[摘 要] 数学教学中存在着多种关系，这些关系直接影响着课堂教学的效果. 本文作者结合多年的教学实践，从面向全体与关注个体差异的关系、合情推理与演绎推理之间的关系、结果与过程的关系以及预设与生成的关系四方面进行了详细阐述. [关键词] 课程标准；数学教学；处理关系；形成过程 《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）无论从课程的性质、基本理念、课程目标、课程内容到实施，与2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》相比都有较大的变化. 为了更好地落实《标准》的理念，实现它所提出的各项目标，教师要在深入学习和研究《标准》的基础上，充分认识数学课程改革的理念和目标，全面把握其精神，正确处理以下四个关系. 《标准》在界定课程的性质时指出“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.” 它所规定的课程目标是全体学生经过努力都能实现的“底线”要求. 数学教学应致力于实现《标准》规定的培养目标，做到面向全体学生，促使每一个学生都能有所发展，实现“人人都能获得良好的数学教育”的目标. 一提到面向全体，有人就在想，我应该把教学的难度定位在“优等生”“学困生”还是“中等生”？假如这样思考，面向全体就成了一个“悖论”. 我们认为“面向全体”不只体现在教学难度上，主要是落实在学习目标、学习重点、学习难点的确定上，落实在探究活动、练习题的设计上. 所以教师应围绕这些方面精心设计问题，为学生提供足够的时间和空间使其经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，做到尽可能地激发全体学生的学习兴趣，调动每一位学生的学习积极性，从而让他们主动参与到学习活动中来，这就是我们倡导的面向全体. 只有在这样的过程中，所有的学生才能充分发表自己的意见，做到“清晰地表达自己的想法”，不断“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”. 不可否认，学生的智力水平、学习水平是有差异的. 特别是在数学学习中，学生的个体差异表现得尤为突出，甚至相当严重. 对于这些差异，教师必须下大力气去研究并在指导学生学习的过程中加以区别对待，不可搞“一刀切”. 我们认为教师在教学中要特别关注与帮助学习有困难的学生，设法鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法. 在学习过程中，虽然他们可能会出现这样或那样的问题，但是教师一定要善于发现他们的闪光点，充分肯定他们的点滴进步，以期不断增强其学习的兴趣和信心，千万不可打击其积极性. 对学有余力并对数学有兴趣的学生，教师应为他们单独“加餐”，以杜绝“吃不饱”的现象发生. 如为他们提供足够的材料和发展空间，指导他们进行阅读和思考，从而发展其数学才能. 究竟怎样才能做到既面向全体又关注个体差异呢？这是一个永远都不能结题的“课题”. 我们认为，面向全体时重要的不是教学难度的定位，而是教学方法的改革；不是灌输，而是启发. 教师要解决这个问题就应着眼于教学过程. 实践证明，下面的做法就比较成功. （1）在设计课堂提问时，要针对不同学生的情况提出不同的问题，对学习水平相对高的学生可适当“提高”，对学习水平中等的学生可逐步“升级”，对学习水平相对较弱的“困难学生”可适当“降级”，以满足不同水平学生的需要. 教师虽然无法为每一位学生设计一套问题，但可以做到设计的问题有层次和梯度的区别，并根据问题的难易程度提问不同水平的学生，从而做到兼顾每一位学生. （2）在实行分组教学时，不把同质的学生放在一个组，而是采取让异质的学生同组，这样的安排能使不同的学生在组内根据不同的倾向扮演不同的角色，确保他们在展示个性的过程中充分发挥自己的潜能. （3）同样的课，有不同层次的解决，不必要求千篇一律，重要的是要让学生觉得有趣. 学生对所学内容一旦有了兴趣，就会出现“百花齐放”的局面，这也正是面向全体和关注差异所希望的结果. （4）在学完一节（章）内容后，可根据知识发生、发展的规律围绕一个中心知识点设计“复习与巩固”“拓展与延伸”“探索与创新”三组不同水平的题目，其中前两组供全体学生解答，后一组供学有余力的学生选用. 这样的安排能帮助学生巩固、理解所学知识，获得基本技能，还能促使少数优等生更好地发展. 即使同一道题，也要考虑分层次，不要“一刀切”，否则容易挫伤“困难学生”的学习积极心，使他们丧失学习信心. 这样做符合《标准》提出的“不同的人在数学上得到不同发展”的课程理念. 案例1 “最多能生产多少套衣服” 天泉村有两家服装厂生产同一规格的上衣和裤子. 