古典概型1

“古典概型”教学设计（3）

绍兴柯桥中学 余继光

1．内容和内容解析

本节课是高中数学 3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是 在学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学 的 。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论 中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概 念，有利于计算一些简单事件的概率，有利于解释生活中的一些现象与问题。

根据本节课的特点， 采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出 问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及 其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生 的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

2．目标和目标解析

（1）了解基本事件的意义

（2）理解古典概型及其概率计算公式，

-1-

（3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率

（4）会初步应用概率计算公式解决简单的古典概型问题

根据本节课的内容和学生的实际水平， 通过模拟试验让学生理解古典概型的 特征： 试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性， 观察类比各个试验， 归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现化归的重要思想，掌握列举法，学会 运用分类讨论的思想解决概率的计算问题。 树立从具体到抽象、从特殊到一般 的哲学观点， 鼓励学生通过观察类比提高发现问题、 分析问题、 解决问题的能力， 增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

3.重点落实难点突破

重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

落实的途径：

（1）通过举实例的方法，理解古典概型的两个重要的特征：结果的有限性 与等可能性

-2-

除了教材中掷硬币与掷骰子外，还可以举学生身边的事件，如班级里选班长 等

（2）通过画树形图和列表的方法，落实古典概型中随机事件的概率的求解

（3）通过变式训练的方法，提升学生掌握古典概型中随机事件的概率计算 的分析方法

难点： 如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中某随机事 件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

突破的方法：

（1）在概率的计算上，鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基 本事件个数的一般方法， 从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困 惑；

（2）通过正、反两方面的例子，特别是举一些破坏了古典概型

两个重要特 征的例子，以突破古典概型识别的难点，

-3-

（3）举一些数学分支中的古典概型例子，如表面涂色正方体分割成等体积 的 27 个小正方体，从中任取一个，则一面涂色、二面涂色、三面涂色的概率分 别为多少？

4．教学问题诊断分析

在古典概型的概念理解与古典概型的计算中， 一是学生不能正确理解等可能 性； 二是学生不能完整的列举出基本事件总数和事件 A 所包含的基本事件数，因 此需要用直观地、描述性的语言暴露老师的思维过程，给学生以具体的指导。

初学者对基本事件与随机事件的联系与区别存在理解困难， 对于基本事件的 互斥性比较容易理解，但对于任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件 的和这一特点不知所措，为了突破这一点，教学中可以用类比思想来解决，将集 合的“单元素子集”比作基本事件，那么任一其他子集都可以是单元素子集的并 集（和）；例 3 的教学中学生对为什么要把两个骰子标上记号理解不透，关键是 不能从实质上把握古典概型中“每个基本事件出现是等可能的”，或者说缺少判 断这一等可能性的意识， 为了突破这一点，可以设计一个模拟方式来验证每个基 本事件是否具有等可能性。

5．教学支持条件分析

学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳 和动手尝试相结合，体现学生的主体地位，培养学生由具体到抽象，由特殊到一 般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度；在教学中利用直观图形、计算机

-4-

模拟、列表、画树形图、用 Excel 软件等工具来支持对概率古典定义的理解与运 用

6．教学过程设计

[创设问题情境]

问题 1：

（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，会有哪几种可能结果？这些结果具有哪些 特点？

（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，会有哪几种可能结果？这些结果具有哪些 特点？事件“出现质数点”可以用这些结果表示吗？

教学设计方式：

Ⅰ、传统教学设计：教师手持一枚硬币，抛掷，显示结果，写出结果，说明 结果特点；

-5-

教师手持一枚骰子，抛掷，显示结果，写出结果，说明结果特点；

这一问题创设情境方式，简单、直观、教学条件与设备要求低，有利于教学 资源与条件差的地区，教学理念是以教师引导和传授为主；

Ⅱ、以学生为本的教学设计：学生分小组进行实验：各小组课前用一枚硬币 或一枚骰子， 抛掷 n 次， 记录试验结果， 在课堂上交流试验情况， 教师汇总结果， 并与学生一起讨论试验结果特点；

这一问题创设情境方式，简单、直观、教学条件与设备要求低，有利于教学 资源与条件

差的地区，教学理念是以学生自主学习为主，但要利用课余时间，组 织工作较多；

Ⅲ、以多媒体为手段的教学设计：教师或学生中的“计算机专家”设计一个 掷硬币或掷骰子的软件， 由学生代表操作， 显示结果， 写出结果， 说明结果特点；

这一问题创设情境方式， 需要有现代教学媒介， 对于经济发达地区是可行的，

师生互动：抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种可能结果：正面向上，反面向 上；这两个结果不可能同时发生，即“正面向上”“反面向上”是互斥事件；而 且这两个结果的出现是等可能的；

-6-

抛掷一枚质地均匀的骰子，会有 6 种可能结果：出现“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”“6 点”，这 6 个结果不可能同时发生，即它们是互斥事 件，而且这 6 个结果的出现是等可能的；事件“出现质数点”可以用“出现 2 点”“出现 3 点”“出现 5 点”的和来表示

我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。

基本事件有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

例 1、从字母 a，b，c，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本 事件？

分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列 出来。

-7-

解：基本事件为 A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c， d}

（1）问题 1 中两个试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （有限性）

（2）问题 1 中两个试验中每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

概念辨析：

问题 2、向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是 等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？

因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点， 试验的所有可能结果数是无限 的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第 一个条件。

-8-

问题 3、从一个男女生人数差异性较大的班中随机地抽取一位学生代表，出 现两个可能结果“男同学代表”“女同学代表”，你认为这是古典概型吗？为什 么？

不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有 2 个，而“男同学代表”“女 同学代表”出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。

我们一般用列举法列出所有基本事件的结果， 画树状图是列举法中的一种基 本方法。

例 2 、某人射击 5 枪，命中了 3 枪，试写出所有的基本事件

方法一：列举法：⊙表示命中，X 表示

未命中

方法二：树形图

-9-

问题 4、在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率 如何计算？

问题 1（1）中，出现正面朝上概率与反面朝上概率相等，即 P（“正面朝上”） ＝P（“反面朝上”）由概率的加法公式，得 P（“正面朝上”）＋P（“反面朝 上”）＝P（必然事件）＝1

