不同的视角
２２５００９
别样的精彩
张
飞
江苏省邗江中学
解析几何是高中数学的重要内容，也是高考考
查的热点与难点．其知识综合性强，对学生的逻辑思维能力与计算能力等要求都较高．特别在计算能力方面，面对许多解析几何题学生常常因为复杂的计算而“知繁而退”．所以解题方法的选择就显得特别
重要，它体现了思考问题的角度．一、“设点的坐标”还是“设直线方程”
例１
如图１，、已知椭圆ｃ的方程为等＋ｙ２—
１，Ａ、Ｂ是ｒｇｔ条直线ｚ一±２，Ｙ＝±１所围成的矩形
．．’－４４￡４－１，．・．ｆ＋５＞ｏ．ＳＺＸＡＢＣ＝２Ｘ－｝Ｘ
一５＋ｔａｎ７＝５一歹干瓦５耳ｉ，当￡一一虿５时，ＡＡＢＣ
ｆＩ
解析３：选择一个变量么ＡＰＢ＝２臼（ｏ＜Ｋ等），
建立ｙ一赢・商关于目的函数，再求ｙ
＋２×虿１×ｌ￡＋５ｌ＋２×虿１×ｔａｎｙ＝一￡＋￡＋５＋ｔａｎｙ
Ｎ
Ｎｔ聂ｄ，值
即可．设么ＡＰＢ＝２０（０＜曰＜等），得ＰＡ—ＰＢ一
积的．最小值为等．
３选择点参数、长度参数还是选择角参数
例３
志，ｙ一商・商＝Ｉ
２ｓｉｎ２臼），
（志）２ｃｏｓ２臼＝端（１＿２ｓｉｎ２沪等（１—
ＰＡ
Ｉ・Ｉ
ＰＢｃｏｓ２０一
如图３，已知圆Ｏ的半径为１，ＰＡ、ＰＢ为
该圆的两条切线，Ａ、Ｂ为两切点，那么雨・商的
最小值为
．
令ｚ—ｓｉｎｚ０，Ｏ＜ｚ＜１，ｙ＝２ｘ＋二－－３≥刎２—３．评析：从以上过程可以看出，解析２选择长度参数，解析３选择角参数，分别建立关于长度参数或角参数的函数，然后利用求函数最值的基本方法如换元、基本不等式等进行求解，实属好方法．解析１选择点参数，由于字母太多导致求解困难，那么，能否减少字母个数或者寻找字母变量之间的关系？事实上，若以圆心０为原点，点Ｐ在ｚ轴正半轴上，建立直角坐标系，则有ｚ：＝，７２１，ｙ：一一ｙ。，３，。一０，即Ｂ（ｘ＂一ｙ１），Ｐ（ｘ。，ｏ），其中．２Ｃ。＞１．这样就减少了３
解析１：学生容易想到通过建立坐标系设点的坐标求解．以圆心０为原点，建立直角坐标系，得圆。的方程为ｚ
２
＋扩一１，设Ａ（ｚ１，Ｙ１）、Ｂ（ｘ２，３，２）、Ｐ（ｚｏ，Ｙｏ）．贝ｑ
ｅ－－Ｘ・Ｐ秀一（ｚ１－－３７０，Ｙｌ－－ｙｏ）・（ｚ２－－Ｘｏ，．３１２－－ｙｏ）一Ｘ１Ｘ２－－Ｘｏ（ｚｌ＋ｚ２）＋ｚ；＋ｙ１Ｙ２一ｙｏ（ｙｌ＋ｙ２）＋胡，
面对含有６个字母的式子，不少学生不知如何化简，望而生畏，只能选择放弃．
个字母变量，商・商一（ｚ，一ｚ。，Ｙ。）・（ｚ。一．１７。，
－－ｙ１）一ｚ；一２ｘｌｚ。＋ｚ５—３，；．因为ＯＡｊ－ＰＡ，所以（ｚ１，３，１）・（ｚ１一ｚｏ，Ｙ１）一０，ｚ；一．１７１．７Ｃｏ＋Ｙ；一０，得ｚ，ｚ。一１，从而．１７１一一１．
ＸＯ
解析２：选择一个变量ＰＡ＝ｚ，建立３，＝商・
商关于ｚ的函数，再求ＹＮ１４，．．Ｎ且Ｐ．－Ｉ．
