专题八 关于反常积分敛散性的判别
积分区间为无限，或被积函数为无界的积分，称为广义积分，它们是定积分的推广．在这里，主要就它们的敛散性判别答疑．
问题1：一元函数反常积分的判别法常见的有哪些内容？都有些什么特点？有些什么关系？
答：一元函数反常积分包含无穷限的反常积分和无界函数反常积分，对于无界函数反常积
分通过适当的代换就可以转化为无穷限的反常积分。这里只就无穷限的反常积分进行叙述，对于无界函数反常积分，有类似的结果。
判定反常积分的敛散性要点如下：
⑴如f (x ) ³0，且lim f (x ) =0，可考察x ?
x ?
时无穷小量f (x ) 的阶，若阶数
l >1，则反常积分ò
+ a
f (x ) dx 收敛；l £1时发散．
⑵若f (x ) ³0，可用比较判别法或比较判别法的极限形式进行判断．
⑶若f (x ) ³0，可考察ò
+ a
f (x ) dx 是否有界．
⑷以上f (x ) ³0的条件，只要对于充分大的x (x ³a ) 能保持成立即可． ⑸因ò
+ a
f (x ) dx 与ò
+ a
-f (x ) d x 同时敛散，故对f (x ) £0有类似的方法．
⑹若x ? 时f (x ) 无穷次变号，则以上判别法失效，可考虑用Abel 判别法或
Dirichlet 判别法．
⑺用Abel 判别法，与Dirichlet 判别法判定为收敛，只是ò于是绝对收敛还是条件收敛，还有赖于进一步考虑ò
A
+ a
+ a
f (x ) dx 本身收敛．至
f (x ) d x 收敛还是发散．
⑻以上方法无效，还可考虑用Cauchy 准则来判断．或 ⑼用定义，看极限lim
A ?
ò
f (x ) d x 是否存在．
a
⑽用分部积分法，或变量替换法变成别的形式，看是否能判定它的敛散性． ⑾用级数方法判定积分的敛散性． ⑿用运算性质判断敛散性，例如： 若ò若ò
+ a + a
f (x ) dx ，ò
+ a
g (x ) d x 收敛，则ò
+ a
+ a
(f (x ) ±g (x ) ) d x 亦收敛．
+ a
f (x ) dx 收敛，òg (x ) d x 发散，则ò
(f (x ) ±g (x ) ) d x 亦发散．
⒀对于无界函数反常积分，以上各条都有类似的结论，第⑴条要特别注意，对于无界函
数反常积分而言，此条应是x 趋向奇点时，f (x ) 为无穷大量，若无穷大量的阶数l
问题2：无穷限的反常积分有一个无穷级数相对应，那么无穷限的反常积分ò敛与lim
n
+
f (x ) dx
a
收敛与
x ?
li m f (x ) =0的关系是否有无穷级数å
¥
u n
收
n =1
u n =0
这样的关系呢？
+ a
答：无穷限的反常积分ò
¥
f (x ) dx 收敛与lim f (x ) =0的关系和无穷级数收敛，通项
x ?
趋于0的关系有很大的不同。
1、如果无穷级数åu n 收敛，则lim u n =0．但对于无穷限反常积分ò
n =1
n
+ a
f (x ) d x 而
言，即使其收敛，也并不意味着lim f (x ) =0，
例如蝌sin x d x =
x ?
+?
2
1
t (t =x )
2
1
是收敛的，而当x ?
2、ò
+ a
时被积函数不趋于零，甚至是无界的．
f (x ) d x 收敛，并且f (x ) ³0，仍不能断言f (x ) 0（当x ? 时）．例
ì1ï
ï, 2
如f (x ) =ïí1+x
ïï1, ïî
x ¹整数时, x =整数时.
3、ò
+ a
f (x ) d x 收敛，f (x ) ³0，f (x ) 连续，还可能f (x ) 0（当x ? ）．例
如 n =1, 2…
ì1, ï
ïïïï0, ïï
f (x ) =ïí
ï
ï直线段, ïïïïï0, ïî
当x =n 时, 当x =n +
当x 挝[n -12
n
12
n
,
12
n
],
, n ]或x 其余.
[n , n +
此函数可以简单表写为
ìï
ï1-2n x -n ,
f (x ) =ïí
ïï0, ïî
+
+?
x ? [n
12
n
, n +
12
n
](n =1, 2 )
其余.
此时，ò
f (x ) d x =
邋
n =1
12
. n .1=22
12
n
=1 收敛，f (x ) ³0, 连续，但f (x ) 0（当
n =1
x ?
时）．
4、上述条件，将f (x ) ³0改为f (x ) >0，依然不能肯定f (x ) 0（当x ? 这只要考虑函数
禳镲1f (x ) =m ax 镲2, j (x ) , 其中j (x ) 按上款中的f (x ) 同样的方式定义．
镲x 镲铪
时）．
问题3：无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限为0是否就没有关系了呢？
答：二者有关系。在一定条件下，收敛无穷限反常积分的被积函数当自变量趋于+
是趋于零的。主要有下面一些结果： 定理1 若无穷限积分ò
+ a
时
f (x ) d x 收敛，且存在极限lim
x ?
f (x ) =A ，则A =0.