因此 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝0.5

即 P（“正面朝上”）=

- 10 -

问题 1（2）中，出现 1—6 各个点的概率相等，即

P（“1 点”）＝P（“2 点”）＝P（“3 点”）＝P（“4 点”）＝P（“5 点”） ＝P（“6 点”）

反复利用概率的加法公式，我们有 P（“1 点”）＋P（“2 点”）＋P（“3 点”） ＋P（“4 点”）＋P（“5 点”）＋P（“6 点”）＝P（必然事件）＝1

∴P（“1 点”）＝P（“2 点”）＝P（“3 点”）＝P（“4 点”）＝P（“5 点”）

＝P（“6 点”）＝

进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P

（“出现偶数点”）＝P（“2 点”）＋P（“4 点”）＋P（“6 点”）＝

+

+

=

根据上述两则模拟试验， 可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计 算公式为：

- 11 -

P（A）=

=

提问：（1）在例 1 的实验中，出现字母“d”的概率是多少？

P（出现字母 d）=

=

（2）在例 2 中，所命中的三枪中，恰好有 2 枪连中的概率为多少？

P（三枪中两枪连中）=

在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么？

注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；

（2）要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

- 12 -

例 3、单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从 A，B，C，D 四个选项中选 择一个正确答案。如果考生掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案。假 设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？

分析： 解决这个问题的关键， 即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。 如果考生掌握或者掌握了部分考察内容， 这都不满足古典概型的第 2 个条件—— 等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才 可以化为古典概型。

解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有 4 个：选择 A、选择 B、 选择 C、选择 D，即基本事件共有 4 个，考生随机地选择一个答案是选择 A，B， C，D 的可能性是相等的。从而由古典概型的概率计算公式得：P（答对）

=

=

问题 5、在标准化考试中既有单选题又有多选题，多选题是从 A，B，C，D 四个选项中选出所有正确的答案， 同学们可能有一种感觉， 如果不知道正确答

案， 多选题更难猜对，这是为什么？

答：这是因为多选题选对的可能性比单选题选对的可能性要小；事实上，在多选 题中，基本事件有 15 个，（A）（B）（C）（D）（A，B）（A，C）（A，D） （B，C）（B，D）（C，D）（A，B，C）（A，B，D）（A，C，D）（B，C， D）（A，B，C，D），假定考生不会做，在他随机选择任何答案是等可能的情

况下，他答对的概率为

＜

- 13 -

例 4、 同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是 5 的概率是多少？

分析：如果我们只关注两个骰子出现的点数和，则有 2，3，4，„，11，12 这 11 种结果；

如果我们关注两个不加识别骰子出现的点数，则有下表中的 21 种结果

- 14 -

如果我们把两个骰子标上记号 1，2 以便区分，由于 1 号骰子的结果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰 子的一个结果（如表），其中第一个数表示 1 号骰子的结果，第二个数表示 2 号骰子的结果。

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有 36 种。

值得关注的是第一、 二种情形中的结果不是等可能的，不能直接运用古典概 型公式计算事件的概率；

（2）上面结果中，向上的点数之和为 5 的结果有 4 种：（1，4），（2，3）， （3，2），（4，1）

（3）由于所有 36 种结果是等可能的，其中向上点数之和为 5 的结果（记 为事件 A）有 4 种，因此，由古典概型的概率计算公式可得

- 15 -

P（A）=

=

问题 6： 为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解 释其中的原因吗？

答：如果不标上记号，类似于（1，2）和（2，1）的结果将没有区别。这 时，所有可能的结果为 21 种：和是 5 的结果有 2 个：（1，4）（2，3），所求

的概率为 P（A）=

以上两种答案都是利用古典概型的概率计算公式得到的， 为什么不同呢？这 里关键是第二种解法中的基本事件不是等可能发生的， 它不能利用古典概型公式 来计算。

小结：

1．古典概型：我们将具有：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

- 16 -

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

2． 古典概型计算任何事件的概率计算公式为： P （A） =

3．求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数常用 的方法是列举法（画树状图和列表），注意做到不重不漏。

7．目标检测设计

（1）从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选

中的概率

(

)

A 、

B、

C、

D、

（2）盒中有十个铁钉，其中八个合格，两个不合格，从中任取一个恰为合 格铁钉的概率（ ）

- 17 -

A、

B、

C、

D、

（3）将一个边长为 3 的正方体木块表面涂上红色，将其切成大小相等的 27 块，从中任取一块，恰有两个面红色的概率 面红色的概率 . ，至少有两个

（4）若抛掷一次骰子得到的点数 m 为点 M 的坐标，则点 M 落在区间[0，4] 外的概率是__

变式一：若以连续掷两次骰子分别得到的点数 落在直线 下方的概率是

作为点

的坐标，则点

变式二：若以连续掷三次骰子分别得到的点数

,p 作为点 Q 的坐标，则

点 Q 落在以原点为球心，2 为半径的球面内的概率是_____

（1.）C.（2）.C.（3.）27 个小块中三面有红色的有 8 个顶点；二面有色

的有 12 棱中点； 一面红色的有 6 个面中心； 0 面红色的有 1 个体中心， ∴p1=

，

p2=

4．

；

；

- 18 -

两个班教学目标检测结果分析（古典概型）

13 班 利用多媒体辅助教学 A（7 空全对） 11 B（7 空 1 错） 20 C（7 空 2 错） 22 20．8% 37．7% 41．5%

14 班 仅利用黑板 2 16 36 3．7% 29．6% 66．7%

教学时间：2007 年 9 月 17 日（校内公开课）

测试时间：2007 年 9 月 17 日下午 4：00-4：20

现象分析：

2007 年 9 月 17 日在必修 3 第三章古典概型第一节课教学中，设计了两种教 学手段，一种是传统的一只粉笔打天下的方式，一种是利用多媒体，将备课素材 做成 PPT，再利用黑板书写分析过程；两节课教下来的感觉是，对于数学应用问 题的教学， 由于教学过程中要使用大量的辅助手段才能讲明白一些数学概念，仅 运用粉笔教学，书写量较大，忙于书写，学生的思维时间较多，教学容量较小， 但在数学应用问题中，数学思维量较小，因此课堂容量显得不够，检测结果也说 明这一点。

