1.4绝对值三角不等式
☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；
2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；
3.
4. ☆教学重点：定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点：换元思想的渗透。 ☆教学过程： 一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）abab （2）abab （3）abab （4）
abab
(b0)
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质abab和
abab
(b0)可以从正负数和零的乘法、除法
法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？
显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。
二、典型例题：
例1、证明 （1）abab， （2）abab。 证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.
如
果
ab0,
那么
ab(ab).
所以
aba(b)(ab)ab
（2）根据（1）的结果，有abbabb，abba。 所以，abab。 例2、证明 ababab。 例3、证明 abacbc。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？ 定理1 如果a,bR, 那么abab.
在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,
则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量a,b,ab构成三角形, 因此有｜a+b｜
其几何意义是什么？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知 xa
c2
,yb
c2
，求证 (xy)(ab)c.
证明 (xy)(ab)(xa)(yb) xayb （1）
xa
c2
,yb
c2c2
，
c2
c （2）
∴xayb
由（1），（2）得：(xy)(ab)c
例5、已知x
. 求证：2x3ya。
46aaaa
证明 x,y，∴2x,3y，
4622
,ya
a
由例1及上式，2x3y2x3y
a2
a2
a。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写
法，只能用于不等号方向相同的不等式。 四、巩固性练习：
1、已知Aa2、已知xa
c2c4
,Bb,yb
c2c6
.求证：(AB)(ab)c。
.求证：2x3y2a3bc。
作业：习题1.2 2、3、5
1.4绝对值三角不等式学案
☆预习目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；
2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;
3. ☆预习内容：
1．绝对值的定义：aR，|a|
2. 绝对值的几何意义：
10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A
20. 两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，
那么|ab|的几何意义是 3.定理1的内容是什么？其证法有几种？
4.若实数a,b分别换成向量a,b
定理1还成立吗？
5、定理2是怎么利用定理1证明的？ ☆探究学习：
1、绝对值的定义的应用
例1 设函数f(x)x1x4．
1解不等式f(x)2；2求函数yf(x)的最值．
2. 绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|ab|之间的关系. ①ab0时,如下图, 容易得：|ab|
②ab0时,如图, 容易得：|ab|
|a||b|.
|a||b|.
③ab0时,显然有：|ab| 综上,得
定理1 如果a,bR, 那么|ab|立.
|a||b|.
|a||b|. 当且仅当 时, 等号成
在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b, 则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量a,b,ab构成三角形, 因此有|ab|
|a||b|
它的几何意义就是:
定理1的证明:
定理2 如果a,b,cR, 那么|ac|立.
3、定理应用
例2 （1）a,bR证明abab， （2）已知
xa
c2
,yb
c2
|ab||bc|
. 当且仅当 时, 等号成
，求证 (xy)(ab)c.。
☆课后练习 ：
1.当a、bR时，不等式
abab
1 成立的充要条件是
A．ab0 B．a2b20
C．ab0 D．ab0
2.对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，则a的取值范围是； 恒成立，则a的取值范围是
3.对任意实数x，|x1||x3|a
4.若关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，则a
的取值范围是的解集是
5.方程
x3x
2
x2x3x
2
的解集为 ,不等式|
x2x
|
x2x
6.已知方程|2x1||2x1|a1有实数解，则a
的取值范围为 。
7. 画出不等式xy1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等
式
1、x1x11; 2、x2y1.
8.解不等式：1、2x1x1
; 2、
x2x1
1;
3、x1x23 ; 4、x2x130.
9. 1、已知x
a4
,y
a6
. 求证：2x3ya。
2、已知xa
c,yb
c.求证：2x3y2a3bc。
4
6
3、已知 Aas3
,Bb
s3
,Cc
s3
. 求证：
10.1、已知 x
a,y
a.求证： xya.
、已知 xch,yc0.求证：
xy
h.
(ABC)(abc)s
2
参考答案:
☆课后练习 1. B. 2、a＜3 3 、a＞4 4、a＞7 5、｛-3＜x＜=-2或x＞=0｝{x2} 6、-3
7、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：
x0
，y0，xy1.
其图形是由第一象限中直线y1x下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式xy1的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。
探究：利用不等式的图形解不等式
1. x1x11; 2．x2y1.
答案：1、-0.5
8、1、0-1/2 3、x
4、x>-2
9. 1、已知x
a4,y
a6a6
. 求证：2x3ya
a2,3y
a2
。
证明 x
a4
,y
，∴2x，
a2a2
a。
由例1及上式，2x3y2x3y 2、 3（解答略） 10、（解答略）
1.4绝对值三角不等式
☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；
2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；
3.
