第六章 非平衡载流子
处于热平衡状态的半导体在一定温度下载流子密度是一定的。但在外界作用下，热平衡状态将被破坏，能带中的载流子数将发生明显改变，产生非平衡载流子。在半导体中非平衡载流子具有极其重要的作用，许多效应都是由它们引起的，如晶体管电流放大，半导体发光和光电导等都与非平衡载流子密切相关。
在大多数情况下，非平衡载流子都是在半导体的局部区域产生的，这些载流子除了在电场作用下作漂移运动外，还要作扩散运动。本章主要讨论非平衡载流子的运动规律及其产生和复合机理。
§6-1 非平衡载流子的产生和复合
一．非平衡载流子的产生。若用n 0和p 0分别表示热平衡时的电子和空穴密度，则当对半导体施加外界作用使之处于非平衡状态时，半导体中的载流子密度就不再是n 0和p 0，要比它们多出一部分。比平衡态多出的这部分载流子称过剩载流子，习惯上也称非平衡载流子。
设想有一块n 型半导体，若用光子能量大于其禁带宽度的光照射该半导体，则可将其价带中的电子激发到导带，使导带比热平衡时多出一部分电子∆n ，价带多出了一部分空穴∆p ，从而有：
∆n =n -n 0 （6-1） ∆p =p -p 0 （6-2） 且 ∆n =∆p （6-3） 式中，n 和p 分别为非平衡状态下的电子和空穴密度，∆n 称非平衡多子，∆p 称非平衡少子，对于p 型半导体则相反。∆n 和∆p 统称非平衡载流子。图6-1为光照产生非平衡载流子的示意图。
通过光照产生非平衡载流子的方法称光注入，如果非平衡载流子密度远小于热平衡多子密度则称小注入。虽然小注入对多子密度的影响可以忽略，但是对少子密度的影响却可以很大。
光注入产生的非平衡载流子可以使半导体的电导率由热平衡时的σ0增加到σ=σ0+∆σ，其中，∆σ称附加电导率或光电导，并有：
∆σ=∆ne μn +∆pe μp （6-4） 若∆n =∆p ，则 ∆σ=∆pe (μn +μp ) （6-5）
通过附加电导率的测量可直接检验非平衡载流子是否存在。除了光注入外，通过电注入等其他方法也能产生非平衡载流子。
二．非平衡载流子的复合与寿命。非平衡载流子是在外界作用下产生的。当外界作用撤除以后，导带中的非平衡电子将回落到价带的空状态中，使电子和空穴成对地消失，直到热平衡状态为止，这个过程即为非平衡载流子的复合。 通常把单位时间单位体积内产生的载流子数称为载流子产生率，而把单位时间单位体积内复合的载流子数称为载流子复合率。在热平衡情况下，产生率与复合率相等，使载流子维持一定的密度。当有外界作用时，热平衡状态被破坏，产生率将大于复合率，产生非平衡载流子，使半导体中载流子数目增多。随着非平衡载流子数目的增多，复合率不断增大，当复合率增加到与产生率相等时，非平衡载流子数目则不再增加，达到稳定值。在外界作用撤除后，复合率将大于产生率，从而使非平衡载流子逐渐减少，最后恢复到热平衡状态。
实验表明，在只存在体内复合的简单情况下，如果非平衡载流子数目不是太大，则在单位时间内，由于少子与多子的复合而引起非平衡载流子密度的变化d ∆p /dt ，与其密度成正比，即有
d ∆p ∆p （6-6） =-dt τ
式中比例系数1/τ表示每个非平衡载流子在单位时间内被复合的几率，而∆p /τ则是非平衡载流子的复合率。求解（6-6）式可得
t ∆p (t ) =∆p 0e x p - （6-7） τ
式中，∆p 0为t=0时的非平衡载流子密度。上式表明，非平衡载流子密度随时间按指数规律衰减。τ是反映衰减快慢的时间常数，它标志着非平衡载流子在复合前平均存在的时间，所以通常称其为载流子寿命。寿命是表征半导体材料质量的主要参数之一。对于种类﹑纯度和结构完整性不同的半导体，寿命可在10-2~10-9s 的范围内变化。一般地，Si ﹑Ge 容易获得长寿命的样品，τ可达毫秒量级，GaAs 的寿命则很短，约为纳秒量级。
三．准费米能级。如前所述，在热平衡情况下，可以用统一的费米能级E f 描述半导体中电子在能级之间的分布。在非平衡情况下，由于有非平衡载流子存在，不再存在统一的费米能级。此时，处于非平衡态的电子系统和空穴系统可以定义各自的费米能级，这种费米能级称准费米能级。设电子和空穴的准费米能级
p 分别为E n
f 和E f ，则电子和空穴占据能级的几率f n 和f p 可写为
f n =1 （6-8） n E -E f e x +1K 0T
f p =1 （6-9） p E f -E e x +1K 0T
对于非简并半导体，电子和空穴密度的表示式与（4-19和（4-22）式有相同的形式 n =N c exp -E c -E n
f
K 0T
E f p -E v
K 0T （6-10） p =N v exp - （6-11）
由以上两式可求出电子与空穴密度的乘积为
np =n i 2exp p E n
f -E f
K 0T （6-12）
p 由上式容易看出，E n
f 和E f 之间的差距直接反映了半导体偏离热平衡态的程度，
p E 间距越大，偏离越显著。当E n 与f 重合时，则有统一的费米能级，半导体处于f
热平衡态。
下面讨论一下准费米能级与热平衡态费米能级之间的相对位置。为此，可把（6-10）和（6-11）式改写为
n =N c exp -E c -E n
f
K 0T =N c exp -E c -E f
K 0T exp E n
f -E f
K 0T =n 0exp E n
f -E f
K 0T （6-13）
p =N v exp -E f p -E v
K 0T =N v exp -E f -E v
K 0T exp E f -E f p
K 0T =p 0exp E f -E f p
K 0T （6-14）
E n E n
f -E i f -E f =n 0e x 或 n =n i e x （6-15） K 0T K 0T
p =n i exp E i -E f p
K 0T =p 0exp E f -E f p
K 0T （6-16）
p 在有非平衡载流子存在时，由于n>n0，p>p0，所以无论是E n
f 还是E f 都偏离E f 。
p E n
f 偏向导带底，而E f 则偏向价带顶，但二者的偏离程度却是不同的，一般来说多数载流子的准费米能级偏离平衡态费米能级较小，而少子的则很大。 §6-2 连续性方程
当外界作用在半导体中产生非平衡载流子时，电子密度与空穴密度都是空间坐标和时间的函数。连续性方程就是用来描述非平衡载流子的这种函数关系的基本运动方程。
一．载流子的流密度和电流密度。在杂质均匀分布的半导体中，热平衡时的载流子密度处处相等，不会有载流子的扩散运动。当半导体的局部区域产生非平衡载流子时，由于载流子密度的不均匀，将发生载流子由高密度区向低密度区的扩散运动。
实验表明，载流子的扩散流密度与其数密度梯度成正比。对于沿x 方向的一
维扩散，可以写出
空穴扩散流密度=-D p ∂p （6-17） ∂x
式中，比例常数D p 称空穴扩散系数。等式右边的负号表示空穴是向着密度减小的方向流动的。对于电子类似地有
∂n 电子扩散流密度=-D n （6-18） ∂x
这里，D n 是电子的扩散系数。
当样品中沿x 方向有电场∈存在时，载流子还要做漂移运动，漂移流密度等于载流子密度与其在电场中的漂移速度的乘积，即
空穴漂移流密度=p υp =p μp ∈ （6-19） 电子漂移流密度=n υn =-n μn ∈ （6-20） 式中，μp 和μn 分别为空穴和电子的迁移率。（6-20）式中的负号表示电子运动的方向与电场的方向相反。
在载流子的密度梯度和电场同时存在时，载流子的流密度等于扩散流密度与漂移流密度之和。若设此时空穴和电子的流密度分别为s p 和s n ，则有