证明：假设A ¹0（不防设A >0），由保号性，$G >a , 当x >G 时，f (x ) ? 而蝌
a +?
G
?
G
A 2
0．从
f (x ) d x =
a
+ a
f (x ) d x +
蝌
G
f (x ) d x ?
a
f (x ) d x
A 2
d x =+
G
，
这与ò
f (x ) d x 收敛矛盾。同理可证A
+
推论1.1 设函数f (x ) 在区间[a , + ) 上可导，且无穷限积分
+
ò
f (x ) d x 与
a
ò
f ¢(x ) d x 都收敛，则lim f (x ) =0.
x ?
a
+ a
证明：由于ò
f ¢(x ) d x 收敛，故极限
x
lim
x ?
ギò
f ¢(t ) d t =
x
lim
+ギ
f (t )
x a
=
x
a
lim [f (x ) -+
f (a ) ]
存在，从而极限lim f (x ) 存在，于是由定理1可得lim f (x ) =0．
x ?
x ?
定理2 若无穷限积分ò
+ a
f (x ) d x 收敛，函数f (x ) 在[a , +
+
则lim f (x ) =0. ) 上单调，
x ?
证明：倘若f (x ) 在[a , + ) 上单调无界，将导致ò
x ?
f (x ) d x =
a
而矛盾，从而f (x ) 在
[a , + ) 上必单调有界，故lim f (x ) =A 存在，由定理1可得lim f (x ) =0．
x ?
定理3 若无穷限积分
lim f (x ) =0．
+
ò
f (x ) d x 收敛，函数f (x ) 在[a , + ) 上一致连续，则
a
x ?
证明：由于函数f (x ) 在[a , + ) 上一致连续，故" e >0，$d >0（不妨设d £e ），当
x ⅱ, x ? [a ,
-x d 时，有f (x ⅱ) -) 且x ⅱf (x )
e 2
．又因ò
+ a
f (x ) d x 收敛，由
Cauchy 收敛准则，对上述d , $G >a ，当x 1, x 2>G 时，有取x 1, x 2>G ，使x 1
x 2
x 2x 1
x 2x 1
ò
x 2x 1
f (x ) d x
d
2
2
．现对" x >G ，
f (x ) d =
蝌
x 1
f (x ) d t -f (t ) d t +
f (t ) d t
e 2
. d +
d
2
2
，
得f (x )
e 2
+
d 2
?
e 2
e 2
=e (x >G 时) , 这就证得lim f (x ) =0．
x ?
定理4 若无穷限积分ò
n ?
+ a
f (x ) d x 收敛，函数f (x ) 在[a , + ) 上连续，则存在数列
{x n }? [a , ) ，使lim x n =+
证明：由Cauchy 收敛准则，对e n =
1n
且lim f (x n ) =0．
n ?
A n +1A n
(n >a ), $A n >n ，使
ò
f (x ) d x
1n
，对上述积
分用积分第一中值定理，就有f (x n ) =
lim x n =+
ò
A n +1A n
f (x ) d x
1n
，其中x n ? (A n , A n
1) ，因此
n ?
, lim f (x n ) =0．
n ?
例1 证明：若f (x ) 连续可微，积分ò时，有f (x ) 0． 证：要证明x ?
+ a
f (x ) d x 和ò
+ a
f ¢(x ) d x 都收敛，则x ?
时f (x ) 有极限，根据Heine 定理，我们只要证明" {x n }?
+ a
恒有
{f (x n ) }收敛．事实上，已知积分ò
以致" x 1、x 2>A ，恒有如此" {x n }?
f ¢(x ) d x 收敛．根据Cauchy 准则，" e >0, $A >a ，
ò
x 2x 1
f ¢(x ) d x =
f (x 1) -f (x 2)
? , N >0, 当n 、m >N 时，有x n 、x m >A ，从而
x m x n
ò
f ¢(x ) d x =
f (x n ) -f (x m )
这即表明{f (x n ) }收敛．故由Heine 定理，极限lim f (x ) =a 存在．
x ?
现在来证a =0．若a >0，则由保号性，$D >0，当x >D 时，有f (x ) >
a 2
>0，
从而A >D 时ò
2A
f (x ) d x 钞
A
a 2
A + （当A ?
时）．这与ò
+ a
f (x ) d x 收敛矛
盾．同理可论a
x ?
问题4：含参变量的广义积分是如何定义的？它们一致收敛是什么意思？
答： 广义积分有两种：一种是无穷限积分，即积分区间为无穷的情形；另一种为瑕积分，
即积分区间虽然是有限的，但被积函数在积分区间内无界．当含参变量的积分是广义积分时，
就称为含参变量的广义积分，它自然也包括两种类型．
设f (x , y ) 定义在[a , b ]? [c ,
) ，则 I (x ) =
+
ò
f (x , y ) d y 为无穷限的含参变量
c
积分，其中x 是参变量，y 是积分变量．如果f (x , y ) 定义在[a , b ]´[c , d ]，且对任意
x Î[a , b ]以及h >0充分小，f (x , y ) 对y 在[c , d -h ]可积，但在[d -h , d ]无界，则
d
J (x ) =
ò
f (x , y ) d y 是含参变量的瑕积分，根据广义积分的定义
+
A
c
蝌
c
f (x , y ) d y =lim
A
c
f (x , y ) d y ,
d d -h
蝌
c
f (x , y ) d y =lim +
h 0
f (x , y ) d y .