- 19 -

认知结构发展反思表

课题

古典概型（第一课时） 班级 高二（13） 具体反思 学习古典概率定义之前学生已有二 个学段接触概率概念， 一是初中概率 概念启蒙，只是可能性的描述；二是 高中概率统计定义的描述 学习完本节内容之后的概念图又 概率的统计定义与古典定义学习后， 时间 2007．9．17

执教者 余继光 类 概 念 图 的 解 释 反思问题

学生在学习本节内容之前具有的 概念图是怎样的？

是怎样的？二者比较，能发现学生 对概率概念有了一个较完整的印象， 的认知结构发生了怎样的变化？ 学生既可以通过频率的稳定值来了 解概率， 又可以从样本空间中的基本 事件的比来理解概率意义

前 后 概 念 图 分 析

在前概念图中存在什么不足，教师 前概念（概率统计定义）在具体问题 怎样帮助

其改进，使之更有利于新 的研究中不方便， 但在理论上作用较 的学习过程？ 大； 教师对两者比较中指明两概念的 差异 后概念图与教学目标之间还存在 什么差距，如何弥补？ 后概念（概率古典定义）在具体问题 的研究中比较方便， 容易计算基本事 件具有等可能性且有限性的概率； 但 后概念在解决基本事件的无限性时 无能为力， 这为今后学习几何概型打 下基础

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认 知 分 析

本节课采用的是同化还是顺应的

本节课的教学设计是采取同化的方

方式？在不同方式下，认知结构发 式， 由概率的统计定义过渡到古典定 生了怎样的变化？如果不能进行 义，在问题情境创设时设计多种形

同化，也不能进行顺应，你是如何 式，其中由学习小组先行进行试验， 帮助学生建立现先行组织者的？ 得出结果，分析结果特征，体现以学 生主动学习为本的理念。 为了学生的认知结构不断的丰富、 在列举法学习中，增加一个例子“某 完善，在平时的教学中采用了哪些 人射击 5 枪，命中了 3 枪，试写出 方法，比如定期复习、学生定期写 所有的基本事件”，分别用树形图与 学习报告、测试等？这些方法奏效 直接列举法展示思维过程， 在平时教 吗？ 学中曾组织数学研究性学习， 对培养 学生自主学习能力有帮助。

其

在本节课中最值得记录的一件事是什么？为 什么？

在目标检测中一个问题 “将一个边长 为 3 的正方体木块表面涂上红色， 将 其切成大小相等的 27 块，从中任取 一块， 恰有两个面红色的概率 ， ”不

它

至少有两个面红色的概率 会综合分析，

通过上述分析，你认为本节课的目标是否达 成？标志是什么？

从教学检测结果看，13 班达成度高； 14 班达成度较低，

教学相长，在本节课中你的收获是 什么？

变式训练教学反思表

- 21 -

课题

古典概型 班级 高二（14）班 时间 2007．9．17

执教者 余继光 类 变 式 训 练 的 依 据 反思问题

具体反思 概率的古典定义及古典概型的计 算是一个重要内容， 如何使学生掌 握，需要使用变式训练教学，如从 掷硬币到掷骰子情境的变式， 考虑 到基本事件这一知识点的系统性 与整体性，

变式训练的依据是什么？注重了知识 的系统性和整体性了吗？还是仅仅在 外在因素上进行了变化？

这种变式有助于学生理解问题的本质 吗？还是助长了机械训练？

变式训练的设计在于养育学生思 维习惯，熟悉转化方法，如关于树 形图的变式设计是为了学生理解 这一方法的本质，

变 式 训 练 的 价 值 变 式 训 练 的 作 用

通过变式训练，学生对这个数学对象 的理解深刻了吗？为什么？ 通过变式训

练，学生纠正原有的错误 理解吗？

问题（4）的变式设计有助于学生 的综合能力提高 例 4 的教学中， 不同思维的变式将 古典概型中学生最容易错的忽视 基本事件的 “等可能性” 暴露无遗， 以引起学生的注意与理解

预设的变式训练对学生的认知有扩展 吗？ 此节课变式训练的类型恰当吗？如何 不妥当，如何调整呢？

问题（4）将概率与相关数学知识 融合， 有助于对学生的认知的扩展 问题（4）中变式二设计有些不妥， 学生的空间概念较弱， 转化能力也 较弱，在检测后发现了这一点。

- 22 -

其

在本节课中最值得记录的一件事是什么？为什 么？

学生在问题（4）的变式（二）中 空间概念缺乏，转化能力较弱，不 能将其转化为 m2+n2+p2＜4 检验

通过上述分析，你认为本节课的目标是否达成？标 志是什么？

从教学检测结果看，13 班达成度 高；14 班达成度较低，

它

教学相长，在本节课中你的收获是什 么？

- 23 -

任 科 教 师

严峰

11 年 12 月 7 日

学

科

数学 古典概型

班 级

138

课 题 名 称

课 型 新授课

知 识 与 技 能

（1）理解古典概型的两个特征； （2）掌握古典概型的概率计算公式； （3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件。 （1）通过试验和典例让学生理解古典概型的特征； （2）归纳总结古典概型概率的计算公式； （3）体现化归的重要思想运用于解题。 （1）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养

教

过 程 学 与 方 法 目

情感态度 标 与

学生勇于探索，善于发现的创新思想； （2） 培养学生掌握“理论来源于实践， 并把理论应用于实

价 值 观

践”的辨证思想。

教 学

理解古典概型的含义及其概率的计算公式，古典概型的判断。

重 点

教 学 难

应用古典概型计算公式 P(A)= 时，正确求出 m,n。

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点

教学方法

问题教学 题组教学 合作 学习

教学媒 体 见学案

PPT

作 业

古典概型 教案 教 学 过 程 设 计

No.1 No.2

教

1．通过数学史上的事例，提出问题，引入新课。

学

2．通过题组教学，提出问题，引入新课。 3．通过试验，使学生理解古典概型定义，并加以辨析；

过

同时通过题组复习，巩固古典概型下随机事件发生的概率计算。 3． 通过例题 （摸球问题） 的分析解决， 使学生进一步理解概率公式，

程

运用公式解决实

设

际问题（包括引入中数学史上的事例）。 4．小结。 5．分层布置作业。

计

古典概型

- 25 -

1. 板

1.

