数学高考临近,给你提个醒!!

数学高考临近，给你提个醒 ！！

宜宾县二中 赵吉祥

作为一位有着多年高三教学经验的数学教师, 笔者积累和总结了一些解题的小结论，归纳和挖掘了一些解题的易误点，现写出来仅供参考.

笔者确信，在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到较大的作用．

1． 集合 A、B，AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集时是否

忘记. 例如：a2x22a2x0对一切xR恒成立，求a的取植范围，你讨论了a＝2的情况了吗？

21，2． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2，

n2n1， 22. nn

3． ABAB ABAB. ，

4． 函数的几个重要性质：

①如果函数yfx对于一切xR，都有faxfax，那么函数yfx的图象关于直

线xa对称.

②函数yfx与函数yfx的图象关于直线x0对称；

函数yfx与函数yfx的图象关于直线y0对称；

函数yfx与函数yfx的图象关于坐标原点对称.

③函数yfax与函数yfax的图象关于直线x0对称.

④若奇函数yfx在区间0,上是递增函数，则yfx在区间,0上也是递增函数． ⑤若偶函数yfx在区间0,上是递增函数，则yfx在区间,0上是递减函数． ⑥函数yfxa(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；

函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;

函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向下平移a个单位得到的.

⑦函数yfax(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴伸缩为原来的函数yfxa((a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向右平移a个单位得到的； 1得到的； a

函数yafx(a0)的图象是把函数yfx的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

5． 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？

6． 函数与其反函数之间的一个有用的结论：f1abfba.

17． 原函数yfx在区间a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数yfx也单调递增；

但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．

8． 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？

9． 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)

10. 你知道函数yaxb

xa0,b0的单调区间吗？（该函数在,ab或ab,上单调递增；在,0或0,上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！

11. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）

字母底数还需讨论呀.

12. 对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（logab

logablogcb,loganbnlogab） logca13. 你还记得对数恒等式吗？（a

2b） 214. “实系数一元二次方程axbxc0有实数解”转化为“b4ac0”，你是否注意到必须

2a0；当a=0时，“方程有解”不能转化为b4ac0．若原题中没有指出是“二次”方程、

函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

15. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界

性了吗？

16. 一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如ysinx,ysinx的周期都是, 但2

ysinxcosx的周期为.）

17. 函数ysinx2,ysinx,ycosx是周期函数吗？（都不是）

18. 在三角中，你知道1等于什么吗？（1sinxcosxsecxtanx 2222

0这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的 tanxcotxtasicos42

应用．

19. 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如(),(), 



2等） 22

20. 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的

式子，一定要算出值来）

21. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，

异名化同名，高次化低次）

22. 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （sin15cos7562621） ,sin75cos15,sin18444

23. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr,S扇形

24. 辅助角公式：asinxbcosx

的值由tan1lr) 2a2b2sinx(其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角b确定)在求最值、化简时起着重要作用. a

25. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、复数的辐角主值、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它

们各自的取值范围及意义？

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是0,,[0,],[0,]. 22



2)． ②直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角的取值范围依次是[0,),[0,),[0,

③反正弦、反余弦、反正切函数的取植范围分别是[

④复数的辐角主值的取值范围是[0,2)．

26. 不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）

27. 分式不等式,],[0,],(,)． 2222fxaa0的一般解题思路是什么？（移项通分） gx28. 解无理不等式有哪几种常规题型？它们的等价不等式组是怎样的？

fx0gx0fxgx或； 2gx0fxgx

fx0fxgxgx0; 2fxgx

fx0fxgxgx0.

fxgx

29. 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）

30. 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论)

ab31. 利用重要不等式ab2ab 以及变式ab等求函数的最值时，你是否注意到a，bR2

（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？

32. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0a1或a1）讨论完之后，

要写出：综上所述，原不等式的解是„„．

33. 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”

34. 等差数列中的重要性质：若mnpq，则amanapaq；

等比数列中的重要性质：若mnpq，则amanapaq．

35. 你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（q1时，Snna1；q1时，2

a1(1qn)） Sn1q

36. 等比数列的一个求和公式：设等比数列an的前n项和为Sn，公比为q, 则

SmnSmqmSn．

37. 等差数列的一个性质：设Sn是数列an的前n项和，an为等差数列的充要条件是

Snan2bn （a, b为常数）其公差是2a.