¥
c
它们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数åu k (x ), x Î[a , b ]十分类似，它是部
k =1
¥
n
n
分和的极限邋u k (x ) =lim
k =1
k =1
u k (k ) .
唯一的差别是：在级数的情形，极限是对离散量n 的情形，极限是对连续量A ?
取的；而在含参变量广义积分
或h 0取的．
+
在对函数项级数的和函数的分析性质的研究中，一致收敛的概念起了关键的作用．通过
一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究．在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入一致收敛的概念．它把广义积分的问题化为含参变量的正常积分，而后者在我们以前学习中已经讨论无穷限的情形，但所有的结果都可平行地推广到瑕积分的情形．
定义1 设f (x , y ) 在[a , b ]? [c ,
+
) 上有定义，且对任意x Î[a , b ]，无穷限积分
I (x ) =
ò
f (x , y ) d y
c
收敛．若对任意的e >0，存在A 0>c ，使当A >A 0时，有
A +
蝌
c
f (x , y ) d y -I (x ) =
A
f (x , y ) d y
+
对一切x Î[a , b ]都成立，则称含参变量的广义积分ò
f (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛．
c
显然，定义中的区间[a,b]可代之以开区间、半开区间、无穷区间等等．
问题5：在何种条件下，含参变量的广义积分一致收敛？ 如何判断含参变量的广义积分一致收敛？ 答：首先看下面的例题：
例2、证明含参变量广义积分ò
+
xe
-xy
d y (1)在[a , + ) 上一致收敛，其中a >0；
(2)在(0,+ ) 上不一致收敛．
+
证明 (1)因为ò
xe
A
-xy
d y =-e
-xy
+ A
=e
-xA
３e
-a A
, x a , 而lim e
A ?
-a A
=0，所以对
任给的e >0，存在A 0>0，当A >A 0时有e 有
+
-a A
A 0时，对任意的x ³a ，
ò
xe
A
-a A
d y ? e
-a A
e ．这就证明了ò
+
xe
-xy
d y 在[a , + ) 上一致收敛．
(2)要证存在e o >0，对任意的A o >0，存在A >A o 和x o ? (0,
+
) ，使得
12
ò
A
x 0e
-x 0y
d y ³e o
．从
+ A
+
ò
x e
A
-x y
d =y
-x
e 易知，只要取e o =
e
-1
，
x 0=A
-1
? (0,
) 就有ò
x 0e
-x 0y
d y =e
-1
>e o . 也就是说，存在e o =) ，使得
+
12
e
-1
>0，对任
意A o >0，存在A >A o 和x o =A
+
-1
? (0,
ò
A
x 0e
-x 0y
d y =e
-1
>e o ．因此
ò
xe
-xy
d y 在(0,+
+
) 上不一致收敛． d y 在[0, +
+
显然，ò
xe
-xy
) 上是收敛的．当x >0时，
xy
ò
xe
-xy
d y =-e
¥0
=1；
而当x =0时，被积函数恒等于0，故 I (x ) =
+
ò
xe
-xy
ìx =0, ï0,
d y =ïí
ïïî1, x ? (0,
).
这个例子表明，尽管被积函数f (x , y ) =xe
-xy
在[0, +ゴ) [0, + ) 上连续，但I (x ) 在
x =0处不连续．其原因是积分在包含x =0的区间是不一致收敛的，后面将说明事实的确
如此．
为便于判别一致收敛性，下面给出一致收敛的Cauchy 准则和几个常用的判别法： 定理5（Cauchy 准则）含参变量的广义积分ò
'
+ c
f (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛的充要条件
是：对任给的e >0，存在正数A o >c , 当A , A >A o 时，对任意的x Î[a , b ]，有
A ⅱ
"
ò
A ¢
f (x , y ) d y
定理6（Weierstrass 判别法，或M －判别法，或控制收敛判别法）设存在函数M (y ) 与常数B >c ，使当y 澄B 及x 收敛的，则ò
+ c
A c
[a , b ]时，有f (x , y ) £M (y ) ，且广义积分ò
+ c
M (y ) d y 是
f (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛．
f (x , y ) d y 对A ³c 及x Î[a , b ]
定理7（Dirichlet 判别法） 设(1)含参变量的正常积分ò
有界，即存在M >0，对任意A >c 及任意x Î[a , b ]，有
A
ò
f (x , y ) d y
c
(2)对每个固定的x Î[a , b ]，函数g (x , y ) 关于y 是单调的，且当y ?
