2014年广州市高中二年级数学水平测试（附答案）
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1、已知集合M={1,2,4,8}，N={2,4,6,8}，则M
N=( ).
A.{2,4} 8} B.{2,4，C.{1,6} D.{1，2,4,6，8}
2
、下列函数中，与函数y=
定义域相同的函数为( ). A.y=
1 x
B.
y C.y=x-2 D.y=lnx
3、设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=( ).
A.1 B.2 A.6 C.18
5、将函数y=cosx的图像向左平移
C. 3D.5 B.9
D.36
正视图
4
侧视图
4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( ).
π
个单位，得到函数y=f(x) 2
俯视图
的图像，则下列说法正确的是( ).
A.y=f(x)的最小正周期为π π
C.y=f(x)的图像关于点(,0)对称
2
a
b
B.y=f(x)是偶函数
D.y=f(x)在区间[0,]上是减函数
2
π
6、已知2>2>1，则下列不等关系式中正确的是( ).
A.sina>sinb
B.log2a
C.()a>()b
131311D.()a
33
7、在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则ABBC=( ).
A.18 B.36 C.-18 D.-36
⎧x+y-6≤0,
⎪
8、设x,y满足约束条件⎨x-3y+2≤0, 则z=x-2y的最小值为( )
⎪3x-y-2≥0,⎩
A.-10
B.-6
C.-1 D.0
9、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=ax+1-3（a为常数），则f(-1)的值为( )
A.-6
B.-3 C.-2 D.6
10、小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲乙两地的平均速度为v，则( )
A.v=
a+b
2
B.v=ab
C.ab
a+b
D.b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11、过点(-3,0)且与直线x+4y-2=0平行的直线方程是______ 12、如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为______
13、执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是______
14、在∆ABC中，已知AB=6，cosC=
，A=2C，则BC的长为______ 3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、（本小题满分12分）
实验室某一天的温度（单位：oC）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
π⎫⎛π
f(t)=4sin t-⎪,t∈[0,24].
⎝123⎭
（1）求实验室这一天上午10点的温度；
（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低.
16、（本小题满分12分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下
（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率. ．．
17、（本小题满分14分）
如图所示，四棱锥
P-ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点.
面ACE； （1）求证：PD//平
面ACE⊥平面PBC. （2）求证：平
18、（本小题满分14分）
2
2
B
已知直线ax-y+5=0与圆C：x+y=9相交于不同两点A，B. （1）求实数a的取值范围
1)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a的 （2）是否存在实数a，使得过点P(-2，
值；若不存在，请说明理由.
19、（本小题满分14分）
已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a1+a2，2(a1+a4)成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列⎨
⎧an⎫
的前n项和为Sn，求证：Sn
20、（本小题满分14分）
已知a∈R，函数f(x)=xx-a.
（1）当a=2时，求函数y=f(x)的单调递增区间； （2）求函数g(x)=f(x)-1的零点个数.