∂p （6-21） ∂x
∂n s n =-n μn ∈-D n （6-22） ∂x
用空穴电荷e 和电子电荷-e 分别乘（6-21）和（6-22）式，便得到空穴和电子的电流密度分别为
∂p j p =ep μp ∈-eD p （6-23） ∂x
∂n j n =en μn ∈+eD n （6-24） ∂x 如果空穴和电子的密度是空间坐标r 的函数，电场为∈，则空穴和电子的电流密
度j p 和j n 可分别写为 s p =p μp ∈-D p
j p =pe μp ∈-eD p ∇p （6-25）
j n =ne μn ∈+eD n ∇n （6-26）
式中，∇p 和∇n 分别为空穴和电子的密度梯度。
二．爱因斯坦关系。在热平衡情况下，杂质非均匀分布的半导体中的载流子也是非均匀分布的，由于载流子密度梯度的存在，必然引起载流子的扩散，以使载流子趋向均匀分布。但是电离杂质却是固定不动的。此时，半导体中将出现空
间电荷，从而形成电场。通常称这种电场为自建电场。自建电场又可引起载流子的漂移运动。在热平衡情况下，自建场引起的漂移电流与扩散电流彼此抵消，总的电流密度为零。此时，对于电子由（6-24）式可得
∂n en μn ∈=-eD n （6-27） ∂x
在非简并情况下，电子密度n 由（4-19）式给出，n =N c exp -E c -E f
K 0T ，从而有
∂n n ∂E c =- （6-28） ∂x K 0T ∂x
由于自建场的存在，使得在坐标为x 的位置产生一个电势V (x ) ，这将使电子附加一个静电势能-eV (x ) ，从而导带底的能量可写为
E c (x ) =-eV (x ) +常数 （6-29） 于是有 ∂E c ∂V (x ) （6-30） =-e =e ∈ ∂x ∂x
进而有 ∂n e =-n ∈ （6-31） ∂x K 0T
将（6-31）式代入（6-27）式，则有 D n
μn
D p =K 0T （6-32） e K 0T （6-33） e 同理，对于空穴有 μp =
通常将（6-32）和（6-33）式称爱因斯坦关系。这里，虽然爱因斯坦关系是在热平衡条件下得到的，但实验证明在有非平衡载流子存在时，爱因斯坦关系仍成立。因为非平衡载流子通过与晶格的碰撞，在比寿命短的时间内就能使自身的能量相应于平衡分布。因此在复合前的绝大部分时间内，非平衡载流子与平衡载流子已经没有什么区别。但须注意，爱因斯坦关系只适用于非简并半导体。
利用爱因斯坦关系，扩散系数和迁移率只要测出一个，就可算出另一个。表6-1列出了几种半导体300K 时的扩散系数和迁移率。
三．连续性方程。在建立连续性方程时，必须考虑非平衡载流子的产生﹑复
合﹑扩散和漂移过程。现在考察一下图6-2中小体积元dxdydz 中的空穴数目的变化。令t 时刻的空穴密度为p(x,y,z,t),而在t+dt时刻的空穴密度为p(x,y,z,t+dt)。显然，在dt 时间内，体积元内的空穴数目变化为
[p (x , y , z , t +dt ) -p (x , y , z , t ) ]dxdydz =∂p dxdydzdt （6-34） ∂t
下面具体分析引起空穴数目变化的各种过程。
1．扩散和漂移过程。为了简单起见，只考虑空穴在x 方向的扩散和漂移。如图6-2所示，在dt 时间内通过x 处截面流入体积元dxdydz 的空穴数为s p (x , t ) dydzdt ，而通过x+dx处流出的空穴数则为s p (x +dx , t ) dydzdt ，因此在dt 时间内小体积元中积累的空穴数为
s p (x , t ) dydzdt -s p (x +dx , t ) dydzdt =-∂s p
∂x dxdydzdt （6-35）
2．产生过程。设外界作用在单位时间单位体积内产生的电子空穴对数（产生率）为G ，则在dt 时间内小体积元内增加的空穴数为
G dxdydzdt (6-36)
3．复合过程。根据（6-6）式，非平衡空穴的复合率为∆p /τ，其表示在单位时间单位体积内净复合的空穴数。所以在dt 时间内小体积元中因复合而减少的空穴数为
∆p - t （6-37） d x d y d z d τ
由（6-34）（6-35）（6-36）（6-37）式容易得出单位时间单位体积内空穴数的∂p 改变量为 ∂t ∂s p ∆p ∂p =--+G （6-38） ∂t ∂x τ
利用空穴电流密度j p 还可将上式表示为
同理，对于电子有 ∂p 1∂j p ∆p =--+G （6-39） ∂t e ∂x τ
∂n 1∂j n ∆n =-+G （6-40）∂t e ∂x τ
（6-39）和（6-40）式就是空穴和电子在扩散和漂移过程中必须满足的微分方程，称连续性方程。
对于三维情况，空穴与电子的连续性方程可分别写为
∂p 1∆p =-∇⋅j p -+G （6-41）∂t e τ
∆n ∂n 1和 =∇⋅j n -+G （6-42）∂t e τ
式中，∇⋅j 为电流密度的散度。
将（6-23）（6-24）式分别代入（6-39）和（6-40）式，还可将连续性方程写
∂p ∂p ∂∈∂2p ∆p 为 =-μp ∈-p μp +D p 2-+G （6-43）∂t ∂x ∂x τ∂x
∂n ∂n ∂∈∂2n ∆n 和 =μn ∈+n μn +D n 2-+G （6-44）∂t ∂x ∂x τ∂x
在以上二式中，右边第一项是漂移过程中由于载流子密度不均匀引起的载流子积累，第二项是在不均匀的电场中因漂移速度随位置变化引起的载流子积累，第三项是由于扩散流密度不均匀引起的载流子积累。
四．少数载流子的连续性方程
在连续性方程（6-43）（6-44）中，电场∈是外加电场与自建电场之和。因此为求解上述方程，还须用到泊松方程
∂∈e (∆p -∆n ) = （6-45） ∂x ε0εr
其中，e (∆p -∆n ) 为空间电荷密度。
在杂质均匀分布的半导体中，热平衡载流子密度n 0和p 0是不随时间和位置变化的常数。因此（6-43）和（6-44）式也可改写为
∂∆p ∂∆p pe μp ∂2∆p ∆p =-μp ∈-(∆p -∆n ) +D p -+G （6-46） 2∂t ∂x ε0εr τ∂x
∂∆n ∂∆n ne μn ∂2∆n ∆n =μn ∈+(∆p -∆n ) +D n -+G （6-47）和 2∂t ∂x ε0εr τ∂x
如果严格满足电中性条件，即∆p =∆n ，则上二式中等号右边第二项为零。但在载流子的扩散和漂移同时存在的情况下，电中性条件只能近似的满足，即e (∆p -∆n ) 虽很小，但不为零。这时该项的作用就与其前面的系数大小有关。对
于n 型半导体，在小注入条件下，p
∂∆p ∂∆p ∂2∆p ∆p =-μp ∈+D p -+G （6-48） ∂t ∂x τ∂x 2
上式就是描述少数载流子运动的连续性方程。非平衡多子的分布情况，则可近似的由电中性条件∆p =∆n 得到，而不需要求解多子的连续性方程（6-47）。
如果所讨论的问题中不存在产生非平衡载流子的外界作用，则G=0，此时有
∂∆p ∂∆p ∂2∆p ∆p （6-49） =-μp ∈+D p -∂t ∂x τ∂x 2
§6-3 非本征半导体中非平衡少子的扩散和漂移
设想半导体是n 型的并满足小注入条件（∆p
∂2∆p ∂∆p ∆p D p -μ∈-=0 （6-50）p 2∂x τ∂x
一．少子的扩散。假设半导体中的电场很弱，以至于少子的漂移运动可以忽略，只需考虑其扩散运动，这时（6-50）式进一步简化为