甲厂每月（按30天计算，以下同）用16天生产上衣，14天做裤子，共生产448套衣服（每套包括上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天做裤子，共生产720套衣服. 两厂合并后，每月按现有能力最多能生产多少套衣服？ 这是一个非常有趣的实际问题，也是一个具有一定难度的问题. 考虑到学生接受能力不同的实际，在学习完用方程组的知识解决实际问题之后，可以安排这道题，主要是供学有余力的学生思考. 对于全体学生，都要求能得到结论：甲厂每天能生产上衣28件或生产裤子32条. 乙厂每天能生产上衣60件或生产裤子40条.？摇对于大部分学生来说，从自己的生活经验出发，通过对实际问题的分析和认真思考，能得到下面的解答（1）和（2）. 解答：（1）如果甲厂每月用30天生产上衣，乙厂每月用x天生产上衣，y天生产裤子，则x+y=30，40y=60x+30×28，解得x=3.6，y=26.4，26.4×40=1056（件）.？摇 （2）如果甲厂每月用30天生产裤子，乙厂每月用x天生产上衣，y天生产裤子，则x+y=30，60x=40y+32×30，解得x=21.6，y=8.4，21.6×60=1296（件）.？摇 第（1）种安排方案虽然本身并没有什么问题，但是如果这样安排却没有充分发挥甲厂的优势，所得到的结果不是最优的. 所以应选择第（2）种方案，故两厂合并后，每月按现有能力最多能生产1296套衣服. 对于极少数的同学，可能认为还应该有以下两种情况： （3）如果乙厂每月用30天生产上衣，甲厂每月用x天生产上衣，y天生产裤子，则x+y=30，28x+30×60=32y，解得x=-14，y=44，不符合实际. （4）如果乙厂每月用30天生产裤子，甲厂每月用x天生产上衣，y天生产裤子，则x+y=30，28x=32y+30×40，解得x=36，y=-6，不符合实际. 这两种情况显然不符合实际，应该舍去. 但是学生能得到这两种情况，其思考问题的能力会得到一定程度的“升华”与进步，这也是我们希望看到的. 推理能力是《标准》提出的十大核心概念之一，并且强调指出：“推理是数学的基本思维形式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. 推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算. 在解决问题的过程中，两种推理功能不同，但相辅相成. 合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.” 由此可以看出，在数学教学中应既培养学生的演绎推理能力，又培养他们的合情推理能力. 杨振宁先生曾经说过：“我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎推理，我在美国学到了归纳推理.” 可以说，熟练地进行这两种推理是杨振宁先生取得巨大成功的条件之一. 正因为如此，杨振宁先生主张中国学生不仅要学会演绎法，更要掌握归纳法. 在教学中如何处理二者的关系，使学生的两种推理能力都得到相应的提高呢？ 《标准》提出“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习的过程中.” 具体落实到数学课堂中，就是要“彰显过程”，即引导学生做数学，让学生经历数学知识的形成与应用过程，因为学生在经历观察、实验、猜想、证明等数学活动的过程中，能发展其合情推理能力和初步的演绎推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 案例2 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的证明过程 在数学性质（定理）的教学过程中，教师应引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程. 在探求证明的过程时，可采用直观操作和推理论证相结合的方式. 对于平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，教师在引导学生学习时，不可直接给出证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再给出证明. 让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，可选择让学生通过动手操作（剪、拼接硬纸片三角形）的方式来发现，同时把论证作为学生探索活动的自然延伸和必要的发展，让学生在拼接硬纸片三角形的过程中，发现证明该定理的思路. 