例1 2015年边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．
请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．
解答（1）抛物线的解析式为y =-x 2+8．
（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下： 设点P 的坐标为(x , -x 2+8) ，那么PF ＝y F －y P ＝x 2．
而FD 2＝x 2+(-x 2+8-6) 2=x 2+(x 2-2) 2=(x 2+2) 2，所以FD ＝x 2+2．因此PD －PF ＝2为定值． （3）“好点”共有11个．
在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．
而PD ＋PE ＝(PF ＋2) ＋PE ＝(PF ＋PE ) ＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）． 此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．
所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．
1
8
1818
18181818
第（3）题的11个“好点”是这样求的：
如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ． 因为S △POD ＝OD ⋅(-x P ) =-3x ，S △POE ＝OE ⋅y P =-S △PDE ＝-3x -
121212
x +16，S △DOE ＝12，所以 4
1211
x +16-12＝-x 2-3x +4＝-(x +6) 2+13． 444
因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6． 如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．
当S ＝12时，方程-(x +6) 2+13=12的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．
例2 2014年昆明在平面直角坐标系中，y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
14
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．
3
（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4) ．所以－8a ＝－3．解得a =．
8333
所以抛物线的解析式为y =(x +2)(x -4) =x 2-x -3．
884
（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．
3
在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝．
53
在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝t ．
511399
所以S △PBQ ＝BP ⋅QH =(6-3t ) ⨯t =-(t -1) 2+．
2251010
9
。 10
（3）当△PBQ 的面积最大时，t ＝1，此时P 是AB 的中点，P (1, 0)，BQ ＝1。 如图3，因为△PBC 与△PBQ 是同高三角形，S △PBC ∶S △PBQ ＝BC ∶BQ ＝5∶1。 当S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2时，S △PBC ∶S △CBK ＝2∶1。因为△PBC 与△CBK 是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。 如图4，过x 轴上的点D 画CB 的平行线交抛物线于K ，那么PB ∶DB ＝2∶1。 因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是
11
因为点K 在BC 的下方，所以点D 在点B 的右侧，点D 的坐标为(,0) ．
23
过点K 作KE ⊥x 轴于E ．设点K 的坐标为(x , (x +2)(x -4)) ．
83(x +(2) 4) x -
KE CO 由，得=
9DE BO -x 2
32715．整理，得x 2－4x ＋3＝0．得x ＝1x ＝3．所以点K 的坐标为(1,-) 或(3,-) ．
488
=
例3 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线y =
12
x +bx +c （b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、2
B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0) ．
（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；
（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；
②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．
1
，点B 的横坐标为－2c ． 2111
（2）由y =2+c (++c =x 1() x +2) c
222
（1）b ＝c +
，设E (x , (x +1)(x +2c )) ．
1
2
过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ． 所以x +1=(x +1)(x +2c ) ．因此x =1-2c ．所以E (1-2c ,1-c ) ． 当C 、D 、E 三点在同一直线上时，
EH CO 1-c -c
．所以．
==
DH DO -2c -12
整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或c =
113（舍去）．所以抛物线的解析式为y =x 2-x -2．
222
（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为y =
1
x -2． 2
311
m -2) ，那么F (m , m -2) ，FP =-m 2+2m ． 222
1
所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝FP (x B -x C ) =2FP =-m 2+4m =-(m -2) 2+4．
2
设P (m , m 2-
因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．
当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5． ②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．
m
例 6 2011年南通市中考第28题如图1，直线l 经过点A (1，0) ，且与双曲线y =(x ＞0) 交于点B (2，1) ．过点
x
12
m m
(x ＞0) 和y =-(x ＜0) 于M 、N 两点． x x
（1）求m 的值及直线l 的解析式； （2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；
（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．
m
（1）因为点B (2，1) 在双曲线y =上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y =kx +b ，
x
⎧k +b =0, 解得⎧k =1, 所以直线l 的解析式为
代入点A (1，0) 和点B (2，1) ，得⎨ y =x -1．⎨
2k +b =1. b =-1. ⎩⎩
（2）由点P (p , p -1) (p ＞1) 的坐标可知，点P 在直线y =x -1上x 轴的上方．如图2，
P (p , p -1) (p ＞1) 作x 轴的平行线分别交曲线y =
当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2) ．此时点M 的坐标为(1，2) ，点N 的坐标为(－1，2) ．
由P (3，2) 、M (1，2) 、B (2，1) 三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2) 、N (－1，2) 、A (1，0) 三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．
（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上．当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．
22⎫2⎫．
⎛①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M ) ．因此⎛解得或x =
x =-(-) =4(x -1) - ⎪ ⎪x ⎭x ⎭⎝x ⎝
（此时点P 在x 轴下方，舍去）
．此时p 22⎫⎛2⎫．解得②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P ) ．因此⎛x =
-(-) =4-(x -1) ⎪ ⎪x ⎭⎝x ⎝x ⎭
x =
P 在x 轴下方，舍去）
．此时p =