∂2∆p ∆p D p （6-51） -=0 2τ∂x
上式为一维稳定扩散情况下，非平衡少子的连续性方程。其一般解为
- ∆p (x ) =A e x p x x +B e x （6-52） L p L p
其中，L p =D p τ，称空穴扩散长度，A,B 为两个由边界条件确定的常数。 下面分析一个具体例子。如图6-3所示，用光照射n 型半导体表面，设光只在表面极薄的一层内被吸收并在该层内产生电子空穴对。光照产生的非平衡载流子将由表面向体内扩散，假定在x=0处的表面，非平衡空穴保持恒定值。并设样品的厚度为W 。下面分两种情况讨论解的具体形式。
1．厚样品（W>>Lp ）。在这种情况下，非平衡空穴在扩散到x=W的表面之前几乎全部因复合而消失，这相当于一个无限厚的样品。当x →∞时，∆p →0。因此（6-52）式中第二项的系数B 必为零。由x=0，∆p =∆p 0，可确定A =∆p 0，于是有 ∆p (x ) =∆p 0exp -x （6-53） L p
上式表明非平衡空穴密度随距离的增加按指数律衰减。L p 实际上就是非平衡空穴在复合前由于扩散运动而深入样品的平均距离 x ∆p exp (-x /L )dx ⎰ ==L ⎰∆p exp -x /L dx ∞00p ∞
00p p （6-54）
扩散长度由扩散系数和寿命决定，常见材料的扩散系数已有标准数据，所以通过扩散长度的测量可以求出材料的寿命。
利用（6-53）式可求出空穴的扩散流密度为 D p ∂∆p =() ∆p （6-55） -D p ∂x L p
空穴流密度应为其速度与密度的乘积，因此通常称D p
L p 为空穴的扩散速度。
在上面的讨论中假设了在表面处的非平衡空穴密度∆p 0是已知的。实际上它是由具体的边界条件决定的，对于图6-3中的例子，设单位时间内在单位面积上产生的电子空穴对数为Q ，光照产生的非平衡少子通过扩散向体内流动，达到稳定时，Q 应该等于在表面处的扩散流密度，即 ∂∆p Q =-D p x =0 （6-56） ∂x
将（6-55）式代入上式，则有 ∆p 0=L p
D p Q （6-57）
2．一般情况。设想稳定注入的空穴扩散到样品的另一表面时，或者因表面复合而消失，或者被电极抽出。因此边界条件为
x =0 ， ∆p =∆p 0
x =W ， ∆p =0 （6-58） 将（6-58）式边界条件代入一般解（6-52）式，可得 A =∆p 0exp(W /L p ) 2sh (W /L p )
B =-∆p 0exp -(W /L p ) 2sh (W /L p )
sh (W -x )/L p
sh (W /L p ) (6-59) 于是有非平衡空穴在样品中的分布为 ∆p =∆p 0[] （6-60）
对于非常薄的样品，当W
∆p =∆p 0sh (W -x )/L p sh (W /L p ) []≈∆p ⎡W -x W ⎤x /=∆p (1-) （6-61） ⎥0⎢0L L W ⎢p ⎥⎣p ⎦
在这种情况下，扩散流密度为 D p ∂∆p -D p =() ∆p 0 （6-62） ∂x W
在晶体管中，基区宽度一般比少子的扩散长度小得多，注入少子在基区中的扩散，基本上符合上述情况。
二．少子的漂移。假设半导体中的电场很强，使得扩散运动可以忽略。这时非平衡少子的漂移运动是主要的，连续性方程简化为 ∂∆p ∆p μp ∈+=0 （6-63） ∂x τ
令 L 0=μp ∈τ，则（6-63）式的解为 ∆p =∆p 0exp -x （6-64） L 0
其中，∆p 0为在注入点x=0处的∆p 值。上式表明，非平衡空穴在漂移过程中由于复合，其密度随距离的增加按指数律衰减。L 0代表非平衡空穴在复合前因漂移
运动而深入样品的平均距离，通常称空穴的牵引长度。
三．少子的扩散和漂移。在扩散和漂移都不可忽略的情况下，非平衡少子的密度应由连续性方程（6-50）决定。利用L 0=μp ∈τ和L p =D p τ，可以把（6-50）
∂2∆p L 0∂∆p ∆p -2-2=0 （6-65） 式改写为 ∂x 2L p ∂x L p
上式的一般解为 ∆p =A ex p λ1x +B ex p λ2x （6-66） 其中，λ1和λ2是其特征方程的两个根，A 和B 是由边界条件确定的常数。方程（6-66）的特征方程为 λ2-L 01λ-=0 （6-67） L 2
p L 2
p
该方程的两个根分别为 λ1=2L 0+L 2
0+4L p
2L 2
p
和 λ2=2L 0-L 2+4L 0p
2L 2
p （6-68）
显然，λ1>0，λ2
**讨论：
1．考虑x ≥0的半无限大样品。如果在x=0处注入空穴，使非平衡空穴数保持恒定值，则满足边界条件的解应具有随x 增大而衰减的性质。因此必须取λ
∆p =∆p 0ex p λ2x （6-69） 根据电场方向的不同，可把λ2分别写为 λ2=-2L 2+4L 0p -L 0
2L 2
p
2L 2
0+4L p +L 0=-1 (∈>0) （6-70） L d 1 (∈
p =-
这里，L d 和L u 分别称空穴的顺流扩散长度和逆流扩散长度。显然，L d 〉L u 。所谓
顺流扩散是指与漂移方向相同的扩散，反之则为逆流扩散。将（6-70）（6-71）式代入（6-69）式，则得到连续性方程（6-65）的解为 ∆p =∆p 0exp -x (∈>0) （6-72） L d
x (∈
在∈>0时，看一下两种极端情况。如果电场很强，L 0>>Lp ，则有
L d =2L 2
p
L +4L -L 0202p =L 0(1+2L 2p 4L 2
p
L 2
0=L 0(1+2L 2p 2L 2p L 2
0+ ) -L 0≈L 0 （6-74） ) 1/2-L 0
在这种情况下，扩散运动可忽略，（6-72）式可简化为（6-64）式。如果电场很弱，L 0
因此可以用牵引长度L 0和扩散长度L p 相等的条件定义一个临界电场∈c ，即
∈c =L p
μp τ=D p μp L p （6-75）
当∈>∈c 时，则以漂移运动为主。
2．考虑x ≤0的半无限大样品。此时应取λ1>0的解，采用与上面完全类似的分析，可得 ∆p =∆p 0exp x (∈>0) （6-76） L u
x (∈
3．例题。考虑一个长条状的均匀薄半导体样品。设想在样品的中心（x=0）注入空穴并使该处的非平衡空穴∆p 0保持不变。加在样品两端的电压使样品中产生沿x 方向的电场∈。在注入点的右边，空穴是顺流扩散的，而在注入点的左侧则是逆流扩散。于是由（6-72）和（6-76）式可得 ∆p =∆p 0exp -x (x ≥0) （6-78） L d
∆p =∆p 0exp x (x ≤0) (6-79) L u
在图6-4中对不同的∈值，画出了空穴在样品中的分布。当∈>∈c 时，空穴被扫到注入点右边很远的地方，而向左边的渗透很小。
§6-4 近本征半导体中非平衡载流子的扩散和漂移
∂∈ 在以上的讨论中，假设了∆n ≈∆p ，并认为是可以忽略的。在本节中将∂x
讨论近本征半导体中非平衡载流子的扩散和漂移。所谓近本征半导体是指电子和空穴的热平衡密度相差无几的半导体。在这种情况下，必须考虑由于两种载流子扩散和漂移运动的差异所引起的电场分布的变化以及其对两种载流子的影响。
一．双极扩散。先讨论非平衡载流子的扩散。如图6-3所示，光照在表面薄层内产生电子空穴对，使得表面的电子和空穴密度比体内高。这必然引起其由表面向体内的扩散。由于D n >D p ，电子比空穴扩散得快，结果将在样品中产生沿x 方向的电场∈。在这种情况下，空穴和电子的电流密度分别由（6-23）和（6-24）式给出，它们都包含扩散和漂移电流两部分。在达到稳态时，总的电流密度j n +j p =0，即有 e (n μn +p μp ) ∈+e (D n ∂∆p ∂∆p -D p ) =0 （6-80）∂x ∂x
