，点、线、面是其构成的基本要素。分析点、线、面的空间位置和投影特性是绘制投影图的基础。深入了解和掌握其原理是房屋建筑制图的依据。
一、 点的三面投影的形成及标注
点的投影仍是点。过空间点A 向投影面H 作垂直投射线，投影面与投射线相交于a ，如图3-1所示，则点a 是空间点A 在H 投影面上的投影。
通过图 3-1所示空间点A 向H 面投影，产生唯一点a ，由一点a 无法得到空间点A 的位置。因为在过点A 的投影线上有无数个点，需要两个或两个以上的投影，才能确定点的空间位置。
a
(a)
图3-1 点的投影
z
X a X
a Z
Y
Y Y H
(b)
H
W
z
a"
Y W
X a X
a Z
Y
W
Y W
Y H
(c)
图3-2 （a ）立体图 （b ）展开图 （c ） 投影图
二、点的三面投影规律
为作图方便和准确，我们经常用数字和字母来表示点、直线和面。空间的点用大写字母表示：如A 、B 、C 、D 、„或大写罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、„；点在投影面上的投影用小写字母表示：如在投影面H 上用a 、b 、c 、d 、„，在投影面V 上用a ˊb ˊc ˊd ˊ„，在投影面W 上用a 〞b 〞c 〞d 〞„。
1、点的三面投影
将空间点A 分别向三个投影面作正投影，如图3-2a 所示，空间点A 向H 、V 、W 面作分别垂直于投影面的投射线得到的投影a 、a ′、a 〞。将三面投影体系展开，V 面保持不动，H 面绕OX 轴向下旋转90°，W 面绕OZ 轴向后旋转90°，如图3-2b 所示，即得到点A 的三面投影图。根据以上分析得出点在三面投影体系中的规律。
点A 在V 面上的投影a ′，它与相邻投影a 连线相交于点a x 且垂直于OX 轴，即aa ′⊥OX 。 点A 在V 面上的投影a ′，它于相邻投影a 〞连线相交于点a z 且垂直于OZ 轴，即a ′a 〞⊥OZ 。 点A 在H 面上的投影到OX 轴的距离等于该点的W 面投影到OZ 轴的距离，即aa x ＝a 〞a z ，该点到V 面的距离。
以上分析可以看出，在三面投影体系中，其中任何两个投影都有一定的联系，只要给出任意一点的两个投影，就可以求处该点的第三个投影。
例 3-1 点A 的H 面、V 面投影a 、a ′，求作点A 的W 面投影。 作图步骤：
（1） 过a ′作OZ 轴的垂直线a ′a z 。
（2） 在a ′a z 的延长线上截取a 〞a z ＝aa x ，如图 3-3b所示，即a 〞为点A 在W 面上的投影。
作45°辅助线如图 3-3c所示也可以求出。
z
X
Y W
X a
Y H
(a)
z
X
a Z
Y W
X a
Y H
(b)
z
X
a Z
Y
H
W
a"
Y W
Y H
(c)
图 3-3 求点的第三面投影
根据已知点的正面投影和侧面投影作水平投影或已知点的侧面投影和水平投影同样可以求出正面投影。
2、点的投影规律
如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则两点在该投影面上的投影必定重合。如图3-4中可以看出，点A 、B 在同一投影面的同一投射线上，沿投射方向朝投影面观看，点A 、B 的H 面投影a 、b 重合于一点，这两点称为重影点。A 点可见，B 点不可见，在投影图中规定，重影点中不可见的点加括号表示—（b ），如图3-4所示。
图3-4 点的投影
三、点的坐标
将H 、V 、W 投影面组成三面投影面体系，如图3-5a 所示，空间的点和投影的位置可以由点的坐标来确定，那么各投影轴就相当于坐标轴，以O 为坐标原点，X 轴、Y 轴、Z 轴为坐标轴，空间点到三个投影面的距离就等于它的坐标。
点A 到H 面的距离为点A 的Z 轴坐标，即Aa ＝Oa z ； 点A 到V 面的距离为点A 的Y 轴坐标，即Aa ′＝Oa y ； 点A 到W 面的距离为点A 的X 轴坐标，即Aa 〞＝Oa x 。
V
A
Z a z
X
X
（a ） （b ）
图3-5 点的坐标与投影关系