古典概型定义

问题（1）

（1）

书

有限性 等可能性 问题（2）

（2）

设 1. 计

2.

古典概型下，随机事件计算公式

例题 1

P（A）=

例题 2

课

后

反

思

教

学 过 程

教学环节 师 生 活 动

No.3

教学意图

意大利数学家卡当(1501-1576),他提出 问题提出 这样一个问题:掷一白一蓝两颗骰子,以

激发学生求 知欲

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引入新课

两颗骰子的点数和打赌,你压几点最有 利?卡当认为 7 最好?你认为呢?

复习基本事 件空间，引入 新课

思考交流 形成概念 试验 1: 掷一枚质地均匀的硬币的试验 试验 2: 掷一枚质地均匀的骰子的试验 思考交流:上面试验都具有哪些特征?

合作交流 分析特征 将主动权交

□基础回顾

给学生

古典概型定义 (1)有限性 在一次试验中,可能出现的结 果只有有限个,即只有有限个不同的基 本事件 (2)等可能性每个基本事件发生的可能性 是均等的 这样的试验称为古典概型。 概念辨析 深化理解 【问题 1】字母 a、b、c、d 中任意取 学生讨论，进 出两个不同字母的试验中，有哪些基本 一步深化理 事件？ 解古典概型 的两个基本 概念辨析 特征 【问题 2】向一个圆面内随机地投射一 讲解学生资 料上的”考点 梳理”

- 27 -

个点，如果该点落在圆内任意一点都是 等可能的， 你认为这是古典概型吗?为什 么？

因为试验的所有可能结果是圆面内所有 的点， 试验的所有可能结果数是无限的， 虽然每一个试验结果出现的“可能性相 同”， 但这个试验不满足古典概型的第一 个条件。

教 学 过 程

教学环节 师 生 活 动

No.4

教学意图

【问题 3】如图，某同学随机地向一靶 心进行射击，这一试验的结果只有有限 个：命中 10 环、命中 9 环……命中 1 环

- 28 -

和不中环。你认为这是古典概型吗？为 什么？

不是古典概型，因为试验的所有可能结 果只有 11 个， 而命中 10 环、 命中 9 环…… 命中 1 环和不中环的出现不是等可能的， 即不满足古典概型的第二个条件。

古典概型计算公式 P（A）=

这一定义称为概率的古典定义

观察类比 巧用公式

引导学生利 用互斥事件 概率的加法 公式计算

- 29 -

古典概型计 算公式的直 接运用 强调规范的 书写过程

教 学 过 程 No.5

教学环节 师 生 活 动 教学意图

题组求解 加强基础 提高能力

□基础自测 1. 将一枚硬币先后抛掷两次，恰好出现 一次正面的概率为________。 2.甲、乙、丙、丁四人排成一行，甲不 在两端的概率为 。

通过生活中 的事例引导 学生用学到 的数学知识 解决生活中 的问题

3. 在 50 瓶饮料中， 有 3 瓶已经过期了， 从中任取一瓶，取得已过期的饮料的概 率为 。

4. 有数学、物理、化学、历史、政治五 本课本，从中任取一本，取到理料课本

进一步强化 先确定是否

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例题分析 推广应用

的概率是

。

为古典概型 再利用公式 计算

典例剖析

例 1.(摸球问题)一个口袋内装有大小相 同的 5 个红球和 3 个黄球，从中一次摸 出两个球。 ⑴问共有多少个基本事件； ⑵求摸出两个球都是红球的概率； ⑶求摸出的两个球都是黄球的概率； 引导学生用 ⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。 列举法写出 所有基本事 件空间 学习不能偷 解决问题 激发兴趣 □提高训练 1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表， 甲被选中的概率为________. 2. 袋中有 2 个白球，2 个黑球，从中任 意摸出 2 个，则至少摸出 1 个黑球的概 率是________. 进一步巩固 巧要脚踏实 地

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3. 甲、乙两人随意入住两间空房，则甲 乙两人各住一间房的概率是 .

古典概型计 算公式

进一步深化 知识 解决问题 检测学生听 课效果

教 学 过 程

教学环节 师 生 活 动

No.6

教学意图

1657 年法国数学家费马出版了”论骰子 游戏中的推理”. 这本书引入了数学期望 的概念，这是概率论的第一部著作. 这 样，数学的一个分支-----概率论诞生了 目前，概率论不仅成为一门重要的数学 学科，而且渗透到了自然科学，社会科 学， 人文科学等各个领域. 概率和我们的 生活也是密切相关的,我相信同学们一定

- 32 -

会学好它! 总结概括 加深理解 今天我们复习了什么？ 1．古典概型： 我们将具有： （1） 试验中所有可能出现的基本事件只 有有限个；（有限性） （2）每个基本事件出现的可能性相等。 （等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率 概型，简称古典概型。 2．古典概型概率计算公式为： 通过对本节 内容的回顾 与小结，理顺 知识，给学生 一个整体印 象。 学生进行总 结 查漏补缺

P（A）=

3． 求某个随机事件 A 包含的基本事件的 个数和实验中基本事件的总数常用的方 法是列举法（画树状图和列表），注意 做到不重不漏。 分层作业

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布置作业

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“古典概型”教学设计（3）

绍兴柯桥中学 余继光

1．内容和内容解析

本节课是高中数学 3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是 在学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学 的 。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论 中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概 念，有利于计算一些简单事件的概率，有利于解释生活中的一些现象与问题。