式中，略去了∆n 与∆p 间的微小差别。从而可得电场∈为 ∈=-D n -D p ∂∆p （6-81） n μn +p μp ∂x
这个电场是由电子和空穴扩散速度的差异引起的。显然，只有在D n =D p 时才会有∈=0。将（6-81）式分别代入(6-23)和(6-24)式可得 ∂∆p j p =-eD （6-82） ∂x
∂∆n j n =eD （6-83） ∂x
其中， D =n μn D p +p μp D n
n μn +p μp =(n +p ) D n D p nD n +pD p （6-84）
上式利用了爱因斯坦关系。通常称D 为双极扩散系数。在过剩载流子密度很小时，上式中的n 和p 可分别用热平衡载流子密度n 0和p 0来代替。D 综合了载流子的扩
散和漂移运动，使得电子和空穴好像都以双极扩散系数做单纯的扩散运动。 在小注入情况下，对于n 型半导体，D ≈D p , 而对于p 型半导体，则D ≈D n 。对于本征半导体，D =2D n D p /(D n +D p ) ，图6-5给出了D 随电子密度变化关系示意图。
二．双极扩散和漂移
现在讨论有外场存在时非平衡载流子的扩散和漂移。对于近本征半导体，尽管电中性条件仍近似成立，但是在连续性方程（6-46）和（6-47）式中，右边第二项不再可忽略。因为(∆p -∆n ) 虽然很小，但其前面的系数中包含的p 或n 都比较大，使得这一项可以与其他项相比较。在这种情况下，为简化方程，有必要设法消除包含(∆p -∆n ) 之项，而在其他项中仍近似的取∆n =∆p 。为此，用n μn 和p μp 分别乘（6-46）和（6-47）式，然后将两式加起来，再用(n μn +p μp ) 除等式两边，则得 ∂∆p ∂∆p ∂2∆p ∆p =-μ∈+D -+G （6-85） 2∂t ∂x τ∂x
其中，μ=(n -p ) μn μp
n μn +p μp 称双极迁移率，D 是双极扩散系数。（6-85）式在形式上
与少子连续性方程（6-48）完全相同，只是分别用μ和D 取代了μp 和D p 。必须指出，在（6-85）式中的双极迁移率与电场的乘积μ∈并不是载流子本身的漂移速度，而是“扰动”∆n ≈∆p 的流动速度，或者说是过剩载流子密度分布的流动速度。应该注意的是，过剩多子的密度总是跟着过剩少子密度一起流动的。如果半导体是n 型的，由于n>p，则μ〉0。在这种情况下，“扰动”将沿着正电荷在电场中的漂移方向流动，也就是沿着过剩空穴的漂移方向运动；若半导体为p 型的，μ >p或P>>n的情况下，有μ≈μp 或μ≈μn ，此时“扰动”的流动速度才等于少子的漂移速度。对于本征半导体，μ=0，电场将不会影响过剩载流子的空间分布。
§6-5 载流子复合
在§6-1中讨论非平衡载流子的产生与复合时，引入寿命概念来表征其平均存在的时间，但没有具体分析决定寿命的各种因素。本节将概括地说明各种复合过程的机理并给出直接辐射复合寿命表达式。
一．两种复合过程。半导体中非平衡载流子的复合过程可分为直接复合和间接复合两种基本类型。
1．直接复合。在直接复合过程中，电子由导带直接跃迁到价带与空穴复合，
其逆过程是电子由价带激发到导带，产生电子空穴对，在图6-6中分别用a 和b 过程表示。为了明确起见，规定图中画出的是跃迁前的情况，并且在导带中只画出电子，价带中只画出空穴，用箭头指示电子的跃迁方向。
2．间接复合。也称通过复合中心的复合。所谓复合中心，是指晶体中的一些杂质或缺陷，它们在禁带中引入离导带底和价带顶都比较远的局域化的能级, 也称复合中心能级。在间接复合过程中，电子先跃迁到复合中心能级E t 上，然后再跃迁到价带与空穴复合，如图6-7中a 和c 所示。或者换个说法，复合中心能级从导带俘获一个电子，从价带俘获一个空穴，完成电子空穴对的复合。电子空穴对的产生过程，也是通过复合中心能级分两步完成的，如图6-7中b 和d 。
二．引起复合和产生过程的机理。主要有以下三种：
1．电子与电磁波的相互作用。大家都知道，在温度为T 的物体中，存在着温度为T 的黑体辐射。这种辐射就是一种电磁波。电磁波可以引起电子在能带之间和能级之间的跃迁，这种跃迁称电子的光跃迁或辐射跃迁。在跃迁过程中，电子以吸收或发射光子的形式同电磁波交换能量；
2．电子与晶格振动的相互作用。晶格振动可以使电子由一个量子态跃迁到另一个量子态，这种跃迁称热跃迁。在热跃迁过程中，电子以吸收或发射声子的形式与晶格交换能量。应该指出，通常情况下，电子跃迁过程中释放出的能量比单个声子的能量大得多，必须同时或逐级发射多个声子，才能满足能量守恒条件。这种跃迁的几率是很小的。
3．电子之间的相互作用。电子之间的库仑相互作用，也可以引起电子在能级之间的跃迁，这种跃迁过程通常称为俄歇跃迁。如图6-8所示，在俄歇跃迁过程中，总是一个电子或空穴的能量的增大（或减小）伴随着另一个电子或空穴的能量的降低（或增加）。
三．表面复合。表面复合实际上也是一种间接复合过程，只不过复合中心位于样品的表面。这种复合是通过禁带中表面能级进行的。表面复合对非平衡载流子稳态分布以及在非稳态情况下非平衡载流子的衰减过程有着重要影响，这里就不详细讲了。
四．直接辐射复合。导带电子直接跃迁到价带与空穴复合，同时发射光子，这种直接复合过程称直接辐射复合，也称带间辐射复合。
1．复合率和产生率。在带间辐射复合过程中，单位时间单位体积内复合的电子-空穴对数R 应与导带电子密度n 和价带空穴密度p 成正比，即
R =r n p （6-86） 式中，R 为复合率，r 称复合系数。上述直接复合过程的逆过程为电子-空穴对的产生过程，也即价带中的电子向导带的跃迁过程。在非简并情况下，可以近似地认为价带基本上充满电子，而导带则基本上空着，这意味着产生率与载流子密度无关。因此，在所有非简并情况下，产生率基本上是相同的，都等于热平衡时的产生率G 0。而热平衡时的产生率G 0又等于复合率R 0，从而有
G =G 0=R 0=rn 0p 0=rn i 2 （6-87）
2．净复合率和寿命。在非平衡情况下，复合率和产生率不再相等。此时，利用（6-86）和（6-87）式可得电子-空穴的净复合率U 为
U =R -G =r (np -n 0p 0) （6-88） 将n=n0+△n 、p=p0+△p 和△n=△p 代入上式，则得
U =r (n 0+p 0+∆p ) ∆p （6-89） 由于净复合率即为非平衡载流子的复合率，从而有
U =∆p /τ （6-90） 比较（6-89）和（6-90）两式，可得载流子的寿命为
τ=1/[r (n 0+p 0+∆p )] （6-91） 在小注入条件下，即△p 〈〈n 0+p0时，上式可近似为
τ=1/[r（n 0+p0）] （6-92） 对于本征半导体，其寿命则为
τi =1/（2rn i ） （6-93） 显然，在一定温度下，禁带宽度越小的半导体，τi 越短。对于n 型和p 型半导体，分别有
τ=1/（rn 0）=2τi n i /n0 （6-94） 和 τ=1/（rp 0）=2τi n i /p0 （6-95） 上二式表明，在杂质半导体中，载流子的寿命要比本征半导体的短。 在大注入条件下，即△p 〉〉n 0+p0时，（6-91）式可近似为
τ=1/（r △p ） （6-96） 此时，寿命随非平衡载流子密度变化，不再是常数。
