如何利用误差理论减少误差
测量是一种认识过程，由误差公理可知：一切测量皆有误差。
1.1 误差
1.1.1误差
绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。
称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。
误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。
相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。
1.1.2 误差的分类
根据误差的性质和产生的原因，误差可分为三类：系统误差、随机误差和粗大误差。
1. 系统误差 是指在同一条件（指方法、仪器、环境、人员）下多次测量同一物理量时，结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。系统误差的特征是具有一定的规律性。
系统误差的来源具有以下几个方面：
（1）仪器误差 它是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差。如螺旋测径器的零点不准，天平不等臂等。
（2）理论误差 它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法不当等所引起的误差。如实验中忽略了摩擦、热、电表的内阻、单摆的周期公式T =2πl 的成立条件等。
g
（3）个人误差 它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。如有人用秒表测时间时，总是使之过快。
（4）环境误差 是外界环境性质（如光照、温度、湿度、电磁场等）的影响而差生的误差。如环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化。
产生系统误差的原因通常是可以被发现的，原则上可以通过修正、改进加以排除或减小。分析、排除和修正系统误差要求测量者有丰富的实践经验。这方面的知识和技能在我们以后的实验中会逐步地学习，并要很好地掌握。
1、 系统误差的消除方法
(1) 对测量仪表进行校正 在准确度要求较高的测量结果中，引入校正值进行修正。
(2) 消除产生误差的根源 即正确选择测量方法和测量仪器，尽量使测量仪表在规定的使用条件下工作，消除各种外界因素造成的影响。
采用特殊的测量方法 如正负误差补偿法、替代法等。例如，用电流表测量电流时，考虑到外磁场对读数的影响，可以把电流表转动180度，进行两次测量。在两次测量中，必然出现一次读数偏大，而另一次读数偏小，取两次读数的平均值作为测量结果，其正负误差抵消，可以有效地消除外磁场对测量的影响。
2. 随机误差 在相同测量条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差称为随机误差，有时也叫偶然误差。
引起随机误差的原因也很多，与仪器精密度和观察者感官灵敏度有关。如无规则的温度变化，气压的起伏，电磁场的干扰，电源电压的波动等，引起测量值的变化。这些因素不可控制又无法预测和消除。
当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的规律性。实践和理论都已证明，随机误差服从一定的统计规律（正态分布），其特点表现为：
① 单峰性 绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大；
② 对称性 绝对值相等的正负误差出现的概率相同；
③ 有界性 绝对值很大的误差出现的概率趋于零；
④ 抵偿性 误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零。
因此，增加测量次数可以减小随机误差，但不能完全消除。
3. 粗大误差 由于测量者过失，如实验方法不合理，用错仪器，操作不当，读错数值或记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。在数据处理中要把含有粗大误差的异常数据加以剔除。剔除的准则一般为3σ准则或肖维勒准则。
1.1.3随机误差的估计
对某一物理量进行多次重复测量时，其测量结果服从一定的统计规律，也就是正态分布（或高斯分布）。我们用描述高斯分布的两个参量（x 和σ）来估计随机误差。设在一组测量值中，n 次测量的值分别为：x 1, x 2, x n
1．算术平均值
根据最小二乘法原理证明，多次测量的算术平均值
n x =1∑x i （1—1） n i =1
是待测量真值x 0的最佳估计值。称x 为近似真实值，以后我们将用x 来表示多次测量的近似真实值。
2．标准偏差
根据随机误差的高斯理论可以证明，在有限次测量情况下，单次测量值的标准偏差为：
∑x i -x
S x =σx =i =1
n -1 （贝塞尔公式） （1—2）
通常称v i =x i -为偏差，或残差。s x 表示测量列的标准偏差，它表征对同一被测量在同一条件下作n 次（在大学物理实验中，通常取5≤n ≤10）有限测量时，其结果的分散程度。
3. 算术平均值的标准偏差
当测量次数n 有限，其算术平均值的标准偏差为
σ=σx
∑(x -x )i i =1n 2n n n -1 （1—3）
因此σx 反映了平均值接近真值的程度。
1.1.5异常数据的剔除
剔除测量列中异常数据的标准有几种，有3σx 准则、拉依达准则、肖维准则、格拉布斯准则等。
1．3σx 准则
2 . 拉依达准则
设对某量等精度独立测量得值算出平均值及残差 ：（i=1，2，...,n ）, 算术样本标准差S ，若某个测量值满足下式: d >3S
则认为是含有粗差的" 坏值" ，应予剔除。
3. 格拉布斯(Grubbs)准则
设对某量等精度独立测量得值算出平均值及残差 ：（i=1，2，...,n ）, 算术样本标准差S ，若某个测量值满足下式: d >λ(α, n ) ⋅σ
则认为为“坏值”，应予剔除。
4. t检验准则 条件同上，设不包含可疑测量值在内计算出均值 X 和标准偏差S, 则当：1 >K (α, n ) ⋅S 时，剔除坏值，式中： K (α, n ) =t α(n -1)[]2 n -1) 式中 t α(n -1) 为t 分布的置信系数。