4. ☆教学重点：定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点：换元思想的渗透。 ☆教学过程： 一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）abab （2）abab （3）abab （4）
abab
(b0)
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质abab和
abab
(b0)可以从正负数和零的乘法、除法
法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？
显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。
二、典型例题：
例1、证明 （1）abab， （2）abab。 证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.
如
果
ab0,
那么
ab(ab).
所以
aba(b)(ab)ab
（2）根据（1）的结果，有abbabb，abba。 所以，abab。 例2、证明 ababab。 例3、证明 abacbc。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？ 定理1 如果a,bR, 那么abab.
在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b,
则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则:
向量a,b,ab构成三角形, 因此有｜a+b｜
其几何意义是什么？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知 xa
c2
,yb
c2
，求证 (xy)(ab)c.
证明 (xy)(ab)(xa)(yb) xayb （1）
xa
c2
,yb
c2c2
，
c2
c （2）
∴xayb
由（1），（2）得：(xy)(ab)c
例5、已知x
. 求证：2x3ya。
46aaaa
证明 x,y，∴2x,3y，
4622
,ya
a
由例1及上式，2x3y2x3y
a2
a2
a。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写
法，只能用于不等号方向相同的不等式。 四、巩固性练习：
1、已知Aa2、已知xa
c2c4
,Bb,yb
c2c6
.求证：(AB)(ab)c。
.求证：2x3y2a3bc。
作业：习题1.2 2、3、5
1.4绝对值三角不等式学案
☆预习目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；
2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;
3. ☆预习内容：
1．绝对值的定义：aR，|a|
2. 绝对值的几何意义：
10. 实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A
20. 两个实数a,b，它们在数轴上对应的点分别为A,B，
那么|ab|的几何意义是 3.定理1的内容是什么？其证法有几种？
4.若实数a,b分别换成向量a,b
定理1还成立吗？
5、定理2是怎么利用定理1证明的？ ☆探究学习：
1、绝对值的定义的应用
例1 设函数f(x)x1x4．
1解不等式f(x)2；2求函数yf(x)的最值．
2. 绝对值三角不等式：探究|a|，|b|，|ab|之间的关系. ①ab0时,如下图, 容易得：|ab|
②ab0时,如图, 容易得：|ab|
|a||b|.
|a||b|.
③ab0时,显然有：|ab| 综上,得
定理1 如果a,bR, 那么|ab|立.
|a||b|.
|a||b|. 当且仅当 时, 等号成
在上面不等式中,用向量a,b分别替换实数a,b, 则当a,b不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量a,b,ab构成三角形, 因此有|ab|
|a||b|
它的几何意义就是:
定理1的证明:
定理2 如果a,b,cR, 那么|ac|立.
3、定理应用
例2 （1）a,bR证明abab， （2）已知
xa
c2
,yb
c2
|ab||bc|
. 当且仅当 时, 等号成
，求证 (xy)(ab)c.。
☆课后练习 ：
1.当a、bR时，不等式
abab
1 成立的充要条件是
A．ab0 B．a2b20
C．ab0 D．ab0
2.对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，则a的取值范围是； 恒成立，则a的取值范围是
3.对任意实数x，|x1||x3|a
4.若关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，则a
的取值范围是的解集是
5.方程
x3x
2
x2x3x
2
的解集为 ,不等式|
x2x
|
x2x
6.已知方程|2x1||2x1|a1有实数解，则a
的取值范围为 。
7. 画出不等式xy1的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等
式
1、x1x11; 2、x2y1.
8.解不等式：1、2x1x1
; 2、
x2x1
1;
3、x1x23 ; 4、x2x130.
9. 1、已知x
a4
,y
a6
. 求证：2x3ya。
2、已知xa
c,yb
c.求证：2x3y2a3bc。
4
6
3、已知 Aas3
,Bb
s3
,Cc
s3
. 求证：
10.1、已知 x
a,y
a.求证： xya.
、已知 xch,yc0.求证：
xy
h.
(ABC)(abc)s
2
参考答案:
☆课后练习 1. B. 2、a＜3 3 、a＞4 4、a＞7 5、｛-3＜x＜=-2或x＞=0｝{x2} 6、-3
7、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：
x0
，y0，xy1.
其图形是由第一象限中直线y1x下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式xy1的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。
探究：利用不等式的图形解不等式
1. x1x11; 2．x2y1.
答案：1、-0.5
8、1、0-1/2 3、x
4、x>-2
9. 1、已知x
a4,y
a6a6
. 求证：2x3ya
a2,3y
a2
。
证明 x
a4
,y
，∴2x，
a2a2
a。
由例1及上式，2x3y2x3y 2、 3（解答略） 10、（解答略）