具体操作、探索过程为： （1）如图1，剪两个一样大的三角形硬纸片ABC，A′B′C′（三边都不相等的）； （2）用这两个三角形拼成四边形（如图2），观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想？相互交流自己的结论； （3）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论. 学生通过操作可以发现，在图3中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连结AC，并证明△ABC与△CDA全等即可. 这个证明思路就是在拼接三角形纸片的过程中发现的，学生一旦发现这个思路，详细的证明过程就容易了. 这样的安排比教师直接添加辅助线AC，然后给出证明要有意义得多，因为直接告诉学生添加辅助线的证明只是解决了证明的问题，至于为什么要连结AC，学生并没有真正搞清楚. 从上面的引导过程看，学生通过动手操作会自己发现“添加辅助线AC”是证明的关键一步，也就是说，上面的操作安排除了能让学生完成证明外，还能培养学生发现问题、提出问题的能力，而这正是合情推理能力的表现. 我们广大的数学教师应把既教会学生猜想，又能把握证明，既能合情推理，又能严格论证作为教学的指导思想. 结果与过程的关系 结果与过程的关系是教学过程中一对十分重要的关系，与这一关系相关的还有：学习与思考、学会与会学、知识与智力、继承与创新等关系. 从学科本身来讲，结论表示的是该学科的结果，而过程则体现着该学科的探究过程与探究方法. 结论与过程是相互作用、相互依存、相互转化的关系，有什么样的探究过程就有什么样的探究结论，结论的获得往往依赖于特定的探究过程. 二者的有机结合才能体现一门学科的整体内涵和思想. 大部分教师都已经认识到“重结论、轻过程”的教学效果是不理想的，在教学中他们也在试图努力展现知识的形成过程，因为这样的授课需要教师创造性地使用教材，往往要用较长的时间进行备课准备，所以很多教师不能“持之以恒”. 目前的授课仍然是以教师讲“结论”为主，这样的教学掩盖、湮没了数学发现、数学创造、数学真实应用的思维活动，学生学到的只能是“死”的知识，不能灵活地将所学知识运用到新的情境中. 为彻底改变这一现状，《标准》明确指出“数学课程目标包括结果目标和过程目标”. 结果目标使用“了解”“理解”“掌握”“运用”等行为动词表述，过程目标使用“经历”“体验”“探索”等行为动词表述. 由此可见，数学教学展现知识形成过程是极其重要的，也是非常必要的. 这就要求教师以学生的认知发展水平和已有经验为基础，对教学内容进行深加工，通过二次改造，按照“问题情境――建立模型――求解验证”的思路指导学生进行积极思考与探索. 教师通过创设的问题情境，能引导学生经历数学概念的建立过程、运算法则及定律的归纳过程、数学命题的发现过程、解（证）数学题目时思路的分析过程等，让他们以“再发现”和“再创造”的方式经历数学知识的发生、发展过程. 在这个过程中，一方面，学生能容易地自己发现并掌握知识、形成技能，更好地体验学习内容中的情感，使原来枯燥、抽象的知识变得生动形象；另一方面，学生在应用这些知识解决新的实际问题的过程中能达到巩固知识、发展技能的目的，并获得对这些知识所蕴涵的基本数学思想的感悟、基本活动经验的积累和积极向上的情感体验. 为此，教师应把数学概念的建立过程、运算法则及定律的归纳过程、数学命题的发现过程、解（证）数学问题时思路的分析过程等充分地“暴露”给学生. 例如，数学概念是重要的数学基础知识，许多教师对概念的教学采取的是“定义+例题”的方式，实质上是在“满堂灌”，最后只能导致学生是“知其然，而不知其所以然”. 事实上，一个概念的形成往往伴随着数学模型的建立过程，所以一定要引导学生经历数学概念的建立过程. 案例3 “零指数幂”的建立过程 “零指数幂”的意义是一种“规定”，但教学中不能单纯地要求学生记住这个“规定”，并进行相应操练，而应根据学生已有的生活经验，设计适合探究的问题，尽量充分地展开“过程”，引导学生感悟这种“规定”的合理性. 这个概念的建立过程可分为以下三步. （1）提出猜想：20=1 零指数是学生学习的难点之一，教学时一定要把引入的合理性体现出来，为此，可这样引导： ①让学生计算22÷22. 启发学生分别用除法和同底数幂除法的运算性质进行计算，从而得到下面的结果：22÷22=1或22÷22=22-2=20. ②提问学生：怎样解释用不同的方法计算同一个题目会得到两种不同的答案？ ③学生猜想：为了使被除式的指数等于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，应当有20=1. （2）质疑这个猜想是否合理，并通过多种途径引导学生感受猜想的合理性. 