轴对称变换的应用-最短路线问题
一. 教材分析
随着课程标准的颁布与实施, 数学教学的任务已转变为关注每一个学生的情感, 态度, 价值观和一般能力的发展. 课堂 教学从传统的集中于数学的内容方面, 转变到数学的过程方面, 其核心是给学生提供 机会, 创造机会, 通过" 问题情境--建立数学模型--解释, 应用, 拓展" 的学习过程, 让每个学生在生动 具体的情境中参与数学学习, 亲自体验数学的生存和发展个过程, 通过学生自己动手去做, 通过积极主动地探索去建立自己的理解, 在自身活动的过程中学习和理解数学, 掌握数学知识和技术应用的方法与途径. 本堂课是浙教版初二上学期数学内容, 基于轴对称图形和图形平移旋转变换引申的一节与实际生活相关, 解决最短路线问题的应用课。 二. 学习对象分析 1. 学习对象
本课是初二学生数学学习的《轴对称变换》内容，经过之前的学习，学生已经初步掌握了什么是轴对称图形, 如何寻找对称点，有一定的几何识别能力和简单的作图能力，但学生在之前的学习过程中联系实际生活的机会相对较少, 对实际问题的解决有一定困难。另外，学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来仍有一定难度。 2. 知识基础
（1）学生已经学习了轴对称图形的定义、图象、以及如何找到轴对称图形的对称点.
（2）学生已经学习过简单的图形变换, 如何平移, 旋转，能够从运动变化的角度认识轴对称变换的关键是对称点的确定. 。 3. 能力基础
（1）学生通过对轴对称图形的学习和图形变换的掌握, 对一些几何图形的平移和旋转有一定的能力，由观察到实际的数学操作过程已有一定体会，已初步掌握解决实际问题的能力.
（2）数学学习与实际问题的结合是学生学习过程中学生最感兴趣的一方面, 所以本节课的完美学习对学生解决实际问题的能力大有提高. 4. 学习风格分析
(1）对新鲜事物有强烈的好奇心，并喜欢积极去探索新事物，发现新现象。学生思维的敏捷性、灵活性、深刻性、独创性和批判性明显增强。
（2）学生想要利用网络资源进行学习，去了解更多的新知识，这是我们信息化教学的后盾。 三. 学习目标
1. 知识目标
(1)能运用轴对程变换和平移变换解决一些常见的最短路线问题； (2)能初步说明路线最短的理由。 2. 能力目标
(1)从学生已有生活经验出发, 让学生亲身经历把实际问题抽象成数学模 并解释和应用的过程, 培养学生的数学建模能力；
(2)让学生体会运用转化思想, 把复杂问题简单化的思维过程, 从而培养学生的转化思维能力。
3. 情感态度与价值观:让学生通过建模和应用的过程体验数学充满着探索和创造, 从而激发学生的学习好奇心和求知欲。 四. 学习重难点
1. 学习重点:学会画两点一线型(同侧、 异侧) 、两点两线型（一点两线型）（外部、内部）、垂直型的最短路线。
2. 学习难点：说明路线最短的理由。 五. 学习研究目标
1. 师生共同学习和探究几何画板、Microsoft Math等数学应用软件。培养学生应用数学应用软件的能力，特别是网络等与现代媒体相关的软件的应用能力。
2. 探索在组织学生进行探究性学习中，如何打破课堂内外的约束，将课内外活动有机结合起来。并探究如何组织现代教育技术教学能使学生学习效能提升。
六. 学习思路设计
1. 课程目标的确立上：除了原有目标外，着眼于社会的需求和现代信息技术的普及，重点突出了学生学习知识后的应用能力和情感的培养，使学生能真正树立一定的动手操作和实践交流的能力，并能在实践活动中，学习现代教育技术应用软件。
2. 学习内容的调整上：根据实际生活需要，将轴对称变换和最短路线问题联系起来，使学生掌握解决实际问题的能力。
3. 教学方法和手段:本堂课从学生已有的认知水平出发，采用“预备知识—问题情境—建立模型—解释应用—模仿练习—迁移拓展”展开，让学生亲身经历知识的发生、发展、形成和应用的过程，重视学生的合作讨论。
4. 学习流程
预备知识—问题情境—建立模型—解释应用—模仿练习—迁移拓展 七. 学习软件设计
1．课前教师用PowerPoint 制作演示文稿，在投影中体现课题、学习目标、学习方法提示、思考问题等。
2．课前利用《几何画板》 制作四个题目的图像
3．课前使用Dreamweaver 制作网络课件，将教学中要用到的知识信息和生活实例信息，通过超链接的方式与网页中有关内容连接。
5．将准备好的信息资料和课件存放在局域网服务器上，为学生在课后创造一个自主、探究、开放的网络学习环境。 八. 学习准备
让学生课前每人亲自找到一个对称的图形，根据已有知识找对称轴，对称点。（教师用投影显示三角形 、正方形）
设计问题:这几个图形都是什么对称图形? 它们的对称轴，对称点分别是什么，请同学们自己画出来。 九. 课时安排：1课时
轴对称变换的应用—最短路线问题 十. 学习程序设计 1. 学习流程图
符号说明：
媒体运用：学生利用媒体操作、学习：
2. 详细教学设计
轴对称变换的应用-最短路线问题
（一 ）预备知识，创设问题情境
