关于魔方的生成元问题
定理:魔方的生成元有六个,其中任意五个生成元是独立的。是极大无
关组,而四个生成元不是极大无关组。六个生成元是不独立的。任意一个生成元可以由其它五个生成元表示。 证明:
一个角在同一个位置上有三个方向。转动可以实现一个角在同一个位置上的三个方向,下面说明这一点。
例如角7,不妨设7的前面是红色。上面是黄色,右面是蓝色。依顺时针为序不会发生变化。位置变动顺时针为正,逆时针为负,即则红色转到上面为正,红色转到右面为负。
角7转动U 使7到5,红色到左边,再转动F 使5到7,红色到上边, 角7转动-U 使7到6,红色到右边,再转动-R 使6到7,红色到右边, 下面说明一个角可以转动到八个不同的位置上。
例如角7,转动U ,可以到5,4,6三个位置。转动R 可以到(6),2,3三个位置。转动F 可以到(3),1,(5)三个位置。这里只涉及七个角。
再转动L ,(4),(5),(1)可以转到0。这里涉及八个角。 这里用到四个生成元U ,R ,F ,L 。
一个边在同一个位置上有二个方向。转动可以实现一个边在同一个位置上的二个方向,下面说明这一点。
例如边S 前面是红色。上面是黄色。转动U 使S 到-T ,红色到左边,再转动L 使-T 到Z ,红色仍然在左边,继续转动F 使Z 到S ,红色到上边。
然而:转动U 使S 到,-T ,-S ,T 。转动R 可以使T到P,N,H。转动F 可以使H到M,Z,(S).转动L 可以使Z到-N,Q,(T)。四个生成元U ,R ,F ,L 只涉及十一个边。即四个生成元不能得到整个魔方群。即四个生成元不是极大无关组。
只有再增加一个转动。例如增加一个转动D,使-N到-M,(N),(M)。或增加一个转动B,使Q到(-S),(P),-M 。才能使一条边到达十二个位置上。得到整个魔方群。所以五个生成元是极大无关组。
因为整个魔方可以任意拿,所以也就证明了魔方的生成元有六个。其中任
意而四个生成元虽然是独立的,但不是极大无关组。任意五个生成元不仅是独立的,而且是极大无关组。但六个生成元是不独立的。
以下证明:任意一个个生成元可以由其它五个生成元表示。 为此首先证明一个引理:UD ’R 2L 2UD ’=U’DR 2L 2U ’D 。
上面的表格第8列表示的是X 的变化,与第19列表示的是-X 的变化,为了便于看出把第19列复制到第10列,上面的表格第8列与第10列完全相同, 这就证明了引理。
设:X= UD’R 2L 2UD ’, 则 X ’= U’DR 2L 2U ’D 。
因为B 的转动 后面的四边四角的方向不变。6—4, ,4—0,0—2,2—6。-S__Q,
Q__-m,-m__P,P__-S。以下说明实现上述变化的转动程序。
下证明B 的任何转动,可以由U ,D ,F ,R ,L 的转动而加以实现。 (表一,表二列表示转动,行表示块的变化)
’22’’’22’由上面的表可以看出:B=XFX; B 2=XF2X; B ]=B3=XF3X; 定理证毕。
任何转动都是四个边四个角八个元素的变换,
E 表示恒等变换,D U F R L 的四次方都是恒等变换。三次方等于逆变换。即X 3=X]。
(大家知道n 维空间中n+1个向量是线性相关的。n 维空间的基底中含n 个线性无关的向量,任意一个向量可以由这n 个向量线性表示。上述与此相仿。) 说明:如果看本文有困难的话,可先看“魔方我的数学模型”,这里用的符号均来自“魔方我的数学模型”一文。
关于魔方的生成元问题
定理:魔方的生成元有六个,其中任意五个生成元是独立的。是极大无
关组,而四个生成元不是极大无关组。六个生成元是不独立的。任意一个生成元可以由其它五个生成元表示。 证明:
一个角在同一个位置上有三个方向。转动可以实现一个角在同一个位置上的三个方向,下面说明这一点。
例如角7,不妨设7的前面是红色。上面是黄色,右面是蓝色。依顺时针为序不会发生变化。位置变动顺时针为正,逆时针为负,即则红色转到上面为正,红色转到右面为负。
角7转动U 使7到5,红色到左边,再转动F 使5到7,红色到上边, 角7转动-U 使7到6,红色到右边,再转动-R 使6到7,红色到右边, 下面说明一个角可以转动到八个不同的位置上。
例如角7,转动U ,可以到5,4,6三个位置。转动R 可以到(6),2,3三个位置。转动F 可以到(3),1,(5)三个位置。这里只涉及七个角。
再转动L ,(4),(5),(1)可以转到0。这里涉及八个角。 这里用到四个生成元U ,R ,F ,L 。
一个边在同一个位置上有二个方向。转动可以实现一个边在同一个位置上的二个方向,下面说明这一点。
例如边S 前面是红色。上面是黄色。转动U 使S 到-T ,红色到左边,再转动L 使-T 到Z ,红色仍然在左边,继续转动F 使Z 到S ,红色到上边。
然而:转动U 使S 到,-T ,-S ,T 。转动R 可以使T到P,N,H。转动F 可以使H到M,Z,(S).转动L 可以使Z到-N,Q,(T)。四个生成元U ,R ,F ,L 只涉及十一个边。即四个生成元不能得到整个魔方群。即四个生成元不是极大无关组。
只有再增加一个转动。例如增加一个转动D,使-N到-M,(N),(M)。或增加一个转动B,使Q到(-S),(P),-M 。才能使一条边到达十二个位置上。得到整个魔方群。所以五个生成元是极大无关组。
因为整个魔方可以任意拿,所以也就证明了魔方的生成元有六个。其中任
意而四个生成元虽然是独立的,但不是极大无关组。任意五个生成元不仅是独立的,而且是极大无关组。但六个生成元是不独立的。
以下证明:任意一个个生成元可以由其它五个生成元表示。 为此首先证明一个引理:UD ’R 2L 2UD ’=U’DR 2L 2U ’D 。
上面的表格第8列表示的是X 的变化,与第19列表示的是-X 的变化,为了便于看出把第19列复制到第10列,上面的表格第8列与第10列完全相同, 这就证明了引理。
设:X= UD’R 2L 2UD ’, 则 X ’= U’DR 2L 2U ’D 。
因为B 的转动 后面的四边四角的方向不变。6—4, ,4—0,0—2,2—6。-S__Q,
Q__-m,-m__P,P__-S。以下说明实现上述变化的转动程序。
下证明B 的任何转动,可以由U ,D ,F ,R ,L 的转动而加以实现。 (表一,表二列表示转动,行表示块的变化)
’22’’’22’由上面的表可以看出:B=XFX; B 2=XF2X; B ]=B3=XF3X; 定理证毕。
任何转动都是四个边四个角八个元素的变换,
E 表示恒等变换,D U F R L 的四次方都是恒等变换。三次方等于逆变换。即X 3=X]。
(大家知道n 维空间中n+1个向量是线性相关的。n 维空间的基底中含n 个线性无关的向量,任意一个向量可以由这n 个向量线性表示。上述与此相仿。) 说明:如果看本文有困难的话,可先看“魔方我的数学模型”,这里用的符号均来自“魔方我的数学模型”一文。