用细胞分裂作为情境，提出问题：一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个……那么一个细胞没有分裂时个数为多少？ 如图4，观察数轴上表示2的正整数次幂――16，8，4，2…的点的位置变化，你发现了什么规律？ 观察下列式子中指数、幂的变化： 24=16，23=8，22=4，21=2，2（ ）=1. 你发现了什么规律？ 通过探索活动，学生能比较充分地感受到“20=1”的合理性，于是做出“零指数幂”意义的“规定”：a0=1（a≠0）. （3）验证这个规定与原有“幂的运算性质”是相容、和谐的. 运用幂的运算性质：a5÷a0=a5-0=a5； 根据零指数幂意义的规定：a5÷a0=a5÷1=a5. 这样引入“零指数幂”的概念，学生将经历如下的过程：面对挑战→提出猜想（“规定”）→说明猜想的合理性→做出“规定”→验证这种“规定”与原有知识体系的和谐性→数学得到进一步发展. 这样设计“零指数幂”的教学过程，能充分体现数学自身发展的轨迹，有助于学生感受数学是如何在自身的矛盾运动中不断得到发展的. 学生经历了上述探索过程，不仅能理解、掌握“零指数幂”的意义，还能借助学习“零指数幂”所获得的数学活动经验，科学地探究其他相关的数学问题，这一点对于形成学生的创新意识是非常必要的. 在教学中，教师应抓住一些典型的知识点，努力引导学生沿着科学家的足迹，寻求解决问题的方法，探索丰富多彩的自然现象中所蕴藏的规律，使学生经历一个完整的科学研究过程. 预设与生成的关系 教学从本质上讲就是预设和生成的矛盾统一体. “预设”是指在深入研究相关材料（主要指《标准》、数学教材和相应的教学参考用书）的基础上，在对学生的学情进行科学分析的前提下进行的“有形设计”，即我们平常所说的学案. “生成”包括两方面的含义：一方面是教师要通过启发式的教授，引导学生明确所要思考和解决的问题；另一方面是指教师要仔细观察学生在学习活动中的各种表现和反应，及时发现并捕捉一些出乎意料的信息，充实并补充到课堂教学之中. 预设是非常必要的，没有预设，课堂教学就有可能失控，难以完成教学任务. 但在课堂教学中，教师如果按照预设方案不走样地加以实施，并且要求学生必须按教案中的设想进行回答，则会排斥学生的个性思考，抹杀学生的创造智慧，这是违背《标准》理念的. 教师要认真研究教材和学生，精心设计学案，既要积极地按照计划、预设推进，也要及时发现即时生成的教学资源，并通过恰当的问题激发学生进一步思考，随着学生思维的拓展、心态的逆转和情绪的波动，敏锐地把握各种教育契机，捕捉课堂中出现的问题、疑难、困惑，适时加以引导、深化，创造性地加以重组，以形成新的数学知识生长点. 实现有效的动态生成，保证课堂教学的优质与高效并存. 案例4 “三角形的内角和等于180°”的教学片段 这是数学中的一个定理，大部分教材都是通过“拼接”图形的方法“直观”得到的. 教师备课时考虑的拼接方法如图5所示，将∠A、∠B剪下拼到点C处，于是得到∠A+∠B+∠C=180°. 上课时，有的学生提出了如图6所示的剪拼方法. （事实上，这种方法与图5是一样的，教师便及时鼓励了这个学生） 还有一个学生是这样拼的：如图7，只把∠A移动拼在∠C处，根据两直线平行，同旁内角互补，可得到∠A+∠B+∠C=180°. 这种拼接方法是教师预设时没有想到的. 教师及时问这个学生“你是怎么知道两直线平行的？”这个学生说由图7的拼法可以发现：把∠A剪下并拼到点C处时，得到∠A=∠A，根据内错角相等，可以得到两直线平行. 教师又问：怎样证明你的结论？ 学生：过点C作CD∥AB，延长BC到点E（如图8），因为CD∥AB，所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）. 又因为∠ACB+∠1+∠2=180°（平角意义），所以∠A+∠B+∠C=180°. 教师：你是怎样想到过点C作AB的平行线CD的？ 学生：如果两直线平行，那么∠A=∠1，就相当于把∠A剪下并拼到点C处. 这样，我们就得到了图8所示的作平行线的方法. 至此，对这个问题的探讨似乎已经很好了，出现了“生成”的资源，教师也把这一意外“收获”巧妙地融入课堂中了. 可又有一个学生举手回答说：我们受到拼图7的启发，如图9，过点C作CD∥AB. 因为CD∥AB，所以∠ACD=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 所以∠A+∠B+∠ACB=180°. 当然，课堂教学中，应关注的关系还有很多，如教师主导与学生主体之间的关系、生活化与知识系统性之间的关系、直观形象与抽象思维之间的关系，等等. 我们这里探讨的是在诸多关系中处于重要地位的四种关系. 希望教师们加强研究《标准》的力度，不断探索教学中出现的新情况、新问题，为更好地落实《标准》提出的基本理念，培养创新型的人才而努力.