g (x , y ) 对x Î[a , b ]一致地趋向于0，则含参变量广义积分ò
+ c
时，
f (x , y ) g (x , y ) d y 在[a , b ]
上一致收敛．
定理8（Abel 判别法） 设(1)ò
+ c
f (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛；
]上有
(2)对每一个固定的x Î[a , b ]，函数g (x , y ) 关于y 单调，且g (x , y ) 在[a , b ]? [c , 界，则含参变量广义积分ò
+ c
+ a
f (x , y ) g (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛．
f (x , y ) d x 对y Î[c , d ]
定理9（Dini ） 设f (x , y ) 在[a , +ゴ][c , d ]上连续、非负．若ò收敛，且作为y 的函数在[c , d ]上连续，则ò例3 证明ò
+ 0
+ a
f (x , y ) d x 在[c , d ]上是一致收敛的．
co s(xy ) 1+x
2
x 在(-? , ) 上一致收敛．
证明：（Weierstrass 判别法）由于
co s(xy ) 1+x d x 1+x
2
2
Ｎ
11+x
2
, y (-? , ノ), x (0,+ ),
而广义积分ò
+ 0
收敛，因此ò
+ 0
co s(xy ) 1+x
2
d x 在(-? ,
) 上一致收敛．
问题6：一致收敛的含参变量广义积分有怎样的分析性质？ 答：下面给出含参变量广义积分的分析性质：
定理10 f (x , y ) 设在[a , b ]? [c ,
若含参变量广义积分I (x ) =]上连续，
+
ò
f (x , y ) d y ,
c
在[a , b ]上一致收敛，则I (x ) 在[a , b ]上连续．
(=) I x () 即注： I (x ) 在[a , b ]上连续的含意是：对任意x Î[a , b ]，有l i m I x ，0
x x 0
+?
x x 0
lim
蝌
c
f (x , y ) d y =
c
lim f (x , y ) d y ．也就是说，可在积分号下取极限。
x
x 0
定理11 设f (x , y ) 在[a , b ]? [c , 在
b
]上连续，若含参变量广义积分I (x ) =
+
ò
f (x , y ) d y
c
[a , b ]
+?
上一致收
敛
d y
a
，
b
则
b + c
b
蝌I (x ) d x =
a
d y
f (x , y ) d x
a
，即
蝌d x
a
f (x , y ) d y =
c
蝌
c
f (x , y ) d x ．
]上连续，若ò
+
+ c
定理12 设f (x , y ), f x (x , y ) 都在[a , b ]? [c , 敛，ò
+
f (x , y ) d y 在[a , b ]上收
f
c
+
x
(x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛，则I (x ) =f x (x , y ) d y ，即
ò
c
f (x , y ) d y 在[a , b ]上可导，且
c
I ¢(x ) =
ò
c
蝌d x
c
d
+?
f (x , y ) d y =
¶¶x
f (x , y ) d y ．
例4 计算积分I =
2
1p
+
ò
-
骣sin x ÷
ç÷d x ． çç桫x ÷
骣sin x ÷
ç÷d x 收敛．用分部 çç桫x ÷
2
2
+ + 骣sin x ÷1d x
ç解 由ç收敛，可知ò÷£2以及ò2ç01桫x ÷x x
积分法，有蝌
+?
骣sin x ÷1
çd x =÷çç桫x ÷2
2
1-co s 2x
x
2
x = -
1-co s x +
2x
+
+
ò
sin 2x x
x ．
故可得 I =
1p
+?
蝌
-
骣sin x 鼢2
d x =鼢珑桫x 鼢p
2
骣sin x 桫x
2
d x =
2p
. =1． p 2
例5 计算积分ò
e
+ 0
e
-a x
-e x
-b x
x (0
-a x
解： 注意到
-e x
-b x
b
=
ò
e
a
-xy
d y ，则有蝌
+?
e
-a x
-e x
-b x
b
x =
d x
e
a
-xy
d y ．如
果积分能交换次序，那么这个积分就容易求出．为此，我们验证定理10诸条件成立． 显然f (x , y ) =e 因此，ò
+?
+ 0
-xy
在[0,+ ) ×[a , b ]上连续，而e
-xy
£e
-a y
，y Î[a , b ]，x ³0．
f (x , y ) d x 在[a , b ]上一致收敛，故积分可交换次序，从而
-b x
b
b
蝌
e
-a x
-e x
x =
a
d x
e
-xy
d x =
蝌
a
-e
-xy
+ x =0
b
y
d y =
a
1y
y =ln
b a
．
参考文献：
[1]陈传璋，数学分析（第二版）下册 ， 北京：高等教育出版社，1983. [2]丁晓庆，工科数学分析 下册，北京：科学出版社，2002.
[3]吴孟达、李志祥、宋松和，数学分析下册，长沙：国防科技大学出版社，2003. [4]清华大学数学系编写组，微积分（Ⅱ），北京：清华大学出版社，2003. [5]裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，北京：高等教育出版社，1993. [6]洪毅 ，数学分析下册，广州：华南理工大学出版社，2002. [7]辛欣，数学分析八讲，武汉：武汉大学出版社，1998.
[8]徐利治，数学方法论选讲，武汉：华中工学院出版社，1983.