第六章 非平衡载流子
处于热平衡状态的半导体在一定温度下载流子密度是一定的。但在外界作用下，热平衡状态将被破坏，能带中的载流子数将发生明显改变，产生非平衡载流子。在半导体中非平衡载流子具有极其重要的作用，许多效应都是由它们引起的，如晶体管电流放大，半导体发光和光电导等都与非平衡载流子密切相关。
在大多数情况下，非平衡载流子都是在半导体的局部区域产生的，这些载流子除了在电场作用下作漂移运动外，还要作扩散运动。本章主要讨论非平衡载流子的运动规律及其产生和复合机理。
§6-1 非平衡载流子的产生和复合
一．非平衡载流子的产生。若用n 0和p 0分别表示热平衡时的电子和空穴密度，则当对半导体施加外界作用使之处于非平衡状态时，半导体中的载流子密度就不再是n 0和p 0，要比它们多出一部分。比平衡态多出的这部分载流子称过剩载流子，习惯上也称非平衡载流子。
设想有一块n 型半导体，若用光子能量大于其禁带宽度的光照射该半导体，则可将其价带中的电子激发到导带，使导带比热平衡时多出一部分电子∆n ，价带多出了一部分空穴∆p ，从而有：
∆n =n -n 0 （6-1） ∆p =p -p 0 （6-2） 且 ∆n =∆p （6-3） 式中，n 和p 分别为非平衡状态下的电子和空穴密度，∆n 称非平衡多子，∆p 称非平衡少子，对于p 型半导体则相反。∆n 和∆p 统称非平衡载流子。图6-1为光照产生非平衡载流子的示意图。
通过光照产生非平衡载流子的方法称光注入，如果非平衡载流子密度远小于热平衡多子密度则称小注入。虽然小注入对多子密度的影响可以忽略，但是对少子密度的影响却可以很大。
光注入产生的非平衡载流子可以使半导体的电导率由热平衡时的σ0增加到σ=σ0+∆σ，其中，∆σ称附加电导率或光电导，并有：
∆σ=∆ne μn +∆pe μp （6-4） 若∆n =∆p ，则 ∆σ=∆pe (μn +μp ) （6-5）
通过附加电导率的测量可直接检验非平衡载流子是否存在。除了光注入外，通过电注入等其他方法也能产生非平衡载流子。
二．非平衡载流子的复合与寿命。非平衡载流子是在外界作用下产生的。当外界作用撤除以后，导带中的非平衡电子将回落到价带的空状态中，使电子和空穴成对地消失，直到热平衡状态为止，这个过程即为非平衡载流子的复合。 通常把单位时间单位体积内产生的载流子数称为载流子产生率，而把单位时间单位体积内复合的载流子数称为载流子复合率。在热平衡情况下，产生率与复合率相等，使载流子维持一定的密度。当有外界作用时，热平衡状态被破坏，产生率将大于复合率，产生非平衡载流子，使半导体中载流子数目增多。随着非平衡载流子数目的增多，复合率不断增大，当复合率增加到与产生率相等时，非平衡载流子数目则不再增加，达到稳定值。在外界作用撤除后，复合率将大于产生率，从而使非平衡载流子逐渐减少，最后恢复到热平衡状态。
实验表明，在只存在体内复合的简单情况下，如果非平衡载流子数目不是太大，则在单位时间内，由于少子与多子的复合而引起非平衡载流子密度的变化d ∆p /dt ，与其密度成正比，即有
d ∆p ∆p （6-6） =-dt τ
式中比例系数1/τ表示每个非平衡载流子在单位时间内被复合的几率，而∆p /τ则是非平衡载流子的复合率。求解（6-6）式可得
t ∆p (t ) =∆p 0e x p - （6-7） τ
式中，∆p 0为t=0时的非平衡载流子密度。上式表明，非平衡载流子密度随时间按指数规律衰减。τ是反映衰减快慢的时间常数，它标志着非平衡载流子在复合前平均存在的时间，所以通常称其为载流子寿命。寿命是表征半导体材料质量的主要参数之一。对于种类﹑纯度和结构完整性不同的半导体，寿命可在10-2~10-9s 的范围内变化。一般地，Si ﹑Ge 容易获得长寿命的样品，τ可达毫秒量级，GaAs 的寿命则很短，约为纳秒量级。
三．准费米能级。如前所述，在热平衡情况下，可以用统一的费米能级E f 描述半导体中电子在能级之间的分布。在非平衡情况下，由于有非平衡载流子存在，不再存在统一的费米能级。此时，处于非平衡态的电子系统和空穴系统可以定义各自的费米能级，这种费米能级称准费米能级。设电子和空穴的准费米能级
p 分别为E n
f 和E f ，则电子和空穴占据能级的几率f n 和f p 可写为
f n =1 （6-8） n E -E f e x +1K 0T
f p =1 （6-9） p E f -E e x +1K 0T
对于非简并半导体，电子和空穴密度的表示式与（4-19和（4-22）式有相同的形式 n =N c exp -E c -E n
f
K 0T
E f p -E v
K 0T （6-10） p =N v exp - （6-11）
由以上两式可求出电子与空穴密度的乘积为
np =n i 2exp p E n
f -E f
K 0T （6-12）
p 由上式容易看出，E n
f 和E f 之间的差距直接反映了半导体偏离热平衡态的程度，
p E 间距越大，偏离越显著。当E n 与f 重合时，则有统一的费米能级，半导体处于f
热平衡态。
下面讨论一下准费米能级与热平衡态费米能级之间的相对位置。为此，可把（6-10）和（6-11）式改写为
n =N c exp -E c -E n
f
K 0T =N c exp -E c -E f
K 0T exp E n
f -E f
K 0T =n 0exp E n
f -E f
K 0T （6-13）
p =N v exp -E f p -E v
K 0T =N v exp -E f -E v
K 0T exp E f -E f p
K 0T =p 0exp E f -E f p
K 0T （6-14）
E n E n
f -E i f -E f =n 0e x 或 n =n i e x （6-15） K 0T K 0T
p =n i exp E i -E f p
K 0T =p 0exp E f -E f p
K 0T （6-16）
p 在有非平衡载流子存在时，由于n>n0，p>p0，所以无论是E n
f 还是E f 都偏离E f 。
p E n
f 偏向导带底，而E f 则偏向价带顶，但二者的偏离程度却是不同的，一般来说多数载流子的准费米能级偏离平衡态费米能级较小，而少子的则很大。 §6-2 连续性方程
当外界作用在半导体中产生非平衡载流子时，电子密度与空穴密度都是空间坐标和时间的函数。连续性方程就是用来描述非平衡载流子的这种函数关系的基本运动方程。
一．载流子的流密度和电流密度。在杂质均匀分布的半导体中，热平衡时的载流子密度处处相等，不会有载流子的扩散运动。当半导体的局部区域产生非平衡载流子时，由于载流子密度的不均匀，将发生载流子由高密度区向低密度区的扩散运动。
实验表明，载流子的扩散流密度与其数密度梯度成正比。对于沿x 方向的一
维扩散，可以写出
空穴扩散流密度=-D p ∂p （6-17） ∂x
式中，比例常数D p 称空穴扩散系数。等式右边的负号表示空穴是向着密度减小的方向流动的。对于电子类似地有
∂n 电子扩散流密度=-D n （6-18） ∂x
这里，D n 是电子的扩散系数。
当样品中沿x 方向有电场∈存在时，载流子还要做漂移运动，漂移流密度等于载流子密度与其在电场中的漂移速度的乘积，即
空穴漂移流密度=p υp =p μp ∈ （6-19） 电子漂移流密度=n υn =-n μn ∈ （6-20） 式中，μp 和μn 分别为空穴和电子的迁移率。（6-20）式中的负号表示电子运动的方向与电场的方向相反。
在载流子的密度梯度和电场同时存在时，载流子的流密度等于扩散流密度与漂移流密度之和。若设此时空穴和电子的流密度分别为s p 和s n ，则有