复习找对称点的方法, 以生活情境引入基本模型:两点一线型（两点异侧）的最短路线问题。
教师活动：教师组织播放课件并提出问题， 学生活动：学生独立思考并解决问题
设计意图：强化学生已有的知识经验，为本堂课的问题解决作好知识铺垫。 （二） 探究新知
1提炼--建立数模型
例1：如图1所示，要在燃气管道Ｌ上修剪一个泵站，分别向A,B 两镇供气。
（教师将题目投影）提问：泵站修在管道的什么地方，可使所用输气管线最短？
A·
·B
L
图1
教师活动：教师用几何画板做出题目所示图形，标出已知的AB 两镇。 学生活动：小组讨论交流，提出解决方案。学生回答，交流，讨论，归纳出两点一线型（两点同侧）转换成两点一线型（两点异侧）的方法。
师:用几何画板演示学生的答案。通过师生讨论归纳出新的数学模型和解法。两点一线型（两点同侧）------某一点作轴对称变换-------转换成两点一线型（两点异侧）, 从而问题得解。
设计意图：由于建模对学生能力的要求比较高，所以在教学中适当做些铺垫，启发和引导，让学生经历模型的发生，发展和形成过程。
2模仿—熟悉数学模型
练习1：如图2所示，一个港湾内停留了M ，N 两条轮船。由于某种原因，M 船的船长需要先到A 岸接一个人，再与N 船汇合
（教师投影题目）提出问题：M 船长应如何行驶，才能使M 船所行驶的航
线最短？做出图形。
·N
·M
图2 B
教师活动：教师用几何画板做出题目所示图形，标出已知的MN 两点 学生活动：学生讨论得出归结到两点（同侧）一线型，然后学生先独立练习，然后同桌互助。
师：组织审题，投影学生作品 生：讨论结果，得出最佳答案。
设计意图：本练习通过改变问题的背景，让学生在模仿例１的解答过程中，进一步熟悉模型的特征及其解法。
3拓展---揭示模型本质
例2：如图3所示，一个港湾内停留了M ，N 两艘轮船，由于某种原因，若M 船的船长从M 处出发，先到OA 岸，再到OB 岸，最后与N 船汇合。 （教师投影题目）提出问题：M 船的船长应如何行驶，才能使M 船所行驶的航线最短？做出图形并说明理由。
A
·N
·M
图3 B
教师活动：教师出示问题，组织学生活动。
学生活动：学生回答，交流，讨论，归纳出两点两线型（内部）转换成两点两线型（外部）的方法
教师活动：两点两线型（内部）－――两点都作轴对称变换――转换成两点两线型（外部），从而得解。简述路线最短的理由
设计意图：本题的航线是三段折线，但问题得本质不变，都是根据轴对称变换把内部两点转换到直线的外侧，从而把折线问题转换为直线（线段）。
4创新应用
例3：如图4所示，甲乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥。
（教师投影题目）提出问题：桥建在何处，才能使甲到乙的路线最短？（要求桥必须与街道垂直），请画出图形。
甲
· a
b
乙
图4
·
学生活动：小组之间讨论，得出先在与河岸垂直方向平移桥，转化成两点一线型（异侧）的模型解决。
教师总结：两点两线型（点在外部）型的变式，关键是桥长不变且桥与河岸垂直，所以先考虑把桥的长度平移掉，从而转换成两点两点一线型（两点异侧）问题求解。 （三）总结归纳
老师总结本小节课所学习的内容，主要研究了两点一线型（点在外部）型, 两点两线型（点在外部）型的变式，关键是转换成两点一线型(点在内部) 型, 两点一线型（两点异侧）问题求解。
强调学生需要注意的问题，再让学生纷纷畅谈本节课学习的感受和收获。 设计意图：了解学生的学习情况和最节课的体会。 （四）布置作业
课后练习，找出现实生活中的最短路线问题，小组交流并找出最佳方案。
轴对称变换的应用-最短路线问题
一. 教材分析
随着课程标准的颁布与实施, 数学教学的任务已转变为关注每一个学生的情感, 态度, 价值观和一般能力的发展. 课堂 教学从传统的集中于数学的内容方面, 转变到数学的过程方面, 其核心是给学生提供 机会, 创造机会, 通过" 问题情境--建立数学模型--解释, 应用, 拓展" 的学习过程, 让每个学生在生动 具体的情境中参与数学学习, 亲自体验数学的生存和发展个过程, 通过学生自己动手去做, 通过积极主动地探索去建立自己的理解, 在自身活动的过程中学习和理解数学, 掌握数学知识和技术应用的方法与途径. 本堂课是浙教版初二上学期数学内容, 基于轴对称图形和图形平移旋转变换引申的一节与实际生活相关, 解决最短路线问题的应用课。 二. 学习对象分析 1. 学习对象
本课是初二学生数学学习的《轴对称变换》内容，经过之前的学习，学生已经初步掌握了什么是轴对称图形, 如何寻找对称点，有一定的几何识别能力和简单的作图能力，但学生在之前的学习过程中联系实际生活的机会相对较少, 对实际问题的解决有一定困难。另外，学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来仍有一定难度。 2. 知识基础
（1）学生已经学习了轴对称图形的定义、图象、以及如何找到轴对称图形的对称点.