专题八 关于反常积分敛散性的判别
积分区间为无限，或被积函数为无界的积分，称为广义积分，它们是定积分的推广．在这里，主要就它们的敛散性判别答疑．
问题1：一元函数反常积分的判别法常见的有哪些内容？都有些什么特点？有些什么关系？
答：一元函数反常积分包含无穷限的反常积分和无界函数反常积分，对于无界函数反常积
分通过适当的代换就可以转化为无穷限的反常积分。这里只就无穷限的反常积分进行叙述，对于无界函数反常积分，有类似的结果。
判定反常积分的敛散性要点如下：
⑴如f (x ) ³0，且lim f (x ) =0，可考察x ?
x ?
时无穷小量f (x ) 的阶，若阶数
l >1，则反常积分ò
+ a
f (x ) dx 收敛；l £1时发散．
⑵若f (x ) ³0，可用比较判别法或比较判别法的极限形式进行判断．
⑶若f (x ) ³0，可考察ò
+ a
f (x ) dx 是否有界．
⑷以上f (x ) ³0的条件，只要对于充分大的x (x ³a ) 能保持成立即可． ⑸因ò
+ a
f (x ) dx 与ò
+ a
-f (x ) d x 同时敛散，故对f (x ) £0有类似的方法．
⑹若x ? 时f (x ) 无穷次变号，则以上判别法失效，可考虑用Abel 判别法或
Dirichlet 判别法．
⑺用Abel 判别法，与Dirichlet 判别法判定为收敛，只是ò于是绝对收敛还是条件收敛，还有赖于进一步考虑ò
A
+ a
+ a
f (x ) dx 本身收敛．至
f (x ) d x 收敛还是发散．
⑻以上方法无效，还可考虑用Cauchy 准则来判断．或 ⑼用定义，看极限lim
A ?
ò
f (x ) d x 是否存在．
a
⑽用分部积分法，或变量替换法变成别的形式，看是否能判定它的敛散性． ⑾用级数方法判定积分的敛散性． ⑿用运算性质判断敛散性，例如： 若ò若ò
+ a + a
f (x ) dx ，ò
+ a
g (x ) d x 收敛，则ò
+ a
+ a
(f (x ) ±g (x ) ) d x 亦收敛．
+ a
f (x ) dx 收敛，òg (x ) d x 发散，则ò
(f (x ) ±g (x ) ) d x 亦发散．
⒀对于无界函数反常积分，以上各条都有类似的结论，第⑴条要特别注意，对于无界函
数反常积分而言，此条应是x 趋向奇点时，f (x ) 为无穷大量，若无穷大量的阶数l
问题2：无穷限的反常积分有一个无穷级数相对应，那么无穷限的反常积分ò敛与lim
n
+
f (x ) dx
a
收敛与
x ?
li m f (x ) =0的关系是否有无穷级数å
¥
u n
收
n =1
u n =0
这样的关系呢？
+ a
答：无穷限的反常积分ò
¥
f (x ) dx 收敛与lim f (x ) =0的关系和无穷级数收敛，通项
x ?
趋于0的关系有很大的不同。
1、如果无穷级数åu n 收敛，则lim u n =0．但对于无穷限反常积分ò
n =1
n
+ a
f (x ) d x 而
言，即使其收敛，也并不意味着lim f (x ) =0，
例如蝌sin x d x =
x ?
+?
2
1
t (t =x )
2
1
是收敛的，而当x ?
2、ò
+ a
时被积函数不趋于零，甚至是无界的．
f (x ) d x 收敛，并且f (x ) ³0，仍不能断言f (x ) 0（当x ? 时）．例
ì1ï
ï, 2
如f (x ) =ïí1+x
ïï1, ïî
x ¹整数时, x =整数时.
3、ò
+ a
f (x ) d x 收敛，f (x ) ³0，f (x ) 连续，还可能f (x ) 0（当x ? ）．例
如 n =1, 2…
ì1, ï
ïïïï0, ïï
f (x ) =ïí
ï
ï直线段, ïïïïï0, ïî
当x =n 时, 当x =n +
当x 挝[n -12
n
12
n
,
12
n
],
, n ]或x 其余.
[n , n +
此函数可以简单表写为
ìï
ï1-2n x -n ,
f (x ) =ïí
ïï0, ïî
+
+?
x ? [n
12
n
, n +
12
n
](n =1, 2 )
其余.
此时，ò
f (x ) d x =
邋
n =1
12
. n .1=22
12
n
=1 收敛，f (x ) ³0, 连续，但f (x ) 0（当
n =1
x ?
时）．
4、上述条件，将f (x ) ³0改为f (x ) >0，依然不能肯定f (x ) 0（当x ? 这只要考虑函数
禳镲1f (x ) =m ax 镲2, j (x ) , 其中j (x ) 按上款中的f (x ) 同样的方式定义．
镲x 镲铪
时）．
问题3：无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限为0是否就没有关系了呢？
答：二者有关系。在一定条件下，收敛无穷限反常积分的被积函数当自变量趋于+
是趋于零的。主要有下面一些结果： 定理1 若无穷限积分ò
+ a
时
f (x ) d x 收敛，且存在极限lim
x ?
f (x ) =A ，则A =0.