根据本节课的特点， 采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出 问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及 其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生 的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

2．目标和目标解析

（1）了解基本事件的意义

（2）理解古典概型及其概率计算公式，

-1-

（3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率

（4）会初步应用概率计算公式解决简单的古典概型问题

根据本节课的内容和学生的实际水平， 通过模拟试验让学生理解古典概型的 特征： 试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性， 观察类比各个试验， 归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现化归的重要思想，掌握列举法，学会 运用分类讨论的思想解决概率的计算问题。 树立从具体到抽象、从特殊到一般 的哲学观点， 鼓励学生通过观察类比提高发现问题、 分析问题、 解决问题的能力， 增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

3.重点落实难点突破

重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

落实的途径：

（1）通过举实例的方法，理解古典概型的两个重要的特征：结果的有限性 与等可能性

-2-

除了教材中掷硬币与掷骰子外，还可以举学生身边的事件，如班级里选班长 等

（2）通过画树形图和列表的方法，落实古典概型中随机事件的概率的求解

（3）通过变式训练的方法，提升学生掌握古典概型中随机事件的概率计算 的分析方法

难点： 如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中某随机事 件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

突破的方法：

（1）在概率的计算上，鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基 本事件个数的一般方法， 从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困 惑；

（2）通过正、反两方面的例子，特别是举一些破坏了古典概型

两个重要特 征的例子，以突破古典概型识别的难点，

-3-

（3）举一些数学分支中的古典概型例子，如表面涂色正方体分割成等体积 的 27 个小正方体，从中任取一个，则一面涂色、二面涂色、三面涂色的概率分 别为多少？

4．教学问题诊断分析

在古典概型的概念理解与古典概型的计算中， 一是学生不能正确理解等可能 性； 二是学生不能完整的列举出基本事件总数和事件 A 所包含的基本事件数，因 此需要用直观地、描述性的语言暴露老师的思维过程，给学生以具体的指导。

初学者对基本事件与随机事件的联系与区别存在理解困难， 对于基本事件的 互斥性比较容易理解，但对于任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件 的和这一特点不知所措，为了突破这一点，教学中可以用类比思想来解决，将集 合的“单元素子集”比作基本事件，那么任一其他子集都可以是单元素子集的并 集（和）；例 3 的教学中学生对为什么要把两个骰子标上记号理解不透，关键是 不能从实质上把握古典概型中“每个基本事件出现是等可能的”，或者说缺少判 断这一等可能性的意识， 为了突破这一点，可以设计一个模拟方式来验证每个基 本事件是否具有等可能性。

5．教学支持条件分析

学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳 和动手尝试相结合，体现学生的主体地位，培养学生由具体到抽象，由特殊到一 般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度；在教学中利用直观图形、计算机

-4-

模拟、列表、画树形图、用 Excel 软件等工具来支持对概率古典定义的理解与运 用

6．教学过程设计

[创设问题情境]

问题 1：

（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，会有哪几种可能结果？这些结果具有哪些 特点？

（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，会有哪几种可能结果？这些结果具有哪些 特点？事件“出现质数点”可以用这些结果表示吗？

教学设计方式：

Ⅰ、传统教学设计：教师手持一枚硬币，抛掷，显示结果，写出结果，说明 结果特点；

-5-

教师手持一枚骰子，抛掷，显示结果，写出结果，说明结果特点；

这一问题创设情境方式，简单、直观、教学条件与设备要求低，有利于教学 资源与条件差的地区，教学理念是以教师引导和传授为主；

Ⅱ、以学生为本的教学设计：学生分小组进行实验：各小组课前用一枚硬币 或一枚骰子， 抛掷 n 次， 记录试验结果， 在课堂上交流试验情况， 教师汇总结果， 并与学生一起讨论试验结果特点；

这一问题创设情境方式，简单、直观、教学条件与设备要求低，有利于教学 资源与条件

差的地区，教学理念是以学生自主学习为主，但要利用课余时间，组 织工作较多；

Ⅲ、以多媒体为手段的教学设计：教师或学生中的“计算机专家”设计一个 掷硬币或掷骰子的软件， 由学生代表操作， 显示结果， 写出结果， 说明结果特点；

这一问题创设情境方式， 需要有现代教学媒介， 对于经济发达地区是可行的，

师生互动：抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种可能结果：正面向上，反面向 上；这两个结果不可能同时发生，即“正面向上”“反面向上”是互斥事件；而 且这两个结果的出现是等可能的；

-6-

抛掷一枚质地均匀的骰子，会有 6 种可能结果：出现“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”“6 点”，这 6 个结果不可能同时发生，即它们是互斥事 件，而且这 6 个结果的出现是等可能的；事件“出现质数点”可以用“出现 2 点”“出现 3 点”“出现 5 点”的和来表示

我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。

基本事件有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

例 1、从字母 a，b，c，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本 事件？

分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列 出来。

-7-

解：基本事件为 A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c， d}

（1）问题 1 中两个试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （有限性）

（2）问题 1 中两个试验中每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

概念辨析：

问题 2、向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是 等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？

因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点， 试验的所有可能结果数是无限 的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第 一个条件。

-8-

问题 3、从一个男女生人数差异性较大的班中随机地抽取一位学生代表，出 现两个可能结果“男同学代表”“女同学代表”，你认为这是古典概型吗？为什 么？

不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有 2 个，而“男同学代表”“女 同学代表”出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。

我们一般用列举法列出所有基本事件的结果， 画树状图是列举法中的一种基 本方法。

例 2 、某人射击 5 枪，命中了 3 枪，试写出所有的基本事件

方法一：列举法：⊙表示命中，X 表示

未命中

方法二：树形图

-9-

问题 4、在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率 如何计算？

问题 1（1）中，出现正面朝上概率与反面朝上概率相等，即 P（“正面朝上”） ＝P（“反面朝上”）由概率的加法公式，得 P（“正面朝上”）＋P（“反面朝 上”）＝P（必然事件）＝1