如图3-5a 所示，空间点A 的坐标为A （x ，y ，z ），点A 的三面投影的坐标分别为a （x ，y ，o ）、a ′（x ，o ，z ）、a 〞（o ，y ，z ）。将三个投影面展开，我们可以看到点A 的X 、Y 坐标可以确定点A 的水平投影；点A 的X 、Z 坐标可以确定点A 的正投影；点A 的Y 、Z 坐标可以确定侧投影。即已知点的三面投影，可以得到点的三个坐标；反之，已知点的三个坐标也可以得到点的三面投影，
例3-2 已知点A 的坐标为A （15，10，20），求点A 的三面投影。 作图步骤：
（1） 设单位为5，
（2） 在OX 轴上取Oa x ＝15。
（3） 过a ′作OX 轴的垂直线a ′a ，aa x ＝10。
（4） 过a ′作OZ 轴的垂直线，截取a 〞a z ＝10，求得侧面投影a 〞。
如图3-6所示，通过已知点A 的三个坐标，求得它的三面投影，当空间点位于投影轴上时，它的两个坐标为零，即该点的两投影与点本身重合，第三个投影与原点重合；当空间点在一个投
影面内时，它的三个坐标中必有一个为零；在投影面或投影轴上的点，称为特殊位置点。
Z a z
O
Y W
X
a x a
Y
Z a z
O
a"
X
a x Y W
Y
（a ） （b ） （c ）
图3-6 已知点的两投影作第三投影
四、两点的相对位置及重影
1、两点的相对位置
空间两点的相对位置可以根据两点的三面投影和坐标差来判断。
空间两点的相对位置在投影图中：沿OX 方向为左右，沿OY H 或OY W 方向为前后，沿OZ 方向为上下；也可利用V 面投影判断两点的上下、左右，H 面投影判断两点的前后、左右位置，W 面投影判断两点的前后、上下关系。
已知A 、B 两点的三面投影。由H 面投影得知A 点在B 点的右后方，由V 面投影得知A 点在B 点的右、后、上方，由此可知，确定两点的相对位置只要相邻的一组投影即可。
a' Z O a b
a"
b" Y W
X
图3-7 判断两点的相对位置
Y H
2、重影点
如果两点位于同一投影面的同一投射线上，则两点在该投影面上必定重合，该两点称为重影点。我们把两点重合的性质叫重影性。
如图3-8a 所示，两点A 、B 在同一投射线上，因此它们的水平投影重合，投影点a 、b 为水平面H 的重影点。根据H 面或W 面投影可以看出，A 在B 的正前方，点A 可见，点B 不可见，A 遮挡B 。表明a ′（b ′）为V 面投影的重合点；如图3-8b 所示，根据V 面或W 面看出，点C 在点D 的正上方，C 点可见，D 点不可见，c （d ）为H 面上的重影点；同理E 、F 的侧投影e 〞（f 〞）为W 面的重影点，且E 点可见，F 点不可见，如图3-8c 所示。
以上分析表明，两点在同一投影面的同一投射线上时，就会产生判断可见和不可见的问题，可见性是相对于一个投影面来说的，坐标大者可见，坐标小者不可见。
Z
a'(b')
X
Z
a'(b')X
b a
Y H b" a" Y W
X
Y
H
X
Z d"
Y
Z
c' d' c(d)
Y W
X
Y H
e' f'
X
e'
f'
F
Z Y
Z e"(f")Y W
Y H
（a ） （b ） （c ）
图3-8 重影点的投影
第二节 直线的投影
一、直线的表示法及直线投影的形成
按照几何条件“两点决定一条直线”的原则，可以在作出直线的两点的投影后，将两点的投影连接起来，就是直线的投影。即求作空间直线的投影，只要作出直线上两点的投影，并 将两点连线即可。如图3-9所示。
B
图3-9 直线投影的形成
在投影图中，可见的直线的投影均用粗实线表示，同细实线所绘制的其它作图线
一、各种位置直线的投影特性
1、 一般位置直线
分别倾斜于三个投影面的直线，称为一般位置直线。一般位置直线与三个投影面H 、V 、W 的倾角用α、β、γ表示，且一般位置直线在投影面上的投影都不反映实长，如图3-10a
所示，三个面的投影与投影轴的夹角亦不反映真实大小。
X
W
（a ）
（b ）
图3-10一般直线的倾角和投影
如图3-10b 所示，一般位置直线的投影规律为：一般位置直线的投影不反映实长，比实长小。 2、 特殊位置直线