证明：假设A ¹0（不防设A >0），由保号性，$G >a , 当x >G 时，f (x ) ? 而蝌
a +?
G
?
G
A 2
0．从
f (x ) d x =
a
+ a
f (x ) d x +
蝌
G
f (x ) d x ?
a
f (x ) d x
A 2
d x =+
G
，
这与ò
f (x ) d x 收敛矛盾。同理可证A
+
推论1.1 设函数f (x ) 在区间[a , + ) 上可导，且无穷限积分
+
ò
f (x ) d x 与
a
ò
f ¢(x ) d x 都收敛，则lim f (x ) =0.
x ?
a
+ a
证明：由于ò
f ¢(x ) d x 收敛，故极限
x
lim
x ?
ギò
f ¢(t ) d t =
x
lim
+ギ
f (t )
x a
=
x
a
lim [f (x ) -+
f (a ) ]
存在，从而极限lim f (x ) 存在，于是由定理1可得lim f (x ) =0．
x ?
x ?
定理2 若无穷限积分ò
+ a
f (x ) d x 收敛，函数f (x ) 在[a , +
+
则lim f (x ) =0. ) 上单调，
x ?
证明：倘若f (x ) 在[a , + ) 上单调无界，将导致ò
x ?
f (x ) d x =
a
而矛盾，从而f (x ) 在
[a , + ) 上必单调有界，故lim f (x ) =A 存在，由定理1可得lim f (x ) =0．
x ?
定理3 若无穷限积分
lim f (x ) =0．
+
ò
f (x ) d x 收敛，函数f (x ) 在[a , + ) 上一致连续，则
a
x ?
证明：由于函数f (x ) 在[a , + ) 上一致连续，故" e >0，$d >0（不妨设d £e ），当
x ⅱ, x ? [a ,
-x d 时，有f (x ⅱ) -) 且x ⅱf (x )
e 2
．又因ò
+ a
f (x ) d x 收敛，由
Cauchy 收敛准则，对上述d , $G >a ，当x 1, x 2>G 时，有取x 1, x 2>G ，使x 1
x 2
x 2x 1
x 2x 1
ò
x 2x 1
f (x ) d x
d
2
2
．现对" x >G ，
f (x ) d =
蝌
x 1
f (x ) d t -f (t ) d t +
f (t ) d t
e 2
. d +
d
2
2
，
得f (x )
e 2
+
d 2
?
e 2
e 2
=e (x >G 时) , 这就证得lim f (x ) =0．
x ?
定理4 若无穷限积分ò
n ?
+ a
f (x ) d x 收敛，函数f (x ) 在[a , + ) 上连续，则存在数列
{x n }? [a , ) ，使lim x n =+
证明：由Cauchy 收敛准则，对e n =
1n
且lim f (x n ) =0．
n ?
A n +1A n
(n >a ), $A n >n ，使
ò
f (x ) d x
1n
，对上述积
分用积分第一中值定理，就有f (x n ) =
lim x n =+
ò
A n +1A n
f (x ) d x
1n
，其中x n ? (A n , A n
1) ，因此
n ?
, lim f (x n ) =0．
n ?
例1 证明：若f (x ) 连续可微，积分ò时，有f (x ) 0． 证：要证明x ?
+ a
f (x ) d x 和ò
+ a
f ¢(x ) d x 都收敛，则x ?
时f (x ) 有极限，根据Heine 定理，我们只要证明" {x n }?
+ a
恒有
{f (x n ) }收敛．事实上，已知积分ò
以致" x 1、x 2>A ，恒有如此" {x n }?
f ¢(x ) d x 收敛．根据Cauchy 准则，" e >0, $A >a ，
ò
x 2x 1
f ¢(x ) d x =
f (x 1) -f (x 2)
? , N >0, 当n 、m >N 时，有x n 、x m >A ，从而
x m x n
ò
f ¢(x ) d x =
f (x n ) -f (x m )
这即表明{f (x n ) }收敛．故由Heine 定理，极限lim f (x ) =a 存在．
x ?
现在来证a =0．若a >0，则由保号性，$D >0，当x >D 时，有f (x ) >
a 2
>0，
从而A >D 时ò
2A
f (x ) d x 钞
A
a 2
A + （当A ?
时）．这与ò
+ a
f (x ) d x 收敛矛
盾．同理可论a
x ?
问题4：含参变量的广义积分是如何定义的？它们一致收敛是什么意思？
答： 广义积分有两种：一种是无穷限积分，即积分区间为无穷的情形；另一种为瑕积分，
即积分区间虽然是有限的，但被积函数在积分区间内无界．当含参变量的积分是广义积分时，
就称为含参变量的广义积分，它自然也包括两种类型．
设f (x , y ) 定义在[a , b ]? [c ,
) ，则 I (x ) =
+
ò
f (x , y ) d y 为无穷限的含参变量
c
积分，其中x 是参变量，y 是积分变量．如果f (x , y ) 定义在[a , b ]´[c , d ]，且对任意
x Î[a , b ]以及h >0充分小，f (x , y ) 对y 在[c , d -h ]可积，但在[d -h , d ]无界，则
d
J (x ) =
ò
f (x , y ) d y 是含参变量的瑕积分，根据广义积分的定义
+
A
c
蝌
c
f (x , y ) d y =lim
A
c
f (x , y ) d y ,
d d -h
蝌
c
f (x , y ) d y =lim +
h 0
f (x , y ) d y .