∂p （6-21） ∂x
∂n s n =-n μn ∈-D n （6-22） ∂x
用空穴电荷e 和电子电荷-e 分别乘（6-21）和（6-22）式，便得到空穴和电子的电流密度分别为
∂p j p =ep μp ∈-eD p （6-23） ∂x
∂n j n =en μn ∈+eD n （6-24） ∂x 如果空穴和电子的密度是空间坐标r 的函数，电场为∈，则空穴和电子的电流密
度j p 和j n 可分别写为 s p =p μp ∈-D p
j p =pe μp ∈-eD p ∇p （6-25）
j n =ne μn ∈+eD n ∇n （6-26）
式中，∇p 和∇n 分别为空穴和电子的密度梯度。
二．爱因斯坦关系。在热平衡情况下，杂质非均匀分布的半导体中的载流子也是非均匀分布的，由于载流子密度梯度的存在，必然引起载流子的扩散，以使载流子趋向均匀分布。但是电离杂质却是固定不动的。此时，半导体中将出现空
间电荷，从而形成电场。通常称这种电场为自建电场。自建电场又可引起载流子的漂移运动。在热平衡情况下，自建场引起的漂移电流与扩散电流彼此抵消，总的电流密度为零。此时，对于电子由（6-24）式可得
∂n en μn ∈=-eD n （6-27） ∂x
在非简并情况下，电子密度n 由（4-19）式给出，n =N c exp -E c -E f
K 0T ，从而有
∂n n ∂E c =- （6-28） ∂x K 0T ∂x
由于自建场的存在，使得在坐标为x 的位置产生一个电势V (x ) ，这将使电子附加一个静电势能-eV (x ) ，从而导带底的能量可写为
E c (x ) =-eV (x ) +常数 （6-29） 于是有 ∂E c ∂V (x ) （6-30） =-e =e ∈ ∂x ∂x
进而有 ∂n e =-n ∈ （6-31） ∂x K 0T
将（6-31）式代入（6-27）式，则有 D n
μn
D p =K 0T （6-32） e K 0T （6-33） e 同理，对于空穴有 μp =
通常将（6-32）和（6-33）式称爱因斯坦关系。这里，虽然爱因斯坦关系是在热平衡条件下得到的，但实验证明在有非平衡载流子存在时，爱因斯坦关系仍成立。因为非平衡载流子通过与晶格的碰撞，在比寿命短的时间内就能使自身的能量相应于平衡分布。因此在复合前的绝大部分时间内，非平衡载流子与平衡载流子已经没有什么区别。但须注意，爱因斯坦关系只适用于非简并半导体。
利用爱因斯坦关系，扩散系数和迁移率只要测出一个，就可算出另一个。表6-1列出了几种半导体300K 时的扩散系数和迁移率。
三．连续性方程。在建立连续性方程时，必须考虑非平衡载流子的产生﹑复
合﹑扩散和漂移过程。现在考察一下图6-2中小体积元dxdydz 中的空穴数目的变化。令t 时刻的空穴密度为p(x,y,z,t),而在t+dt时刻的空穴密度为p(x,y,z,t+dt)。显然，在dt 时间内，体积元内的空穴数目变化为
[p (x , y , z , t +dt ) -p (x , y , z , t ) ]dxdydz =∂p dxdydzdt （6-34） ∂t
下面具体分析引起空穴数目变化的各种过程。
1．扩散和漂移过程。为了简单起见，只考虑空穴在x 方向的扩散和漂移。如图6-2所示，在dt 时间内通过x 处截面流入体积元dxdydz 的空穴数为s p (x , t ) dydzdt ，而通过x+dx处流出的空穴数则为s p (x +dx , t ) dydzdt ，因此在dt 时间内小体积元中积累的空穴数为
s p (x , t ) dydzdt -s p (x +dx , t ) dydzdt =-∂s p
∂x dxdydzdt （6-35）
2．产生过程。设外界作用在单位时间单位体积内产生的电子空穴对数（产生率）为G ，则在dt 时间内小体积元内增加的空穴数为
G dxdydzdt (6-36)
3．复合过程。根据（6-6）式，非平衡空穴的复合率为∆p /τ，其表示在单位时间单位体积内净复合的空穴数。所以在dt 时间内小体积元中因复合而减少的空穴数为
∆p - t （6-37） d x d y d z d τ
由（6-34）（6-35）（6-36）（6-37）式容易得出单位时间单位体积内空穴数的∂p 改变量为 ∂t ∂s p ∆p ∂p =--+G （6-38） ∂t ∂x τ
利用空穴电流密度j p 还可将上式表示为
同理，对于电子有 ∂p 1∂j p ∆p =--+G （6-39） ∂t e ∂x τ
∂n 1∂j n ∆n =-+G （6-40）∂t e ∂x τ
（6-39）和（6-40）式就是空穴和电子在扩散和漂移过程中必须满足的微分方程，称连续性方程。
对于三维情况，空穴与电子的连续性方程可分别写为
∂p 1∆p =-∇⋅j p -+G （6-41）∂t e τ
∆n ∂n 1和 =∇⋅j n -+G （6-42）∂t e τ
式中，∇⋅j 为电流密度的散度。
将（6-23）（6-24）式分别代入（6-39）和（6-40）式，还可将连续性方程写
∂p ∂p ∂∈∂2p ∆p 为 =-μp ∈-p μp +D p 2-+G （6-43）∂t ∂x ∂x τ∂x
∂n ∂n ∂∈∂2n ∆n 和 =μn ∈+n μn +D n 2-+G （6-44）∂t ∂x ∂x τ∂x
在以上二式中，右边第一项是漂移过程中由于载流子密度不均匀引起的载流子积累，第二项是在不均匀的电场中因漂移速度随位置变化引起的载流子积累，第三项是由于扩散流密度不均匀引起的载流子积累。
四．少数载流子的连续性方程
在连续性方程（6-43）（6-44）中，电场∈是外加电场与自建电场之和。因此为求解上述方程，还须用到泊松方程
∂∈e (∆p -∆n ) = （6-45） ∂x ε0εr
其中，e (∆p -∆n ) 为空间电荷密度。
在杂质均匀分布的半导体中，热平衡载流子密度n 0和p 0是不随时间和位置变化的常数。因此（6-43）和（6-44）式也可改写为
∂∆p ∂∆p pe μp ∂2∆p ∆p =-μp ∈-(∆p -∆n ) +D p -+G （6-46） 2∂t ∂x ε0εr τ∂x
∂∆n ∂∆n ne μn ∂2∆n ∆n =μn ∈+(∆p -∆n ) +D n -+G （6-47）和 2∂t ∂x ε0εr τ∂x
如果严格满足电中性条件，即∆p =∆n ，则上二式中等号右边第二项为零。但在载流子的扩散和漂移同时存在的情况下，电中性条件只能近似的满足，即e (∆p -∆n ) 虽很小，但不为零。这时该项的作用就与其前面的系数大小有关。对
于n 型半导体，在小注入条件下，p
∂∆p ∂∆p ∂2∆p ∆p =-μp ∈+D p -+G （6-48） ∂t ∂x τ∂x 2
上式就是描述少数载流子运动的连续性方程。非平衡多子的分布情况，则可近似的由电中性条件∆p =∆n 得到，而不需要求解多子的连续性方程（6-47）。
如果所讨论的问题中不存在产生非平衡载流子的外界作用，则G=0，此时有
∂∆p ∂∆p ∂2∆p ∆p （6-49） =-μp ∈+D p -∂t ∂x τ∂x 2
§6-3 非本征半导体中非平衡少子的扩散和漂移
设想半导体是n 型的并满足小注入条件（∆p
∂2∆p ∂∆p ∆p D p -μ∈-=0 （6-50）p 2∂x τ∂x
一．少子的扩散。假设半导体中的电场很弱，以至于少子的漂移运动可以忽略，只需考虑其扩散运动，这时（6-50）式进一步简化为