数学参考答案
一、选择题
二、填空题
11、x+4y+3=0 12、0.14π 13、21 14、三、解答题
15、解：（1）依题意f(t)=4sin(
t-),t∈[0,24]
123
ππ
实验室这一天上午10点，即t=10时，
f(10=)
4i⨯n(10=123
πππ
2
4= sin，4
所以上午10点时，温度为4C. （2）因为0≤t≤24，所以-
π
3
≤
π
12
t-
π
3
≤
5π
， 3
5π
t-令θ=，即-≤θ≤，所以12333
Bπ5π
y=4sθiθn∈-[ ,]
33
3π3π
=-4 故当θ=时，即t=22时，y取得最小值，ymin=4sin22
故当t=22时，这一天中实验室的温度最低。
16、解：（1）依题意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28（吨） 其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19吨 设事件A为“可回收垃圾投放正确”
πππ
=所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为P（A）
（2）据数据统计，总共抽取了100吨生活垃圾
19 28
其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”，“其他垃圾”投放正确的数量 分别为24吨，19吨，14吨，13吨。
故生活垃圾投放正确的数量为24+19+14+13=70吨 所以，生活垃圾投放错误的总量为100-70=30吨 设事件B“生活垃圾投放错误”
故可估计生活垃圾投放错误的概率为P(B)=17、证明：（1）连BD交AC于O,连EO ABCD为矩形，∴O为BD中点
303
= 10010
E为PB中点，∴EO∥PD
EO⊂面ACE
,
PD⊄面ACE
，
∴PD
∥面
AC（
2）
PA⊥面ABCD,BC⊂面ABCD，∴PA⊥BC
ABCD为矩形，∴BC⊥AB PA AB=A，∴BC⊥面PAB
AE⊂面PAB，∴BC⊥AE
AP=AD,E为PB中点，∴AE⊥PB
BC PB=B，∴AE⊥面PBC AE⊂面ACE，∴面ACE⊥面PBC
18、解：（1）圆C的圆心C:(0,0)，r=3，C到直线ax-y+5=0距离为d=
5a+1
2
直线ax-y+5=0与圆C相交，∴d
∴5
44
或a
33
（2） AB为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴lPC与ax-y+5=0垂直
111
=-，kAB=a，∴-a=-1，∴a=2 -222
44
a=2符合（1）中的a>或a
33
而kPC=
∴存在a=2，使得过P(-2,1)的直线l垂直平分弦AB
19、解：（1）{an}为等差数列，∴a2=a1+d=a1+2，a4=a1+3d=a1+6
a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列
∴(a1+a2)2=2a1(a1+a4)，故有(2a1+2)2=2a1(2a1+6)，
解得a1=1，∴an=1+2⨯(n-1)=2n-1.
（2）
an2n-1
=2n-12n-1 1352n-1Sn=0+1+2+...+n-1
2222
11352n-1Sn=+++..+.
21222322n
¡é¨´ ¡é¨²
11(1-n-1)
2n-1111112n-1¡é¨´-¡é¨²得Sn=1+2(1+2+3+...n-1)- =1+2⨯-n
222222n21-2
12n-142n-12n+3
=1+2-n-2-n=3-(n+n)=3-
22222n
2n+3
. 2n-12n+32n+3
n∈N*,n-1>0，∴Sn=6-n-1
22 ∴Sn=6-
20、解：（1）当a=2时，f(x)=xx-2
当x≥2时，f(x)=x-2x，f(x)=x-2x的对称轴为x=1
2
2
所以，f(x)=x-2x的单调递增区间为(2,+∞)
2
当x
2
2
所以，f(x)=-x+2x的单调递增区间为(-∞,1)
2
2
⎧⎪x-ax,(x≥a)（2）令g(x)=f(x)-1=0，即f(x)=1，f(x)=⎨2 ⎪⎩-x+ax,(x
求函数g(x)的零点个数，即求y=f(x)与y=1的交点个数； 当x≥a时，f(x)=x-ax，f(x)=x-ax的对称轴为x=
2
2
a
2a 2
当x
2
2
¡é¨´当a=0时，f(x)=xx， 故由图像可得，
y=f(x)与y=1只存在一个交点.
a
¡é¨²当a>0时，
2
故由图像可得，
⎛a⎫af ⎪=， ⎝2⎭4
2
⎛a⎫a
1 当a=2时，f ⎪==1，
24⎝⎭
2
y=f(x)与y=1只存在两个交点； ⎛a⎫a
2 当0
⎝2⎭4
2
y=f(x)与y=1只存在一个交点；
⎛a⎫a
>1， 3 当a>2时，f ⎪=
24⎝⎭
2
y=f(x)与y=1只存在三个交点.
¡é?当a
a
>a， 2
故由图像可得，
y=f(x)与y=1只存在一个交点.