因此 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝0.5

即 P（“正面朝上”）=

- 10 -

问题 1（2）中，出现 1—6 各个点的概率相等，即

P（“1 点”）＝P（“2 点”）＝P（“3 点”）＝P（“4 点”）＝P（“5 点”） ＝P（“6 点”）

反复利用概率的加法公式，我们有 P（“1 点”）＋P（“2 点”）＋P（“3 点”） ＋P（“4 点”）＋P（“5 点”）＋P（“6 点”）＝P（必然事件）＝1

∴P（“1 点”）＝P（“2 点”）＝P（“3 点”）＝P（“4 点”）＝P（“5 点”）

＝P（“6 点”）＝

进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P

（“出现偶数点”）＝P（“2 点”）＋P（“4 点”）＋P（“6 点”）＝

+

+

=

根据上述两则模拟试验， 可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计 算公式为：

- 11 -

P（A）=

=

提问：（1）在例 1 的实验中，出现字母“d”的概率是多少？

P（出现字母 d）=

=

（2）在例 2 中，所命中的三枪中，恰好有 2 枪连中的概率为多少？

P（三枪中两枪连中）=

在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么？

注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；

（2）要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

- 12 -

例 3、单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从 A，B，C，D 四个选项中选 择一个正确答案。如果考生掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案。假 设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？

分析： 解决这个问题的关键， 即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。 如果考生掌握或者掌握了部分考察内容， 这都不满足古典概型的第 2 个条件—— 等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才 可以化为古典概型。

解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有 4 个：选择 A、选择 B、 选择 C、选择 D，即基本事件共有 4 个，考生随机地选择一个答案是选择 A，B， C，D 的可能性是相等的。从而由古典概型的概率计算公式得：P（答对）

=

=

问题 5、在标准化考试中既有单选题又有多选题，多选题是从 A，B，C，D 四个选项中选出所有正确的答案， 同学们可能有一种感觉， 如果不知道正确答

案， 多选题更难猜对，这是为什么？

答：这是因为多选题选对的可能性比单选题选对的可能性要小；事实上，在多选 题中，基本事件有 15 个，（A）（B）（C）（D）（A，B）（A，C）（A，D） （B，C）（B，D）（C，D）（A，B，C）（A，B，D）（A，C，D）（B，C， D）（A，B，C，D），假定考生不会做，在他随机选择任何答案是等可能的情

况下，他答对的概率为

＜

- 13 -

例 4、 同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是 5 的概率是多少？

分析：如果我们只关注两个骰子出现的点数和，则有 2，3，4，„，11，12 这 11 种结果；

如果我们关注两个不加识别骰子出现的点数，则有下表中的 21 种结果

- 14 -

如果我们把两个骰子标上记号 1，2 以便区分，由于 1 号骰子的结果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰 子的一个结果（如表），其中第一个数表示 1 号骰子的结果，第二个数表示 2 号骰子的结果。

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有 36 种。

值得关注的是第一、 二种情形中的结果不是等可能的，不能直接运用古典概 型公式计算事件的概率；

（2）上面结果中，向上的点数之和为 5 的结果有 4 种：（1，4），（2，3）， （3，2），（4，1）

（3）由于所有 36 种结果是等可能的，其中向上点数之和为 5 的结果（记 为事件 A）有 4 种，因此，由古典概型的概率计算公式可得

- 15 -

P（A）=

=

问题 6： 为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解 释其中的原因吗？

答：如果不标上记号，类似于（1，2）和（2，1）的结果将没有区别。这 时，所有可能的结果为 21 种：和是 5 的结果有 2 个：（1，4）（2，3），所求

的概率为 P（A）=

以上两种答案都是利用古典概型的概率计算公式得到的， 为什么不同呢？这 里关键是第二种解法中的基本事件不是等可能发生的， 它不能利用古典概型公式 来计算。

小结：

1．古典概型：我们将具有：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

- 16 -

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

2． 古典概型计算任何事件的概率计算公式为： P （A） =

3．求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数常用 的方法是列举法（画树状图和列表），注意做到不重不漏。

7．目标检测设计

（1）从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选

中的概率

(

)

A 、

B、

C、

D、

（2）盒中有十个铁钉，其中八个合格，两个不合格，从中任取一个恰为合 格铁钉的概率（ ）

- 17 -

A、

B、

C、

D、

（3）将一个边长为 3 的正方体木块表面涂上红色，将其切成大小相等的 27 块，从中任取一块，恰有两个面红色的概率 面红色的概率 . ，至少有两个

（4）若抛掷一次骰子得到的点数 m 为点 M 的坐标，则点 M 落在区间[0，4] 外的概率是__

变式一：若以连续掷两次骰子分别得到的点数 落在直线 下方的概率是

作为点

的坐标，则点

变式二：若以连续掷三次骰子分别得到的点数

,p 作为点 Q 的坐标，则

点 Q 落在以原点为球心，2 为半径的球面内的概率是_____

（1.）C.（2）.C.（3.）27 个小块中三面有红色的有 8 个顶点；二面有色

的有 12 棱中点； 一面红色的有 6 个面中心； 0 面红色的有 1 个体中心， ∴p1=

，

p2=

4．

；

；

- 18 -

两个班教学目标检测结果分析（古典概型）

13 班 利用多媒体辅助教学 A（7 空全对） 11 B（7 空 1 错） 20 C（7 空 2 错） 22 20．8% 37．7% 41．5%

14 班 仅利用黑板 2 16 36 3．7% 29．6% 66．7%

教学时间：2007 年 9 月 17 日（校内公开课）

测试时间：2007 年 9 月 17 日下午 4：00-4：20

现象分析：

2007 年 9 月 17 日在必修 3 第三章古典概型第一节课教学中，设计了两种教 学手段，一种是传统的一只粉笔打天下的方式，一种是利用多媒体，将备课素材 做成 PPT，再利用黑板书写分析过程；两节课教下来的感觉是，对于数学应用问 题的教学， 由于教学过程中要使用大量的辅助手段才能讲明白一些数学概念，仅 运用粉笔教学，书写量较大，忙于书写，学生的思维时间较多，教学容量较小， 但在数学应用问题中，数学思维量较小，因此课堂容量显得不够，检测结果也说 明这一点。