[摘 要] 数学教学中存在着多种关系，这些关系直接影响着课堂教学的效果. 本文作者结合多年的教学实践，从面向全体与关注个体差异的关系、合情推理与演绎推理之间的关系、结果与过程的关系以及预设与生成的关系四方面进行了详细阐述. [关键词] 课程标准；数学教学；处理关系；形成过程 《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）无论从课程的性质、基本理念、课程目标、课程内容到实施，与2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》相比都有较大的变化. 为了更好地落实《标准》的理念，实现它所提出的各项目标，教师要在深入学习和研究《标准》的基础上，充分认识数学课程改革的理念和目标，全面把握其精神，正确处理以下四个关系. 《标准》在界定课程的性质时指出“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.” 它所规定的课程目标是全体学生经过努力都能实现的“底线”要求. 数学教学应致力于实现《标准》规定的培养目标，做到面向全体学生，促使每一个学生都能有所发展，实现“人人都能获得良好的数学教育”的目标. 一提到面向全体，有人就在想，我应该把教学的难度定位在“优等生”“学困生”还是“中等生”？假如这样思考，面向全体就成了一个“悖论”. 我们认为“面向全体”不只体现在教学难度上，主要是落实在学习目标、学习重点、学习难点的确定上，落实在探究活动、练习题的设计上. 所以教师应围绕这些方面精心设计问题，为学生提供足够的时间和空间使其经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，做到尽可能地激发全体学生的学习兴趣，调动每一位学生的学习积极性，从而让他们主动参与到学习活动中来，这就是我们倡导的面向全体. 只有在这样的过程中，所有的学生才能充分发表自己的意见，做到“清晰地表达自己的想法”，不断“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”. 不可否认，学生的智力水平、学习水平是有差异的. 特别是在数学学习中，学生的个体差异表现得尤为突出，甚至相当严重. 对于这些差异，教师必须下大力气去研究并在指导学生学习的过程中加以区别对待，不可搞“一刀切”. 我们认为教师在教学中要特别关注与帮助学习有困难的学生，设法鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法. 在学习过程中，虽然他们可能会出现这样或那样的问题，但是教师一定要善于发现他们的闪光点，充分肯定他们的点滴进步，以期不断增强其学习的兴趣和信心，千万不可打击其积极性. 对学有余力并对数学有兴趣的学生，教师应为他们单独“加餐”，以杜绝“吃不饱”的现象发生. 如为他们提供足够的材料和发展空间，指导他们进行阅读和思考，从而发展其数学才能. 究竟怎样才能做到既面向全体又关注个体差异呢？这是一个永远都不能结题的“课题”. 我们认为，面向全体时重要的不是教学难度的定位，而是教学方法的改革；不是灌输，而是启发. 教师要解决这个问题就应着眼于教学过程. 实践证明，下面的做法就比较成功. （1）在设计课堂提问时，要针对不同学生的情况提出不同的问题，对学习水平相对高的学生可适当“提高”，对学习水平中等的学生可逐步“升级”，对学习水平相对较弱的“困难学生”可适当“降级”，以满足不同水平学生的需要. 教师虽然无法为每一位学生设计一套问题，但可以做到设计的问题有层次和梯度的区别，并根据问题的难易程度提问不同水平的学生，从而做到兼顾每一位学生. （2）在实行分组教学时，不把同质的学生放在一个组，而是采取让异质的学生同组，这样的安排能使不同的学生在组内根据不同的倾向扮演不同的角色，确保他们在展示个性的过程中充分发挥自己的潜能. （3）同样的课，有不同层次的解决，不必要求千篇一律，重要的是要让学生觉得有趣. 学生对所学内容一旦有了兴趣，就会出现“百花齐放”的局面，这也正是面向全体和关注差异所希望的结果. （4）在学完一节（章）内容后，可根据知识发生、发展的规律围绕一个中心知识点设计“复习与巩固”“拓展与延伸”“探索与创新”三组不同水平的题目，其中前两组供全体学生解答，后一组供学有余力的学生选用. 这样的安排能帮助学生巩固、理解所学知识，获得基本技能，还能促使少数优等生更好地发展. 即使同一道题，也要考虑分层次，不要“一刀切”，否则容易挫伤“困难学生”的学习积极心，使他们丧失学习信心. 这样做符合《标准》提出的“不同的人在数学上得到不同发展”的课程理念. 