浅谈函数的最值的几种求法
作者：郑凤军
来源：《新一代·上半月》2010年第10期
摘要:函数的最值是数学中最常见的基本问题, 也是较难的问题, 为此我谈一谈自己初浅的看法。
关键词:单调性; 不等式; 最值
中图分类号:G630文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)10-0091-01
一、 利用函数的单调性求函数的最值
1、已知s=a4+b4,a+b=1,且a 、b 为非负实数, 求证:≤s≤1
分析、由a+b=1条件可设a=-t b=+t 不妨设a≤b则0≤t≤又s=a4+b4=(-
t )2+(+t)2=2t4+3t2+=2(t2+)2-1 所以≤s≤1
又如2、若对于任意实数a ∈[-1,1]、函数f(x)=x2+(a-4)x-2a+4的值恒大于或等于0, 求x 取值范围。
转化为g(x)=(x-2)a+x2-4x+4≥0在a ∈[-1,1]时恒成立, 利用一次函数的单调性即可求出。
二、 利用基本不等式求函数的最值
1、 设x>2,求函数y=x+的最小值。
分析:利用基本不等式求之, 注意等号成立性
2、 已知a>b>0,求a2+的最小值。
分析:a2+=(a-b+b)2+≥4(a-b)b+≥16
注意:a-b=b且4(a-b)b=取最小值16。
三、利用基本不等式求多元函数的最值
1、设x>y>z,求证:++≥0
证:(+)(x-y+y-z)=5+4+≥9当且仅当2x+z=2y时取最小值。
2、 已知x>0,y>0,+≤4.求+的最小值。
四、 利用数形结合求多元函数的最值
实数x 、y 满足x2+y2≤1,求的最小值。
分析:由实数x 、y 满足x2+y2≤1得(x,y)在单位圆内的任意一点,k=为(x,y)与(-2,1)点连线的直线斜率, 所以由切线的斜率可得-≤k≤0。所以的最小值为-。
五、造法求函数的最值或证明
1、构造函数
设a 、b 、c ∈(0,+∞)且a+b>c求证:+>
分析:利用函数y=在(0,+∞)是增函数。因为+>+=>
2、 构造方程求多元函数的最值
已知:x3+y3=2,x、y ∈R, 求证:x+y≤2
分析:设x+y=t则(x+y)(x2+y2-xy)=2所以xy=t2- 构造方程a2-ta+t2-=0则x 、y 为此方程的两个实数根, 所以Δ=t2-4(t2-)≥0解得t≤2所以x+y≤2
3、 构造复数
已知:|a2-b2|+|2ab|=1,求证:|a|+|b|≤
分析:设z=a+bi则Z2=a2—b2+2abi由条件得|Rez2|+|Imz2|=1所以任意复数z, 有 ||Rez|+|Imz||≤|z|≤|Rez|+|Imz|所以|z|2=|z2|≤|Rez2|+|Imz2|=1即|z|≤1
所以|a|+|b|=|Rez|+|Imz|≤|z|≤
六、 求抽象函数的最值
1、 设函数f(x)对一切实数x 、a 都有f(x+a)-f(x)=(2x+a+1)a成立, 并且f(1)=0求f(x)≤0时x 的取值范围。
分析:由f(1)=0令x=1有f(a+1)-f(1)=(3+a)a令a+1=t有a=t-1得f(t)=t2+t-2因为 f(x)≤0所以-2≤x≤1
浅谈函数的最值的几种求法
作者：郑凤军
来源：《新一代·上半月》2010年第10期
摘要:函数的最值是数学中最常见的基本问题, 也是较难的问题, 为此我谈一谈自己初浅的看法。
关键词:单调性; 不等式; 最值
中图分类号:G630文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)10-0091-01
一、 利用函数的单调性求函数的最值
1、已知s=a4+b4,a+b=1,且a 、b 为非负实数, 求证:≤s≤1
分析、由a+b=1条件可设a=-t b=+t 不妨设a≤b则0≤t≤又s=a4+b4=(-
t )2+(+t)2=2t4+3t2+=2(t2+)2-1 所以≤s≤1
又如2、若对于任意实数a ∈[-1,1]、函数f(x)=x2+(a-4)x-2a+4的值恒大于或等于0, 求x 取值范围。
转化为g(x)=(x-2)a+x2-4x+4≥0在a ∈[-1,1]时恒成立, 利用一次函数的单调性即可求出。
二、 利用基本不等式求函数的最值
1、 设x>2,求函数y=x+的最小值。
分析:利用基本不等式求之, 注意等号成立性
2、 已知a>b>0,求a2+的最小值。
分析:a2+=(a-b+b)2+≥4(a-b)b+≥16
注意:a-b=b且4(a-b)b=取最小值16。
三、利用基本不等式求多元函数的最值
1、设x>y>z,求证:++≥0
证:(+)(x-y+y-z)=5+4+≥9当且仅当2x+z=2y时取最小值。
2、 已知x>0,y>0,+≤4.求+的最小值。
四、 利用数形结合求多元函数的最值
实数x 、y 满足x2+y2≤1,求的最小值。
分析:由实数x 、y 满足x2+y2≤1得(x,y)在单位圆内的任意一点,k=为(x,y)与(-2,1)点连线的直线斜率, 所以由切线的斜率可得-≤k≤0。所以的最小值为-。
五、造法求函数的最值或证明
1、构造函数
设a 、b 、c ∈(0,+∞)且a+b>c求证:+>
分析:利用函数y=在(0,+∞)是增函数。因为+>+=>
2、 构造方程求多元函数的最值
已知:x3+y3=2,x、y ∈R, 求证:x+y≤2
分析:设x+y=t则(x+y)(x2+y2-xy)=2所以xy=t2- 构造方程a2-ta+t2-=0则x 、y 为此方程的两个实数根, 所以Δ=t2-4(t2-)≥0解得t≤2所以x+y≤2
3、 构造复数
已知:|a2-b2|+|2ab|=1,求证:|a|+|b|≤
分析:设z=a+bi则Z2=a2—b2+2abi由条件得|Rez2|+|Imz2|=1所以任意复数z, 有 ||Rez|+|Imz||≤|z|≤|Rez|+|Imz|所以|z|2=|z2|≤|Rez2|+|Imz2|=1即|z|≤1
所以|a|+|b|=|Rez|+|Imz|≤|z|≤
六、 求抽象函数的最值
1、 设函数f(x)对一切实数x 、a 都有f(x+a)-f(x)=(2x+a+1)a成立, 并且f(1)=0求f(x)≤0时x 的取值范围。
分析:由f(1)=0令x=1有f(a+1)-f(1)=(3+a)a令a+1=t有a=t-1得f(t)=t2+t-2因为 f(x)≤0所以-2≤x≤1