- 19 -

认知结构发展反思表

课题

古典概型（第一课时） 班级 高二（13） 具体反思 学习古典概率定义之前学生已有二 个学段接触概率概念， 一是初中概率 概念启蒙，只是可能性的描述；二是 高中概率统计定义的描述 学习完本节内容之后的概念图又 概率的统计定义与古典定义学习后， 时间 2007．9．17

执教者 余继光 类 概 念 图 的 解 释 反思问题

学生在学习本节内容之前具有的 概念图是怎样的？

是怎样的？二者比较，能发现学生 对概率概念有了一个较完整的印象， 的认知结构发生了怎样的变化？ 学生既可以通过频率的稳定值来了 解概率， 又可以从样本空间中的基本 事件的比来理解概率意义

前 后 概 念 图 分 析

在前概念图中存在什么不足，教师 前概念（概率统计定义）在具体问题 怎样帮助

其改进，使之更有利于新 的研究中不方便， 但在理论上作用较 的学习过程？ 大； 教师对两者比较中指明两概念的 差异 后概念图与教学目标之间还存在 什么差距，如何弥补？ 后概念（概率古典定义）在具体问题 的研究中比较方便， 容易计算基本事 件具有等可能性且有限性的概率； 但 后概念在解决基本事件的无限性时 无能为力， 这为今后学习几何概型打 下基础

- 20 -

认 知 分 析

本节课采用的是同化还是顺应的

本节课的教学设计是采取同化的方

方式？在不同方式下，认知结构发 式， 由概率的统计定义过渡到古典定 生了怎样的变化？如果不能进行 义，在问题情境创设时设计多种形

同化，也不能进行顺应，你是如何 式，其中由学习小组先行进行试验， 帮助学生建立现先行组织者的？ 得出结果，分析结果特征，体现以学 生主动学习为本的理念。 为了学生的认知结构不断的丰富、 在列举法学习中，增加一个例子“某 完善，在平时的教学中采用了哪些 人射击 5 枪，命中了 3 枪，试写出 方法，比如定期复习、学生定期写 所有的基本事件”，分别用树形图与 学习报告、测试等？这些方法奏效 直接列举法展示思维过程， 在平时教 吗？ 学中曾组织数学研究性学习， 对培养 学生自主学习能力有帮助。

其

在本节课中最值得记录的一件事是什么？为 什么？

在目标检测中一个问题 “将一个边长 为 3 的正方体木块表面涂上红色， 将 其切成大小相等的 27 块，从中任取 一块， 恰有两个面红色的概率 ， ”不

它

至少有两个面红色的概率 会综合分析，

通过上述分析，你认为本节课的目标是否达 成？标志是什么？

从教学检测结果看，13 班达成度高； 14 班达成度较低，

教学相长，在本节课中你的收获是 什么？

变式训练教学反思表

- 21 -

课题

古典概型 班级 高二（14）班 时间 2007．9．17

执教者 余继光 类 变 式 训 练 的 依 据 反思问题

具体反思 概率的古典定义及古典概型的计 算是一个重要内容， 如何使学生掌 握，需要使用变式训练教学，如从 掷硬币到掷骰子情境的变式， 考虑 到基本事件这一知识点的系统性 与整体性，

变式训练的依据是什么？注重了知识 的系统性和整体性了吗？还是仅仅在 外在因素上进行了变化？

这种变式有助于学生理解问题的本质 吗？还是助长了机械训练？

变式训练的设计在于养育学生思 维习惯，熟悉转化方法，如关于树 形图的变式设计是为了学生理解 这一方法的本质，

变 式 训 练 的 价 值 变 式 训 练 的 作 用

通过变式训练，学生对这个数学对象 的理解深刻了吗？为什么？ 通过变式训

练，学生纠正原有的错误 理解吗？

问题（4）的变式设计有助于学生 的综合能力提高 例 4 的教学中， 不同思维的变式将 古典概型中学生最容易错的忽视 基本事件的 “等可能性” 暴露无遗， 以引起学生的注意与理解

预设的变式训练对学生的认知有扩展 吗？ 此节课变式训练的类型恰当吗？如何 不妥当，如何调整呢？

问题（4）将概率与相关数学知识 融合， 有助于对学生的认知的扩展 问题（4）中变式二设计有些不妥， 学生的空间概念较弱， 转化能力也 较弱，在检测后发现了这一点。

- 22 -

其

在本节课中最值得记录的一件事是什么？为什 么？

学生在问题（4）的变式（二）中 空间概念缺乏，转化能力较弱，不 能将其转化为 m2+n2+p2＜4 检验

通过上述分析，你认为本节课的目标是否达成？标 志是什么？

从教学检测结果看，13 班达成度 高；14 班达成度较低，

它

教学相长，在本节课中你的收获是什 么？

- 23 -

任 科 教 师

严峰

11 年 12 月 7 日

学

科

数学 古典概型

班 级

138

课 题 名 称

课 型 新授课

知 识 与 技 能

（1）理解古典概型的两个特征； （2）掌握古典概型的概率计算公式； （3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件。 （1）通过试验和典例让学生理解古典概型的特征； （2）归纳总结古典概型概率的计算公式； （3）体现化归的重要思想运用于解题。 （1）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养

教

过 程 学 与 方 法 目

情感态度 标 与

学生勇于探索，善于发现的创新思想； （2） 培养学生掌握“理论来源于实践， 并把理论应用于实

价 值 观

践”的辨证思想。

教 学

理解古典概型的含义及其概率的计算公式，古典概型的判断。

重 点

教 学 难

应用古典概型计算公式 P(A)= 时，正确求出 m,n。

- 24 -

点

教学方法

问题教学 题组教学 合作 学习

教学媒 体 见学案

PPT

作 业

古典概型 教案 教 学 过 程 设 计

No.1 No.2

教

1．通过数学史上的事例，提出问题，引入新课。

学

2．通过题组教学，提出问题，引入新课。 3．通过试验，使学生理解古典概型定义，并加以辨析；

过

同时通过题组复习，巩固古典概型下随机事件发生的概率计算。 3． 通过例题 （摸球问题） 的分析解决， 使学生进一步理解概率公式，

程

运用公式解决实

设

际问题（包括引入中数学史上的事例）。 4．小结。 5．分层布置作业。

计

古典概型

- 25 -

1. 板

1.