案例1 “最多能生产多少套衣服” 天泉村有两家服装厂生产同一规格的上衣和裤子. 甲厂每月（按30天计算，以下同）用16天生产上衣，14天做裤子，共生产448套衣服（每套包括上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天做裤子，共生产720套衣服. 两厂合并后，每月按现有能力最多能生产多少套衣服？ 这是一个非常有趣的实际问题，也是一个具有一定难度的问题. 考虑到学生接受能力不同的实际，在学习完用方程组的知识解决实际问题之后，可以安排这道题，主要是供学有余力的学生思考. 对于全体学生，都要求能得到结论：甲厂每天能生产上衣28件或生产裤子32条. 乙厂每天能生产上衣60件或生产裤子40条.？摇对于大部分学生来说，从自己的生活经验出发，通过对实际问题的分析和认真思考，能得到下面的解答（1）和（2）. 解答：（1）如果甲厂每月用30天生产上衣，乙厂每月用x天生产上衣，y天生产裤子，则x+y=30，40y=60x+30×28，解得x=3.6，y=26.4，26.4×40=1056（件）.？摇 （2）如果甲厂每月用30天生产裤子，乙厂每月用x天生产上衣，y天生产裤子，则x+y=30，60x=40y+32×30，解得x=21.6，y=8.4，21.6×60=1296（件）.？摇 第（1）种安排方案虽然本身并没有什么问题，但是如果这样安排却没有充分发挥甲厂的优势，所得到的结果不是最优的. 所以应选择第（2）种方案，故两厂合并后，每月按现有能力最多能生产1296套衣服. 对于极少数的同学，可能认为还应该有以下两种情况： （3）如果乙厂每月用30天生产上衣，甲厂每月用x天生产上衣，y天生产裤子，则x+y=30，28x+30×60=32y，解得x=-14，y=44，不符合实际. （4）如果乙厂每月用30天生产裤子，甲厂每月用x天生产上衣，y天生产裤子，则x+y=30，28x=32y+30×40，解得x=36，y=-6，不符合实际. 这两种情况显然不符合实际，应该舍去. 但是学生能得到这两种情况，其思考问题的能力会得到一定程度的“升华”与进步，这也是我们希望看到的. 推理能力是《标准》提出的十大核心概念之一，并且强调指出：“推理是数学的基本思维形式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. 推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算. 在解决问题的过程中，两种推理功能不同，但相辅相成. 合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.” 由此可以看出，在数学教学中应既培养学生的演绎推理能力，又培养他们的合情推理能力. 杨振宁先生曾经说过：“我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎推理，我在美国学到了归纳推理.” 可以说，熟练地进行这两种推理是杨振宁先生取得巨大成功的条件之一. 正因为如此，杨振宁先生主张中国学生不仅要学会演绎法，更要掌握归纳法. 在教学中如何处理二者的关系，使学生的两种推理能力都得到相应的提高呢？ 《标准》提出“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习的过程中.” 具体落实到数学课堂中，就是要“彰显过程”，即引导学生做数学，让学生经历数学知识的形成与应用过程，因为学生在经历观察、实验、猜想、证明等数学活动的过程中，能发展其合情推理能力和初步的演绎推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 案例2 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的证明过程 在数学性质（定理）的教学过程中，教师应引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程. 在探求证明的过程时，可采用直观操作和推理论证相结合的方式. 对于平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，教师在引导学生学习时，不可直接给出证明，要设法让学生先发现这个结论，然后再给出证明. 让学生发现的方法有许多，为突出数学的直观性，可选择让学生通过动手操作（剪、拼接硬纸片三角形）的方式来发现，同时把论证作为学生探索活动的自然延伸和必要的发展，让学生在拼接硬纸片三角形的过程中，发现证明该定理的思路. 具体操作、探索过程为： （1）如图1，剪两个一样大的三角形硬纸片ABC，A′B′C′（三边都不相等的）； （2）用这两个三角形拼成四边形（如图2），观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想？