在数学中，帕塞瓦尔定理经常指“傅里叶转换是幺正算符”这一结论；简而言之，就是说函数平方的和（或积分）等于其傅里叶转换式平方之和（或者积分）。这个定理产生于Marc-Antoine Parseval在1799年所得到的一个有关级数的定理，该定理随后被应用于傅里叶级数。它也被称为瑞利能量定理或瑞利恒等式，以物理学家约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵命名。
虽说帕塞瓦尔定理这一术语常用来描述任何傅里叶转换的幺正性，尤其是在物理学和工程学上，但这种属性最一般的形式还是称为Plancherel theorem而不是帕塞瓦尔定理才更合适。
假定A(x)和B(x)都是平方可积的（参照勒贝格测度）复变函数，且定义在R上周期为2π的区间上，分别写成傅里叶级数的形式:
和
然后
这里的i是虚数单位而上划线（horizontal bars）表示复共轭运算。
More generally, given an abelian topological group G with Pontryagin dual G^, Parseval's theorem says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2(G) and L2(G^) (with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups.) When G is the unit circle T, G^ is the integers and this is the case discussed above. When G is the real line R, G^ is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line. When G is the cyclic group Zn, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called discrete-time Fourier transform in applied contexts.
物理学和工程学上使用的记号[编辑]
在 物理学 和 工程学 中, 帕塞瓦尔定理通常描述如下:
其中
为 x(t) 的连续傅立叶变换（以归一化酉形式），而f代表x的频率分量（非角频率）
帕塞瓦尔定理的此表达形式解释了波形x(t)依时间域t累积的总能量与该波形的傅立叶变换X(f)在频域域f累积的总能量相等。
对于离散时间信号，该理论表达式变换为：
其中，X为x的离散时间傅立叶变换(DTFT)，而Φ为x的角频率（度每样本）。
此外，对于离散傅立叶变换 (DFT)，表达式变换为：
其中，X[k]为x[n]的DFT变换，变换前后样本长度皆为N。
参见[编辑]
帕塞瓦尔恒等式
Plancherel's theorem
Parseval–Gutzmer formula
在数学中，帕塞瓦尔定理经常指“傅里叶转换是幺正算符”这一结论；简而言之，就是说函数平方的和（或积分）等于其傅里叶转换式平方之和（或者积分）。这个定理产生于Marc-Antoine Parseval在1799年所得到的一个有关级数的定理，该定理随后被应用于傅里叶级数。它也被称为瑞利能量定理或瑞利恒等式，以物理学家约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵命名。
虽说帕塞瓦尔定理这一术语常用来描述任何傅里叶转换的幺正性，尤其是在物理学和工程学上，但这种属性最一般的形式还是称为Plancherel theorem而不是帕塞瓦尔定理才更合适。
假定A(x)和B(x)都是平方可积的（参照勒贝格测度）复变函数，且定义在R上周期为2π的区间上，分别写成傅里叶级数的形式:
和
然后
这里的i是虚数单位而上划线（horizontal bars）表示复共轭运算。
More generally, given an abelian topological group G with Pontryagin dual G^, Parseval's theorem says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2(G) and L2(G^) (with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups.) When G is the unit circle T, G^ is the integers and this is the case discussed above. When G is the real line R, G^ is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line. When G is the cyclic group Zn, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called discrete-time Fourier transform in applied contexts.
物理学和工程学上使用的记号[编辑]
在 物理学 和 工程学 中, 帕塞瓦尔定理通常描述如下:
其中
为 x(t) 的连续傅立叶变换（以归一化酉形式），而f代表x的频率分量（非角频率）
帕塞瓦尔定理的此表达形式解释了波形x(t)依时间域t累积的总能量与该波形的傅立叶变换X(f)在频域域f累积的总能量相等。
对于离散时间信号，该理论表达式变换为：
其中，X为x的离散时间傅立叶变换(DTFT)，而Φ为x的角频率（度每样本）。
此外，对于离散傅立叶变换 (DFT)，表达式变换为：
其中，X[k]为x[n]的DFT变换，变换前后样本长度皆为N。
参见[编辑]
帕塞瓦尔恒等式
Plancherel's theorem
Parseval–Gutzmer formula