设ＰＡ＝ＰＢ＝ｚ（ｚ＞ｏ），则ｓｉｎ么Ａ
ｕＯｒＡ一
商・两一ｚ｛－－２ｘ。ｚ。＋ｚ：一ｙ；一ｚ；一２＋ｚ３一
（１一ｚ；）一２ｘ；＋ｚｊ一３一与＋ｚｊ一３≥２√２—３．但这里很难想到利用ＯＡ．上ＰＡ，找到ｚ。．１７。一１的关系．因此，就本题而言，选择点参数并不是明智的选择．在日常的教学中，教师要善于抓住解题过程中的每一个环节，不放过任何一个“有价值”的机会，引导学生进行对比、分析，反复琢磨，积累更多的经验和解题途径，并能在各种途径中作出合理的选择，少走弯路，简化运算，提升能力．
万１再，ｃ。ｓ么ＡＰＢ＝１－－２ｓｉｎ２么ＡＰＯ＝１一南，ｙ一商・商一烈１一斋）一高等（ｚ＞０）．
３≥２、厄一３．
令１＋ｘ２＝ｔ（￡＞１），则ｙ一＿ｆｌ－－３ｔ－ｂ２一￡＋导一
万方数据
的两个顶点．
‘ｙ
Ｋ．历
＾
＼。－－ｙ
工
图１
（１）设Ｐ是椭圆ｃ上任意一点，若碲一ｍ蕊＋＂菌，求证：动点Ｑ（ｍ，咒）在定圆上运动，并求出
定圆的方程；
‘（２）若Ｍ、Ｎ是椭圆Ｃ上两个动点，且直线ＯＭ、ＯＮ的斜率之积等于直线ＯＡ、ＯＢ的斜率之
积，试探求△ＯＭＮ的面积是否为定值，并说明理由．’（１）略．
（２）解法１：设Ｍ（ｘｌ，ｙ。），Ｎ（ｘ２，Ｙ２），则塑丝‘
一一百１，平方得ｚ｝ｚ＝１６ｙ｝ｙ；一（４一ｚ；）（４一ｚ；），即ｚｉ十ｚ；一４．凼力且线ＭＮ明万崔力（Ｙｌ—ｙ２）．ｚ一
（ｚ１一ｚ２）ｙ＋ｚｌｙ２一ｚ２ｙｌ一０，所以０到直线ＭＮ的
距离削一瓦墨簿岩帚’所妣ＯＭＮ
的面积ｓ一虿１＝丢屈丽再研可而
ＭＮ・ｄ一虿１
ｚ。ｙ：一ｚ：ｙ。Ｉ
一号√＝；（，一譬）＋ｚ；（，一手）＋丢ｚ；ｚ；
＝÷∥百干虿一１，故△ｏＭＮ的面积为定值１．
解法２：设ＯＭ的方程为ｙ２ｋｘ（ｋ＞Ｏ），则ＯＮ的方程为ｙ一一磊１ｚ（志＞ｏ）．联立方程组
仨豪ｑ懈Ｍ（杀帚，丽２ｋ）．
同理可得Ｎ（了羔，了丽－－１）．
因为点Ｎ到直线ｏＭ的距离为ｄ
２了ｘ／１丽＋４ｋ２，
２
ＯＭ＝％／（２
２ｋ＼ｚ＝２膘，
所以△ｏＭＮ的面积Ｓ一虿１
ｄ・ＯＭ＝丢・
』型兰篓．２＾／三±氅一１，、，１Ｔ足。。Ｖ
ＹＹ＇－－ｉ－－Ｃ－２
／ｋ４＋ｌＮ．ＭＯ“Ａｇ值彭定为积面叫俩州庀目万方数据
说明：解法１是通过设点Ｍ，Ｎ的坐标，再根据斜率乘积为定值求出坐标之间满足的关系，以ＭＮ长为底，０到直线ＭＮ的距离为高，计算面积，最后
代入坐标关系等式求出定值的．但解题过程中未知
数比较多，在化简时应注意观察方程的特征，消去参数．消参的原则是：把与答案无关的参数消去，留下与答案有关的参数．
解法２设直线ＯＭ的方程，再根据斜率乘积为
定值，求出直线ＯＮ的方程，然后和椭圆方程联立方
程组，分别求出点Ｍ，Ｎ的坐标（用志表示），再求出点Ｎ到直线ＯＭ的距离ｄ，ＯＭ的长，最后求出
１