相互交流自己的结论； （3）证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论. 学生通过操作可以发现，在图3中，已知AB=CD，且BC=AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连结AC，并证明△ABC与△CDA全等即可. 这个证明思路就是在拼接三角形纸片的过程中发现的，学生一旦发现这个思路，详细的证明过程就容易了. 这样的安排比教师直接添加辅助线AC，然后给出证明要有意义得多，因为直接告诉学生添加辅助线的证明只是解决了证明的问题，至于为什么要连结AC，学生并没有真正搞清楚. 从上面的引导过程看，学生通过动手操作会自己发现“添加辅助线AC”是证明的关键一步，也就是说，上面的操作安排除了能让学生完成证明外，还能培养学生发现问题、提出问题的能力，而这正是合情推理能力的表现. 我们广大的数学教师应把既教会学生猜想，又能把握证明，既能合情推理，又能严格论证作为教学的指导思想. 结果与过程的关系 结果与过程的关系是教学过程中一对十分重要的关系，与这一关系相关的还有：学习与思考、学会与会学、知识与智力、继承与创新等关系. 从学科本身来讲，结论表示的是该学科的结果，而过程则体现着该学科的探究过程与探究方法. 结论与过程是相互作用、相互依存、相互转化的关系，有什么样的探究过程就有什么样的探究结论，结论的获得往往依赖于特定的探究过程. 二者的有机结合才能体现一门学科的整体内涵和思想. 大部分教师都已经认识到“重结论、轻过程”的教学效果是不理想的，在教学中他们也在试图努力展现知识的形成过程，因为这样的授课需要教师创造性地使用教材，往往要用较长的时间进行备课准备，所以很多教师不能“持之以恒”. 目前的授课仍然是以教师讲“结论”为主，这样的教学掩盖、湮没了数学发现、数学创造、数学真实应用的思维活动，学生学到的只能是“死”的知识，不能灵活地将所学知识运用到新的情境中. 为彻底改变这一现状，《标准》明确指出“数学课程目标包括结果目标和过程目标”. 结果目标使用“了解”“理解”“掌握”“运用”等行为动词表述，过程目标使用“经历”“体验”“探索”等行为动词表述. 由此可见，数学教学展现知识形成过程是极其重要的，也是非常必要的. 这就要求教师以学生的认知发展水平和已有经验为基础，对教学内容进行深加工，通过二次改造，按照“问题情境――建立模型――求解验证”的思路指导学生进行积极思考与探索. 教师通过创设的问题情境，能引导学生经历数学概念的建立过程、运算法则及定律的归纳过程、数学命题的发现过程、解（证）数学题目时思路的分析过程等，让他们以“再发现”和“再创造”的方式经历数学知识的发生、发展过程. 在这个过程中，一方面，学生能容易地自己发现并掌握知识、形成技能，更好地体验学习内容中的情感，使原来枯燥、抽象的知识变得生动形象；另一方面，学生在应用这些知识解决新的实际问题的过程中能达到巩固知识、发展技能的目的，并获得对这些知识所蕴涵的基本数学思想的感悟、基本活动经验的积累和积极向上的情感体验. 为此，教师应把数学概念的建立过程、运算法则及定律的归纳过程、数学命题的发现过程、解（证）数学问题时思路的分析过程等充分地“暴露”给学生. 例如，数学概念是重要的数学基础知识，许多教师对概念的教学采取的是“定义+例题”的方式，实质上是在“满堂灌”，最后只能导致学生是“知其然，而不知其所以然”. 事实上，一个概念的形成往往伴随着数学模型的建立过程，所以一定要引导学生经历数学概念的建立过程. 案例3 “零指数幂”的建立过程 “零指数幂”的意义是一种“规定”，但教学中不能单纯地要求学生记住这个“规定”，并进行相应操练，而应根据学生已有的生活经验，设计适合探究的问题，尽量充分地展开“过程”，引导学生感悟这种“规定”的合理性. 这个概念的建立过程可分为以下三步. （1）提出猜想：20=1 零指数是学生学习的难点之一，教学时一定要把引入的合理性体现出来，为此，可这样引导： ①让学生计算22÷22. 启发学生分别用除法和同底数幂除法的运算性质进行计算，从而得到下面的结果：22÷22=1或22÷22=22-2=20. ②提问学生：怎样解释用不同的方法计算同一个题目会得到两种不同的答案？ ③学生猜想：为了使被除式的指数等于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，应当有20=1. （2）质疑这个猜想是否合理，并通过多种途径引导学生感受猜想的合理性. 