例1 2015年边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．
请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．
解答（1）抛物线的解析式为y =-x 2+8．
（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下： 设点P 的坐标为(x , -x 2+8) ，那么PF ＝y F －y P ＝x 2．
而FD 2＝x 2+(-x 2+8-6) 2=x 2+(x 2-2) 2=(x 2+2) 2，所以FD ＝x 2+2．因此PD －PF ＝2为定值． （3）“好点”共有11个．
在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．
而PD ＋PE ＝(PF ＋2) ＋PE ＝(PF ＋PE ) ＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）． 此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．
所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．
1
8
1818
18181818
第（3）题的11个“好点”是这样求的：
如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ． 因为S △POD ＝OD ⋅(-x P ) =-3x ，S △POE ＝OE ⋅y P =-S △PDE ＝-3x -
121212
x +16，S △DOE ＝12，所以 4
1211
x +16-12＝-x 2-3x +4＝-(x +6) 2+13． 444
因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6． 如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．
当S ＝12时，方程-(x +6) 2+13=12的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．
例2 2014年昆明在平面直角坐标系中，y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
14
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．
3
（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4) ．所以－8a ＝－3．解得a =．
8333
所以抛物线的解析式为y =(x +2)(x -4) =x 2-x -3．
884
（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．
3
在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝．
53
在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝t ．
511399
所以S △PBQ ＝BP ⋅QH =(6-3t ) ⨯t =-(t -1) 2+．
2251010
9
。 10
（3）当△PBQ 的面积最大时，t ＝1，此时P 是AB 的中点，P (1, 0)，BQ ＝1。 如图3，因为△PBC 与△PBQ 是同高三角形，S △PBC ∶S △PBQ ＝BC ∶BQ ＝5∶1。 当S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2时，S △PBC ∶S △CBK ＝2∶1。因为△PBC 与△CBK 是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。 如图4，过x 轴上的点D 画CB 的平行线交抛物线于K ，那么PB ∶DB ＝2∶1。 因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是
11
因为点K 在BC 的下方，所以点D 在点B 的右侧，点D 的坐标为(,0) ．
23
过点K 作KE ⊥x 轴于E ．设点K 的坐标为(x , (x +2)(x -4)) ．
83(x +(2) 4) x -
KE CO 由，得=
9DE BO -x 2
32715．整理，得x 2－4x ＋3＝0．得x ＝1x ＝3．所以点K 的坐标为(1,-) 或(3,-) ．
488
=
例3 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线y =
12
x +bx +c （b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、2
B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0) ．
（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；
（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；
②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．
1
，点B 的横坐标为－2c ． 2111
（2）由y =2+c (++c =x 1() x +2) c
222
（1）b ＝c +
，设E (x , (x +1)(x +2c )) ．
1
2
过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ． 所以x +1=(x +1)(x +2c ) ．因此x =1-2c ．所以E (1-2c ,1-c ) ． 当C 、D 、E 三点在同一直线上时，
EH CO 1-c -c
．所以．
==
DH DO -2c -12
整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或c =
113（舍去）．所以抛物线的解析式为y =x 2-x -2．
222
（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为y =
1
x -2． 2
311
m -2) ，那么F (m , m -2) ，FP =-m 2+2m ． 222
1
所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝FP (x B -x C ) =2FP =-m 2+4m =-(m -2) 2+4．
2
设P (m , m 2-
因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．
当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5． ②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．
m
例 6 2011年南通市中考第28题如图1，直线l 经过点A (1，0) ，且与双曲线y =(x ＞0) 交于点B (2，1) ．过点
x
12
m m
(x ＞0) 和y =-(x ＜0) 于M 、N 两点． x x
（1）求m 的值及直线l 的解析式； （2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；
（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．
m
（1）因为点B (2，1) 在双曲线y =上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y =kx +b ，
x
⎧k +b =0, 解得⎧k =1, 所以直线l 的解析式为
代入点A (1，0) 和点B (2，1) ，得⎨ y =x -1．⎨
2k +b =1. b =-1. ⎩⎩
（2）由点P (p , p -1) (p ＞1) 的坐标可知，点P 在直线y =x -1上x 轴的上方．如图2，
P (p , p -1) (p ＞1) 作x 轴的平行线分别交曲线y =
当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2) ．此时点M 的坐标为(1，2) ，点N 的坐标为(－1，2) ．
由P (3，2) 、M (1，2) 、B (2，1) 三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2) 、N (－1，2) 、A (1，0) 三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．
（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上．当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．
22⎫2⎫．
⎛①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M ) ．因此⎛解得或x =
x =-(-) =4(x -1) - ⎪ ⎪x ⎭x ⎭⎝x ⎝
（此时点P 在x 轴下方，舍去）
．此时p 22⎫⎛2⎫．解得②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P ) ．因此⎛x =
-(-) =4-(x -1) ⎪ ⎪x ⎭⎝x ⎝x ⎭
x =
P 在x 轴下方，舍去）
．此时p =