△ＯＭＮ的面积Ｓ一寺ｄ・ＯＭ一１为定值．解题过程
厶
中只有一个参数惫，思路清晰，目标明确，易得结果．
不管是设点的坐标还是设直线方程，其实都体现了解析几何的本质：用代数方法处理几何问题．具体表现为点要坐标化，直线和曲线要方程化，附加条件要代数化．
二、。。设而不求，，还是。设而再求，，
例２如图２，椭圆ｃ。：与＋西ｙ一１（口＞６＞ｏ）和
ａ
口
圆Ｃ２：ｚ１＋ｙ２一ｂ２，已知圆Ｃ２将椭圆Ｃ。的长轴三
厅
等分，椭圆Ｃ。右焦点到右准线的距离为半，椭圆ｃ。
上士
的下顶点为Ｅ，过坐标原点０且与坐标轴不重合的任意直线ｚ与圆Ｃ。相交于点Ａ、Ｂ．
（１）求椭圆Ｃ。的方程；
（２）若直线ＥＡ、ＥＢ分别与椭圆Ｃ。相交于点．
Ｐ、Ｍ，求出直线ＰＭ经过的定点．
’ｙ
≠亍严＼＼邋露气．
Ｅ
炒ｊ
图２
解：（１）椭圆Ｃ。方程为鲁＋３，２—１．（过程略）
（２）解法１（设而不求）：
设直线ＰＭ方程为Ｙ—ｋｘ＋ｂ，Ｐ（ｚ。，ｙ。），９＝ｏ，舭。＋ｘ２一嚣，哪。一警≯．
由１ｌｚｙ：＝＋ｋ９ｘｖ＋：一ｂ９得（１＋９志２）ｚ２＋１８忌如＋９ｂ．ｚ一
・．。可讶・茚一ｏ，．・．ｚ。ｚ。＋（ｙ，＋１）（ｙ：＋１）＝ｏ，
Ｍ（ｘ２，３，２），
４８
上海中学数学・２０１４年第１２期
＿０，．・．盟铲＋ｍ＋１）嚣＋（６＋２ｕ，‘‘——］—刁百一十走（Ｄ十１’ｒ丽十（Ｄ十
１）２＝０，．。．５ｂ２＋ｂ一４＝０，解得ｂ一÷或～１（舍），
．・．６一喜．
０
即直线ＰＭ方程为ｙ＝ｋｘ－ｂ－｝，即直线ＰＭ过
ｂ及点Ｐ、Ｍ的坐标，再结合条件痢・Ｅ－－Ｐ＝ｏ，发现
一说明：解法１先设出直线ＰＭ的方程Ｙ—ｋｘ＋
ｋ、ｂ间的关系得定点坐标．此法利用设而不求法回
由｛著Ｉ。得仁霖或乒。ｃ舍妻，，由｛等栌・得１ｙ：妊或乒・冶却’
ＭＬ．一１、
．丽－．Ｐ（—望缶，丽９ｋ－２－１），１用一８１９ｋ２
ｋ＋１’９是２＋¨厂玎，丽９－ｋ１
２ｈ．。‰＝ｋ代换志，得
ｏ～伙“’臂
堕１１一咝
ｔ
９ｋ２＋１
ｋＺ．＿Ｆ９
黼＝铬．
．‘删一蒜一害（ｚ＋蒜Ⅲ妒
忌２—１
．４
１丽１十ｉ‘
．．．直线ＰＭ经过定点Ｔ（ｏ，÷）．
说明：解法２抓住目标直线ＰＭ过定点，先求
思路清晰．要注意的是：（１）在求Ｐ点坐标时，联立
（２）在求Ｍ点坐标时，由于直线ＭＥ方程ｙ一一寺
在Ｐ（麦％，羹与｝）中，用一百１代换忌，就可得
Ｍ（万－－１两８ｋ，万９－－两ｋ２）．
万方数据
设而不求与设而再求的区别只是解题时出发的角度不同，本质上都是通过代数运算来解决几何问题．
练习１已知椭圆等＋扩一１的左顶点为Ａ，过Ａ
作两条互相垂直的弦ＡＭ、ＡＮ交椭圆于Ｍ、Ｎ两点．
（１）当直线ＡＭ的斜率为１时，求点Ｍ的坐标；
（２）当直线ＡＭ的斜率变化时，直线ＭＮ是否
