期望值和方差的估计

高二数学下学期期末专题复习 9：总体期望值和方差的估计

【考点指津】

会用样本平均数估计总体期望值，会用样本的方差估计总体方差． 【知识在线】

1、 某批机器的使用寿命如下（单位：年）：8，5，7，9，10，11

则样本的平均数是 。

1102、已知样本方差由s(xi5)2求得, 则x1x2x10 10i1

2

3、设76，90，84，86，85，83是总体X的6个观测值，这6个数的算术平均数是84． 估

计总体的方差是 ．

4、设有n个样本x1、x2、…xn，其标准差为Sx，另有n个样本y1,y2…yn，且yk=3xk+5(k=1,2…

n)，其中标准差为Sy，则下列关系正确的是 （ ）

A、Sy=3Sx+5 B、Sy=3Sx C、Sy=Sx D、Sy=Sx +5 5、在一次知识竞赛中, 抽取10名选手的成绩分别如下表：

这组样本的方差为 （ ） A、3． 4 B、34 C、0． 34 D、【讲练平台】

例1 如果数据x1,x2,x3,,xn的平均数为x，方差为s，则数据

2

34

7

3x15，3x25，… ，3xn5的平均数(期望)和方差分别是多少?

解

(3x15)(3x25)(3xn5)x

n

3(x1x2xn)5n3x5

n

222

(3x5x)(3x5x)(3x5x)12n

s2

n

9(x1x)29(x2x)29(xnx)2

n

982

点评 通过本题的讲解，使学生掌握平均数和方差的基本求法．

例2 某单位有职工10000人，其中8000人是工作人员，2000人是管理人员，要了解职工的收入情况，抽样

2

5

进行调查，抽样调查的结果如下： 100

（1） 一般工作人员月均收入的估计值x1及方差估计值s1； （2） 管理人员月均收入的估计值x2及方差估计值s2； （3） 全体人员,总体期望x及总体方差s． 解 (1) x1

2

2

1

(2035060650401550)995 400

1

[20(350995)260(650995)2

400

40(1550995)2]83475s12

2

(2)同样可算得 x21040, s290900

1

(25350706502509501001250

(3) 500

551550)1004

x

1

[25(3501004)270(6501004)2

500

55(15501004)2]85284s2

点评 通过图表,根据抽样调查的数据,对总体的平均数和方差作出估计． 例3 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔1小时抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录，抽查数据如下：

甲车间：102，101，99，98，103，98，99； 乙车间：110，105，94，95，109，89，98．

问（1）这种抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间包装重量的均值与方差，并说明哪个均值的代表性好？哪个车间包装重量较稳定？

解 （1）根据系统抽样方法的定义可知这是系统抽样方法．

（2）先计算甲=(102+101+…+99)=100；乙=(110+105+…+98)=100；

2

=[(102－100)2+…+(99－100)2]=3.4286； S甲

2

=S乙

2

[(110－100)2+…+(98－100)2]=56>S甲；

22

现甲=乙，S甲

性好．

点评 通过本题使我们对平均数和方差的意义得到进一步的理解和应用． 【知能集成】

随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度． 【训练反馈】

1、对一组数据xi(i1,2,,n).如果它们改变为xic(i1,2,,n)，其中c0，则下列

结论正确的是 （ ） A、平均数与方差均不变题 B、平均数不变，方差改变 C、平均数改变，方差不变题 D、平均数、方差都改变

2、已知容量为30的样本方差为s2.9，那么s （ ）

A、

2

*

B、3 C、2 D、1 30

3、总体数学期望μ的估计是 （ ）

A、样本均值=i1xi

n

B、样本极差R=max(x1,…xn)－min(x1,…xn)

2C、样本方差S=i1(xi)

2

n

D、样本平均差AD=i1xi

n

4、设一组数据的方差是S2，将这组数据的每个数据都乘以10，所得到的一组新数据的方差

是 （ ） A、0． 1 S2 B、S2 C、10 S2 D100 S2

5、某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为25,后来发现有2名同学的

分数登错了, 甲实得80分却记了50分, 乙得70分却记了100分． 更正后均分和方差分别是 （ ） A、70，25 B、70，50 C、70，1． 04 D、65, 25

6、在总体中抽出一个样本：2，3，6，4，7，常数C=10，s表示该样本的方差，sc表示

2

2

1

[(2c)2(3c)2(6c)2(4c)2(7c)2],s2与sc2的大小关系5

是 。

7、（2002全国高考）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：

t/hm）：

其中产量比较稳定的小麦品种是 ．

※8、有一个简单随机样本10，12，9，14，13，则－x,s22=

9、（2001全国高考）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，

则其中含红球个数的数学期望是 ． （用数字作答）

10、某校从甲、乙两名优秀选手中1名选手参加全市中学生田径百米比赛．该校预先对这两

名选手测试了8次,测试成绩如下表：

根据测试成绩, 请你运用所学过的统计知识做出判断, 派哪一位选手参加比赛更好?为什么?