∂2∆p ∆p D p （6-51） -=0 2τ∂x
上式为一维稳定扩散情况下，非平衡少子的连续性方程。其一般解为
- ∆p (x ) =A e x p x x +B e x （6-52） L p L p
其中，L p =D p τ，称空穴扩散长度，A,B 为两个由边界条件确定的常数。 下面分析一个具体例子。如图6-3所示，用光照射n 型半导体表面，设光只在表面极薄的一层内被吸收并在该层内产生电子空穴对。光照产生的非平衡载流子将由表面向体内扩散，假定在x=0处的表面，非平衡空穴保持恒定值。并设样品的厚度为W 。下面分两种情况讨论解的具体形式。
1．厚样品（W>>Lp ）。在这种情况下，非平衡空穴在扩散到x=W的表面之前几乎全部因复合而消失，这相当于一个无限厚的样品。当x →∞时，∆p →0。因此（6-52）式中第二项的系数B 必为零。由x=0，∆p =∆p 0，可确定A =∆p 0，于是有 ∆p (x ) =∆p 0exp -x （6-53） L p
上式表明非平衡空穴密度随距离的增加按指数律衰减。L p 实际上就是非平衡空穴在复合前由于扩散运动而深入样品的平均距离 x ∆p exp (-x /L )dx ⎰ ==L ⎰∆p exp -x /L dx ∞00p ∞
00p p （6-54）
扩散长度由扩散系数和寿命决定，常见材料的扩散系数已有标准数据，所以通过扩散长度的测量可以求出材料的寿命。
利用（6-53）式可求出空穴的扩散流密度为 D p ∂∆p =() ∆p （6-55） -D p ∂x L p
空穴流密度应为其速度与密度的乘积，因此通常称D p
L p 为空穴的扩散速度。
在上面的讨论中假设了在表面处的非平衡空穴密度∆p 0是已知的。实际上它是由具体的边界条件决定的，对于图6-3中的例子，设单位时间内在单位面积上产生的电子空穴对数为Q ，光照产生的非平衡少子通过扩散向体内流动，达到稳定时，Q 应该等于在表面处的扩散流密度，即 ∂∆p Q =-D p x =0 （6-56） ∂x
将（6-55）式代入上式，则有 ∆p 0=L p
D p Q （6-57）
2．一般情况。设想稳定注入的空穴扩散到样品的另一表面时，或者因表面复合而消失，或者被电极抽出。因此边界条件为
x =0 ， ∆p =∆p 0
x =W ， ∆p =0 （6-58） 将（6-58）式边界条件代入一般解（6-52）式，可得 A =∆p 0exp(W /L p ) 2sh (W /L p )
B =-∆p 0exp -(W /L p ) 2sh (W /L p )
sh (W -x )/L p
sh (W /L p ) (6-59) 于是有非平衡空穴在样品中的分布为 ∆p =∆p 0[] （6-60）
对于非常薄的样品，当W
∆p =∆p 0sh (W -x )/L p sh (W /L p ) []≈∆p ⎡W -x W ⎤x /=∆p (1-) （6-61） ⎥0⎢0L L W ⎢p ⎥⎣p ⎦
在这种情况下，扩散流密度为 D p ∂∆p -D p =() ∆p 0 （6-62） ∂x W
在晶体管中，基区宽度一般比少子的扩散长度小得多，注入少子在基区中的扩散，基本上符合上述情况。
二．少子的漂移。假设半导体中的电场很强，使得扩散运动可以忽略。这时非平衡少子的漂移运动是主要的，连续性方程简化为 ∂∆p ∆p μp ∈+=0 （6-63） ∂x τ
令 L 0=μp ∈τ，则（6-63）式的解为 ∆p =∆p 0exp -x （6-64） L 0
其中，∆p 0为在注入点x=0处的∆p 值。上式表明，非平衡空穴在漂移过程中由于复合，其密度随距离的增加按指数律衰减。L 0代表非平衡空穴在复合前因漂移
运动而深入样品的平均距离，通常称空穴的牵引长度。
三．少子的扩散和漂移。在扩散和漂移都不可忽略的情况下，非平衡少子的密度应由连续性方程（6-50）决定。利用L 0=μp ∈τ和L p =D p τ，可以把（6-50）
∂2∆p L 0∂∆p ∆p -2-2=0 （6-65） 式改写为 ∂x 2L p ∂x L p
上式的一般解为 ∆p =A ex p λ1x +B ex p λ2x （6-66） 其中，λ1和λ2是其特征方程的两个根，A 和B 是由边界条件确定的常数。方程（6-66）的特征方程为 λ2-L 01λ-=0 （6-67） L 2
p L 2
p
该方程的两个根分别为 λ1=2L 0+L 2
0+4L p
2L 2
p
和 λ2=2L 0-L 2+4L 0p
2L 2
p （6-68）
显然，λ1>0，λ2
**讨论：
1．考虑x ≥0的半无限大样品。如果在x=0处注入空穴，使非平衡空穴数保持恒定值，则满足边界条件的解应具有随x 增大而衰减的性质。因此必须取λ
∆p =∆p 0ex p λ2x （6-69） 根据电场方向的不同，可把λ2分别写为 λ2=-2L 2+4L 0p -L 0
2L 2
p
2L 2
0+4L p +L 0=-1 (∈>0) （6-70） L d 1 (∈
p =-
这里，L d 和L u 分别称空穴的顺流扩散长度和逆流扩散长度。显然，L d 〉L u 。所谓
顺流扩散是指与漂移方向相同的扩散，反之则为逆流扩散。将（6-70）（6-71）式代入（6-69）式，则得到连续性方程（6-65）的解为 ∆p =∆p 0exp -x (∈>0) （6-72） L d
x (∈
在∈>0时，看一下两种极端情况。如果电场很强，L 0>>Lp ，则有
L d =2L 2
p
L +4L -L 0202p =L 0(1+2L 2p 4L 2
p
L 2
0=L 0(1+2L 2p 2L 2p L 2
0+ ) -L 0≈L 0 （6-74） ) 1/2-L 0
在这种情况下，扩散运动可忽略，（6-72）式可简化为（6-64）式。如果电场很弱，L 0
因此可以用牵引长度L 0和扩散长度L p 相等的条件定义一个临界电场∈c ，即
∈c =L p
μp τ=D p μp L p （6-75）
当∈>∈c 时，则以漂移运动为主。
2．考虑x ≤0的半无限大样品。此时应取λ1>0的解，采用与上面完全类似的分析，可得 ∆p =∆p 0exp x (∈>0) （6-76） L u
x (∈
3．例题。考虑一个长条状的均匀薄半导体样品。设想在样品的中心（x=0）注入空穴并使该处的非平衡空穴∆p 0保持不变。加在样品两端的电压使样品中产生沿x 方向的电场∈。在注入点的右边，空穴是顺流扩散的，而在注入点的左侧则是逆流扩散。于是由（6-72）和（6-76）式可得 ∆p =∆p 0exp -x (x ≥0) （6-78） L d
∆p =∆p 0exp x (x ≤0) (6-79) L u
在图6-4中对不同的∈值，画出了空穴在样品中的分布。当∈>∈c 时，空穴被扫到注入点右边很远的地方，而向左边的渗透很小。
§6-4 近本征半导体中非平衡载流子的扩散和漂移
∂∈ 在以上的讨论中，假设了∆n ≈∆p ，并认为是可以忽略的。在本节中将∂x
讨论近本征半导体中非平衡载流子的扩散和漂移。所谓近本征半导体是指电子和空穴的热平衡密度相差无几的半导体。在这种情况下，必须考虑由于两种载流子扩散和漂移运动的差异所引起的电场分布的变化以及其对两种载流子的影响。
一．双极扩散。先讨论非平衡载流子的扩散。如图6-3所示，光照在表面薄层内产生电子空穴对，使得表面的电子和空穴密度比体内高。这必然引起其由表面向体内的扩散。由于D n >D p ，电子比空穴扩散得快，结果将在样品中产生沿x 方向的电场∈。在这种情况下，空穴和电子的电流密度分别由（6-23）和（6-24）式给出，它们都包含扩散和漂移电流两部分。在达到稳态时，总的电流密度j n +j p =0，即有 e (n μn +p μp ) ∈+e (D n ∂∆p ∂∆p -D p ) =0 （6-80）∂x ∂x