38. 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若cnanbn，其中an是等差数列，bn是等

比数列，求cn的前n项的和）

39. 用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到a1S1了吗？

40. 你还记得裂项求和吗？（如111 .） n(n1)nn1

41. qn有极限时，则q1或q1，在求数列qn的极限时，你注意到q＝1时，qn1这种特例了吗？

（例如：数列的通项公式为an3x1，若an的极限存在，求x的取植范围. 正确答案为n

0x2.） 3

42. 在用数学归纳法证明题时，你把归纳假设（n=k成立）作为已知条件利用了吗？

43. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

44. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；

定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．

45. 解复数问题的三个转化：代数化，三角化，几何化．

46. 在涉及复数辐角主值的有关问题时，你是否注意到了实数0的辐角的任意性？（例如：已知集合A=

｛一2，一1，0，l，2，3｝，B{z|zabi,a,bA}，问集合B中有多少个辐角主值为

的复数？正确答案为11个．）

47. 若argz，则argkkZ20212022，argz． 0z0222

248. 实系数一元二次方程axbxc0a0若有虚根，则必有一对共轭虚根，在这个方程中，根与

系数的关系仍然成立，求根公式亦然成立.

249. 若一元二次方程axbxc0a0的系数a，b, cC，一般不能用判别式判定根是实根还是虚

根，能用求根公式求解．在用求根公式时，先求判别式的值，再求判别式的平方根，最后代人求根公式．

ac50. 复数相等的充要条件：abicdi，要注意a,b,c,dR. bd

51. 复数运算的几个基本公式：1i2i,1i2i,221i1ii,i. 1i1i

若w1w1，则w313i,1ww20,w2w. 对w31呢？ 22

52. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂

线，三作斜线，射影可见.

53. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）

54. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）

55. 你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，

立柱是关键，垂直三处见

56. 若圆锥的顶角为，那么经过两条母线的截面面积何时最大？（当0

2时，轴截面面积最大；当

>12时，过两条垂直母线的面积最大，最大值是l） 22

57. 设台体的上、下底面与中截面的面积分别是S1,S2,S0，则这三个量之间的关系是2S0S1S2

58. 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点3,，且被圆x2y225截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）

59. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）

60. 在利用定比分点解题时，你注意到1了吗？

61. 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两

条直线可以理解为它们不重合.

62. 直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性.（如点斜

式不适用于斜率不存在的直线）

63. 对不重合的两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，有 32

A1B2A2B1； l1l2A1A2B1B20． l1//l2A1C2A2C1

64. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

65. 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为xy1，但不要忘记当 a=0时，直线y=kx在ab

两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．

66. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.

一般来说，前者更简捷．

67. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.

68. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.

69. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？

70. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式0

的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0下进行）.

71. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a，b，c）

72. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.

73. 解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等

等)

74. 解答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形）

75. 解答应用型问题时，最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数、列出函数关系式、

代入初始条件、注明单位、答）

76. 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．

77. 解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．

78. 解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分

离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．

数学高考临近，给你提个醒 ！！

宜宾县二中 赵吉祥

作为一位有着多年高三教学经验的数学教师, 笔者积累和总结了一些解题的小结论，归纳和挖掘了一些解题的易误点，现写出来仅供参考.

笔者确信，在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到较大的作用．

1． 集合 A、B，AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集时是否

忘记. 例如：a2x22a2x0对一切xR恒成立，求a的取植范围，你讨论了a＝2的情况了吗？

21，2． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2，

n2n1， 22. nn

3． ABAB ABAB. ，

4． 函数的几个重要性质：

①如果函数yfx对于一切xR，都有faxfax，那么函数yfx的图象关于直

线xa对称.

②函数yfx与函数yfx的图象关于直线x0对称；

函数yfx与函数yfx的图象关于直线y0对称；

函数yfx与函数yfx的图象关于坐标原点对称.

③函数yfax与函数yfax的图象关于直线x0对称.

④若奇函数yfx在区间0,上是递增函数，则yfx在区间,0上也是递增函数． ⑤若偶函数yfx在区间0,上是递增函数，则yfx在区间,0上是递减函数． ⑥函数yfxa(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；

函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;

函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向下平移a个单位得到的.

⑦函数yfax(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴伸缩为原来的函数yfxa((a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向右平移a个单位得到的； 1得到的； a

函数yafx(a0)的图象是把函数yfx的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

5． 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？

6． 函数与其反函数之间的一个有用的结论：f1abfba.

17． 原函数yfx在区间a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数yfx也单调递增；

但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．

8． 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？

9． 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)

10. 你知道函数yaxb

xa0,b0的单调区间吗？（该函数在,ab或ab,上单调递增；在,0或0,上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！

11. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）

字母底数还需讨论呀.