（2）学生已经学习过简单的图形变换, 如何平移, 旋转，能够从运动变化的角度认识轴对称变换的关键是对称点的确定. 。 3. 能力基础
（1）学生通过对轴对称图形的学习和图形变换的掌握, 对一些几何图形的平移和旋转有一定的能力，由观察到实际的数学操作过程已有一定体会，已初步掌握解决实际问题的能力.
（2）数学学习与实际问题的结合是学生学习过程中学生最感兴趣的一方面, 所以本节课的完美学习对学生解决实际问题的能力大有提高. 4. 学习风格分析
(1）对新鲜事物有强烈的好奇心，并喜欢积极去探索新事物，发现新现象。学生思维的敏捷性、灵活性、深刻性、独创性和批判性明显增强。
（2）学生想要利用网络资源进行学习，去了解更多的新知识，这是我们信息化教学的后盾。 三. 学习目标
1. 知识目标
(1)能运用轴对程变换和平移变换解决一些常见的最短路线问题； (2)能初步说明路线最短的理由。 2. 能力目标
(1)从学生已有生活经验出发, 让学生亲身经历把实际问题抽象成数学模 并解释和应用的过程, 培养学生的数学建模能力；
(2)让学生体会运用转化思想, 把复杂问题简单化的思维过程, 从而培养学生的转化思维能力。
3. 情感态度与价值观:让学生通过建模和应用的过程体验数学充满着探索和创造, 从而激发学生的学习好奇心和求知欲。 四. 学习重难点
1. 学习重点:学会画两点一线型(同侧、 异侧) 、两点两线型（一点两线型）（外部、内部）、垂直型的最短路线。
2. 学习难点：说明路线最短的理由。 五. 学习研究目标
1. 师生共同学习和探究几何画板、Microsoft Math等数学应用软件。培养学生应用数学应用软件的能力，特别是网络等与现代媒体相关的软件的应用能力。
2. 探索在组织学生进行探究性学习中，如何打破课堂内外的约束，将课内外活动有机结合起来。并探究如何组织现代教育技术教学能使学生学习效能提升。
六. 学习思路设计
1. 课程目标的确立上：除了原有目标外，着眼于社会的需求和现代信息技术的普及，重点突出了学生学习知识后的应用能力和情感的培养，使学生能真正树立一定的动手操作和实践交流的能力，并能在实践活动中，学习现代教育技术应用软件。
2. 学习内容的调整上：根据实际生活需要，将轴对称变换和最短路线问题联系起来，使学生掌握解决实际问题的能力。
3. 教学方法和手段:本堂课从学生已有的认知水平出发，采用“预备知识—问题情境—建立模型—解释应用—模仿练习—迁移拓展”展开，让学生亲身经历知识的发生、发展、形成和应用的过程，重视学生的合作讨论。
4. 学习流程
预备知识—问题情境—建立模型—解释应用—模仿练习—迁移拓展 七. 学习软件设计
1．课前教师用PowerPoint 制作演示文稿，在投影中体现课题、学习目标、学习方法提示、思考问题等。
2．课前利用《几何画板》 制作四个题目的图像
3．课前使用Dreamweaver 制作网络课件，将教学中要用到的知识信息和生活实例信息，通过超链接的方式与网页中有关内容连接。
5．将准备好的信息资料和课件存放在局域网服务器上，为学生在课后创造一个自主、探究、开放的网络学习环境。 八. 学习准备
让学生课前每人亲自找到一个对称的图形，根据已有知识找对称轴，对称点。（教师用投影显示三角形 、正方形）
设计问题:这几个图形都是什么对称图形? 它们的对称轴，对称点分别是什么，请同学们自己画出来。 九. 课时安排：1课时
轴对称变换的应用—最短路线问题 十. 学习程序设计 1. 学习流程图
符号说明：
媒体运用：学生利用媒体操作、学习：
2. 详细教学设计
轴对称变换的应用-最短路线问题
（一 ）预备知识，创设问题情境