我们通常把投影面的平行线和投影面垂直线称为特殊位置直线。 （1）、投影面平行线
平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。对于三个投影面来说，投影面平行线又可分为：水平线—平行于H 面，倾斜于V 、W 面；正平线—平行于V 面，倾斜于H 、W 面；侧平线—平行于W 面，倾斜于H 、V 面。
表3-1 投影面平行线的投影特性
如表3-1可以看出，平行于投影面的直线的投影特性为：平行于投影面的直线反映实长，在其它两个投影面上分别平行于投影轴。
（2）、投影面垂直线
直线垂直于一个投影面而平行于另外两个投影面，我们称为投影面的垂直线。对于三个投影面来说，投影面垂直线又可分为：铅垂线—垂直于H 面，平行于V 、W 面；正垂线—垂直于V 面，平行于H 、W 面；侧垂线—垂直于W 面，平行于H 、V 面。
表3-2 投影面垂直线的投影特性
如表3-2可以看出，投影面的垂直线的投影特性为：垂直于一个投影面的直线在投影面上反映为一点，在其它两个投影面上分别平行于投影轴的实长直线。 （3）、直线上的点
直线是由直线上无数个点的集合组成。也就是说直线上的点的投影，必定在直线的同面投影上，反之，一点的投影都在直线的各个投影面的同面投影上，则点必定在直线上。由此可以断定一点是否在一条直线上，如图3-11所示。
根据图3-11所示，可以说明直线上点的投影特性如下：
直线上点的各面投影必定在直线的同面投影上，且符合点的投影规律。
如图3-11a 所示，假假设点C 在直线AB 上，过点C 分别作H 、V 面投影，点C 的H 面投影c 在直线AB 的H 面投影ab 上，点C 的V 面投影c ′在直线AB 的V 面投影a ′b ′上，所以点C 在直线AB 上。反之点C 则不在直线AB 上。
如果点分割的直线段成比例，则点的投影同比例分割同面直线段的投影。 如图3-11所示，根据平面几何关系得知：直线被C 点分割后的比例以及在各投影面的投影的比例不变，点C 把直线AB 分割成BC 、CA 两条线段，两条线段的比和V 面投影b ′c ′、c ′a ′的比
值相等，和H 面的投影bc 、ca 的比值相等，即BC ：CA ＝b ′c ′：c ′a ′＝bc ：ca 。
X
X
（a ） (b)
图3-11 直线上点的投影
例3-3 直线AB 的投影如图3-12所示，如果将直线AB 按2：3进行分割，求作分割后直线AB 的投影。
作图步骤： （1）、过点a 作一条直线ab 0，并把直线ab 0分成5等份。 （2）、找出直线投影ab 上的分割点c 使ac ：cb ＝2：3。
（3）、过点c 作垂直线交于点c ′即点c 、c ′为分割点C 的投影。
X
X
X
(a)(b)(c)
图3-12 求直线AB 上分割点C 的投影
第三节 平面的投影
一、平面的表示法及平面投影的形成
1、平面的表示法
由几何学知识可知，平面的表示方法有以下几种： （1）、不在一条直线上的三个点。（如图3-13a ） （2）、一条直线和线外一点。（如图3-13b ） （3）、两条相交的直线。（如图3-13c ）
（4）、两条平行的直线。（如图3-13d ） （5）、任一平面。（如图3-13e ）
这五种表示方法叫平面的几何表元素示法。前面四种是无界的，第五种是有界的。这几种表示法可以互相转换。（平面图形属于有界的表示法）
X
c
(a)
c' O
X
(b)
X
(c)
X
(d)
X
(e)
图3-13 平面的表示法（几何元素表示法）
2、平面的投影
平面相对空间位置来说，有三种位置平面：垂直于投影面的平面、平行于投影面的平面和倾斜于投影面的平面，前两种统称为特殊位置平面。
平面垂直于投影面时，平面图形在该投影面积聚为一条直线如图3-14（a ）所示，当平面平行于投影面时，平面图形在该投影面反映实形如图3-14（b ）所示，当平面倾斜于投影面时，平面图形在该投影面上的投影为原形，但比实形小如图
3-14（c ）所示。
(a)(b)
(c)
图3-14 三种位置平面的H 面投影
二、各种位置直线的投影特性
1、一般位置直线