如何利用误差理论减少误差
测量是一种认识过程，由误差公理可知：一切测量皆有误差。
1.1 误差
1.1.1误差
绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。
称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。
误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。
相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。
1.1.2 误差的分类
根据误差的性质和产生的原因，误差可分为三类：系统误差、随机误差和粗大误差。
1. 系统误差 是指在同一条件（指方法、仪器、环境、人员）下多次测量同一物理量时，结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。系统误差的特征是具有一定的规律性。
系统误差的来源具有以下几个方面：
（1）仪器误差 它是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差。如螺旋测径器的零点不准，天平不等臂等。
（2）理论误差 它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法不当等所引起的误差。如实验中忽略了摩擦、热、电表的内阻、单摆的周期公式T =2πl 的成立条件等。
g
（3）个人误差 它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。如有人用秒表测时间时，总是使之过快。
（4）环境误差 是外界环境性质（如光照、温度、湿度、电磁场等）的影响而差生的误差。如环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化。
产生系统误差的原因通常是可以被发现的，原则上可以通过修正、改进加以排除或减小。分析、排除和修正系统误差要求测量者有丰富的实践经验。这方面的知识和技能在我们以后的实验中会逐步地学习，并要很好地掌握。
1、 系统误差的消除方法
(1) 对测量仪表进行校正 在准确度要求较高的测量结果中，引入校正值进行修正。
(2) 消除产生误差的根源 即正确选择测量方法和测量仪器，尽量使测量仪表在规定的使用条件下工作，消除各种外界因素造成的影响。
采用特殊的测量方法 如正负误差补偿法、替代法等。例如，用电流表测量电流时，考虑到外磁场对读数的影响，可以把电流表转动180度，进行两次测量。在两次测量中，必然出现一次读数偏大，而另一次读数偏小，取两次读数的平均值作为测量结果，其正负误差抵消，可以有效地消除外磁场对测量的影响。
2. 随机误差 在相同测量条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差称为随机误差，有时也叫偶然误差。
引起随机误差的原因也很多，与仪器精密度和观察者感官灵敏度有关。如无规则的温度变化，气压的起伏，电磁场的干扰，电源电压的波动等，引起测量值的变化。这些因素不可控制又无法预测和消除。
当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的规律性。实践和理论都已证明，随机误差服从一定的统计规律（正态分布），其特点表现为：
① 单峰性 绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大；
② 对称性 绝对值相等的正负误差出现的概率相同；
③ 有界性 绝对值很大的误差出现的概率趋于零；
④ 抵偿性 误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零。
因此，增加测量次数可以减小随机误差，但不能完全消除。
3. 粗大误差 由于测量者过失，如实验方法不合理，用错仪器，操作不当，读错数值或记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。在数据处理中要把含有粗大误差的异常数据加以剔除。剔除的准则一般为3σ准则或肖维勒准则。
1.1.3随机误差的估计
对某一物理量进行多次重复测量时，其测量结果服从一定的统计规律，也就是正态分布（或高斯分布）。我们用描述高斯分布的两个参量（x 和σ）来估计随机误差。设在一组测量值中，n 次测量的值分别为：x 1, x 2, x n
1．算术平均值
根据最小二乘法原理证明，多次测量的算术平均值
n x =1∑x i （1—1） n i =1
是待测量真值x 0的最佳估计值。称x 为近似真实值，以后我们将用x 来表示多次测量的近似真实值。
2．标准偏差
根据随机误差的高斯理论可以证明，在有限次测量情况下，单次测量值的标准偏差为：
∑x i -x
S x =σx =i =1
n -1 （贝塞尔公式） （1—2）
通常称v i =x i -为偏差，或残差。s x 表示测量列的标准偏差，它表征对同一被测量在同一条件下作n 次（在大学物理实验中，通常取5≤n ≤10）有限测量时，其结果的分散程度。
3. 算术平均值的标准偏差
当测量次数n 有限，其算术平均值的标准偏差为
σ=σx
∑(x -x )i i =1n 2n n n -1 （1—3）
因此σx 反映了平均值接近真值的程度。
1.1.5异常数据的剔除
剔除测量列中异常数据的标准有几种，有3σx 准则、拉依达准则、肖维准则、格拉布斯准则等。
1．3σx 准则
2 . 拉依达准则
设对某量等精度独立测量得值算出平均值及残差 ：（i=1，2，...,n ）, 算术样本标准差S ，若某个测量值满足下式: d >3S
则认为是含有粗差的" 坏值" ，应予剔除。
3. 格拉布斯(Grubbs)准则
设对某量等精度独立测量得值算出平均值及残差 ：（i=1，2，...,n ）, 算术样本标准差S ，若某个测量值满足下式: d >λ(α, n ) ⋅σ
则认为为“坏值”，应予剔除。
4. t检验准则 条件同上，设不包含可疑测量值在内计算出均值 X 和标准偏差S, 则当：1 >K (α, n ) ⋅S 时，剔除坏值，式中： K (α, n ) =t α(n -1)[]2 n -1) 式中 t α(n -1) 为t 分布的置信系数。