综上所述：当a>2时，g(x)存在三个零点；
当a=2时，g(x)存在两个零点； 当a
2014年广州市高中二年级数学水平测试（附答案）
数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1、已知集合M={1,2,4,8}，N={2,4,6,8}，则M
N=( ).
A.{2,4} 8} B.{2,4，C.{1,6} D.{1，2,4,6，8}
2
、下列函数中，与函数y=
定义域相同的函数为( ). A.y=
1 x
B.
y C.y=x-2 D.y=lnx
3、设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=( ).
A.1 B.2 A.6 C.18
5、将函数y=cosx的图像向左平移
C. 3D.5 B.9
D.36
正视图
4
侧视图
4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( ).
π
个单位，得到函数y=f(x) 2
俯视图
的图像，则下列说法正确的是( ).
A.y=f(x)的最小正周期为π π
C.y=f(x)的图像关于点(,0)对称
2
a
b
B.y=f(x)是偶函数
D.y=f(x)在区间[0,]上是减函数
2
π
6、已知2>2>1，则下列不等关系式中正确的是( ).
A.sina>sinb
B.log2a
C.()a>()b
131311D.()a
33
7、在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则ABBC=( ).
A.18 B.36 C.-18 D.-36
⎧x+y-6≤0,
⎪
8、设x,y满足约束条件⎨x-3y+2≤0, 则z=x-2y的最小值为( )
⎪3x-y-2≥0,⎩
A.-10
B.-6
C.-1 D.0
9、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=ax+1-3（a为常数），则f(-1)的值为( )
A.-6
B.-3 C.-2 D.6
10、小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲乙两地的平均速度为v，则( )
A.v=
a+b
2
B.v=ab
C.ab
a+b
D.b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11、过点(-3,0)且与直线x+4y-2=0平行的直线方程是______ 12、如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为______
13、执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是______
14、在∆ABC中，已知AB=6，cosC=
，A=2C，则BC的长为______ 3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、（本小题满分12分）
实验室某一天的温度（单位：oC）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
π⎫⎛π
f(t)=4sin t-⎪,t∈[0,24].
⎝123⎭
（1）求实验室这一天上午10点的温度；
（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低.
16、（本小题满分12分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下
（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率. ．．
17、（本小题满分14分）
如图所示，四棱锥
P-ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点.
面ACE； （1）求证：PD//平
面ACE⊥平面PBC. （2）求证：平
18、（本小题满分14分）
2
2
B
已知直线ax-y+5=0与圆C：x+y=9相交于不同两点A，B. （1）求实数a的取值范围
1)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a的 （2）是否存在实数a，使得过点P(-2，
值；若不存在，请说明理由.
19、（本小题满分14分）
已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a1+a2，2(a1+a4)成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列⎨
⎧an⎫
的前n项和为Sn，求证：Sn
20、（本小题满分14分）
已知a∈R，函数f(x)=xx-a.
（1）当a=2时，求函数y=f(x)的单调递增区间； （2）求函数g(x)=f(x)-1的零点个数.