过ｚ轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
解：（１）直线ＡＭ的斜率为１时，直线ＡＭ为
ｙ＝ｚ＋２，代入椭圆方程并化简得５２２＋１６ｚ＋１２＝ｏ，
解之得ｚ。一一２，ｚ：一一菩，所以点Ｍ的坐标
为（一＿６，善）．
（２）设直线ＡＭ的斜率为ｋ，则ＡＭ的方程为
ｙ一是（ｚ＋２），
ｒｙ一忌（ｚ＋２）
联立｛辱＋ｙｚ一１’化简得ｑ＋４舻ｈ２＋１６是２ｚ
＋１６ｋ２—４—０．
・．‘此方程有一根为一２’．．．ｚＭ一车苦等，用一丢代换足，可得ｚＮ一警；≠．由（１）知若存
定
定一１－４
在定点，则此点必为Ｐ（一菩，ｏ）．
．・・‘忌脚一—了２—蒡帮一而，同‰一—趸：ｋ燮（ｚＭ十ｉ—１＋—４ｋ２十ｉ
２－８ｋ２，＾ＹＭ一而５ｋ，同
理可计算得志ＰＮ—Ｆｉ５ｋ矿．
．‘．直线ＭＮ过ｚ轴上的一定点Ｐ（一詈，ｏ）．
说明：练习１（２）在求Ｍ点坐标时，用到了Ａ
点坐标（０，一２），由于方程（１＋４ｋ２）ｚ２＋１６ｋ２ｚ＋
１６ｋ２—４—０有一根为一２，所以Ｍ点横坐标容易求出．在求Ｎ点坐标时，用到了已经求出的Ｍ点坐
标，’只需用一寺代换ｋ就．－Ｉ得到Ｎ点坐标，因是直
线ＡＭ方程为ｙ—ｋ（ｚ＋２），直线ＡＮ方程为Ｙ一一÷（ｚ＋２），两者仅仅斜率不同．另外求Ｐ点坐标
时，用到了从特殊到一般的方法，先取特值找到Ｐ
点坐标，再证明Ｍ、Ｎ、Ｐ三点共线，避免繁琐的
运算．
不同的视角
２２５００９
别样的精彩
张
飞
江苏省邗江中学
解析几何是高中数学的重要内容，也是高考考
查的热点与难点．其知识综合性强，对学生的逻辑思维能力与计算能力等要求都较高．特别在计算能力方面，面对许多解析几何题学生常常因为复杂的计算而“知繁而退”．所以解题方法的选择就显得特别
重要，它体现了思考问题的角度．一、“设点的坐标”还是“设直线方程”
例１
如图１，、已知椭圆ｃ的方程为等＋ｙ２—
１，Ａ、Ｂ是ｒｇｔ条直线ｚ一±２，Ｙ＝±１所围成的矩形
．．’－４４￡４－１，．・．ｆ＋５＞ｏ．ＳＺＸＡＢＣ＝２Ｘ－｝Ｘ
一５＋ｔａｎ７＝５一歹干瓦５耳ｉ，当￡一一虿５时，ＡＡＢＣ
ｆＩ
解析３：选择一个变量么ＡＰＢ＝２臼（ｏ＜Ｋ等），
建立ｙ一赢・商关于目的函数，再求ｙ
＋２×虿１×ｌ￡＋５ｌ＋２×虿１×ｔａｎｙ＝一￡＋￡＋５＋ｔａｎｙ
Ｎ
Ｎｔ聂ｄ，值
即可．设么ＡＰＢ＝２０（０＜曰＜等），得ＰＡ—ＰＢ一
积的．最小值为等．
３选择点参数、长度参数还是选择角参数
例３
志，ｙ一商・商＝Ｉ
２ｓｉｎ２臼），
（志）２ｃｏｓ２臼＝端（１＿２ｓｉｎ２沪等（１—
ＰＡ
Ｉ・Ｉ
ＰＢｃｏｓ２０一
如图３，已知圆Ｏ的半径为１，ＰＡ、ＰＢ为
该圆的两条切线，Ａ、Ｂ为两切点，那么雨・商的
最小值为
．