用细胞分裂作为情境，提出问题：一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个……那么一个细胞没有分裂时个数为多少？ 如图4，观察数轴上表示2的正整数次幂――16，8，4，2…的点的位置变化，你发现了什么规律？ 观察下列式子中指数、幂的变化： 24=16，23=8，22=4，21=2，2（ ）=1. 你发现了什么规律？ 通过探索活动，学生能比较充分地感受到“20=1”的合理性，于是做出“零指数幂”意义的“规定”：a0=1（a≠0）. （3）验证这个规定与原有“幂的运算性质”是相容、和谐的. 运用幂的运算性质：a5÷a0=a5-0=a5； 根据零指数幂意义的规定：a5÷a0=a5÷1=a5. 这样引入“零指数幂”的概念，学生将经历如下的过程：面对挑战→提出猜想（“规定”）→说明猜想的合理性→做出“规定”→验证这种“规定”与原有知识体系的和谐性→数学得到进一步发展. 这样设计“零指数幂”的教学过程，能充分体现数学自身发展的轨迹，有助于学生感受数学是如何在自身的矛盾运动中不断得到发展的. 学生经历了上述探索过程，不仅能理解、掌握“零指数幂”的意义，还能借助学习“零指数幂”所获得的数学活动经验，科学地探究其他相关的数学问题，这一点对于形成学生的创新意识是非常必要的. 在教学中，教师应抓住一些典型的知识点，努力引导学生沿着科学家的足迹，寻求解决问题的方法，探索丰富多彩的自然现象中所蕴藏的规律，使学生经历一个完整的科学研究过程. 预设与生成的关系 教学从本质上讲就是预设和生成的矛盾统一体. “预设”是指在深入研究相关材料（主要指《标准》、数学教材和相应的教学参考用书）的基础上，在对学生的学情进行科学分析的前提下进行的“有形设计”，即我们平常所说的学案. “生成”包括两方面的含义：一方面是教师要通过启发式的教授，引导学生明确所要思考和解决的问题；另一方面是指教师要仔细观察学生在学习活动中的各种表现和反应，及时发现并捕捉一些出乎意料的信息，充实并补充到课堂教学之中. 预设是非常必要的，没有预设，课堂教学就有可能失控，难以完成教学任务. 但在课堂教学中，教师如果按照预设方案不走样地加以实施，并且要求学生必须按教案中的设想进行回答，则会排斥学生的个性思考，抹杀学生的创造智慧，这是违背《标准》理念的. 教师要认真研究教材和学生，精心设计学案，既要积极地按照计划、预设推进，也要及时发现即时生成的教学资源，并通过恰当的问题激发学生进一步思考，随着学生思维的拓展、心态的逆转和情绪的波动，敏锐地把握各种教育契机，捕捉课堂中出现的问题、疑难、困惑，适时加以引导、深化，创造性地加以重组，以形成新的数学知识生长点. 实现有效的动态生成，保证课堂教学的优质与高效并存. 案例4 “三角形的内角和等于180°”的教学片段 这是数学中的一个定理，大部分教材都是通过“拼接”图形的方法“直观”得到的. 教师备课时考虑的拼接方法如图5所示，将∠A、∠B剪下拼到点C处，于是得到∠A+∠B+∠C=180°. 上课时，有的学生提出了如图6所示的剪拼方法. （事实上，这种方法与图5是一样的，教师便及时鼓励了这个学生） 还有一个学生是这样拼的：如图7，只把∠A移动拼在∠C处，根据两直线平行，同旁内角互补，可得到∠A+∠B+∠C=180°. 这种拼接方法是教师预设时没有想到的. 教师及时问这个学生“你是怎么知道两直线平行的？”这个学生说由图7的拼法可以发现：把∠A剪下并拼到点C处时，得到∠A=∠A，根据内错角相等，可以得到两直线平行. 教师又问：怎样证明你的结论？ 学生：过点C作CD∥AB，延长BC到点E（如图8），因为CD∥AB，所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）. 又因为∠ACB+∠1+∠2=180°（平角意义），所以∠A+∠B+∠C=180°. 教师：你是怎样想到过点C作AB的平行线CD的？ 学生：如果两直线平行，那么∠A=∠1，就相当于把∠A剪下并拼到点C处. 这样，我们就得到了图8所示的作平行线的方法. 至此，对这个问题的探讨似乎已经很好了，出现了“生成”的资源，教师也把这一意外“收获”巧妙地融入课堂中了. 可又有一个学生举手回答说：我们受到拼图7的启发，如图9，过点C作CD∥AB. 因为CD∥AB，所以∠ACD=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 所以∠A+∠B+∠ACB=180°. 当然，课堂教学中，应关注的关系还有很多，如教师主导与学生主体之间的关系、生活化与知识系统性之间的关系、直观形象与抽象思维之间的关系，等等. 我们这里探讨的是在诸多关系中处于重要地位的四种关系. 希望教师们加强研究《标准》的力度，不断探索教学中出现的新情况、新问题，为更好地落实《标准》提出的基本理念，培养创新型的人才而努力.