式中，略去了∆n 与∆p 间的微小差别。从而可得电场∈为 ∈=-D n -D p ∂∆p （6-81） n μn +p μp ∂x
这个电场是由电子和空穴扩散速度的差异引起的。显然，只有在D n =D p 时才会有∈=0。将（6-81）式分别代入(6-23)和(6-24)式可得 ∂∆p j p =-eD （6-82） ∂x
∂∆n j n =eD （6-83） ∂x
其中， D =n μn D p +p μp D n
n μn +p μp =(n +p ) D n D p nD n +pD p （6-84）
上式利用了爱因斯坦关系。通常称D 为双极扩散系数。在过剩载流子密度很小时，上式中的n 和p 可分别用热平衡载流子密度n 0和p 0来代替。D 综合了载流子的扩
散和漂移运动，使得电子和空穴好像都以双极扩散系数做单纯的扩散运动。 在小注入情况下，对于n 型半导体，D ≈D p , 而对于p 型半导体，则D ≈D n 。对于本征半导体，D =2D n D p /(D n +D p ) ，图6-5给出了D 随电子密度变化关系示意图。
二．双极扩散和漂移
现在讨论有外场存在时非平衡载流子的扩散和漂移。对于近本征半导体，尽管电中性条件仍近似成立，但是在连续性方程（6-46）和（6-47）式中，右边第二项不再可忽略。因为(∆p -∆n ) 虽然很小，但其前面的系数中包含的p 或n 都比较大，使得这一项可以与其他项相比较。在这种情况下，为简化方程，有必要设法消除包含(∆p -∆n ) 之项，而在其他项中仍近似的取∆n =∆p 。为此，用n μn 和p μp 分别乘（6-46）和（6-47）式，然后将两式加起来，再用(n μn +p μp ) 除等式两边，则得 ∂∆p ∂∆p ∂2∆p ∆p =-μ∈+D -+G （6-85） 2∂t ∂x τ∂x
其中，μ=(n -p ) μn μp
n μn +p μp 称双极迁移率，D 是双极扩散系数。（6-85）式在形式上
与少子连续性方程（6-48）完全相同，只是分别用μ和D 取代了μp 和D p 。必须指出，在（6-85）式中的双极迁移率与电场的乘积μ∈并不是载流子本身的漂移速度，而是“扰动”∆n ≈∆p 的流动速度，或者说是过剩载流子密度分布的流动速度。应该注意的是，过剩多子的密度总是跟着过剩少子密度一起流动的。如果半导体是n 型的，由于n>p，则μ〉0。在这种情况下，“扰动”将沿着正电荷在电场中的漂移方向流动，也就是沿着过剩空穴的漂移方向运动；若半导体为p 型的，μ >p或P>>n的情况下，有μ≈μp 或μ≈μn ，此时“扰动”的流动速度才等于少子的漂移速度。对于本征半导体，μ=0，电场将不会影响过剩载流子的空间分布。
§6-5 载流子复合
在§6-1中讨论非平衡载流子的产生与复合时，引入寿命概念来表征其平均存在的时间，但没有具体分析决定寿命的各种因素。本节将概括地说明各种复合过程的机理并给出直接辐射复合寿命表达式。
一．两种复合过程。半导体中非平衡载流子的复合过程可分为直接复合和间接复合两种基本类型。
1．直接复合。在直接复合过程中，电子由导带直接跃迁到价带与空穴复合，
其逆过程是电子由价带激发到导带，产生电子空穴对，在图6-6中分别用a 和b 过程表示。为了明确起见，规定图中画出的是跃迁前的情况，并且在导带中只画出电子，价带中只画出空穴，用箭头指示电子的跃迁方向。
2．间接复合。也称通过复合中心的复合。所谓复合中心，是指晶体中的一些杂质或缺陷，它们在禁带中引入离导带底和价带顶都比较远的局域化的能级, 也称复合中心能级。在间接复合过程中，电子先跃迁到复合中心能级E t 上，然后再跃迁到价带与空穴复合，如图6-7中a 和c 所示。或者换个说法，复合中心能级从导带俘获一个电子，从价带俘获一个空穴，完成电子空穴对的复合。电子空穴对的产生过程，也是通过复合中心能级分两步完成的，如图6-7中b 和d 。
二．引起复合和产生过程的机理。主要有以下三种：
1．电子与电磁波的相互作用。大家都知道，在温度为T 的物体中，存在着温度为T 的黑体辐射。这种辐射就是一种电磁波。电磁波可以引起电子在能带之间和能级之间的跃迁，这种跃迁称电子的光跃迁或辐射跃迁。在跃迁过程中，电子以吸收或发射光子的形式同电磁波交换能量；
2．电子与晶格振动的相互作用。晶格振动可以使电子由一个量子态跃迁到另一个量子态，这种跃迁称热跃迁。在热跃迁过程中，电子以吸收或发射声子的形式与晶格交换能量。应该指出，通常情况下，电子跃迁过程中释放出的能量比单个声子的能量大得多，必须同时或逐级发射多个声子，才能满足能量守恒条件。这种跃迁的几率是很小的。
3．电子之间的相互作用。电子之间的库仑相互作用，也可以引起电子在能级之间的跃迁，这种跃迁过程通常称为俄歇跃迁。如图6-8所示，在俄歇跃迁过程中，总是一个电子或空穴的能量的增大（或减小）伴随着另一个电子或空穴的能量的降低（或增加）。
三．表面复合。表面复合实际上也是一种间接复合过程，只不过复合中心位于样品的表面。这种复合是通过禁带中表面能级进行的。表面复合对非平衡载流子稳态分布以及在非稳态情况下非平衡载流子的衰减过程有着重要影响，这里就不详细讲了。
四．直接辐射复合。导带电子直接跃迁到价带与空穴复合，同时发射光子，这种直接复合过程称直接辐射复合，也称带间辐射复合。
1．复合率和产生率。在带间辐射复合过程中，单位时间单位体积内复合的电子-空穴对数R 应与导带电子密度n 和价带空穴密度p 成正比，即
R =r n p （6-86） 式中，R 为复合率，r 称复合系数。上述直接复合过程的逆过程为电子-空穴对的产生过程，也即价带中的电子向导带的跃迁过程。在非简并情况下，可以近似地认为价带基本上充满电子，而导带则基本上空着，这意味着产生率与载流子密度无关。因此，在所有非简并情况下，产生率基本上是相同的，都等于热平衡时的产生率G 0。而热平衡时的产生率G 0又等于复合率R 0，从而有
G =G 0=R 0=rn 0p 0=rn i 2 （6-87）
2．净复合率和寿命。在非平衡情况下，复合率和产生率不再相等。此时，利用（6-86）和（6-87）式可得电子-空穴的净复合率U 为
U =R -G =r (np -n 0p 0) （6-88） 将n=n0+△n 、p=p0+△p 和△n=△p 代入上式，则得
U =r (n 0+p 0+∆p ) ∆p （6-89） 由于净复合率即为非平衡载流子的复合率，从而有
U =∆p /τ （6-90） 比较（6-89）和（6-90）两式，可得载流子的寿命为
τ=1/[r (n 0+p 0+∆p )] （6-91） 在小注入条件下，即△p 〈〈n 0+p0时，上式可近似为
τ=1/[r（n 0+p0）] （6-92） 对于本征半导体，其寿命则为
τi =1/（2rn i ） （6-93） 显然，在一定温度下，禁带宽度越小的半导体，τi 越短。对于n 型和p 型半导体，分别有
τ=1/（rn 0）=2τi n i /n0 （6-94） 和 τ=1/（rp 0）=2τi n i /p0 （6-95） 上二式表明，在杂质半导体中，载流子的寿命要比本征半导体的短。 在大注入条件下，即△p 〉〉n 0+p0时，（6-91）式可近似为
τ=1/（r △p ） （6-96） 此时，寿命随非平衡载流子密度变化，不再是常数。