数学参考答案
一、选择题
二、填空题
11、x+4y+3=0 12、0.14π 13、21 14、三、解答题
15、解：（1）依题意f(t)=4sin(
t-),t∈[0,24]
123
ππ
实验室这一天上午10点，即t=10时，
f(10=)
4i⨯n(10=123
πππ
2
4= sin，4
所以上午10点时，温度为4C. （2）因为0≤t≤24，所以-
π
3
≤
π
12
t-
π
3
≤
5π
， 3
5π
t-令θ=，即-≤θ≤，所以12333
Bπ5π
y=4sθiθn∈-[ ,]
33
3π3π
=-4 故当θ=时，即t=22时，y取得最小值，ymin=4sin22
故当t=22时，这一天中实验室的温度最低。
16、解：（1）依题意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28（吨） 其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19吨 设事件A为“可回收垃圾投放正确”
πππ
=所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为P（A）
（2）据数据统计，总共抽取了100吨生活垃圾
19 28
其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”，“其他垃圾”投放正确的数量 分别为24吨，19吨，14吨，13吨。
故生活垃圾投放正确的数量为24+19+14+13=70吨 所以，生活垃圾投放错误的总量为100-70=30吨 设事件B“生活垃圾投放错误”
故可估计生活垃圾投放错误的概率为P(B)=17、证明：（1）连BD交AC于O,连EO ABCD为矩形，∴O为BD中点
303
= 10010
E为PB中点，∴EO∥PD
EO⊂面ACE
,
PD⊄面ACE
，
∴PD
∥面
AC（
2）
PA⊥面ABCD,BC⊂面ABCD，∴PA⊥BC
ABCD为矩形，∴BC⊥AB PA AB=A，∴BC⊥面PAB
AE⊂面PAB，∴BC⊥AE
AP=AD,E为PB中点，∴AE⊥PB
BC PB=B，∴AE⊥面PBC AE⊂面ACE，∴面ACE⊥面PBC
18、解：（1）圆C的圆心C:(0,0)，r=3，C到直线ax-y+5=0距离为d=
5a+1
2
直线ax-y+5=0与圆C相交，∴d
∴5
44
或a
33
（2） AB为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴lPC与ax-y+5=0垂直
111
=-，kAB=a，∴-a=-1，∴a=2 -222
44
a=2符合（1）中的a>或a
33
而kPC=
∴存在a=2，使得过P(-2,1)的直线l垂直平分弦AB
19、解：（1）{an}为等差数列，∴a2=a1+d=a1+2，a4=a1+3d=a1+6
a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列
∴(a1+a2)2=2a1(a1+a4)，故有(2a1+2)2=2a1(2a1+6)，
解得a1=1，∴an=1+2⨯(n-1)=2n-1.
（2）
an2n-1
=2n-12n-1 1352n-1Sn=0+1+2+...+n-1
2222
11352n-1Sn=+++..+.
21222322n
¡é¨´ ¡é¨²
11(1-n-1)
2n-1111112n-1¡é¨´-¡é¨²得Sn=1+2(1+2+3+...n-1)- =1+2⨯-n
222222n21-2
12n-142n-12n+3
=1+2-n-2-n=3-(n+n)=3-
22222n
2n+3
. 2n-12n+32n+3
n∈N*,n-1>0，∴Sn=6-n-1
22 ∴Sn=6-
20、解：（1）当a=2时，f(x)=xx-2
当x≥2时，f(x)=x-2x，f(x)=x-2x的对称轴为x=1
2
2
所以，f(x)=x-2x的单调递增区间为(2,+∞)
2
当x
2
2
所以，f(x)=-x+2x的单调递增区间为(-∞,1)
2
2
⎧⎪x-ax,(x≥a)（2）令g(x)=f(x)-1=0，即f(x)=1，f(x)=⎨2 ⎪⎩-x+ax,(x
求函数g(x)的零点个数，即求y=f(x)与y=1的交点个数； 当x≥a时，f(x)=x-ax，f(x)=x-ax的对称轴为x=
2
2
a
2a 2
当x
2
2
¡é¨´当a=0时，f(x)=xx， 故由图像可得，
y=f(x)与y=1只存在一个交点.
a
¡é¨²当a>0时，
2
故由图像可得，
⎛a⎫af ⎪=， ⎝2⎭4
2
⎛a⎫a
1 当a=2时，f ⎪==1，
24⎝⎭
2
y=f(x)与y=1只存在两个交点； ⎛a⎫a
2 当0
⎝2⎭4
2
y=f(x)与y=1只存在一个交点；
⎛a⎫a
>1， 3 当a>2时，f ⎪=
24⎝⎭
2
y=f(x)与y=1只存在三个交点.
¡é?当a
a
>a， 2
故由图像可得，
y=f(x)与y=1只存在一个交点.
综上所述：当a>2时，g(x)存在三个零点；
当a=2时，g(x)存在两个零点； 当a