¥
c
它们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数åu k (x ), x Î[a , b ]十分类似，它是部
k =1
¥
n
n
分和的极限邋u k (x ) =lim
k =1
k =1
u k (k ) .
唯一的差别是：在级数的情形，极限是对离散量n 的情形，极限是对连续量A ?
取的；而在含参变量广义积分
或h 0取的．
+
在对函数项级数的和函数的分析性质的研究中，一致收敛的概念起了关键的作用．通过
一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究．在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入一致收敛的概念．它把广义积分的问题化为含参变量的正常积分，而后者在我们以前学习中已经讨论无穷限的情形，但所有的结果都可平行地推广到瑕积分的情形．
定义1 设f (x , y ) 在[a , b ]? [c ,
+
) 上有定义，且对任意x Î[a , b ]，无穷限积分
I (x ) =
ò
f (x , y ) d y
c
收敛．若对任意的e >0，存在A 0>c ，使当A >A 0时，有
A +
蝌
c
f (x , y ) d y -I (x ) =
A
f (x , y ) d y
+
对一切x Î[a , b ]都成立，则称含参变量的广义积分ò
f (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛．
c
显然，定义中的区间[a,b]可代之以开区间、半开区间、无穷区间等等．
问题5：在何种条件下，含参变量的广义积分一致收敛？ 如何判断含参变量的广义积分一致收敛？ 答：首先看下面的例题：
例2、证明含参变量广义积分ò
+
xe
-xy
d y (1)在[a , + ) 上一致收敛，其中a >0；
(2)在(0,+ ) 上不一致收敛．
+
证明 (1)因为ò
xe
A
-xy
d y =-e
-xy
+ A
=e
-xA
３e
-a A
, x a , 而lim e
A ?
-a A
=0，所以对
任给的e >0，存在A 0>0，当A >A 0时有e 有
+
-a A
A 0时，对任意的x ³a ，
ò
xe
A
-a A
d y ? e
-a A
e ．这就证明了ò
+
xe
-xy
d y 在[a , + ) 上一致收敛．
(2)要证存在e o >0，对任意的A o >0，存在A >A o 和x o ? (0,
+
) ，使得
12
ò
A
x 0e
-x 0y
d y ³e o
．从
+ A
+
ò
x e
A
-x y
d =y
-x
e 易知，只要取e o =
e
-1
，
x 0=A
-1
? (0,
) 就有ò
x 0e
-x 0y
d y =e
-1
>e o . 也就是说，存在e o =) ，使得
+
12
e
-1
>0，对任
意A o >0，存在A >A o 和x o =A
+
-1
? (0,
ò
A
x 0e
-x 0y
d y =e
-1
>e o ．因此
ò
xe
-xy
d y 在(0,+
+
) 上不一致收敛． d y 在[0, +
+
显然，ò
xe
-xy
) 上是收敛的．当x >0时，
xy
ò
xe
-xy
d y =-e
¥0
=1；
而当x =0时，被积函数恒等于0，故 I (x ) =
+
ò
xe
-xy
ìx =0, ï0,
d y =ïí
ïïî1, x ? (0,
).
这个例子表明，尽管被积函数f (x , y ) =xe
-xy
在[0, +ゴ) [0, + ) 上连续，但I (x ) 在
x =0处不连续．其原因是积分在包含x =0的区间是不一致收敛的，后面将说明事实的确
如此．
为便于判别一致收敛性，下面给出一致收敛的Cauchy 准则和几个常用的判别法： 定理5（Cauchy 准则）含参变量的广义积分ò
'
+ c
f (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛的充要条件
是：对任给的e >0，存在正数A o >c , 当A , A >A o 时，对任意的x Î[a , b ]，有
A ⅱ
"
ò
A ¢
f (x , y ) d y
定理6（Weierstrass 判别法，或M －判别法，或控制收敛判别法）设存在函数M (y ) 与常数B >c ，使当y 澄B 及x 收敛的，则ò
+ c
A c
[a , b ]时，有f (x , y ) £M (y ) ，且广义积分ò
+ c
M (y ) d y 是
f (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛．
f (x , y ) d y 对A ³c 及x Î[a , b ]
定理7（Dirichlet 判别法） 设(1)含参变量的正常积分ò
有界，即存在M >0，对任意A >c 及任意x Î[a , b ]，有
A
ò
f (x , y ) d y
c
(2)对每个固定的x Î[a , b ]，函数g (x , y ) 关于y 是单调的，且当y ?