复习找对称点的方法, 以生活情境引入基本模型:两点一线型（两点异侧）的最短路线问题。
教师活动：教师组织播放课件并提出问题， 学生活动：学生独立思考并解决问题
设计意图：强化学生已有的知识经验，为本堂课的问题解决作好知识铺垫。 （二） 探究新知
1提炼--建立数模型
例1：如图1所示，要在燃气管道Ｌ上修剪一个泵站，分别向A,B 两镇供气。
（教师将题目投影）提问：泵站修在管道的什么地方，可使所用输气管线最短？
A·
·B
L
图1
教师活动：教师用几何画板做出题目所示图形，标出已知的AB 两镇。 学生活动：小组讨论交流，提出解决方案。学生回答，交流，讨论，归纳出两点一线型（两点同侧）转换成两点一线型（两点异侧）的方法。
师:用几何画板演示学生的答案。通过师生讨论归纳出新的数学模型和解法。两点一线型（两点同侧）------某一点作轴对称变换-------转换成两点一线型（两点异侧）, 从而问题得解。
设计意图：由于建模对学生能力的要求比较高，所以在教学中适当做些铺垫，启发和引导，让学生经历模型的发生，发展和形成过程。
2模仿—熟悉数学模型
练习1：如图2所示，一个港湾内停留了M ，N 两条轮船。由于某种原因，M 船的船长需要先到A 岸接一个人，再与N 船汇合
（教师投影题目）提出问题：M 船长应如何行驶，才能使M 船所行驶的航
线最短？做出图形。
·N
·M
图2 B
教师活动：教师用几何画板做出题目所示图形，标出已知的MN 两点 学生活动：学生讨论得出归结到两点（同侧）一线型，然后学生先独立练习，然后同桌互助。
师：组织审题，投影学生作品 生：讨论结果，得出最佳答案。
设计意图：本练习通过改变问题的背景，让学生在模仿例１的解答过程中，进一步熟悉模型的特征及其解法。
3拓展---揭示模型本质
例2：如图3所示，一个港湾内停留了M ，N 两艘轮船，由于某种原因，若M 船的船长从M 处出发，先到OA 岸，再到OB 岸，最后与N 船汇合。 （教师投影题目）提出问题：M 船的船长应如何行驶，才能使M 船所行驶的航线最短？做出图形并说明理由。
A
·N
·M
图3 B
教师活动：教师出示问题，组织学生活动。
学生活动：学生回答，交流，讨论，归纳出两点两线型（内部）转换成两点两线型（外部）的方法
教师活动：两点两线型（内部）－――两点都作轴对称变换――转换成两点两线型（外部），从而得解。简述路线最短的理由
设计意图：本题的航线是三段折线，但问题得本质不变，都是根据轴对称变换把内部两点转换到直线的外侧，从而把折线问题转换为直线（线段）。
4创新应用
例3：如图4所示，甲乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥。
（教师投影题目）提出问题：桥建在何处，才能使甲到乙的路线最短？（要求桥必须与街道垂直），请画出图形。
甲
· a
b
乙
图4
·
学生活动：小组之间讨论，得出先在与河岸垂直方向平移桥，转化成两点一线型（异侧）的模型解决。
教师总结：两点两线型（点在外部）型的变式，关键是桥长不变且桥与河岸垂直，所以先考虑把桥的长度平移掉，从而转换成两点两点一线型（两点异侧）问题求解。 （三）总结归纳
老师总结本小节课所学习的内容，主要研究了两点一线型（点在外部）型, 两点两线型（点在外部）型的变式，关键是转换成两点一线型(点在内部) 型, 两点一线型（两点异侧）问题求解。
强调学生需要注意的问题，再让学生纷纷畅谈本节课学习的感受和收获。 设计意图：了解学生的学习情况和最节课的体会。 （四）布置作业
课后练习，找出现实生活中的最短路线问题，小组交流并找出最佳方案。