分别倾斜于三个投影面的平面，我们称为一般位置平面。平面倾斜于三个投影面的角度可以用平面的倾角表示，即平面与投影面的夹角，如图3-15（a ）表示，α角为平面P 与H 面的倾角，平面与H 、V 、W 面的倾角用α、β、γ表示。
一般位置平面在各个投影面上的投影均不反映实形，与原形类似且小于原形。如图3-14（a ）（b ）所示。
W
X
(a)(b)(c)
图3-14 平面的倾角和一般位置直线投影
2、特殊位置直线 （1）、平行于投影面的平面
对于三个投影面来说，投影面的平行面分为三种形式
表3-3 平行于投影面的平面
正平面—平行于V 面，垂直于H 、W 面。 水平面—平行于H 面，垂直于V 、W 面。 侧平面—平行于W 面，垂直于H 、V 面。
根据表3-3所示，可以归纳平行于投影面的平面的投影规律： 平行于各个投影面的平面，在它所平行的投影面上反映实形。
平行于投影面的平面在其它两个投影面上积聚为直线，且平行于投影轴。 （2）、垂直于投影面的平面
垂直于投影面的平面分为三种形式。
表
3-4 垂直于投影面的平面
铅垂面—垂直于H 面，倾斜于V 、W 面。
正垂面—垂直于V 面，倾斜于H 、W 面。 侧垂面—垂直于W 面，倾斜于H 、V 面。
根据表3-4所示，可以归纳垂直于投影面的平面的投影规律：
垂直于投影面的平面在垂直的投影面上积聚为一条直线，倾角反映平面对两个投影面的倾角。 垂直于投影面的平面在另两个投影面上的透影为平面，比原形小且与原形类似。
三、平面上的直线和点
1、平面内的直线
如果一条直线通过平面内的两个点，或者直线透过平面内的一个点，且平行于该平面内的一条直线，那么直线在该平面内。
11
(a)(b)
图3-15 平面内的直线
如图3-15（a ）所示，点E 通过直线AB ，直线CD 是平面P 内的一条直线，且直线AB ∥CD ，那么我们可以断定直线AB 在平面P 内；如图3-15（b ）所示，直线AB 的两端点在平面P 内，我们可以断定，直线AB 在平面P 内，反之，直线CD 的一个端点D 未在平面内，我们可以断定直线CD 不在平面P 内。
例3-4 已知四边形ABCD 的正面投影和水平投影如图3-16（a ）所示，求过过A 点的水平线的投影。
作图步骤： （1）、根据水平线的投影“一斜两直”的特性，可以断定过A 点的水平线在V 面的投影为一条直线，过a ′作平行于X 轴的直线交c ′d ′于e ′。 （2）、过e ′向下作垂直于X 轴的直线交于点e 。 （3）、连接ae ，即ae 为所求的水平线。
X
X
X
(a)(b)(c)
图3-16 过A 点求作水平线
2、平面内的点
点在平面内的一条直线上，则该点在平面内。
如图3-17（a ）所示，点C 在直线AB 上，直线AB 在平面内，那么，我们可以断定点C 在平面P 内；如图3-17（b ）所示，点C 我们可以断定在平面内，点D 所在的位置我们无法判定，它即不在直线上，也没在平面内，所以，我们无法判定。
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(a)(b)
图3-17 平面内的点
例题3-5 已知三角形△ABC 内的一点D ，如图3-18（a ）所示，求作D 点的H 面投影。 作图步骤： （1）、过d ′作直线交a ′c ′、c ′d ′于点e ′、f ′。 （2）、过e ′、f ′作垂直于X 轴的垂线交ac 、cd 于点e 、f 。 （3）、过点d ′作垂线交ef 于点d ，即点d 为所求的水平投影。
X
X
X
(a)
(b)(c)
图3-18 求平面内D 点的水平投影
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本章小结（采用树状结构，重要内容用阴影）（附小图片，全书一致）
参考文献
1 高远，魏艳平，何国青等，机械工业出版社，2007 2 陆书华，高等教育出版社，2007 3 乐河娜，湖南大学出版社，1987
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