12. 对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（logab

logablogcb,loganbnlogab） logca13. 你还记得对数恒等式吗？（a

2b） 214. “实系数一元二次方程axbxc0有实数解”转化为“b4ac0”，你是否注意到必须

2a0；当a=0时，“方程有解”不能转化为b4ac0．若原题中没有指出是“二次”方程、

函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

15. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界

性了吗？

16. 一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如ysinx,ysinx的周期都是, 但2

ysinxcosx的周期为.）

17. 函数ysinx2,ysinx,ycosx是周期函数吗？（都不是）

18. 在三角中，你知道1等于什么吗？（1sinxcosxsecxtanx 2222

0这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的 tanxcotxtasicos42

应用．

19. 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如(),(), 



2等） 22

20. 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的

式子，一定要算出值来）

21. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，

异名化同名，高次化低次）

22. 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （sin15cos7562621） ,sin75cos15,sin18444

23. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr,S扇形

24. 辅助角公式：asinxbcosx

的值由tan1lr) 2a2b2sinx(其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角b确定)在求最值、化简时起着重要作用. a

25. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、复数的辐角主值、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它

们各自的取值范围及意义？

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是0,,[0,],[0,]. 22



2)． ②直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角的取值范围依次是[0,),[0,),[0,

③反正弦、反余弦、反正切函数的取植范围分别是[

④复数的辐角主值的取值范围是[0,2)．

26. 不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）

27. 分式不等式,],[0,],(,)． 2222fxaa0的一般解题思路是什么？（移项通分） gx28. 解无理不等式有哪几种常规题型？它们的等价不等式组是怎样的？

fx0gx0fxgx或； 2gx0fxgx

fx0fxgxgx0; 2fxgx

fx0fxgxgx0.

fxgx

29. 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）

30. 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论)

ab31. 利用重要不等式ab2ab 以及变式ab等求函数的最值时，你是否注意到a，bR2

（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？

32. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0a1或a1）讨论完之后，

要写出：综上所述，原不等式的解是„„．

33. 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”

34. 等差数列中的重要性质：若mnpq，则amanapaq；

等比数列中的重要性质：若mnpq，则amanapaq．

35. 你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（q1时，Snna1；q1时，2

a1(1qn)） Sn1q

36. 等比数列的一个求和公式：设等比数列an的前n项和为Sn，公比为q, 则

SmnSmqmSn．

37. 等差数列的一个性质：设Sn是数列an的前n项和，an为等差数列的充要条件是

Snan2bn （a, b为常数）其公差是2a.

38. 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若cnanbn，其中an是等差数列，bn是等

比数列，求cn的前n项的和）

39. 用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到a1S1了吗？

40. 你还记得裂项求和吗？（如111 .） n(n1)nn1

41. qn有极限时，则q1或q1，在求数列qn的极限时，你注意到q＝1时，qn1这种特例了吗？

（例如：数列的通项公式为an3x1，若an的极限存在，求x的取植范围. 正确答案为n

0x2.） 3

42. 在用数学归纳法证明题时，你把归纳假设（n=k成立）作为已知条件利用了吗？

43. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

44. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；

定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．

45. 解复数问题的三个转化：代数化，三角化，几何化．

46. 在涉及复数辐角主值的有关问题时，你是否注意到了实数0的辐角的任意性？（例如：已知集合A=

｛一2，一1，0，l，2，3｝，B{z|zabi,a,bA}，问集合B中有多少个辐角主值为

的复数？正确答案为11个．）

47. 若argz，则argkkZ20212022，argz． 0z0222

248. 实系数一元二次方程axbxc0a0若有虚根，则必有一对共轭虚根，在这个方程中，根与

系数的关系仍然成立，求根公式亦然成立.

249. 若一元二次方程axbxc0a0的系数a，b, cC，一般不能用判别式判定根是实根还是虚

根，能用求根公式求解．在用求根公式时，先求判别式的值，再求判别式的平方根，最后代人求根公式．

ac50. 复数相等的充要条件：abicdi，要注意a,b,c,dR. bd

51. 复数运算的几个基本公式：1i2i,1i2i,221i1ii,i. 1i1i

若w1w1，则w313i,1ww20,w2w. 对w31呢？ 22

52. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂

线，三作斜线，射影可见.

53. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）

54. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）

55. 你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，

立柱是关键，垂直三处见

56. 若圆锥的顶角为，那么经过两条母线的截面面积何时最大？（当0

2时，轴截面面积最大；当

>12时，过两条垂直母线的面积最大，最大值是l） 22

57. 设台体的上、下底面与中截面的面积分别是S1,S2,S0，则这三个量之间的关系是2S0S1S2

58. 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点3,，且被圆x2y225截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）

59. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）

60. 在利用定比分点解题时，你注意到1了吗？

61. 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两

条直线可以理解为它们不重合.

62. 直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性.（如点斜

式不适用于斜率不存在的直线）

63. 对不重合的两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，有 32

A1B2A2B1； l1l2A1A2B1B20． l1//l2A1C2A2C1

64. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

65. 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为xy1，但不要忘记当 a=0时，直线y=kx在ab

两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．

66. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.

一般来说，前者更简捷．

67. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.

68. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.

69. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？

70. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式0

的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0下进行）.

71. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a，b，c）

72. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.

73. 解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等

等)

74. 解答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形）

75. 解答应用型问题时，最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数、列出函数关系式、

代入初始条件、注明单位、答）

76. 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．

77. 解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．

78. 解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分

离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．