令ｚ—ｓｉｎｚ０，Ｏ＜ｚ＜１，ｙ＝２ｘ＋二－－３≥刎２—３．评析：从以上过程可以看出，解析２选择长度参数，解析３选择角参数，分别建立关于长度参数或角参数的函数，然后利用求函数最值的基本方法如换元、基本不等式等进行求解，实属好方法．解析１选择点参数，由于字母太多导致求解困难，那么，能否减少字母个数或者寻找字母变量之间的关系？事实上，若以圆心０为原点，点Ｐ在ｚ轴正半轴上，建立直角坐标系，则有ｚ：＝，７２１，ｙ：一一ｙ。，３，。一０，即Ｂ（ｘ＂一ｙ１），Ｐ（ｘ。，ｏ），其中．２Ｃ。＞１．这样就减少了３
解析１：学生容易想到通过建立坐标系设点的坐标求解．以圆心０为原点，建立直角坐标系，得圆。的方程为ｚ
２
＋扩一１，设Ａ（ｚ１，Ｙ１）、Ｂ（ｘ２，３，２）、Ｐ（ｚｏ，Ｙｏ）．贝ｑ
ｅ－－Ｘ・Ｐ秀一（ｚ１－－３７０，Ｙｌ－－ｙｏ）・（ｚ２－－Ｘｏ，．３１２－－ｙｏ）一Ｘ１Ｘ２－－Ｘｏ（ｚｌ＋ｚ２）＋ｚ；＋ｙ１Ｙ２一ｙｏ（ｙｌ＋ｙ２）＋胡，
面对含有６个字母的式子，不少学生不知如何化简，望而生畏，只能选择放弃．
个字母变量，商・商一（ｚ，一ｚ。，Ｙ。）・（ｚ。一．１７。，
－－ｙ１）一ｚ；一２ｘｌｚ。＋ｚ５—３，；．因为ＯＡｊ－ＰＡ，所以（ｚ１，３，１）・（ｚ１一ｚｏ，Ｙ１）一０，ｚ；一．１７１．７Ｃｏ＋Ｙ；一０，得ｚ，ｚ。一１，从而．１７１一一１．
ＸＯ
解析２：选择一个变量ＰＡ＝ｚ，建立３，＝商・
商关于ｚ的函数，再求ＹＮ１４，．．Ｎ且Ｐ．－Ｉ．
设ＰＡ＝ＰＢ＝ｚ（ｚ＞ｏ），则ｓｉｎ么Ａ
ｕＯｒＡ一
商・两一ｚ｛－－２ｘ。ｚ。＋ｚ：一ｙ；一ｚ；一２＋ｚ３一
（１一ｚ；）一２ｘ；＋ｚｊ一３一与＋ｚｊ一３≥２√２—３．但这里很难想到利用ＯＡ．上ＰＡ，找到ｚ。．１７。一１的关系．因此，就本题而言，选择点参数并不是明智的选择．在日常的教学中，教师要善于抓住解题过程中的每一个环节，不放过任何一个“有价值”的机会，引导学生进行对比、分析，反复琢磨，积累更多的经验和解题途径，并能在各种途径中作出合理的选择，少走弯路，简化运算，提升能力．
万１再，ｃ。ｓ么ＡＰＢ＝１－－２ｓｉｎ２么ＡＰＯ＝１一南，ｙ一商・商一烈１一斋）一高等（ｚ＞０）．
３≥２、厄一３．
令１＋ｘ２＝ｔ（￡＞１），则ｙ一＿ｆｌ－－３ｔ－ｂ２一￡＋导一
万方数据
的两个顶点．
‘ｙ
Ｋ．历
＾
＼。－－ｙ
工
图１
（１）设Ｐ是椭圆ｃ上任意一点，若碲一ｍ蕊＋＂菌，求证：动点Ｑ（ｍ，咒）在定圆上运动，并求出
定圆的方程；
‘（２）若Ｍ、Ｎ是椭圆Ｃ上两个动点，且直线ＯＭ、ＯＮ的斜率之积等于直线ＯＡ、ＯＢ的斜率之
积，试探求△ＯＭＮ的面积是否为定值，并说明理由．’（１）略．
（２）解法１：设Ｍ（ｘｌ，ｙ。），Ｎ（ｘ２，Ｙ２），则塑丝‘
一一百１，平方得ｚ｝ｚ＝１６ｙ｝ｙ；一（４一ｚ；）（４一ｚ；），即ｚｉ十ｚ；一４．凼力且线ＭＮ明万崔力（Ｙｌ—ｙ２）．ｚ一