g (x , y ) 对x Î[a , b ]一致地趋向于0，则含参变量广义积分ò
+ c
时，
f (x , y ) g (x , y ) d y 在[a , b ]
上一致收敛．
定理8（Abel 判别法） 设(1)ò
+ c
f (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛；
]上有
(2)对每一个固定的x Î[a , b ]，函数g (x , y ) 关于y 单调，且g (x , y ) 在[a , b ]? [c , 界，则含参变量广义积分ò
+ c
+ a
f (x , y ) g (x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛．
f (x , y ) d x 对y Î[c , d ]
定理9（Dini ） 设f (x , y ) 在[a , +ゴ][c , d ]上连续、非负．若ò收敛，且作为y 的函数在[c , d ]上连续，则ò例3 证明ò
+ 0
+ a
f (x , y ) d x 在[c , d ]上是一致收敛的．
co s(xy ) 1+x
2
x 在(-? , ) 上一致收敛．
证明：（Weierstrass 判别法）由于
co s(xy ) 1+x d x 1+x
2
2
Ｎ
11+x
2
, y (-? , ノ), x (0,+ ),
而广义积分ò
+ 0
收敛，因此ò
+ 0
co s(xy ) 1+x
2
d x 在(-? ,
) 上一致收敛．
问题6：一致收敛的含参变量广义积分有怎样的分析性质？ 答：下面给出含参变量广义积分的分析性质：
定理10 f (x , y ) 设在[a , b ]? [c ,
若含参变量广义积分I (x ) =]上连续，
+
ò
f (x , y ) d y ,
c
在[a , b ]上一致收敛，则I (x ) 在[a , b ]上连续．
(=) I x () 即注： I (x ) 在[a , b ]上连续的含意是：对任意x Î[a , b ]，有l i m I x ，0
x x 0
+?
x x 0
lim
蝌
c
f (x , y ) d y =
c
lim f (x , y ) d y ．也就是说，可在积分号下取极限。
x
x 0
定理11 设f (x , y ) 在[a , b ]? [c , 在
b
]上连续，若含参变量广义积分I (x ) =
+
ò
f (x , y ) d y
c
[a , b ]
+?
上一致收
敛
d y
a
，
b
则
b + c
b
蝌I (x ) d x =
a
d y
f (x , y ) d x
a
，即
蝌d x
a
f (x , y ) d y =
c
蝌
c
f (x , y ) d x ．
]上连续，若ò
+
+ c
定理12 设f (x , y ), f x (x , y ) 都在[a , b ]? [c , 敛，ò
+
f (x , y ) d y 在[a , b ]上收
f
c
+
x
(x , y ) d y 在[a , b ]上一致收敛，则I (x ) =f x (x , y ) d y ，即
ò
c
f (x , y ) d y 在[a , b ]上可导，且
c
I ¢(x ) =
ò
c
蝌d x
c
d
+?
f (x , y ) d y =
¶¶x
f (x , y ) d y ．
例4 计算积分I =
2
1p
+
ò
-
骣sin x ÷
ç÷d x ． çç桫x ÷
骣sin x ÷
ç÷d x 收敛．用分部 çç桫x ÷
2
2
+ + 骣sin x ÷1d x
ç解 由ç收敛，可知ò÷£2以及ò2ç01桫x ÷x x
积分法，有蝌
+?
骣sin x ÷1
çd x =÷çç桫x ÷2
2
1-co s 2x
x
2
x = -
1-co s x +
2x
+
+
ò
sin 2x x
x ．
故可得 I =
1p
+?
蝌
-
骣sin x 鼢2
d x =鼢珑桫x 鼢p
2
骣sin x 桫x
2
d x =
2p
. =1． p 2
例5 计算积分ò
e
+ 0
e
-a x
-e x
-b x
x (0
-a x
解： 注意到
-e x
-b x
b
=
ò
e
a
-xy
d y ，则有蝌
+?
e
-a x
-e x
-b x
b
x =
d x
e
a
-xy
d y ．如
果积分能交换次序，那么这个积分就容易求出．为此，我们验证定理10诸条件成立． 显然f (x , y ) =e 因此，ò
+?
+ 0
-xy
在[0,+ ) ×[a , b ]上连续，而e
-xy
£e
-a y
，y Î[a , b ]，x ³0．
f (x , y ) d x 在[a , b ]上一致收敛，故积分可交换次序，从而
-b x
b
b
蝌
e
-a x
-e x
x =
a
d x
e
-xy
d x =
蝌
a
-e
-xy
+ x =0
b
y
d y =
a
1y
y =ln
b a
．
参考文献：
[1]陈传璋，数学分析（第二版）下册 ， 北京：高等教育出版社，1983. [2]丁晓庆，工科数学分析 下册，北京：科学出版社，2002.
[3]吴孟达、李志祥、宋松和，数学分析下册，长沙：国防科技大学出版社，2003. [4]清华大学数学系编写组，微积分（Ⅱ），北京：清华大学出版社，2003. [5]裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，北京：高等教育出版社，1993. [6]洪毅 ，数学分析下册，广州：华南理工大学出版社，2002. [7]辛欣，数学分析八讲，武汉：武汉大学出版社，1998.
[8]徐利治，数学方法论选讲，武汉：华中工学院出版社，1983.