21n2

11、证明方差sxix.

ni1

2

12、假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10,9,10,10,11,11,8,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12． 估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性．

1

[(2c)2(3c)2(6c)2(4c)2(7c)2],s2与sc2的大小关系5

是 。

7、（2002全国高考）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：

t/hm）：

其中产量比较稳定的小麦品种是 ．

※8、有一个简单随机样本10，12，9，14，13，则－x,s22=

9、（2001全国高考）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，

则其中含红球个数的数学期望是 ． （用数字作答）

10、某校从甲、乙两名优秀选手中1名选手参加全市中学生田径百米比赛．该校预先对这两

名选手测试了8次,测试成绩如下表：

根据测试成绩, 请你运用所学过的统计知识做出判断, 派哪一位选手参加比赛更好?为什么?

21n2

11、证明方差sxix.

ni1

2

12、假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10,9,10,10,11,11,8,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12． 估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性．

高二数学期末复习 9-5

答案

【知识在线】 1． 8.33 2．50 3．

53

4．B解sy3

k

1[(x1-)(x2-)(xn-)]

222

由yk=3x4+5得3x5,y3(x4) Sy=

n

[(y1-)2(yn-)2]

n

[3(x1-)23(xn-)2]3Sx 5．A

【训练反馈】

1．C 2．B 3．A 提示：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体数学期望

2μ的估计． 4．D 提示：设原数据组为x1，…， xn，方差为S=i1(xi)， =i1xi，

2

nn

新数据组为10 x1，…， 10xn，方差为

n

n

2

S1

2S1

2=i1(10xia)，a=i110xi=10，故

nn

222=i1(10xi10)=i1100(xi)=100S．

5．B 6． scs 7．甲 ． 8． 11.6,s23.44,s*24.3． 9．1.2 10．解答：

22

x甲12.5,x乙12.5,s甲0.12,s乙0.10，甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩较稳

22

n

1n

定，应派乙选手参加比赛． 11． xxixinx

ni1i1

211n222

s(xix)2[(x1x2xn)2x(x1x2xn)nx]

nni1

2

21n2

xix. ni1

2

12．解答：x甲=(10+9+…+10)=10．1，S甲=(102+92+…+102)=10．12=0.49；

22

x乙=(8+10+…+12)=10．5，S乙=(82+102+…+122)=10．52=6.05>S甲．

从交货天数的平均值来看，甲供货商的供货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数

较稳定，因此是较具一致性与可靠性的厂商．

高二数学期末复习 9-6

高二数学下学期期末专题复习 9：总体期望值和方差的估计

【考点指津】

会用样本平均数估计总体期望值，会用样本的方差估计总体方差． 【知识在线】

1、 某批机器的使用寿命如下（单位：年）：8，5，7，9，10，11

则样本的平均数是 。

1102、已知样本方差由s(xi5)2求得, 则x1x2x10 10i1

2

3、设76，90，84，86，85，83是总体X的6个观测值，这6个数的算术平均数是84． 估

计总体的方差是 ．

4、设有n个样本x1、x2、…xn，其标准差为Sx，另有n个样本y1,y2…yn，且yk=3xk+5(k=1,2…

n)，其中标准差为Sy，则下列关系正确的是 （ ）

A、Sy=3Sx+5 B、Sy=3Sx C、Sy=Sx D、Sy=Sx +5 5、在一次知识竞赛中, 抽取10名选手的成绩分别如下表：

这组样本的方差为 （ ） A、3． 4 B、34 C、0． 34 D、【讲练平台】

例1 如果数据x1,x2,x3,,xn的平均数为x，方差为s，则数据

2

34

7

3x15，3x25，… ，3xn5的平均数(期望)和方差分别是多少?

解

(3x15)(3x25)(3xn5)x

n

3(x1x2xn)5n3x5

n

222

(3x5x)(3x5x)(3x5x)12n

s2

n

9(x1x)29(x2x)29(xnx)2

n

982

点评 通过本题的讲解，使学生掌握平均数和方差的基本求法．

例2 某单位有职工10000人，其中8000人是工作人员，2000人是管理人员，要了解职工的收入情况，抽样

2

5

进行调查，抽样调查的结果如下： 100

（1） 一般工作人员月均收入的估计值x1及方差估计值s1； （2） 管理人员月均收入的估计值x2及方差估计值s2； （3） 全体人员,总体期望x及总体方差s． 解 (1) x1

2

2

1

(2035060650401550)995 400

1

[20(350995)260(650995)2

400

40(1550995)2]83475s12

2

(2)同样可算得 x21040, s290900

1

(25350706502509501001250

(3) 500

551550)1004

x

1

[25(3501004)270(6501004)2

500

55(15501004)2]85284s2

点评 通过图表,根据抽样调查的数据,对总体的平均数和方差作出估计． 例3 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔1小时抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录，抽查数据如下：