（ｚ１一ｚ２）ｙ＋ｚｌｙ２一ｚ２ｙｌ一０，所以０到直线ＭＮ的
距离削一瓦墨簿岩帚’所妣ＯＭＮ
的面积ｓ一虿１＝丢屈丽再研可而
ＭＮ・ｄ一虿１
ｚ。ｙ：一ｚ：ｙ。Ｉ
一号√＝；（，一譬）＋ｚ；（，一手）＋丢ｚ；ｚ；
＝÷∥百干虿一１，故△ｏＭＮ的面积为定值１．
解法２：设ＯＭ的方程为ｙ２ｋｘ（ｋ＞Ｏ），则ＯＮ的方程为ｙ一一磊１ｚ（志＞ｏ）．联立方程组
仨豪ｑ懈Ｍ（杀帚，丽２ｋ）．
同理可得Ｎ（了羔，了丽－－１）．
因为点Ｎ到直线ｏＭ的距离为ｄ
２了ｘ／１丽＋４ｋ２，
２
ＯＭ＝％／（２
２ｋ＼ｚ＝２膘，
所以△ｏＭＮ的面积Ｓ一虿１
ｄ・ＯＭ＝丢・
』型兰篓．２＾／三±氅一１，、，１Ｔ足。。Ｖ
ＹＹ＇－－ｉ－－Ｃ－２
／ｋ４＋ｌＮ．ＭＯ“Ａｇ值彭定为积面叫俩州庀目万方数据
说明：解法１是通过设点Ｍ，Ｎ的坐标，再根据斜率乘积为定值求出坐标之间满足的关系，以ＭＮ长为底，０到直线ＭＮ的距离为高，计算面积，最后
代入坐标关系等式求出定值的．但解题过程中未知
数比较多，在化简时应注意观察方程的特征，消去参数．消参的原则是：把与答案无关的参数消去，留下与答案有关的参数．
解法２设直线ＯＭ的方程，再根据斜率乘积为
定值，求出直线ＯＮ的方程，然后和椭圆方程联立方
程组，分别求出点Ｍ，Ｎ的坐标（用志表示），再求出点Ｎ到直线ＯＭ的距离ｄ，ＯＭ的长，最后求出
１
△ＯＭＮ的面积Ｓ一寺ｄ・ＯＭ一１为定值．解题过程
厶
中只有一个参数惫，思路清晰，目标明确，易得结果．
不管是设点的坐标还是设直线方程，其实都体现了解析几何的本质：用代数方法处理几何问题．具体表现为点要坐标化，直线和曲线要方程化，附加条件要代数化．
二、。。设而不求，，还是。设而再求，，
例２如图２，椭圆ｃ。：与＋西ｙ一１（口＞６＞ｏ）和
ａ
口
圆Ｃ２：ｚ１＋ｙ２一ｂ２，已知圆Ｃ２将椭圆Ｃ。的长轴三
厅
等分，椭圆Ｃ。右焦点到右准线的距离为半，椭圆ｃ。
上士
的下顶点为Ｅ，过坐标原点０且与坐标轴不重合的任意直线ｚ与圆Ｃ。相交于点Ａ、Ｂ．
（１）求椭圆Ｃ。的方程；
（２）若直线ＥＡ、ＥＢ分别与椭圆Ｃ。相交于点．
Ｐ、Ｍ，求出直线ＰＭ经过的定点．
’ｙ
≠亍严＼＼邋露气．
Ｅ
炒ｊ
图２
解：（１）椭圆Ｃ。方程为鲁＋３，２—１．（过程略）
（２）解法１（设而不求）：
设直线ＰＭ方程为Ｙ—ｋｘ＋ｂ，Ｐ（ｚ。，ｙ。），９＝ｏ，舭。＋ｘ２一嚣，哪。一警≯．
由１ｌｚｙ：＝＋ｋ９ｘｖ＋：一ｂ９得（１＋９志２）ｚ２＋１８忌如＋９ｂ．ｚ一
・．。可讶・茚一ｏ，．・．ｚ。ｚ。＋（ｙ，＋１）（ｙ：＋１）＝ｏ，
Ｍ（ｘ２，３，２），
４８
上海中学数学・２０１４年第１２期
＿０，．・．盟铲＋ｍ＋１）嚣＋（６＋２ｕ，‘‘——］—刁百一十走（Ｄ十１’ｒ丽十（Ｄ十