古典概型定义

问题（1）

（1）

书

有限性 等可能性 问题（2）

（2）

设 1. 计

2.

古典概型下，随机事件计算公式

例题 1

P（A）=

例题 2

课

后

反

思

教

学 过 程

教学环节 师 生 活 动

No.3

教学意图

意大利数学家卡当(1501-1576),他提出 问题提出 这样一个问题:掷一白一蓝两颗骰子,以

激发学生求 知欲

- 26 -

引入新课

两颗骰子的点数和打赌,你压几点最有 利?卡当认为 7 最好?你认为呢?

复习基本事 件空间，引入 新课

思考交流 形成概念 试验 1: 掷一枚质地均匀的硬币的试验 试验 2: 掷一枚质地均匀的骰子的试验 思考交流:上面试验都具有哪些特征?

合作交流 分析特征 将主动权交

□基础回顾

给学生

古典概型定义 (1)有限性 在一次试验中,可能出现的结 果只有有限个,即只有有限个不同的基 本事件 (2)等可能性每个基本事件发生的可能性 是均等的 这样的试验称为古典概型。 概念辨析 深化理解 【问题 1】字母 a、b、c、d 中任意取 学生讨论，进 出两个不同字母的试验中，有哪些基本 一步深化理 事件？ 解古典概型 的两个基本 概念辨析 特征 【问题 2】向一个圆面内随机地投射一 讲解学生资 料上的”考点 梳理”

- 27 -

个点，如果该点落在圆内任意一点都是 等可能的， 你认为这是古典概型吗?为什 么？

因为试验的所有可能结果是圆面内所有 的点， 试验的所有可能结果数是无限的， 虽然每一个试验结果出现的“可能性相 同”， 但这个试验不满足古典概型的第一 个条件。

教 学 过 程

教学环节 师 生 活 动

No.4

教学意图

【问题 3】如图，某同学随机地向一靶 心进行射击，这一试验的结果只有有限 个：命中 10 环、命中 9 环……命中 1 环

- 28 -

和不中环。你认为这是古典概型吗？为 什么？

不是古典概型，因为试验的所有可能结 果只有 11 个， 而命中 10 环、 命中 9 环…… 命中 1 环和不中环的出现不是等可能的， 即不满足古典概型的第二个条件。

古典概型计算公式 P（A）=

这一定义称为概率的古典定义

观察类比 巧用公式

引导学生利 用互斥事件 概率的加法 公式计算

- 29 -

古典概型计 算公式的直 接运用 强调规范的 书写过程

教 学 过 程 No.5

教学环节 师 生 活 动 教学意图

题组求解 加强基础 提高能力

□基础自测 1. 将一枚硬币先后抛掷两次，恰好出现 一次正面的概率为________。 2.甲、乙、丙、丁四人排成一行，甲不 在两端的概率为 。

通过生活中 的事例引导 学生用学到 的数学知识 解决生活中 的问题

3. 在 50 瓶饮料中， 有 3 瓶已经过期了， 从中任取一瓶，取得已过期的饮料的概 率为 。

4. 有数学、物理、化学、历史、政治五 本课本，从中任取一本，取到理料课本

进一步强化 先确定是否

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例题分析 推广应用

的概率是

。

为古典概型 再利用公式 计算

典例剖析

例 1.(摸球问题)一个口袋内装有大小相 同的 5 个红球和 3 个黄球，从中一次摸 出两个球。 ⑴问共有多少个基本事件； ⑵求摸出两个球都是红球的概率； ⑶求摸出的两个球都是黄球的概率； 引导学生用 ⑷求摸出的两个球一红一黄的概率。 列举法写出 所有基本事 件空间 学习不能偷 解决问题 激发兴趣 □提高训练 1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表， 甲被选中的概率为________. 2. 袋中有 2 个白球，2 个黑球，从中任 意摸出 2 个，则至少摸出 1 个黑球的概 率是________. 进一步巩固 巧要脚踏实 地

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3. 甲、乙两人随意入住两间空房，则甲 乙两人各住一间房的概率是 .

古典概型计 算公式

进一步深化 知识 解决问题 检测学生听 课效果

教 学 过 程

教学环节 师 生 活 动

No.6

教学意图

1657 年法国数学家费马出版了”论骰子 游戏中的推理”. 这本书引入了数学期望 的概念，这是概率论的第一部著作. 这 样，数学的一个分支-----概率论诞生了 目前，概率论不仅成为一门重要的数学 学科，而且渗透到了自然科学，社会科 学， 人文科学等各个领域. 概率和我们的 生活也是密切相关的,我相信同学们一定

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会学好它! 总结概括 加深理解 今天我们复习了什么？ 1．古典概型： 我们将具有： （1） 试验中所有可能出现的基本事件只 有有限个；（有限性） （2）每个基本事件出现的可能性相等。 （等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率 概型，简称古典概型。 2．古典概型概率计算公式为： 通过对本节 内容的回顾 与小结，理顺 知识，给学生 一个整体印 象。 学生进行总 结 查漏补缺

P（A）=

3． 求某个随机事件 A 包含的基本事件的 个数和实验中基本事件的总数常用的方 法是列举法（画树状图和列表），注意 做到不重不漏。 分层作业

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布置作业

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