甲车间：102，101，99，98，103，98，99； 乙车间：110，105，94，95，109，89，98．

问（1）这种抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间包装重量的均值与方差，并说明哪个均值的代表性好？哪个车间包装重量较稳定？

解 （1）根据系统抽样方法的定义可知这是系统抽样方法．

（2）先计算甲=(102+101+…+99)=100；乙=(110+105+…+98)=100；

2

=[(102－100)2+…+(99－100)2]=3.4286； S甲

2

=S乙

2

[(110－100)2+…+(98－100)2]=56>S甲；

22

现甲=乙，S甲

性好．

点评 通过本题使我们对平均数和方差的意义得到进一步的理解和应用． 【知能集成】

随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度． 【训练反馈】

1、对一组数据xi(i1,2,,n).如果它们改变为xic(i1,2,,n)，其中c0，则下列

结论正确的是 （ ） A、平均数与方差均不变题 B、平均数不变，方差改变 C、平均数改变，方差不变题 D、平均数、方差都改变

2、已知容量为30的样本方差为s2.9，那么s （ ）

A、

2

*

B、3 C、2 D、1 30

3、总体数学期望μ的估计是 （ ）

A、样本均值=i1xi

n

B、样本极差R=max(x1,…xn)－min(x1,…xn)

2C、样本方差S=i1(xi)

2

n

D、样本平均差AD=i1xi

n

4、设一组数据的方差是S2，将这组数据的每个数据都乘以10，所得到的一组新数据的方差

是 （ ） A、0． 1 S2 B、S2 C、10 S2 D100 S2

5、某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为25,后来发现有2名同学的

分数登错了, 甲实得80分却记了50分, 乙得70分却记了100分． 更正后均分和方差分别是 （ ） A、70，25 B、70，50 C、70，1． 04 D、65, 25

6、在总体中抽出一个样本：2，3，6，4，7，常数C=10，s表示该样本的方差，sc表示

2

2

1

[(2c)2(3c)2(6c)2(4c)2(7c)2],s2与sc2的大小关系5

是 。

7、（2002全国高考）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：

t/hm）：

其中产量比较稳定的小麦品种是 ．

※8、有一个简单随机样本10，12，9，14，13，则－x,s22=

9、（2001全国高考）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，

则其中含红球个数的数学期望是 ． （用数字作答）

10、某校从甲、乙两名优秀选手中1名选手参加全市中学生田径百米比赛．该校预先对这两

名选手测试了8次,测试成绩如下表：

根据测试成绩, 请你运用所学过的统计知识做出判断, 派哪一位选手参加比赛更好?为什么?

21n2

11、证明方差sxix.

ni1

2

12、假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10,9,10,10,11,11,8,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12． 估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性．

1

[(2c)2(3c)2(6c)2(4c)2(7c)2],s2与sc2的大小关系5

是 。

7、（2002全国高考）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：

t/hm）：

其中产量比较稳定的小麦品种是 ．

※8、有一个简单随机样本10，12，9，14，13，则－x,s22=

9、（2001全国高考）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，

则其中含红球个数的数学期望是 ． （用数字作答）

10、某校从甲、乙两名优秀选手中1名选手参加全市中学生田径百米比赛．该校预先对这两

名选手测试了8次,测试成绩如下表：

根据测试成绩, 请你运用所学过的统计知识做出判断, 派哪一位选手参加比赛更好?为什么?

21n2

11、证明方差sxix.

ni1

2

12、假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10,9,10,10,11,11,8,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12． 估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性．

高二数学期末复习 9-5

答案

【知识在线】 1． 8.33 2．50 3．

53

4．B解sy3

k

1[(x1-)(x2-)(xn-)]

222

由yk=3x4+5得3x5,y3(x4) Sy=

n

[(y1-)2(yn-)2]

n

[3(x1-)23(xn-)2]3Sx 5．A

【训练反馈】

1．C 2．B 3．A 提示：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体数学期望

2μ的估计． 4．D 提示：设原数据组为x1，…， xn，方差为S=i1(xi)， =i1xi，

2

nn

新数据组为10 x1，…， 10xn，方差为

n

n

2

S1

2S1

2=i1(10xia)，a=i110xi=10，故

nn

222=i1(10xi10)=i1100(xi)=100S．

5．B 6． scs 7．甲 ． 8． 11.6,s23.44,s*24.3． 9．1.2 10．解答：

22

x甲12.5,x乙12.5,s甲0.12,s乙0.10，甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩较稳

22

n

1n

定，应派乙选手参加比赛． 11． xxixinx

ni1i1

211n222

s(xix)2[(x1x2xn)2x(x1x2xn)nx]

nni1

2

21n2

xix. ni1

2

12．解答：x甲=(10+9+…+10)=10．1，S甲=(102+92+…+102)=10．12=0.49；

22

x乙=(8+10+…+12)=10．5，S乙=(82+102+…+122)=10．52=6.05>S甲．

从交货天数的平均值来看，甲供货商的供货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数

较稳定，因此是较具一致性与可靠性的厂商．

高二数学期末复习 9-6