１）２＝０，．。．５ｂ２＋ｂ一４＝０，解得ｂ一÷或～１（舍），
．・．６一喜．
０
即直线ＰＭ方程为ｙ＝ｋｘ－ｂ－｝，即直线ＰＭ过
ｂ及点Ｐ、Ｍ的坐标，再结合条件痢・Ｅ－－Ｐ＝ｏ，发现
一说明：解法１先设出直线ＰＭ的方程Ｙ—ｋｘ＋
ｋ、ｂ间的关系得定点坐标．此法利用设而不求法回
由｛著Ｉ。得仁霖或乒。ｃ舍妻，，由｛等栌・得１ｙ：妊或乒・冶却’
ＭＬ．一１、
．丽－．Ｐ（—望缶，丽９ｋ－２－１），１用一８１９ｋ２
ｋ＋１’９是２＋¨厂玎，丽９－ｋ１
２ｈ．。‰＝ｋ代换志，得
ｏ～伙“’臂
堕１１一咝
ｔ
９ｋ２＋１
ｋＺ．＿Ｆ９
黼＝铬．
．‘删一蒜一害（ｚ＋蒜Ⅲ妒
忌２—１
．４
１丽１十ｉ‘
．．．直线ＰＭ经过定点Ｔ（ｏ，÷）．
说明：解法２抓住目标直线ＰＭ过定点，先求
思路清晰．要注意的是：（１）在求Ｐ点坐标时，联立
（２）在求Ｍ点坐标时，由于直线ＭＥ方程ｙ一一寺
在Ｐ（麦％，羹与｝）中，用一百１代换忌，就可得
Ｍ（万－－１两８ｋ，万９－－两ｋ２）．
万方数据
设而不求与设而再求的区别只是解题时出发的角度不同，本质上都是通过代数运算来解决几何问题．
练习１已知椭圆等＋扩一１的左顶点为Ａ，过Ａ
作两条互相垂直的弦ＡＭ、ＡＮ交椭圆于Ｍ、Ｎ两点．
（１）当直线ＡＭ的斜率为１时，求点Ｍ的坐标；
（２）当直线ＡＭ的斜率变化时，直线ＭＮ是否
过ｚ轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
解：（１）直线ＡＭ的斜率为１时，直线ＡＭ为
ｙ＝ｚ＋２，代入椭圆方程并化简得５２２＋１６ｚ＋１２＝ｏ，
解之得ｚ。一一２，ｚ：一一菩，所以点Ｍ的坐标
为（一＿６，善）．
（２）设直线ＡＭ的斜率为ｋ，则ＡＭ的方程为
ｙ一是（ｚ＋２），
ｒｙ一忌（ｚ＋２）
联立｛辱＋ｙｚ一１’化简得ｑ＋４舻ｈ２＋１６是２ｚ
＋１６ｋ２—４—０．
・．‘此方程有一根为一２’．．．ｚＭ一车苦等，用一丢代换足，可得ｚＮ一警；≠．由（１）知若存
定
定一１－４
在定点，则此点必为Ｐ（一菩，ｏ）．
．・・‘忌脚一—了２—蒡帮一而，同‰一—趸：ｋ燮（ｚＭ十ｉ—１＋—４ｋ２十ｉ
２－８ｋ２，＾ＹＭ一而５ｋ，同
理可计算得志ＰＮ—Ｆｉ５ｋ矿．
．‘．直线ＭＮ过ｚ轴上的一定点Ｐ（一詈，ｏ）．
说明：练习１（２）在求Ｍ点坐标时，用到了Ａ
点坐标（０，一２），由于方程（１＋４ｋ２）ｚ２＋１６ｋ２ｚ＋
１６ｋ２—４—０有一根为一２，所以Ｍ点横坐标容易求出．在求Ｎ点坐标时，用到了已经求出的Ｍ点坐
标，’只需用一寺代换ｋ就．－Ｉ得到Ｎ点坐标，因是直
线ＡＭ方程为ｙ—ｋ（ｚ＋２），直线ＡＮ方程为Ｙ一一÷（ｚ＋２），两者仅仅斜率不同．另外求Ｐ点坐标
时，用到了从特殊到一般的方法，先取特值找到Ｐ
点坐标，再证明Ｍ、Ｎ、Ｐ三点共线，避免繁琐的
运算．